Приведение уравнения конвективного теплообмена к безразмерному виду

Условия подобия процессов конвективного теплообмена

Если систему дифференциальных уравнений и граничные условия привести к безразмерному виду, то число влияющих факторов формально сократится, например число (критерий)
Рейнольдса: соотношение сил инерции и вязкости.
Для нахождения явного вида зависимостей (9) нужны опытные данные. Чтобы результаты опытов на модели можно было перенести на натуру, необходимо, по условию подобия процессов на модели и натуре, выдержать равенство чисел подобия:
.

Условия подобия физических явлений

Если модель изготовлена в масштабе = 1/10, то для одной и той же жидкости на модели и натуре, для соблюдения условий подобия необходимо, чтобы отношение скоростей было = 10, что не всегда можно обеспечить.
Поэтому иногда моделируют процессы на других жидкостях
= 1/10. В теорию подобия внесли большой вклад
Гухман А.А., Кирпичев М.В., Петухов В.С., Михеев М.А. и др.
Приведем систему дифференциальных уравнений и условия однозначности к безразмерному виду одним из способов — методом масштабных преобразований.
Получатся безразмерные величины:

Безразмерное дифференциальное уравнение теплоотдачи

Выразим размерные величины через безразмерные и масштабы отнесения, выбранные из условий однозначности, подставим их в дифференциальные уравнения и граничные условия. Тогда дифференциальное уравнение теплоотдачи примет вид:
После сокращения на и переноса всех размерных величин в левую сторону получим: (1)
где — число Нуссельта (соотношение конвективной теплоотдачи вне пограничного слоя и теплопроводности внутри.

Дифференциальное уравнение энергии для стационарного режима имеет вид:
(2)
Выразим все размерные величины через безразмерные и масштабы отнесения:
Тогда дифференциальное уравнение энергии:
(3)

Безразмерное дифференциальное уравнение энергии

Умножим обе части уравнения (3) на
После сокращений получим безразмерное дифференциальное уравнение энергии Фурье-Кирхгофа (теплопроводности в жидкости): . (4)
Здесь число (критерий) Пекле.

Приведение к безразмерному виду уравнения движения

Дифференциальное уравнение движения Навье-Стокса в проекции на ось х для стационарного режима:
(5)
Умножим обе части уравнения на и вынесем из него только размерные величины:

Числа подобия Рейнольдса, Грасгофа, Эйлера

После сокращений имеем: (6)
В левой части — число (критерий) Рейнольдса
(соотношение сил инерции и вязкости). Умножим первый член правой части уравнения (6) на:
где число (критерий) Грасгофа – соотношение подъемных и вязкостных сил.
Второй член правой части равенства (6) умножим на:
где число (критерий) Эйлера – соотношение сил давления и инерции.

Безразмерное дифференциальное уравнение сплошности (неразрывности)

Тогда безразмерное дифференциальное уравнение движения
Навье-Стокса в проекции на ось х для стационарного режима:
(7)
Проекции уравнения Навье-Стокса на оси y и z не дадут новых чисел подобия, поэтому их не рассматриваем.
Дифференциальное уравнение сплошности (неразрывности)
или
Так как , то безразмерное дифференциальное уравнение сплошности: или (8)

Безразмерные система уравнений и граничные условия

Безразмерная система дифференциальных уравнений конвективного теплообмена:
(9)
Граничные условия I рода:
(10)

Преобразуем число Пекле следующим образом:
где число (критерий) Прандтля – соотношение полей скоростей и температур.
Из безразмерной системы уравнений и граничных условий можно выявить три вида величин:
● независимые переменные —
● постоянные величины —
● зависимые переменные —
Определяемые числа подобия
Определяющие числа подобия

Общий вид решений конвективной теплоотдачи в безразмерном виде

Каждый определяемый критерий подобия является функцией определяющих:
(11)
В безразмерных зависимостях (11) шесть влияющих факторов, по сравнению с двенадцатью — в размерных уравнениях (9)
для (см. Тепломассообмен 10).

Подобными называются явления, которые имеют одинаковую физическую природу и описываются одинаковыми по форме и по содержанию уравнениями.
Бывают следующие виды подобия:
● геометрическое – подобие геометрических фигур;
● тепловое – подобие тепловых потоков и температурных полей;
● кинематическое – подобие движений жидкостей;
● динамическое – подобие сил, вызывающих подобные движения.
Основные понятия о теории подобия можно получить из трех теорем подобия.
I теорема – в подобных явлениях одноименные числа подобия равны:

II и III теоремы подобия физических явлений

II теорема – решение дифференциального уравнения
(системы уравнений) можно представить в виде функции от чисел подобия, полученных из этого уравнения:
IIIтеорема – подобны те явления, условия однозначности которых подобны, а числа подобия, составленные из этих условий однозначности, равны.
Условия однозначности подобны, если в сходственных точках в сходственные моменты времени отношение одноименных величин есть величины постоянные, называемые константами подобия. Одноименные величины – это величины, имеющие одинаковый физический смысл и размерности.

Для геометрического подобия необходимо равенство отношений сходственных сторон: — константа геометрического подобия.

константа теплового константа кинема- подобия; тического подобия.
Сходственные точки – это точки, отвечающие геометрическому подобию А1-А2; В1-В2; С1-С2.
Сходственные моменты времени – имеющие одинаковое начало отсчета, для которых безразмерное время.
Константы подобия нельзя выбирать произвольно, они связаны между собой:
Так как то константы подобия связаны соотношением:

Методы теории подобия

Исходные уравнения и их решение, а также результаты экспериментального изучения конвективного теплообмена принято представлять в виде зависимостей между безразмерными комплексами — критериями (или числами) подобия.

Приведение математического описания процесса и расчетных соотношений к безразмерному виду позволяет выявить условие подобия и сопоставимости процессов, сокращает число переменных и постоянных величин, определяющих процесс; в случае экспериментального исследования позволяет свести к минимуму число величин, которые необходимо варьировать в опытах; указывает компактный и рациональный способ обобщения экспериментальных данных, дает возможность, не решая исходную систему дифференциальных уравнений, анализировать предельные случаи и установить критерии подобия, которые характеризуют наиболее существенные особенности процессов в данных конкретных условиях.

Для приведения функциональной зависимости к безразмерному виду пользуются, в частности, методом масштабных преобразований, состоящим из следующих этапов:

1. для каждой группы однородных величин (имеющих одинаковый физический смысл, одинаковую размерность), в составе которых имеются постоянные, выбирают одну из них в качестве масштаба и приводят эти величины к безразмерному виду (x₁/l₀=X₁; x₂/l₀=X₂; ω₁/ω₀=W₁; ω₂/ω₀=W₂. );
2. в исходные уравнения вместо размерных параметров подставляют их выражения в виде произведения безразмерной величины и соответствующего масштаба (x₁=X₁l₀. x_n=X_nl₀; ω₁=W₁ω₀и т.д.);
3. оставшиеся в уравнениях размерные величины и появившиеся в них масштабы группируют в безразмерные комплексы.

Проведенная процедура позволяет установить совокупность безразмерных критериев, характерных для изучаемого процесса. Эти критерии в общем случае являются мерой относительного влияния действующих сил и процессов переноса (потоков импульса, энергии, массы) на течение жидкости и теплообмен. Так, например, для стационарных процессов конвективного теплообмена в однофазной несжимаемой жидкости с постоянными (кроме плотности) физическими свойствами характерны следующие безмерные числа:

(22)

(23)

выражающие интенсивность теплоотдачи (безразмерные коэффициенты теплоотдачи);
безразмерные координаты точек поверхности теплообмена и линейные размеры

(24)

(25)

характеризующее соотношение сил инерции и сил вязкости в потоке жидкости;

(26)

физический параметр, характеризующий соотношение молекулярных свойств переноса количества движения и теплоты;

(27)

характеризующее соотношение конвективных и молекулярных потоков теплоты при конвективном теплообмене;

(28)

характеризующее эффективность подъемной силы, вызывающей свободноконвективное движение вязкой жидкости.

В (22)-(28) приняты обозначения: q_c — плотность теплового потока на поверхности теплообмена; x₁, . x_n — координаты точек поверхности теплообмена; l₀ — характерный линейный размер; ΔT — разность между температурой стенки и температурой жидкости; ω₀ — характерная скорость жидкости (газа); теплофизические свойства жидкости: λ — коэффициент теплопроводности; — коэффициент температуропроводности; ν, μ — кинематическая и динамическая вязкости;ρ — плотность; с_р — удельная теплоемкость; β — температурный коэффициент объемного расширения:

(29)

для идеального газа β=1/Т; для капельных жидкостей в интервале изменения температуры от Т₁ до Т₂ среднее значение β=(ρ₁-ρ₂) / [ρ₁(Т₂-Т₁)], где ρ₁ и ρ₂ — плотность жидкости при температуре Т₁ и Т₂ соответственно.

Теплофизические свойства воды и водяного пара приведены в табл. 1 и 2, а также на графиках рис. 1-5, воздуха — в табл. 3, жидких металлов (натрия, калия, ртути, лития и сплава Na-K) — табл. 4, масла марки МК — табл. 5.