Приведение системы дифференциальных уравнений к каноническому виду

Примеры по дифференциальным уравнениям в частных производных

Немного теории

Дифференциальным уравнением с частными производными (ДУ с ЧП) называется уравнение относительно неизвестной функции нескольких переменных (ФНП) и ее частных производных. Наивысший порядок частных производных (существенно входящих в уравнение) называется порядком этого уравнения.

ДУ с ЧП называется линейным (ЛДУ с ЧП), если неизвестная функция и ее производные входят в это ДУ линейно (в первой степени).

В этом разделе вы найдете подробно решенные задачи по темам: классификация и приведение к каноническому виду ДУ с ЧП второго порядка с двумя переменными, определение типа уравнения, решение уравнений и систем ДУ в ЧП.

ДУ с ЧП находят широкое применение в прикладных науках: квантовая механика, электродинамика, термодинамика, теория теплои массопереноса и др. при математическом описании и моделировании различных физических процессов. Поэтому такие уравнения изучаются под общим названием уравнений математической физики (примеры решений 16 задач).

Приведение к каноническому виду

Задача 1. Привести к каноническому виду уравнение

Задача 2. Привести уравнение к каноническому виду.

Задача 3. Найти общее решение уравнения, приведя его к каноническому виду:

Решение ДУ в ЧП

Задача 4. Решить уравнение Пфаффа

$$ z^2 dx +zdy +(3zx +2y)dz=0. $$

Задача 5. Решить задачу Коши для уравнения в частных производных

$$ u_-2\Delta u =(x^2+y^2+z^2)t; \quad u(t=0)=xyz, u_t(t=0)=x-y. $$

Задача 6. Найти общее решение уравнения в частных производных

Задача 7. Найти общее решение уравнения в частных производных первого порядка.

$$ xy u_x +(x-2u)u_y = yu. $$

Задача 8. Найти решение задачи Коши для уравнения в частных производных

$$ y u_x -xy u_y=2xu, \quad u(x+y=2)=1/y. $$

Задача 9. Решить систему дифференциальных уравнений в частных производных

Разные задачи на исследование ДУ в ЧП

Задача 10. Найти поверхность, удовлетворяющую данному уравнению и проходящую через данную линию

Задача 11. Найти области гиперболичности, эллиптичности и параболичности уравнения и исследовать их зависимость от $l$, где $l$ – числовой параметр.

Задача 12. Найти функцию, гармоническую внутри круга радиуса $R$ c центром в начале координат и такую, что

Помощь с решением ДУ в ЧП

Если вам нужна помощь с решением задач и контрольных по дифференциальным уравнениям (и другим разделам математического анализа), обращайтесь в МатБюро. Стоимость подробной консультации от 100 рублей , оформление производится в Word, срок от 1 дня.

Приведение к каноническому виду линейных уравнений с частными производными второго порядка

Федеральное агентство по образованию

ИРКУТСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

Институт математики, экономики и информатики

Кафедра дифференциальных и интегральных уравнений

ПРИВЕДЕНИЕ К КАНОНИЧЕСКОМУ ВИДУ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ С ЧАСТНЫМИ ПРОИЗВОДНЫМИ ВТОРОГО ПОРЯДКА

Приведение к каноническому виду линейных уравнений с частными производными 2-го порядка с двумя независимыми переменными …………………………………………………………………………

1.1. Необходимый теоретический материал………………………..

1.2. Пример выполнения задачи1 (приведение к

каноническому виду уравнений гиперболического типа) .

1.3. Пример выполнения задачи 2 (приведение к

каноническому виду уравнений параболического типа)

1.4. Пример выполнения задачи 3 (приведение к

каноническому виду уравнений эллиптического типа) ..

1.5. Задачи для самостоятельного решения ………………….….

Упрощение группы младших производных

для уравнений второго порядка с постоянными коэффициентами

2.1. Необходимый теоретический материал …………………..

2.2. Пример выполнения задачи 4

2.3. Задачи для самостоятельного решения ……………………..

В настоящих методических указаниях изложен теоретический материал и на конкретных примерах разобрано приведение к каноническому виду линейных уравнений с частными производными второго порядка с двумя независимыми переменными для уравнений гиперболического, эллиптического и параболического типов.

Методические указания предназначены для студентов математических специальностей очной и заочной формы обучения.

§1. Приведение к каноническому виду линейных уравнений с частными производными 2-го порядка с двумя независимыми переменными.

Задача. Определить тип уравнения

(1)

и привести его к каноническому виду.

1.1. Необходимый теоретический материал.

I. Тип уравнения (1) определяется знаком выражения :

· если в некоторой точке, то уравнение (1) называется уравнением гиперболического типа в этой точке;

· если в некоторой точке, то уравнение (1) называется уравнением эллиптического типа в этой точке;

· если в некоторой точке, то уравнение (1) называется уравнением параболического типа в этой точке.

Уравнение (1) будет являться уравнением гиперболического, эллиптического, параболического типа в области D, если оно гиперболично, эллиптично, параболично в каждой точке этой области.

Уравнение (1) может менять свой тип при переходе из одной точки (области) в другую. Например, уравнение является уравнением эллиптического типа в точках ; параболического типа в точках ; и гиперболического типа в точках .

II. Чтобы привести уравнение к канонического виду, необходимо:

1. Определить коэффициенты ;

2. Вычислить выражение ;

3. Сделать вывод о типе уравнения (1) (в зависимости от знака выражения );

4. Записать уравнение характеристик:

; (2)

5. Решить уравнение (2). Для этого:

а) разрешить уравнение (2) как квадратное уравнение относительно dy:

; (3)

б) найти общие интегралы уравнений (3) (характеристики уравнения (1)):

· (4)

в случае уравнения гиперболического типа;

· , (5)

в случае уравнения параболического типа;

· , (6)

в случае уравнения эллиптического типа.

6. Ввести новые (характеристические) переменные и :

· в случае уравнения гиперболического типа в качестве и берут общие интегралы (4) уравнений (3), т. е.

· в случае уравнения параболического типа в качестве берут общий интеграл (5) уравнения (3), т. е. , в качестве берут произвольную, дважды дифференцируемую функцию , не выражающуюся через , т. е. ;

· в случае уравнения эллиптического типа в качестве и берут вещественную и мнимую часть любого из общих интегралов (6) уравнений (3):

7. Пересчитать все производные, входящие в уравнение (1), используя правило дифференцирования сложной функции:

,

,

, (7)

,

.

8. Подставить найденные производные в исходное уравнение (1) и привести подобные слагаемые. В результате уравнение (1) примет один из следующих видов:

· в случае уравнения гиперболического типа:

;

· в случае уравнения параболического типа:

;

· в случае уравнения эллиптического типа:

.

1.2. Пример выполнения задачи 1.

Определить тип уравнения

и привести его к каноническому виду.

1. Определим коэффициенты :

2. Вычислим выражение :

.

3. уравнение гиперболического типа во всей плоскости XOY.

4. Запишем уравнение характеристик:

. (9)

5. Решим уравнение (9). Для этого:

а) разрешаем уравнение (9) как квадратное уравнение относительно dy: ;

;

(10)

б) найдём общие интегралы уравнений (10) (характеристики уравнения (9)):

6. Введём характеристические переменные:

7. Пересчитаем производные, входящие в исходное уравнение.

Используя формулы (7), получим:

Здесь слева написаны коэффициенты уравнения (8) при соответствующих производных.

8. Собирая подобные слагаемые, получим:

Или после деления на -100 (коэффициент при ):

Ответ. Уравнение (8) является уравнением гиперболического типа на всей плоскости XOY. Канонический вид

где

1.3. Пример выполнения задачи 2.

Определить тип уравнения

и привести его к каноническому виду.

1. Определим коэффициенты . В нашем примере они постоянны:

2. Вычислим выражение :

.

3. уравнение параболического типа во всей плоскости XOY.

4. Запишем уравнение характеристик:

. (12)

5. Решим уравнение (12). Для этого:

а) разрешаем уравнение (9) как квадратное уравнение относительно dy. Однако в этом случае левая часть уравнения является полным квадратом:

;

(13)

б) имеем только одно уравнение характеристик (13). Найдём его общий интеграл (уравнения параболического типа имеют только одно семейство вещественных характеристик):

6. Введём характеристические переменные: одну из переменных вводим как и ранее

а в качестве берут произвольную, дважды дифференцируемую функцию, не выражающуюся через , пусть

;

7. Пересчитаем производные, входящие в исходное уравнение.

Используя формулы (7), получим:

Здесь слева написаны коэффициенты уравнения (11) при соответствующих производных.

8. Собирая подобные слагаемые, получим:

Функцию, стоящую в правой части уравнения (11) необходимо также выразить через характеристические переменные.

После деления на 25 (коэффициент при ):

Ответ. Уравнение (11) является уравнением параболического типа на всей плоскости XOY. Канонический вид

где

1.4. Пример выполнения задачи 3.

Определить тип уравнения

(14)

и привести его к каноническому виду.

1. Определим коэффициенты :

2. Вычислим выражение :

.

3. уравнение эллиптического типа во всей плоскости XOY.

4. Запишем уравнение характеристик:

. (15)

5. Решим уравнение (15). Для этого:

а) разрешаем уравнение (15) как квадратное уравнение относительно dy: ; (16)

б) уравнения (16) – это пара комплексно-сопряженных уравнений. Они имеют пару комплексно-сопряженных общих интегралов. (Уравнения эллиптического типа не имеют вещественных характеристик)

(17)

6. Введём характеристические переменные как вещественную и мнимую части одного из общих интегралов (17):

7. Пересчитаем производные, входящие в исходное уравнение.

Используя формулы (7), получим:

Здесь слева написаны коэффициенты уравнения (14) при соответствующих производных.

8. Собирая подобные слагаемые, получим:

Или после деления на 4 (коэффициент при и ):

Ответ. Уравнение (14) является уравнением эллиптического типа на всей плоскости XOY. Канонический вид

где

1.5. Задачи для самостоятельного решения.

Определить тип уравнения и привести его к каноническому виду.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

Определить тип уравнения и привести его к каноническому виду.

Определить тип уравнения и привести его к каноническому виду.

§2. Упрощение группы младших производных

для уравнений второго порядка с постоянными коэффициентами

2. 1. Необходимый теоретический материал

В самом общем виде линейное уравнение с частными производными второго порядка с двумя независимыми переменными имеет вид

(1)

Преобразованием независимых переменных группа старших производных уравнения может быть упрощена. Уравнение (1) приводится к одному из следующих видов

· в случае уравнения гиперболического типа:

; (11)

· в случае уравнения параболического типа:

; (12)

· в случае уравнения эллиптического типа:

. (13)

Если коэффициенты исходного уравнения постоянны, то для дальнейшего упрощения уравнения любого типа нужно сделать замену неизвестной функции

, (14)

где - новая неизвестная функция, - параметры, подлежащие определению. Такая замена не «испортит» канонического вида, но при этом позволит подобрать параметры так, чтобы из трех слагаемых группы младших производных в уравнении осталось только одно. Уравнения гиперболического, параболического и эллиптического типов соответственно примут вид

;

;

.

Чтобы реализовать замену (14) в уравнениях (11), (12), (13), необходимо пересчитать все производные, входящие в эти уравнения по формулам

(15)

Подробно рассмотрим этот процесс на примере уравнения гиперболического типа, т. е. уравнения (11). Пересчитаем производные, входящие в это уравнение, используя формулы (15).

Здесь слева расставлены соответствующие коэффициенты уравнения (11). Собирая подобные слагаемые, получим

. (16)

В уравнении (16) приравняем к нулю коэффициенты при и

Откуда Подставив эти значения параметров в уравнение (16) и разделив его на , придем к уравнению

,

где .

2.2. Пример выполнения задачи 4

к каноническому виду и упростить группу младших производных.

9. Определим коэффициенты :

10. Вычислим выражение :

.

11. уравнение эллиптического типа во всей плоскости XOY.

12. Запишем уравнение характеристик:

. (18)

5. Решим уравнение (18). Для этого:

а) разрешаем уравнение (18) как квадратное уравнение относительно dy: ;

; (19)

б) найдём общие интегралы уравнений (19) (характеристики уравнения (17)):

6. Введём характеристические переменные:

13. Пересчитаем производные, входящие в исходное уравнение.

Используя формулы (7), получим:

Здесь слева написаны коэффициенты уравнения (17) при соответствующих производных.

14. Собирая подобные слагаемые, получим:

(20)

Теперь с помощью замены неизвестной функции (14)

упростим группу младших производных.

Пересчитаем производные, входящие в уравнение (20), используя формулы (15).

Здесь слева расставлены соответствующие коэффициенты уравнения (20). Собирая подобные слагаемые, получим

. (21)

В уравнении (21) приравняем к нулю коэффициенты при и

Откуда Подставив эти значения параметров в уравнение (21) и разделив его на , придем к уравнению

.

Ответ. Уравнение (20) является уравнением эллиптического типа на всей плоскости XOY. Его канонический вид

,

где .

2.3. Задачи для самостоятельного решения

Задача 4. Привести уравнения к каноническому виду и упростить группу младших производных.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

О приведении системы ОДУ к каноническому виду Текст научной статьи по специальности « Математика»

Аннотация научной статьи по математике, автор научной работы — Дуюнова А. А.

Системе обыкновенных дифференциальных уравнений соответствует три-ткань $W(1,n,1)$, образованная двумя $n$-параметрическими семействами кривых и однопараметрическим семейством гиперповерхностей. Рассматривается задача о приведении системы ОДУ к каноническому виду с помощью основного тензора ткани $W(1,n,1)$.

Похожие темы научных работ по математике , автор научной работы — Дуюнова А. А.

On the problem to reduce the system of ODE to a canonical form

A three-web $W(1,n,1)$ consisting of two $n$-parameter families of curves and one-parameter family of hypersurfaces is corresponded to the given system of ordinary differential equations. We consider the problem to reduce the system of ODE to a canonical form using the so-called first structure vector of three-web $W(1,n,1)$.

Текст научной работы на тему «О приведении системы ОДУ к каноническому виду»

ПЕНЗЕНСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО ПЕДАГОГИЧЕСКОГО УНИВЕРСИТЕТА имени В. Г. БЕЛИНСКОГО ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ НАУКИ №26 2011

ИМ, В. Г, Б1ЛИНСК010

PENZENSKOGO GOSUDARSTVENNOGO PEDAGOGICHESKOGO UNIVERSITETA IMENI V.G. BELINSKOGO PHYSICAL AND MATHEMATICAL SCIENCES №26 2011

О ПРИВЕДЕНИИ СИСТЕМЫ ОДУ К КАНОНИЧЕСКОМУ ВИДУ

© А. А. ДУЮНОВА Московский Педагогический Государственный Университет, кафедра геометрии и топологии e-mail: duyunova_anna@mail.ru

Дуюнова А. А. — О приведении системы оду к каноническому виду // Известия ПГПУ им. В. Г. Белинского. 2011. № 26. С. 76—81. — Системе обыкновенных дифференциальных уравнений соответствует три-ткань W(l,n, 1), образованная двумя п-параметрическими семействами кривых и однопараметрическим семейством гиперповерхностей. Рассматривается задача о приведении системы ОДУ к каноническому виду с помощью основного тензора ткани W (1,n, 1).

Ключевые слова: три-ткань, система обыкновенных дифференциальных уравнений

Duyunova A. A. — On the problem to reduce the system of ODE to a canonical form // Izv. Penz. gos. pedagog. univ. im.i V.G. Belinskogo. 2011. № 26. P. 76—81. — A three-web W(1,n, 1) consisting of two п-parameter families of curves and one-parameter family of hypersurfaces is corresponded to the given system of ordinary differential equations. We consider the problem to reduce the system of ODE to a canonical form using the so-called first structure vector of three-web W (1,n, 1).

Keywords: three-web, system of ordinary differential equations

Введение. Вопрос о приведении линейной системы ОДУ с постоянными коэффициентами к каноническому виду рассматривается, например, в [1]. Аналогично исследуется задача о приведении к каноническому виду системы линейных уравнений с частными производными первого порядка от двух независимых переменных [2]. Мы рассмотрим вопрос о приведении системы ОДУ к некоторому каноническому виду, используя геометрический подход.

Как показано в [3], с системой обыкновенных дифференциальных уравнений

— = fг (t,x\. xn) , i,j. = 1, 2. n, (1)

связан адекватный геометрический объект — три-ткань W(1, п, 1), образованная на гладком многообразии переменных x*,t размерности п + 1 двумя n-параметрическими семействами кривых и однопараметрическим семейством гиперповерхностей: x* = const, t = const и интегральными кривыми системы (1). В [3] были найдены структурные уравнения ткани W (1,п, 1) и было показано, что в первой дифференциальной окрестности этой ткани возникает некоторый вектор ^“, и = 1, 2. ,п — 1, названный первым структурным вектором ткани W (1,п, 1) или соответствующей системы ОДУ.

Системы ОДУ (1) мы рассматриваем с точностью до гладких замен переменных вида x* = x*(xj), t = t(i). Легко проверяется следующее утверждение: если система (1) является автономной, то есть правые

части уравнений не зависят от і, то существует такая замена вида х® = х® (Х), после которой п — 1 уравнений системы примут вид ¿х® = 0. В этом случае первый структурный вектор тождественно равен нулю. В настоящей работе мы показываем, что если компоненты вектора некоторой не автономной системы не зависят от переменной і, то можно перейти к новым переменным х®, в которых одна из компонент тензора станет равной единице, а остальные будут равными нулю. При этом система ОДУ примет некоторый специфический вид, который назван каноническим.

1. Пусть М — гладкое многообразие размерности п + 1. Рассмотрим на нем три-ткань Ш (1,п, 1), заданную двумя семействами кривых Аі, Аз и одним семейством гиперповерхностей А2. Следуя [3], обозначим Тр(М) касательное пространство к многообразию М в точке р, а Тр(^"а), а = 1, 2, 3, — касательные пространства к слоям Та ткани Ш в этой точке. Рассмотрим в точке р многообразие реперов <е®, е„+і>,

і,_?’. = 1, 2. п, первые п векторов которых лежат в Тр(^2), вектор еп+і в Тр(^і), а вектор еп — еп+і

— в Тр(Р3). Согласно [3], в описанном репере семейства Аа ткани Ш(1,п, 1) задаются следующими уравнениями Пфаффа:

А3 : ши = 0, + ш"+і = 0,

где <и®, и”+1>— двойственный корепер, и, V, т = 1, 2. п — 1. Введенные формы удовлетворяют следующим структурным уравнениям:

¿и” = и“ Л и” + и” Л и”, (3)

Допустимы замены корепера, при которых сохраняется вид уравнений, определяющих слоения ткани (см. (2)):

и“ = а“и", и” = а”и" + аи”, ии+1 = аи"+1 ёе^а“) =0, а = 0.

При этих заменах величины ^и преобразуются по тензорному закону:

В соответствии с [4], величины у«и образуют первый структурный вектор ткани Ш (1,п, 1).

Первое дифференциальное продолжение уравнений (1) имеет вид [3]:

¿ш“1 = ш“ Л ш“ + миш? л ш”+і + Л ш”+і — ш“ Л ш. ¿ш” = ши Л ш” + ш” Л ш” + іиш” Л ш”+і — ш“ Л ш”,

¿ш” = ^ишИ+і Л ш” + іиши Л ш”+і + ¿„ш” Л ш”+і,

^и = — ^ ш“1 + 2Миш” + + к”ш” + ки+іш”+і,

причем формы и”" и и“ш симметричны по нижним индексам. Второе дифференциальное продолжение

уравнений (1) приводит к уравнениям [3]:

w л ч”+1 - h^” л ч"+1 + ” = hU„wV + h”^” + hn„+14n+1, dkU+1 + kn+14U - 3kU+14n - 3,U, ч” =

(hUn+1 - 2MUtv) + (hn„+1 - 2MUt„) ч” + hn+1 „+1Ч"+1.

Здесь величины hUw, mUV, , 4Uws также симметричны по нижним индексам.

В соответствии с [4], совокупность величин образует второй структурный тензор три-ткани W (1,n, 1).

Как было показано в [3], с системой ОДУ (1) связана три-ткань W(1, n, 1), заданная на многообразии переменных ж®,t, состоящая из семейств Аа:

А1 : ж® = const, А2 : t = const, А3 : F®(t, ж1. ж”) = c® = const.

Последнее семейство состоит из интегральных кривых системы уравнений (1). Обратное также верно: всякой три-ткани W (1,n, 1) отвечает некоторая система ОДУ.

Дифференциальные уравнения три-ткани W(1, n, 1), связанной с системой дифференциальных уравнений (1), можно привести к виду (2), если обозначить

^U = f”dxU - fUdx”, ч” = —, ч”+1 = -dt. (7)

Структурные уравнения такой ткани должны иметь вид (1), причем компоненты тензоров ткани W(1, n, 1) также должны выражаться через функции f ®, определяющие систему ОДУ. Соответствующие уравнения найдены в [3]. В частности, для компонент первого структурного вектора получено выражение:

Этот тензор будем называть также первым структурным вектором системы ОДУ (1).

Геометрический смысл обращения в нуль первого структурного вектора выясняется в следующем утверждении.

Теорема 1. Условие ^и =0 необходимо и достаточно для того, чтобы многообразие М ткани Ш(1, п, 1) расслаивалось на двумерные подмногообразия, несущие слои первого и третьего слоений этой ткани. Поверхности V являются многообразиями абсолютного параллелизма относительно канонической связности тогда и только тогда, когда выполняется еще и условие ш” = 0. В последнем случае (и только в этом) соответствующая система ОДУ является автономной.

2. Лемма. Пусть система ОДУ задана в виде (1). В случае если величины ^и не зависят от і и только в этом случае, существуют локальные координаты х® и і, в которых первый структурный вектор этой системы имеет следующие компоненты:

/ = 1, = 0 и = 2, 3. ., п — 1. (9)

□ Система ОДУ и соответствующая три-ткань рассматриваются с точностью до замены переменных х® = х®(х5), і = і(ї), причем при этих преобразования вид уравнений ткани (2), (1), (2), (3) не изменится. Рассмотрим замену переменных хи = хи(х^), х” = х”, Ї = Ь, det = 0. Дифференцируя, получим:

Используя (8), находим выражения для компонент первого структурного вектора в новых координатах:

йи = /и / _ /” /и = дхи г/ _ г 1 ґдхи г М г дЬ г дЬ дх^г дЬ г дА дх^г

= дхи г д/П_ г дх“ / = дх“.« (10)

Пусть теперь, в соответствии с (9), Д1 = 1, Д“ = 0. Тогда, дифференцируя (10) по £, получим

Так как матрица (§§т) является невырожденной, то отсюда следует

то есть величины д“ не зависят от ¿.

Обозначим через (§§¡7) обратную матрицу к матрице (§§т), тогда из последних уравнений находим

Таким образом, искомые функции х“ = х“(Х!) должны удовлетворять уравнениям (12), а эта система всегда имеет решение. Значит, найдется замена переменных х“ = х“(х!), приводящая вектор д“ к виду

Системы ОДУ, для которых выполняется условие (12), назовем предавтономными, а переменные х® и £, в которых первый структурный вектор такой системы имеет вид (9), назовем каноническими.

В силу (11) из (8) получим уравнения, определяющие предавтономные системы:

Продифференцировав по £, получим уравнение /“ /¿*4 — /п /“ = 0. Отсюда вытекает

Предложение. Система (1) является предавтономной тогда и только тогда, когда функции /® явля-

ются решениями дифференциального уравнения вида

где р(х, £) — произвольная гладкая функция. В этом и только в этом случае каждая из переменных х®, системы (1) удовлетворяет дифференциальному уравнению третьего порядка

3. Найдем вид предавтономной системы ОДУ (1) в канонических координатах. В силу условий = 1, =0 из (8) следует:

/ / — Г/1 = 1, Г /” — // = 0. (16)

Интегрирование второго уравнения (16) дает

fu(t,x\ . xn) = fn(t, x1. xn)gu(x1. ,xn). Проинтегрируем первое уравнение (16). Положим f1 = afn, тогда имеем:

- fn (fn ^ = afnfn - fn (f + f = - (fn)2 % = 1,

Положим a = ctg y, тогда

f 1 = ctg у = cos у = sin^ (17)

V(- ctg ‘¿Oí Vyí , Vyí ,

✓ ко , n 9 sin9 у cos9 у 1

Таким образом, в канонических переменных предавтономная система (1) имеет следующий канонический вид:

dxu й -— = gu (x), dxn v A

4. Выясним геометрический смысл величины у входящей в уравнения (17). Будем считать, что пространство переменных х® и t является евклидовым с некоторым фиксированным ортонормирован-ным базисом £®, £„+1, г, j = 1, 2. n. С другой стороны, с три-тканью W(1, n, 1) связан подвижной репер e®, en+i, дуальный базису форм w®, w„.

Лемма. Векторы фиксированного и подвижного репера связаны соотношениями

eu £u en f' ^, е„+1 е„+1. (21)

□ Произвольный касательный вектор Z в каждом из базисов записывается следующим образом:

Z = dx®£® + dte„+i = w®e® + wn+1e„+i. (22)

Пусть, например, Z касается линии первого слоения ткани W(1,n, 1). Так как первое слоение, с одной стороны, задается уравнениями х® = const, а с другой — уравнениями w® = 0 (см. (2)), то из (10) с учетом (7) получаем

С dt£n+1 w en+1 dten+b

откуда следует e„+1 = -£„+1.

Пусть теперь Z касается линии третьего слоения ткани W(l,n, 1) — интегральной кривой системы (1). Так как третье слоение, с одной стороны, задается системой (1), а с другой — уравнениями w“ = 0, w” + wn+1 = 0 (см. (2)), то из (10) получаем

С = dt(/*£¿ + £n+i) = w”+1 (—е„ + e„+i) .

С учетом (7) и уже найденного соотношения это равенство примет вид dt/= dten, откуда en = /. Аналогично, рассматривая второе слоение, получим равенства e„ = fn є„. □

Условия (11) означают, что базисный вектор ei совпадает с направлением основного структурного вектора ткани W(1,n, 1), то есть имеет инвариантное направление. Вектор en также имеет инвариантное направление, поскольку является проекцией касательного вектора к линии третьего слоения ткани W(1, n, 1) на касательное пространство к слою из второго слоения этой ткани. Из соотношений (21) вытекает, что эти инвариантные направления определяются также векторами Єї и /® є® соответственно. Далее, из инвариантности направления єї вытекает инвариантность ортогонального дополнения, определяемого векторами Є“, єп (и = 2, 3. n — 1). Проектируя вектор /® є® на это ортогональное направление, получим инвариантное направление /“ Єд + /” єп. Направление єп, не является, вообще говоря, инвариантным.

Рассмотрим вектор Z(/1,0. 0, /”, 0) — проекцию инвариантного вектора /® є® на подпространство, определяемое базисными векторами єї и єп. Пронормировав его, получим единичный вектор

Следовательно, координатами этого вектора будут (cos а, 0. 0, sin а, 0), где а — угол между вектором Z и є1, то есть

/1 /” cos а = —, , sin а = —, .

Отсюда, используя (17) и (18), находим, что а = p. Доказано

Предложение. Пусть предавтономная система ОДУ приведена к каноническому виду (19), тогда адаптированный репер соответствующей ткани W (1, n, 1) выбран таким образом, что проекция инвариантного вектора /® є® на подпространство, определяемое базисными векторами є1 и єп, образует угол p с первым структурным вектором этой ткани.

1. Петровский И. Г. Лекции по теории обыкновенных дифференциальных уравнений / Под ред. Мыш-киса А. Д., Олейник О. А. М.: МГУ, 1984. 296 с.

2. Петровский И. Г. Лекции об уравнениях с частными производным. М.: МГУ, 1961. 401 с.

3. Дуюнова А. А. Три-ткани, определяемые системой обыкновенных дифференциальных уравнений// Фундаментальная и прикладная математика. 2010. Т. 16. № 2. С. 13-31.

4. Акивис M. А., Гольдберг В. В. О многомерных три-тканях, образованных поверхностями разных размерностей// Тр. геометр. сем. (ВИНИТИ АН СССР) № 4. С. 179-204.