Приведение кривой второго порядка к каноническому виду
Пример №1 . Привести уравнение второго порядка к каноническому виду с помощью поворота и параллельного переноса осей координат. Построить кривую.
Пример №2 . Выполнив последовательно преобразования координат: поворот, а затем параллельный перенос координатных осей, преобразовать к каноническому виду уравнение кривой второго порядка и построить ее в исходной системе координат, а также найти параметры кривой.
Алгоритм перехода кривой второго порядка к каноническому виду
Пример №1 . 4y=-6-sqrt(4x-x 2 )
sqrt(4x-x 2 ) = -(4y+6)
Возведем в квадрат
4x-x 2 = (4y+6) 2
Раскрывая скобки, получаем:
16y 2 +48y + 36 +x 2 -4x = 0
Далее решается калькулятором. Если самостоятельно решать, то получим:
4x-x 2 = (4y+6) 2
-(x 2 — 4x) = 2(y+3/2) 2
-(x 2 — 4x + 4) = (y+3/2) 2
-(x — 2) 2 = (y+3/2) 2
(y+3/2) 2 + (x — 2) 2 = 0
Пример №2 . x=1-2/3 sqrt(y 2 -4y-5)
Здесь надо сначала привести к нормальному виду.
3/2(x-1)=sqrt(y 2 -4y-5)
Возводим в квадрат
9/4(x-1) 2 =y 2 -4y-5
9/4x 2 -9/4*2x+9/4-y 2 +4y+5=0
9/4x 2 -9/2x-y 2 +4y+29/4=0
Далее можно решать как с калькулятором, так и без него:
9/4(x-1) 2 =y 2 -4y-5
9/4(x-1) 2 =y 2 -4y+4-4-5
9/4(x-1) 2 =(y 2 -2)-9
9/4(x-1) 2 -(y 2 -2) = -9
-1/4(x-1) 2 +1/9(y 2 -2) = 1
5.2.5. Приведение уравнения второго порядка к каноническому виду
Линия, определяемая общим уравнением второго порядка
Называется Алгебраической линией второго порядка.
Для квадратичной формы можно задать матрицу
Для того чтобы перейти к новой системе координат, в которой уравнение линии будет иметь канонический вид, необходимо провести два преобразования:
1) поворот координатных осей на такой угол, чтобы их направление совпало с направлением осей симметрии кривой (если она имеет две оси);
2) параллельный перенос, при котором начало координат совмещается с центром симметрии кривой (если он существует).
Замечание. Для параболы новые оси координат должны располагаться параллельно и перпендикулярно директрисе, а начало координат – совпасть с вершиной параболы.
Поскольку в канонических уравнениях кривых второго порядка отсутствуют произведения переменных, необходимо перейти к координатной системе, определяемой базисом из ортонормированных собственных векторов матрицы А. В этом базисе уравнение (4) примет вид:
(в предположении, что L1,2 не равны 0).
Зададим последующий параллельный перенос формулами:
.
Получим в новой координатной системе уравнение
Рассмотрим возможные геометрические образы, определяемые этим уравнением в зависимости от знаков L1, L2 и :
1) если собственные числа матрицы А L1 и L2 и Одного знака, уравнение (5) представляет собой каноническое уравнение эллипса:
(случаи и , имеющего знак, противоположный знаку L1, L2, будут рассмотрены позднее).
2) если L1 и L2 имеют разные знаки, уравнение (5) является каноническим уравнением гиперболы:
В зависимости от знака .
В случае, когда одно из собственных чисел матрицы А равно 0, уравнение (4) в результате двух преобразований координат можно привести к виду:
Являющимся каноническим уравнением параболы.
Приведем к каноническому виду уравнение второго порядка
Матрица квадратичной формы 3X² + 10Xy + 3Y² имеет вид:
Найдем ее собственные числа и собственные векторы. Составим характеристическое уравнение:
Для координат собственного вектора Е1, соответствующего L1, получим с учетом нормировки:
Аналогично найдем Е2:
Составим матрицу перехода к новому базису, столбцами которой будут координаты собственных векторов:
Подставив эти выражения в исходное уравнение, получим его вид в новой системе координат:
Заметим, что коэффициентами при X² и Y² являются L1 и L2.
3.8. Приведение уравнения к каноническому виду
Эта задача следовала за нами практически с самого начала главы и в заключительном параграфе мы окончательно разберёмся, как общее уравнение линии второго порядка ( не равны одновременно нулю) свести к одному из девяти канонических случаев.
В предыдущих параграфах мы очень подробно отработали частный случай уравнения, когда коэффициент :
(не равны нулю одновременно)
Такое уравнение приводится методом выделения полного квадрата(ов) с дальнейшим применением формул , далее осуществляется поворот (опционально) на угол либо в некоторых случаях на и непременно параллельный перенос линии или системы координат.
…У вас такое уравнение? Значит, вам хватит материалов предыдущих параграфов!
Не такое? Значит, не хватит 🙂
Как многие подметили, члены общего уравнения «отвечают» за параллельный перенос, и логично предположить, что ненулевое слагаемое «отвечает» за поворот (за исключением угла и кратных ему углов, при которых , и мы отделываемся лёгким испугом).Простейший пример поворота на «нехалявный» угол нам уже встречался – это неканонически расположенная «школьная» гипербола .
Уравнение с ненулевым коэффициентом неприятно тем, что в общем случае его невозможно привести к каноническому виду с помощью обычных средств алгебры: переноса слагаемых, их группировки, вынесений за скобки, выделения полных квадратов и прочей школьной самодеятельности. Поэтому на помощь приходится привлекать более мощные методы решения.
Рассмотрим в качестве примера уравнение . Какие будут идеи? …Да ладно с ними, с идеями, тут даже не понятно, какую линию оно задаёт. Эллипс? Гиперболу? Параболу? Что-то другое из классификации?
Немного потраченного времени, и вы научитесь довольно легко находить ответы на эти вопросы, в частности, без особых проблем сможете определить, что данное уравнение определяет эллипс с полуосями , который расположен центром в точке и повёрнут относительного своего канонического положения на отрицательный угол, составляющий примерно :
Мысленно возьмите эллипс в руки, поверните его на любой угол и переместите в произвольное место плоскости. Новому положению эллипса будет соответствовать совершенно другое уравнение, и если вам предъявить его без чертежа, то никто в жизнь не догадается, что оно определяет тот же самый эллипс.
Именно поэтому и появилась задача приведения уравнения к каноническому виду – чтобы независимо от расположения линии выяснить, что это за зверь и каким нравом он обладает.
Выше я рассматривал два способа приведения. Применительно к нашему примеру:
1) Осуществим параллельный перенос эллипса центром в начало координат (представляем мысленно) и повернём его на угол (против часовой стрелки). В результате получится нужное уравнение .
2) Перейдём к прямоугольной системе координат , которая получается путём поворота исходной системы координат на вокруг начала координат и её параллельного переноса центром в точку . Таким образом, в новой системе координат уравнение данного эллипса запишется в каноническом виде :
«Навскидку» второй способ кажется вычурным и неуклюжим, однако, если немного призадуматься, то он более корректен. И толстый намёк на это уже проскочил чуть выше: куда бы мы ни переместили данную линию, какую бы систему координат ни выбрали – эллипс останется тем же самым эллипсом с полуосями , своими фокусами и другими индивидуальными характеристиками.
Но стОит ли перемещать САМУ линию? Представьте, что крыша вашего дома имеет эллиптическую форму, и шаловливый Карлсон выбрал начало координат на трубе кочегарки J. Что вы будете делать, чтобы с комфортом исследовать эллипс? Разумеется, не станете переносить крышу, а перейдёте к удобной системе координат.
То есть, система координат относительна и вторична по отношению к тому или иному объекту. Следовательно, вполне логично и правомерно тревожить именно её, а не «уникальный» эллипс, крышу дома или что-то ещё.
А суть преамбулы состоит в том, что далее мы будем приводить уравнение линии 2-го порядка путём перехода к новой прямоугольной системе координат, в которой уравнение исследуемой линии примет канонический вид.
Существует несколько практических методов приведения уравнения линии к каноническому виду, причём, некоторые из них являются достаточно трудными. Я постараюсь составить максимально простой конспект, доступный человеку с любым уровнем подготовки.
Для этого нам потребуется ещё одно теоретическое понятие:
Все линии 2-го порядка можно разделить на две большие группы:
1) центральные линии, обладающие единственным центром (точкой) симметрии (эллипс, мнимый эллипс, гипербола, пара мнимых или действительных пересекающихся прямых);
2) нецентральные линии, у которых центры симметрии отсутствуют (парабола), либо их бесконечно много (пара действительных или мнимых параллельных прямых, пара совпавших прямых).
Итак, вы счастливый обладатель уравнения
с ненулевым коэффициентом .
С чего начать? На первом шаге целесообразно выяснить, к какой группе относится линия. Для этого нужно мысленно либо на черновике составить и вычислить определитель . Если , то перед нами уравнение центральной линии, если же – то нецентральной.
Для уравнения :
, значит, оно определяет центральную линию.
Зачем это нужно? Чтобы выбрать наиболее выгодный способ решения. Да, конечно, ваш учебный план может и не предоставить возможность выбора, но, тем не менее, я постараюсь провести вас через дебри самой комфортной и короткой тропинкой.
Для приведения уравнения центральной линии, по моему мнению, лучше всего использовать метод инвариантов. Но, к сожалению, он перестаёт работать в нецентральном случае, поэтому на помощь придётся привлечь достаточно трудоёмкий универсальный способ решения либо ортогональное преобразование квадратичной формы (но тут уже надо ориентироваться в другой теме). Сначала разберём одно, затем другое, и даже если вам нужно разделаться лишь с нецентральной линией, постарайтесь не пропускать нижеследующий параграф, поскольку вся информация взаимосвязана:
http://matica.org.ua/metodichki-i-knigi-po-matematike/lineinaia-algebra-i-analiticheskaia-geometriia/5-2-5-privedenie-uravneniia-vtorogo-poriadka-k-kanonicheskomu-vidu
http://mathter.pro/angem/3_8_privedenie_uravneniya_k_kanonicheskomu_vidu.html