Элементарные преобразования многочленных матриц (λ-матриц)
Элементарными преобразованиями λ -матрицы называются следующие ее преобразования:
I. Перестановка двух столбцов (строк) матрицы.
II. Умножение всех элементов одного столбца (строки) матрицы на одно и то же число, отличное от нуля.
Матрица , полученная из исходной матрицы конечным числом элементарных преобразований, называется эквивалентной. Это обозначается .
Напомним, что многочлен называется общим делителем отличных от нуля многочленов и , если каждый из них делится на без остатка. Общий делитель максимальной степени (со старшим коэффициентом, равным единице) называется наибольшим общим делителем. У любых ненулевых многочленов существует единственный наибольший общий делитель. Понятия общего делителя и наибольшего общего делителя распространяются на любое конечное число многочленов. В частности, если один из многочленов тождественно равен единице, то он является наибольшим общим делителем.
При помощи элементарных преобразований λ -матрицу можно привести к диагональному виду. Алгоритм повторяет в общих чертах метод Гаусса, но имеются некоторые отличия при выборе ведущего элемента.
Алгоритм приведения многочленной матрицы к диагональному виду
1. В λ -матрице выбрать отличный от нуля элемент наименьшей степени (ведущий элемент). Если имеется несколько элементов наименьшей степени, то среди них выбирается любой. Переставить (при необходимости) два столбца и две строки так, чтобы ведущая строка и ведущий столбец, на пересечении которых стоит ведущий элемент, оказались на месте первой строки и первого столбца (преобразование I типа). Ведущий элемент при этом окажется в левом верхнем углу рассматриваемой матрицы.
Если все элементы ведущего столбца и ведущей строки, за исключением ведущего элемента, равны нулю, то этот столбец и эту строку следует исключить из рассмотрения и продолжить поиск ведущего элемента в оставшейся части матрицы. Преобразования заканчиваются, если исключены все столбцы и строки, или в оставшейся части матрицы все элементы нулевые, или в оставшейся части матрицы имеется только один элемент.
Если все элементы ведущего столбца и ведущей строки делятся без остатка на ведущий элемент, то перейти к пункту 3.
Если не все элементы ведущего столбца и ведущей строки делятся на ведущий элемент, то степень ведущего элемента нужно понизить, переходя к пункту 2.
2. Если в первом столбце имеется элемент , который не делится на ведущий элемент , то представить этот элемент в виде , где остаток и степень меньше, чем степень многочлена . Прибавить к i-й строке первую строку, умноженную на многочлен , при этом получить на месте элемента многочлен . Перейти к выбору ведущего элемента, т.е. к пункту 1. Поступить аналогично, если в первой строке есть элемент, который не делится на ведущий (использовать то же представление и преобразование столбцов).
3. К каждой строке, расположенной ниже ведущей, прибавить ведущую строку, умноженную соответственно на такой многочлен, чтобы элементы, стоящие под ведущим оказались равными нулю (преобразование III типа). Аналогично, к каждому столбцу, расположенному правее ведущего прибавить ведущий столбец, умноженный соответственно на такой многочлен, чтобы элементы, стоящие правее ведущего, оказались равными нулю (преобразование III типа).
4. Исключив из рассмотрения строку и столбец, на пересечении которых стоит ведущий элемент, перейти к пункту 1, в котором все описанные действия применить к оставшейся части матрицы.
Пример 7.5. Привести λ -матрицы к диагональному виду
Решение. Матрица . 1. Наименьшую степень имеет элемент . Выбираем его в качестве ведущего. Все элементы ведущего (первого) столбца и ведущей (первой) строки делятся на ведущий элемент. Поэтому переходим к пункту 3 алгоритма.
3. Ко второй строке прибавим первую, умноженную на
Ко второму столбцу прибавим первый, умноженный на
4. Исключим из рассмотрения первый столбец и первую строку. Оставшаяся часть матрицы состоит из одного элемента. Преобразования закончены, матрица приведена к диагональному виду.
Матрица . 1(1). В качестве ведущего элемента выбираем . Первый столбец и первая строка матрицы — ведущие. Так как элемент не делится на ведущий без остатка, то переходим к пункту 2 алгоритма.
2. Разделим многочлен на
Прибавим ко второй строке первую, умноженную на
Возвращаемся к пункту 1.
1(2). Выбираем элемент наименьшей степени (единицу) в качестве ведущего. Меняем местами первую и вторую строки:
Все элементы ведущего (первого) столбца и ведущей (первой) строки делятся на ведущий элемент. Поэтому переходим к пункту 3 алгоритма.
3. Прибавляем ко второй строке первую, умноженную на , а затем ко второму столбцу прибавляем первый, умноженный на
4. Исключаем из рассмотрения первую строку и первый столбец матрицы. Переходим к пункту 1 алгоритма.
1(3). Поскольку в оставшейся части матрицы имеется только один элемент, то преобразования надо закончить — матрица приведена к диагональному виду.
Матрица . 1(1). Выбираем в качестве ведущего элемент наименьшей степени. Меняем местами первый и второй столбцы:
Все элементы ведущего (первого) столбца и ведущей (первой) строки делятся на ведущий элемент. Поэтому переходим к пункту 3 алгоритма.
3(1). Ко второй строке прибавляем первую, умноженную на , а затем ко второму столбцу прибавляем первый, умноженный на
4(1). Исключаем первую строку и первый столбец из рассмотрения и переходим к пункту 1.
1(2). В оставшейся части матрицы выбираем ненулевой элемент наименьшей степени, который равен единице. Меняем местами второй и третий столбцы:
Все элементы ведущей (второй) строки и ведущего (второго) столбца делятся на ведущий элемент (на 1). Поэтому переходим к пункту 3 алгоритма.
3(2). К третьей строке прибавляем вторую, умноженную на , а затем к третьему столбцу прибавляем второй, умноженный на
4(2). Исключаем второй столбец и вторую строку из рассмотрения. Переходим к пункту 1 алгоритма.
1(3). Так как в оставшейся части матрицы имеется единственный элемент, преобразования заканчиваются, матрица приведена к диагональному виду.
1. Диагональный вид λ -матрицы — не единственный. Он зависит от выбранной последовательности элементарных преобразований. Напомним, что простейший вид числовой матрицы определяется единственным образом, несмотря на разные последовательности используемых элементарных преобразований. Для λ -матриц можно уточнить понятие диагонального вида так, чтобы оно отвечало условию единственности. Нормальным диагональным видом λ -матриц n-го порядка называется диагональная матрица
у которой все многочлены, стоящие на главной диагонали, имеют старшие коэффициенты, равные единице; причем многочлен делится на , делится на и т.д. делится на . Количество г ненулевых многочленов больше нуля, так как рассматриваются ненулевые λ -матрицы, и не превосходит порядка матрицы, т.е. .
2. Чтобы привести λ -матрицу к нормальному диагональному виду, нужно сначала привести матрицу к диагональному виду:
Элемент выбираем в качестве ведущего (если старший коэффициент этого многочлена не равен единице, то разделить на него многочлен). Если среди диагональных элементов есть элемент, например, , который не делится на ведущий элемент, степень ведущего элемента можно понизить. Для этого прибавляем i-й столбец к ведущему (первому) столбцу, а затем переходим к пункту 2 алгоритма приведения λ -матрицы к диагональному виду.
Если все диагональные элементы делятся на , то, исключив первую строку и первый столбец, следует продолжить преобразования с оставшейся частью диагональной матрицы. Преобразования заканчиваются, если в диагональной матрице остался один ненулевой элемент.
3. Алгоритм приведения λ -матрицы к нормальному диагональному виду отличается от соответствующего алгоритма приведения числовой матрицы к простейшему виду выбором ведущего элемента. Необходимо, чтобы ведущий элемент оказался делителем всех элементов ведущей строки и ведущего столбца (либо всех диагональных элементов, если λ -матрица диагональная). Для этого метод Гаусса дополняется приемами понижения степени ведущего элемента. Действительно, понижая степень многочлена, обязательно получим многочлен, на который делятся другие. В крайнем случае, получим многочлен нулевой степени (отличную от нуля постоянную величину), на который делятся все многочлены.
4. Для λ -матриц, как и для числовых, преобразования, обратные к элементарным, являются элементарными.
5. Элементарные преобразования числовых матриц можно представить как умножение на элементарные матрицы. Аналогичным образом, λ -матрицу, полученную из единичной матрицы при помощи конечного числа элементарных преобразований, назовем элементарной λ -матрицей. Тогда совокупность элементарных преобразований, приводящих матрицу к нормальному диагональному виду, можно представить как умножение данной λ -матрицы слева и справа на элементарные матрицы. Другими словами, справедливо утверждение: для любой λ -матрицы n-го порядка существуют такие элементарные преобразующие матрицы и n-го порядка, что матрица
имеет простейший вид (7.9): .
Согласно пункту 4 элементарные матрицы имеют обратные, поэтому (7.10) равносильно равенству . Для нахождения элементарных матриц и нужно, приписав к данной матрице справа и снизу единичные матрицы, составить блочную матрицу Элементы правого нижнего блока этой матрицы можно не указывать, так как они не участвуют в дальнейших преобразованиях. Затем при помощи элементарных преобразований, выполняемых над строками и столбцами блочной матрицы, привести ее левый верхний блок к нормальному диагональному виду (7.9). При этом блочная матрица преобразуется к виду , где — матрица простейшего вида (7.9), эквивалентная матрице , а и — искомые преобразующие матрицы, связанные с матрицей равенством (7.10).
6. Если λ -матрицы и эквивалентны, то существуют такие обратимые λ -матрицы и , что .
Пример 7.6. Привести λ -матрицы к нормальному диагональному виду
Для матрицы найти элементарные преобразующие λ -матрицы и , приводящие ее к виду (7.9).
Решение. Матрица . Приписываем к матрице справа и снизу единичные матрицы второго порядка Приводим блок к диагональному виду (см. пример 7.5):
Полученный диагональный вид не является нормальным, так как двучлен не делится на . Продолжаем преобразования согласно пункту 2 замечаний 7.4. Прибавляем к первому столбцу второй. Затем, согласно пункту 2 алгоритма приведения λ -матрицы к диагональному виду, разделим многочлен на и получим частное . Прибавляем ко второй строке первую, умноженную на —
Теперь ведущий элемент равен единице. Поэтому меняем местами первую и вторую строки, а затем ко второй строке прибавляем первую, умноженную на
Прибавляя ко второму столбцу первый, умноженный на , получаем
Матрица приведена к нормальному диагональному виду (7.9), где . Элементарные преобразующие λ -матрицы выписываем, из соответствующих блоков
Проверим равенство (7.10), умножив матрицу на элементарные преобразующие λ -матрицы и
Равенство выполняется. Заметим, что полученные матрицы и обратимы, так как .
Матрица . Приводим матрицу к диагональному виду (см. пример 7.5):
Этот вид является нормальным, поскольку многочлен делится на многочлен .
Матрица . Приводим матрицу к диагональному виду (см. пример 7.5):
Этот вид является нормальным, так как многочлен делится на , а делится на .