Приведение уравнения к общему знаменателю 8 класс

Решение уравнений с переменной в знаменателе дроби

Вы будете перенаправлены на Автор24

Уравнения, содержащие переменную в знаменателе можно решать двумя способами:

Приведя дроби к общему знаменателю

Используя основное свойство пропорции

Вне зависимости от выбранного способа необходимо после нахождения корней уравнения выбрать из найденных допустимые значения, т.е те, которые не обращают знаменатель в $0$.

1 способ. Приведение дробей к общему знаменателю.

Решение:

1.Перенесем дробь из правой части уравнения в левую

Для того чтобы правильно это сделать, вспомним, что при перенесении элементов в другую часть уравнения меняется знак перед выражениями на противоположный. Значит, если в правой части перед дробью был знак «+», то в левой перед ней будет знак «-».Тогда в левой части получим разность дробей.

2.Теперь отметим что у дробей разные знаменатели, значит для того, чтобы составить разность необходимо привести дроби к общему знаменателю. Общим знаменателем будет произведение многочленов, стоящих в знаменателях исходных дробей: $(2x-1)(x+3)$

Для того чтобы получить тождественное выражение, числитель и знаменатель первой дроби необходимо умножить на многочлен $(x+3)$, а второй на многочлен $(2x-1)$.

Выполним преобразование в числителе первой дроби-произведем умножение многочленов. Вспомним , что для этого необходимо умножить первое слагаемое первого многочлена умножить на каждое слагаемое второго многочлена, затем второе слагаемое первого многочлена умножить на каждое слагаемое второго многочлена и результаты сложить

\[\left(2x+3\right)\left(х+3\right)=2х\cdot х+2х\cdot 3+3\cdot х+3\cdot 3=<2х>^2+6х+3х+9\]

Приведем подобные слагаемые в полученном выражении

\[\left(2x+3\right)\left(х+3\right)=2х\cdot х+2х\cdot 3+3\cdot х+3\cdot 3=<2х>^2+6х+3х+9=\] \[<=2х>^2+9х+9\]

Выполним аналогично преобразование в числителе второй дроби-произведем умножение многочленов

$\left(x-5\right)\left(2х-1\right)=х\cdot 2х-х\cdot 1-5\cdot 2х+5\cdot 1=<2х>^2-х-10х+5=<2х>^2-11х+5$

Тогда уравнение примет вид:

Теперь дроби с одинаковым знаменателем, значит можно производить вычитание. Вспомним, что при вычитании дробей с одинаковым знаменателем из числителя первой дроби необходимо вычесть числитель второй дроби, знаменатель оставить прежним

Преобразуем выражение в числителе. Для того, чтобы раскрыть скобки, перед которыми стоит знак «-» надо изменить все знаки перед слагаемыми , стоящими в скобках на противоположные

Приведем подобные слагаемые

Тогда дробь примет вид

3.Дробь равна $0$, если ее числитель равен 0. Поэтому мы приравниваем числитель дроби к $0$.

Решим линейное уравнение:

4.Проведем выборку корней. Это значит, что необходимо проверить, не обращаются ли знаменатели исходных дробей в $0$ при найденных корнях.

Поставим условие, что знаменатели не равны $0$

Значит допустимы все значения переменных, кроме $-3$ и $0,5$.

Найденный нами корень является допустимым значением, значит его смело можно считать корнем уравнения. Если бы найденный корень был бы не допустимым значением, то такой корень был бы посторонним и ,конечно, не был бы включен в ответ.

Ответ:$-0,2.$

Теперь можем составить алгоритм решения уравнения, которое содержит переменную в знаменателе

Алгоритм решения уравнения, которое содержит переменную в знаменателе

Перенести все элементы из правой части уравнения в левую. Для получения тождественного уравнения необходимо изменить все знаки, стоящие перед выражениями в правой части на противоположные

Если в левой части мы получим выражение с разными знаменателями, то приводим их к общему, используя основное свойство дроби. Выполнить преобразования, используя тождественные преобразования и получить итоговую дробь равную $0$.

Приравнять числитель к $0$ и найти корни получившегося уравнения.

Проведем выборку корней, т.е. найти допустимые значения переменных, которые не обращают знаменатель в $0$.

2 способ. Используем основное свойство пропорции

Основным свойством пропорции является то, что произведение крайних членов пропорции равно произведению средних членов.

Используем данное свойство для решения этого задания

1.Найдем и приравняем произведение крайних и средних членов пропорции.

Решив полученное уравнение, мы найдем корни исходного

2.Найдем допустимые значения переменной .

Из предыдущего решения (1 способ) мы уже нашли , что допустимы любые значения, кроме $-3$ и $0,5$.

Тогда, установив что найденный корень является допустимым значением, мы выяснили, что $-0,2$ будет являться корнем.

Ответ:$-0,2.$

Получи деньги за свои студенческие работы

Курсовые, рефераты или другие работы

Автор этой статьи Дата последнего обновления статьи: 12 05 2021

Как привести дроби к общему знаменателю

Как привести алгебраические (рациональные) дроби к общему знаменателю?

1) Если в знаменателях дробей стоят многочлены, нужно попытаться разложить эти многочлены на множители одним из известных способов.

2) Наименьший общий знаменатель (НОЗ) состоит из всех множителей, взятых в наибольшей степени.

Наименьший общий знаменатель для чисел устно ищем как наименьшее число, которое делится на остальные числа.

3) Чтобы найти дополнительный множитель к каждой дроби, надо новый знаменатель разделить на старый.

4) Числитель и знаменатель первоначальной дроби умножаем на дополнительный множитель.

Рассмотрим примеры приведения алгебраических дробей к общему знаменателю.

Чтобы найти общий знаменатель для чисел, выбираем большее число и проверяем, делится ли оно на меньшее. 15 на 9 не делится. Умножаем 15 на 2 и проверяем, делится ли полученное число на 9. 30 на 9 не делится. Умножаем 15 на 3 и проверяем, делится ли полученное число на 9. 45 на 9 делится, значит, общий знаменатель для чисел равен 45.

Наименьший общий знаменатель состоит из всех множителей, взятых в наибольшей степени. Таким образом, общий знаменатель данных дробей равен 45 bc (буквы принято записывать в алфавитном порядке).

Чтобы найти дополнительный множитель к каждой дроби, надо новый знаменатель разделить на старый. 45bc:(15b)=3c, 45bc:(9c)=5b. Умножаем числитель и знаменатель каждой дроби на дополнительный множитель:

Сначала ищем общий знаменатель для чисел: 8 на 6 не делится, 8∙2=16 на 6 не делится, 8∙3=24 на 6 делится. Каждую из переменных нужно включить в общий знаменатель один раз. Из степеней берем степень с большим показателем.

Таким образом, общий знаменатель данных дробей равен 24a³bc.

Чтобы найти дополнительный множитель к каждой дроби, нужно новый знаменатель разделить на старый: 24a³bc:(6a³c)=4b, 24a³bc:(8a²bc)=3a.

Дополнительный множитель умножаем на числитель и знаменатель:

Многочлены, стоящие в знаменателях данных дробей, нужно разложить на множители. В знаменателе первой дроби — полный квадрат разности: x²-18x+81=(x-9)²; в знаменателе второй — разность квадратов: x²-81=(x-9)(x+9):

Общий знаменатель состоит из всех множителей, взятых в наибольшей степени, то есть равен (x-9)²(x+9). Находим дополнительные множители и умножаем их на числитель и знаменатель каждой дроби:

Многочлены, стоящие в знаменателях, раскладываем на множители. В знаменателе первой дроби выносим за скобки общий множитель x, из второй — 4:

Общий знаменатель состоит из всех множителей, взятых в наибольшей степени, а значит, равен 4x(x-5).

Находим дополнительные множители и умножаем их на числитель и знаменатель:

Необходимость в приведении рациональных дробей к общему знаменателю в алгебре возникает при сложении и вычитании дробей. Как складывать и как вычитать дроби с разными знаменателями, рассмотрим в следующий раз.

Занятие 1. 8 класс. Алгебраические дроби

Занятие 1. 8 класс. Алгебраические дроби.

Алгоритм сложения (вычитания) алгебраических дробей

1. Привести все дроби к общему знаменателю; если они с самого начала имели одинаковые знаменатели, то этот шаг алгоритма опускают.
2. Выполнить сложение (вычитание) полученных дробей с одинаковыми знаменателями.

Пример 1. Выполнить действия:

а) ; б) ; в) .

а) ;

б) ;

в)

.

Самое трудное в приведенном алгоритме — это, конечно, первый шаг: отыскание общего знаменателя и приведение дробей к общему знаменателю.
Для дробей и общим знаменатель есть число 15 — оно делится и на 3 и на 5, является их общим кратным (даже наименьшим общим кратным).

Для дробей и общим знаменателем является одночлен . Он делится и на и на , т. е. на оба одночлена, служащие знаменателями дробей. Обратите внимание: число 12 — наименьшее общее кратное чисел 4 и 6. Переменная входит в знаменатель первой дроби с показателем 2, в знаменатель второй дроби — с показателем 3. Это наибольшее значение показателя 3 фигурирует в общем знаменателе.
Для дробей и общим знаменателем служит произведение — оно делится и на знаменатель и на знаменатель.
При отыскании общего знаменателя приходится, естественно, все заданные знаменатели разлагать на множители (если это не было подготовлено в условии). А далее следует провести работу по этапам: найти наименьшее общее кратное для числовых коэффициентов (речь идет о целочисленных коэффициентах), определить для каждого несколько раз встречающегося буквенного множителя наибольший показатель степени, собрать все это в одно произведение.
Теперь можно оформить соответствующий алгоритм.

Алгоритм отыскания общего знаменателя для нескольких алгебраических дробей

Разложить все знаменатели на множители (числовые коэффициенты, степени переменных, двучлены, трехчлены).
Найти наименьшее общее кратное для числовых коэффициентов, имеющихся в разложениях на множители, составленных на первом шаге.
Составить произведение, включив в него в качестве множителей все буквенные множители разложений, полученных на первом шаге алгоритма. Если некоторый множитель (степень переменной, двучлен, трехчлен) имеется в нескольких разложениях, то его следует взять с показателем степени, равным наибольшему из имеющихся.
Приписать к произведению, полученному на третьем шаге, числовой коэффициент, найденный на втором шаге; в итоге получится общий знаменатель.

Прежде чем двигаться дальше, попробуйте применить этот алгоритм к обоснованию поиска общего знаменателя для алгебраических дробей из примера 1.

Замечание. На самом деле общих знаменателей для двух алгебраических дробей можно найти сколько угодно. Например, для дробей и общим знаменателем может быть и число 30, и число 60, и даже одночлен . Дело в том, что и 30, и 60, и можно разделить как на 3, так и на 5. Для дробей и общим знаменателем, кроме найденного выше одночлена , может быть и и . Чем же одночлен лучше, чем , чем ? Он проще (по виду). Его иногда называют даже не общим знаменателем, а наименьшим общим знаменателем. Таким образом, приведенный алгоритм — это алгоритм отыскания самого простого из общих знаменателей нескольких алгебраических дробей, алгоритм отыскания наименьшего общего знаменателя.

Снова вернемся к примеру 1, а. Чтобы сложить алгебраические дроби и , надо было не только найти общий знаменатель (число 15), но и отыскать для каждой из дробей дополнительные множители, которые позволили бы привести дроби к общему знаменателю. Для дроби таким дополнительным множителем служит число 5 (числитель и знаменатель этой дроби умножили дополнительно на 5), для дроби — число 3 (числитель и знаменатель этой дроби умножили дополнительно на 3). Дополнительный множитель есть частное от деления общего знаменателя на знаменатель данной дроби.

Обычно используют следующую запись:

.

Снова вернемся к примеру 1,6. Общим знаменателем для дробей и является одночлен . Дополнительный множитель для первой дроби равен (поскольку ), для второй дроби он равен 2 (поскольку ). Значит, решение примера 1,6 можно оформить так:

.

Выше был сформулирован алгоритм отыскания общего знаменателя для нескольких алгебраических дробей. Но опыт показывает, что этот алгоритм не всегда бывает понятен учащимся, поэтому мы дадим несколько видоизмененную формулировку.

^ Правило приведения алгебраических дробей к общему знаменателю

Разложить все знаменатели на множители.
Из первого знаменателя выписать произведение всех его множителей, из остальных знаменателей приписать к этому произведению недостающие множители. Полученное произведение и будет общим (новым) знаменателем.
Найти дополнительные множители для каждой из дробей: это будут произведения тех множителей, которые имеются в новом знаменателе, но которых нет в старом знаменателе.
Найти для каждой дроби новый числитель: это будет произведение старого числителя и дополнительного множителя.
Записать каждую дробь с новым числителем и новым (общим) знаменателем.

Пример 2. Упростить выражение .

Решение.
Первый этап. Найдем общий знаменатель и дополнительные множители.
Имеем

Первый знаменатель берем целиком, а из второго — добавляем множитель , которого нет в первом знаменателе. Получим общий знаменатель .