Приведение уравнений квадрик к каноническому виду

Приведение уравнения квадрики к каноническому виду.

Пространство Аn(i) было получено путем вложения действительного аффинного пространства Аn в комплексное аффинное пространство Аn(C). Теперь мы модифицируем пространство Аn(i), превратив аффинное пространство Аn в точечное евклидово пространство Еn.

Определение 4.1. Пространство Аn(i), в котором действительная часть Аn превращена в евклидово точечное пространство Еn, будем называть комплексной оболочкой пространства Еn и обозначать Еn(i).

Пусть в пространстве Еn(i) в ортонормированном репере (О, i1, i2, …,in) (1)

задано уравнение квадрики Ф: (2)

Упростим уравнение квадрики (2) с помощью подходящего выбора

ортонормированного репера. Согласно теореме, существует преобразование

(3) где — действительная ортогональная матрица,

приводящее квадратичную форму к виду где — собственные значения матрицы.

Будем рассматривать равенства (3) как формулы преобразования координат, соответствующего переходу от репера (1) к новому ортонормированному реперу

. (4)

Подставляя выражения xi из формул (3) в уравнение (2) и приводя подобные

члены, получаем уравнение квадрики (2) в новых координатах:

(5)

Определение 4.2. Ортонормированный репер, в котором квадрика задается уравнением (5), не содержащим произведений различных координат, называется репером главных направлений этой квадрики.

С помощью параллельного переноса репера и изменения нумерации координат можно привести уравнение (5) к виду (6)

Пусть т.е. уравнение (6) имеет вид (7)

Если введём обозначения

Тогда уравнение (7) примет вид (8)

Если в уравнении (7) b=0,то уравнение можно представить в виде (9)

Пусть теперь в уравнении (6) тогда можно перейти к новому ортонормированному реперу так, чтобы в уравнении (6) избавиться от первых степеней всех координат, кроме одной. В самом деле, в пространстве всех действительных строк длинны n со скалярным произведением система строк

где , является ортонормированной. Следовательно, она может быть дополнена до ортонормированного базиса (10)

где

Рассмотрим теперь преобразование координат :

(11)

Так как репер (10) ортонормирован, то матрица преобразования (11)

Ортогональна и это преобразование соответствует переходу к новому

ортонормированному реперу. В этом репере уравнение квадрики имеет вид (12) где

Определение 4.3. Уравнения (8), (9),(12) называются каноническими уравнениями квадрик в пространстве Еn(i).

Таким образом, имеет место

Теорема 4.1. Любая квадрика пространства Еn(i)может быть задана в подходящем ортонормированном репере каноническим уравнением.

Приведение кривой второго порядка к каноническому виду

Пример . Дано уравнение кривой 3x 2 +10xy+3y 2 -2x-14y-13=0 в системе координат (0,i,j), где i =(1,0) и j =(0,1).
1. Определить тип кривой.
2. Привести уравнение к каноническому виду и построить кривую в исходной системе координат.
3. Найти соответствующие преобразования координат.

Решение. Приводим квадратичную форму B=3x 2 +10xy+3y 2 к главным осям, то есть к каноническому виду. Матрица этой квадратичной формы . Находим собственные числа и собственные векторы этой матрицы:

Характеристическое уравнение:
; λ₁=-2, λ₂=8. Вид квадратичной формы: .
Исходное уравнение определяет гиперболу.
Заметим, что вид квадратичной формы неоднозначен. Можно записать 8x₁ 2 -2y₁ 2 , однако тип кривой остался тот же – гипербола.
Находим главные оси квадратичной формы, то есть собственные векторы матрицы B. .
Собственный вектор, отвечающий числу λ=-2 при x₁=1: x ₁=(1,-1).
В качестве единичного собственного вектора принимаем вектор , где – длина вектора x ₁.
Координаты второго собственного вектора, соответствующего второму собственному числу λ=8, находим из системы
.
x ₂=(1,1); .
Итак, имеем новый ортонормированный базис ( i ₁, j ₁).
По формулам (5) пункта 4.3.3. переходим к новому базису:
или

Задание. Привести к каноническому виду уравнение линии 17x 2 + 12xy + 8y 2 — 20 = 0.
Решение.Пример 2

Задание. Привести к каноническому виду уравнение линии второго порядка, используя теорию квадратичных форм и определить её вид. Уравнение кривой второго порядка путем выделения полного квадрата привести к каноническому виду. Решение

Задание. Привести уравнение к каноническому виду: 16x 2 — 9y 2 -64x — 8y +199 = 0.
Решение.Скачать решение

Задание. Установить, что каждое из следующих уравнений определяет гиперболу, и найти координаты ее центра С, полуоси, эксцентриситет, уравнения асимптот и уравнения директрис. Изобразить гиперболу на чертеже, указав фокусы, асимптоты и директрисы.
Решение:Скачать решение

Задание. Установить, что каждое из следующих уравнений определяет эллипс, и найти координаты его центра С, полуоси, эксцентриситет, уравнения директрис. Изобразить эллипс на чертеже, указав оси симметрии, фокусы и директрисы.
Решение:Скачать решение

76. Приведение квадратичных форм к каноническому виду

Рассмотрим некоторое линейное преобразование А с матрицей .

Это симметрическое преобразование можно записать в виде:

Y1 = a11x1 + a12x2

Y2 = a12x1 + a22x2

Где у1 и у2 – координаты вектора в базисе .

Очевидно, что квадратичная форма может быть записана в виде

Ф(х1, х2) = х1у1 + х2у2.

Как видно, геометрический смысл числового значения квадратичной формы Ф в точке с координатами х1 и х2 – скалярное произведение .

Если взять другой ортонормированный базис на плоскости, то в нем квадратичная форма Ф будет выглядеть иначе, хотя ее числовое значение в каждой геометрической точке и не изменится. Если найти такой базис, в котором квадратичная форма не будет содержать координат в первой степени, а только координаты в квадрате, то квадратичную форму можно будет привести к каноническому виду.

Если в качестве базиса взять совокупность собственных векторов линейного преобразования, то в этом базисе матрица линейного преобразования имеет вид:

.

При переходе к новому базису от переменных х1 и х2 мы переходим к переменным и . Тогда:

Тогда .

Выражение называется Каноническим видом квадратичной формы. Аналогично можно привести к каноническому виду квадратичную форму с большим числом переменных.

Теория квадратичных форм используется для приведения к каноническому виду уравнений кривых и поверхностей второго порядка.

Пример. Привести к каноническому виду квадратичную форму

Ф(х1, х2) = 27.

Коэффициенты: а11 = 27, а12 = 5, а22 = 3.

Составим характеристическое уравнение: ;

(27 — l)(3 — l) – 25 = 0

Пример. Привести к каноническому виду уравнение второго порядка:

17×2 + 12xy + 8y2 – 20 = 0.

Коэффициенты а11 = 17, а12 = 6, а22 = 8. А =

Составим характеристическое уравнение:

(17 — l)(8 — l) — 36 = 0

136 — 8l — 17l + l2 – 36 = 0

L2 — 25l + 100 = 0

Итого: — каноническое уравнение эллипса.

Пример. Используя теорию квадратичных форм, привести к каноническому виду уравнение линии второго порядка. Схематично изобразить график.

Решение: Составим характеристическое уравнение квадратичной формы : при

Решив это уравнение, получим l1 = 2, l2 = 6.

Найдем координаты собственных векторов:

Полагая m1 = 1, получим n1 =

Полагая m2 = 1, получим n2 =

Собственные векторы:

Находим координаты единичных векторов нового базиса.

Имеем следующее уравнение линии в новой системе координат:

Каноническое уравнение линии в новой системе координат будет иметь вид:

Пример. Используя теорию квадратичных форм, привести к каноническому виду уравнение линии второго порядка. Схематично изобразить график.

Решение: Составим характеристическое уравнение квадратичной формы : при

Решив это уравнение, получим l1 = 1, l2 = 11.

Найдем координаты собственных векторов:

Полагая m1 = 1, получим n1 =

Полагая m2 = 1, получим n2 =

Собственные векторы:

Находим координаты единичных векторов нового базиса.

Имеем следующее уравнение линии в новой системе координат:

Каноническое уравнение линии в новой системе координат будет иметь вид:

Пример. Используя теорию квадратичных форм, привести к каноническому виду уравнение линии второго порядка. Схематично изобразить график.

4ху + 3у2 + 16 = 0

Коэффициенты: a11 = 0; a12 = 2; a22 = 3.

Характеристическое уравнение:

Корни: l1 = -1, l2 = 4.

Для l1 = -1 Для l2 = 4

M1 = 1; n1 = -0,5; m2 = 1; n2 = 2;

= (1; -0,5) = (1; 2)

Получаем: — каноническое уравнение гиперболы.

При использовании компьютерной версии “Курса высшей математики” возможно запустить программу, которая решает рассморенные выше примеры для любых начальных условий.

Для запуска программы дважды щелкните на значке:

В открывшемся окне программы введите коэффициенты квадратичной формы и нажмите Enter.

Примечание: Для запуска программы необходимо чтобы на компьютере была установлена программа Maple (Ó Waterloo Maple Inc.) любой версии, начиная с MapleV Release 4.