Приведения уравнения к новому основанию

Показательные уравнения

О чем эта статья:

6 класс, 7 класс

Статья находится на проверке у методистов Skysmart.
Если вы заметили ошибку, сообщите об этом в онлайн-чат
(в правом нижнем углу экрана).

Определение показательного уравнения

Показательными называются уравнения с показательной функцией f(x) = a х . Другими словами, неизвестная переменная в них может содержаться как в основании степени, так и в ее показателе. Простейшее уравнение такого вида: a х = b, где a > 0, a ≠ 1.

Конечно, далеко не все задачи выглядят так просто, некоторые из них включают тригонометрические, логарифмические и другие конструкции. Но для решения даже простых показательных уравнений нужно вспомнить из курса алгебры за 6–7 класс следующие темы:

Если что-то успело забыться, советуем повторить эти темы перед тем, как читать дальнейший материал.

С точки зрения геометрии показательной функцией называют такую: y = a x , где a > 0 и a ≠ 1. У нее есть одно важное для решения показательных уравнений свойство — это монотонность. При a > 1 такая функция непрерывно возрастает, а при a

Иногда в результате решения будет получаться несколько вариантов ответа, и в таком случае мы должны выбрать тот корень, при котором показательная функция больше нуля.

Свойства степеней

Мы недаром просили повторить свойства степенной функции — на них будет основано решение большей части примеров. Держите небольшую шпаргалку по формулам, которые помогут упрощать сложные показательные уравнения.

Обобщающий урок по теме: «Решение логарифмических уравнений»

Разделы: Математика

В связи со сдачей ЕГЭ по математике учителю необходимо при заключительном повторении отрабатывать навыки самоконтроля. Как правило, учащиеся, увидев знакомое уравнение, просто решают его и записывают ответ, не читая вопрос, поэтому акцентировать их внимание необходимо на том, что решил уравнение и вернись снова к вопросу, а затем запиши ответ. Чтобы избежать данных ошибок, на уроках учу учащихся формулировать вопросы и уметь отвечать на поставленные.

Это можно рассмотреть на примере урока по теме “Решение логарифмических уравнений”.

1. Цели педагогические:

А) Закрепить знания, умения решать логарифмические уравнения..
Б) Развивать логическое мышление через приемы сравнения, умение классифицировать, выделять главное.
В) Воспитывать трудолюбие, интерес к предмету.

2. Познавательная цель: уметь выделять среди уравнений логарифмические и определять способ решения.

3. Цель профессионального и личностного саморазвития учителя.

А) Использовать реальную возможность каждого ученика быть соавтором развивающегося сценария урока.
Б) Учить учащихся формулировать вопросы к решаемой задаче.

4. Основная исследовательская цель: каковы плюсы и минусы проектно-сценарного варианта подготовки к уроку.

Ход урока

Способы решения логарифмических уравнений

1. По определению логарифма.
2. log_aN = x a x = N, N>0, a > 0, a 1
3. Метод потенцирования.
4. Приведение к квадратному уравнению.
5. Приведения уравнения к новому основанию.
6. Решение уравнений логарифмированием его обеих частей.
7. Графическое решение уравнения.

Вводное слово учителя:

Мы сегодня заканчиваем тему “Решение логарифмических уравнений”. Мы строили графики, решали уравнения. А теперь поговорим о том, где находят применение логарифмы.

Термин “логарифм” возник из сочетания греческих слов: логос – отношение, аритмос – число. Понятие логарифма было введено в XVII веке Джоном Непером (1550–1617г.г.), шотландским математиком.

Применение логарифмы находят при упрощении выражений.

Логарифмическая линейка — счетный инструмент для упрощения вычислений, с помощью которого операции над числами заменяются операциями над логарифмами этих чисел. Применялась при расчетах, когда достаточна точность в 2 – 3 знака.

Основные свойства логарифмов позволяют заменить умножение, деление, возведение в степень и извлечение корня более простыми действиями сложения, вычитания, умножения и деления.

Какие логарифмы мы должны знать: lg x, log_ax, ln x.

Провести математический диктант. Вычислить:

а) log525	б) log3	в) lg 10000
г) log39	д) log33	е) log31

На доске заранее написать уравнения:

1. log₂(3 – 6x) = 3
2. 2х-1 = 81
3. lg(х 2 – 2х) = lg (2х + 12)
4. 5 х + 1 – 5 х — 1 = 24
5. х lg х = 10000
6. 3 2х + 5 = 3 х + 2 + 2
7. logx — log₃ x = 3
8. log₂x – log₄x = 3
9. 2 x = x 2 – 2x
10. log₃ x = — x

Среди данных уравнений выбрать логарифмические.

Выписать номер логарифмического уравнения. Определить способ решения. После этого начинать работать с уравнениями, используя различные формы и методы.

По определению логарифма. Устно: найти ошибку в решении. 1 уравнение заранее решено и допущена ошибка в О.Д.З. Например:

x = —

x >

При анализе ошибки обратить внимание, что знак в неравенстве меняется x 2 – 2x) = lg(2x + 12)

Ответ:

1)

2)

3) х = 6

4) х = — 2

Решение уравнения логарифмированием его обеих частей

Найти наибольший корень уравнения

x =

x > 0 x 1

Ответ: х = 100 – наибольший корень уравнения.

Какие еще вопросы можно поставить к данному уравнению.

Найти наименьший корень уравнения.

Найти сумму корней уравнения.

Найти разность корней уравнения.

Найти произведение корней уравнения.

Найти частное корней уравнения

Найти удвоенное произведение наименьшего корня на наибольшее и т.д.

Необходимо обратить внимание на умение формулировать вопросы и отвечать на них.

Решение способом приведения к квадратному уравнению

Сколько корней имеет уравнение:

logx – log₃x – 2 = 0

log3x = 2	log3x = — 1
x = 9	x =

Ответ: уравнение имеет 2 корня.

Решение уравнения приведением к одному основанию.

log2x — log4x = 3	О.Д.З.
log4x = log2x	х > 0

log₂x — log₂x = 3

log₂x = 3

Ответ: уравнение имеет один корень

Уравнение log₃x = — x решают графически.

Ученик строит на пленке и проверяет построение графика у учащихся в тетради.

Подведение итогов урока

Учащиеся отвечают на вопросы

1. Какие способы решения логарифмических уравнений вы знаете?
2. Сколько корней может иметь логарифмическое уравнение?

Домашнее задание

Произведение корней уравнения log₃x – log_x 9 = — 1 равно:

1) 3

2)

3) 27

4)

Записать еще 3 варианта вопросов к уравнению и ответить на них.

Лекция: «Методы решения показательных уравнений»

Лекция: «Методы решения показательных уравнений».

Уравнения, содержащие неизвестные в показателе степени, называются показательными уравнениями. Простейшим из них является уравнение аx = b, где а > 0, а ≠ 1.

1) При b 0 используя монотонность функции и теорему о корне, уравнение имеет единственный корень. Для того, чтобы его найти, надо b представить в виде b = aс, аx = bс ó x = c или x = logab.

Показательные уравнения путем алгебраических преобразований приводят к стандартным уравнения, которые решаются, используя следующие методы:

1) метод приведения к одному основанию ;

3) графический метод;

4) метод введения новых переменных;

5) метод разложения на множители;

6) показательно – степенные уравнения;

7) показательные с параметром.

2. Метод приведения к одному основанию.

Способ основан на следующем свойстве степеней: если равны две степени и равны их основания, то равны и их показатели, т. е. уравнение надо попытаться свести к виду

Примеры. Решить уравнение:

Представим правую часть уравнения в виде 81 = 34 и запишем уравнение, равносильное исходному 3 x = 34; x = 4. Ответ: 4.

2.

Представим правую часть уравнения в виде и перейдем к уравнению для показателей степеней 3x+1 = 3 – 5x; 8x = 4; x = 0,5. Ответ: 0,5.

3.

Представим правую часть данного уравнения в виде 1 = 50 и перейдем к уравнению для показателей степеней x2-3x+2 = 0, откуда легко получить решения x = 1 и x=2.

4.

Заметим, что числа 0,2 , 0,04 , √5 и 25 представляют собой степени числа 5. Воспользуемся этим и преобразуем исходное уравнение следующим образом:

, откуда 5-x-1 = 5-2x-2 ó — x – 1 = — 2x – 2, из которого находим решение x = -1. Ответ: -1.

5. 3x = 5. По определению логарифма x = log35. Ответ: log35.

Перепишем уравнение в виде 32x+4.22x+4 = 32x.2x+8, т. е. далее

22x+4-x-8 = 33x-2x-4, т. е. 2x-4 = 3x-4. (Уже ясно, что x = 4). Перепишем уравнение, разделив на 3x-4 ≠ 0. Отсюда x – 4 =0, x = 4. Ответ: 4.

7. 2∙3x+1 — 6∙3x-2 — 3x = 9. Используя свойства степеней, запишем уравнение в виде 6∙3x — 2∙3x – 3x = 9 далее 3∙3x = 9, 3x+1 = 32 , т. е. x+1 = 2, x =1. Ответ: 1.

Тест №1. с выбором ответа. Минимальный уровень.

А1 3-x+2 =

1) 0 2) 4 3) -2 4) -4

1)17/4 2) 17 3) 13/2 4) -17/4

А3

1) 3;1 2) -3;-1 3) 0;2 4) корней нет

А4

1) 7;1 2) корней нет 3) -7;1 4) -1;-7

А5

1) 0;2; 2) 0;2;3 3) 0 4) -2;-3;0

А6

1) -1 2) 0 3) 2 4) 1

Тест №2 с выбором ответа. Общий уровень.

А1

1) 3 2) -1;3 3) -1;-3 4) 3;-1

А2

1) 14/3 2) -14/3 3) -17 4) 11

А3

1) 2;-1 2) корней нет 3) 0 4) -2;1

А4

1) -4 2) 2 3) -2 4) -4;2

А5

1) 3 2) -3;1 3) -1 4) -1;3

Теорема о корне: если функция f(x) возрастает (убывает) на промежутке I, число а –любое значение принимаемое f на этом промежутке, тогда уравнение f(x) = а имеет единственный корень на промежутке I.

При решении уравнений методом оценки используется эта теорема и свойства монотонности функции.

Примеры. Решить уравнения: 1. 4x = 5 – x.

Решение. Перепишем уравнение в виде 4x +x = 5.

1. если x = 1, то 41+1 = 5 , 5 = 5 верно, значит 1 – корень уравнения.

2. докажем, что он единственный.

Функция f(x) = 4x – возрастает на R, и g(x) = x –возрастает на R => h(x)= f(x)+g(x) возрастает на R, как сумма возрастающих функций, значит x = 1 – единственный корень уравнения 4x = 5 – x. Ответ: 1.

2.

Решение. Перепишем уравнение в виде .

1. если x = -1, то , 3 = 3-верно, значит x = -1 – корень уравнения.

2. докажем, что он единственный.

3. Функция f(x) = — убывает на R, и g(x) = — x – убывает на R=> h(x) = f(x)+g(x) – убывает на R, как сумма убывающих функций. Значит по теореме о корне, x = -1 – единственный корень уравнения. Ответ: -1.

Банк задач №2. Решить уравнение

б)

4. Метод введения новых переменных.

Метод описан в п. 2.1. Введение новой переменной (подстановка) обычно производится после преобразований (упрощения) членов уравнения. Рассмотрим примеры.

Примеры. Решить уравнение: 1. .

Перепишем уравнение иначе:

Обозначим 5x = t > 0, тогда т. е. 3t2 – 2t – 1 =0, отсюда t1 = 1, -не удовлетворяет условию t > 0. Итак, 5x = 1 = 50 x = 0. Ответ: 0.

2.

Решение. Перепишем уравнение иначе:

Обозначим тогда — не подходит.

t = 4 => Отсюда — иррациональное уравнение. Отмечаем, что

Решением уравнения является x = 2,5 ≤ 4, значит 2,5 – корень уравнения. Ответ: 2,5.

3. .

Решение. Перепишем уравнение в виде и разделим его обе части на 56x+6 ≠ 0. Получим уравнение

2×2-6x-7 = 2×2-6x-8 +1 = 2(x2-3x-4)+1, т. е

Корни квадратного уравнения – t1 = 1 и t2 0 при всех x, можно обе части этого уравнения разделить на 2x, не опасаясь при этом потери решений. Получим 3x = 1ó x = 0.

3.

Решение. Решим уравнение методом разложения на множители.

Выделим квадрат двучлена

4.

Решение. Преобразуем члены уравнения и перегруппируем слагаемые

x = -2 – корень уравнения.

Уравнение x + 1 = можно решить либо методом оценки, либо графически.

x = 1 – второй корень исходного уравнения.

Банк задач №4. Решить уравнение

а) 48x – 42x+1 – 3x+1 + 12 = 0.

б) 52x-1 + 22x – 52x +22x+2 = 0.

в) 3x – 2x+2 = 3x-1 – 2x-1 – 2x-3.

г) 4x – 5 2x+ 4 = 0.

Тест №5 Минимальный уровень.

А1 5x-1 +5x -5x+1 =-19.

1) 1 2) 95/4 3) 0 4) -1

1) 2 2) -4 3) 0 4) 4

А3 32x + 32x+1 -108 = 0. x=1,5

1) 0,2 2) 1,5 3) -1,5 4) 3

А4 x=1

1) 1 2) -3 3) -1 4) 0

А5 2x -2x-4 = 15. x=4

1) -4 2) 4 3) -4;4 4) 2

Тест № 6 Общий уровень.

1) ½ 2) 2 3) -1;3 4) 0,2

А2

1) 2,5 2) 3;4 3) log43/2 4) 0

1) 2 2) -1 3) 3 4) -3

А4

1) 1,5 2) 3 3) 1 4) -4

А5

1) 2 2) -2 3) 5 4) 0

6. Показательно – степенные уравнения.

К показательным уравнениям примыкают так называемые показательно – степенные уравнения, т. е. уравнения вида (f(x))g(x) = (f(x))h(x).

Если известно, что f(x)>0 и f(x) ≠ 1, то уравнение, как и показательное, решается приравниванием показателей g(x) = f(x).

Если условием не исключается возможность f(x)=0 и f(x)=1, то приходится рассматривать и эти случаи при решении показательно – степенного уравнения.

1. Решить уравнение

Решение. Для нахождения корней уравнения следует рассмотреть четыре случая:

1) x + 1=x2 – 1 ( показатели равны);

2) x = 1(основание равно единице);

3) x = 0 (основание равно нулю);

4) x = -1(основание равно -1).

Решим первое уравнение: x2 – x – 2 = 0, x = 2, x = -1.

x1 = 2 => 23 = 23 – верно;

x2 = -1 => (-1)0 =(-1)0 – верно;

x3 = 1 => 12 = 10 – верно;

x4 = 0 => 01 = 0(-1) – не имеет смысла.

Уравнение вида f(x)g(x) = 1 равносильно совокупности двух систем

f(x)g(x) = 1

2.

Решение. x2 +2x-8 – имеет смысл при любых x, т. к. многочлен, значит уравнение равносильно совокупности

Банк задач №5. Решить уравнение

а)

б)

7. Показательные уравнения с параметрами.

1. При каких значениях параметра p уравнение 4 (5 – 3)2 +4p2–3p = 0 (1) имеет единственное решение?

Решение. Введем замену 2x = t, t > 0, тогда уравнение (1) примет вид t2 – (5p – 3)t + 4p2 – 3p = 0. (2)

Дискриминант уравнения (2) D = (5p – 3)2 – 4(4p2 – 3p) = 9(p – 1)2.

Уравнение (1) имеет единственное решение, если уравнение (2) имеет один положительный корень. Это возможно в следующих случаях.

1. Если D = 0, то есть p = 1, тогда уравнение (2) примет вид t2 – 2t + 1 = 0, отсюда t = 1, следовательно, уравнение (1) имеет единственное решение x = 0.

2. Если p1, то 9(p – 1)2 > 0, тогда уравнение (2) имеет два различных корня t1 = p, t2 = 4p – 3. Условию задачи удовлетворяет совокупность систем

Подставляя t1 и t2 в системы, имеем

Введем функцию f(t) = t2 – 6t – a. Возможны следующие случаи.

Случай 1. Уравнение (4) имеет два различных положительных корня, если выполнятся условия

где t0 — абсцисса вершины параболы и D — дискриминант квадратного трехчлена f(t);

Таким образом,

при – 9 0. Это возможно, если

Таким образом, при a 0 уравнение (4) имеет единственный положительный корень . Тогда уравнение (3) имеет единственное решение

При a 0, тогда в результате преобразований уравнение примет вид t2 + 2t – 13 – a = 0. (*)Найдем значения a, при которых хотя бы один корень уравнения (*) удовлетворяет условию t > 0.

Рассмотрим функцию f(t) = t2 + 2t – 13 – a. Возможны случаи.

Случай 1. Для того чтобы оба корня уравнения (*) удовлетворяли неравенству t > 0, должны выполняться условия

где t0 — абсцисса вершины f(t) = t2 + 2t – 13 – a, D — дискриминант квадратного трехчлена f(t).

Система решений не имеет.

Случай 2. Для того чтобы только один корень уравнения (*) удовлетворял неравенству t > 0, должно быть выполнено условие f(0) – 13.

Случай 3. Найдем значения a, когда t  2, t  4.

откуда a  11, a  – 5.

Ответ: если a > – 13, a  11, a  5, то если a – 13,

a = 11, a = 5, то корней нет.

Список используемой литературы.

1. Гузеев основания образовательной технологии.

2. Гузеев технология: от приема до философии.

М. «Директор школы»№4, 1996 г.

3. Гузеев и организационные формы обучения.

М. «Народное образование», 2001 г.

4. Гузеев и практика интегральной образовательной технологии.

М. «Народное образование», 2001 г.

5. Гузеев из форм урока – семинара.

Математика в школе №2, 1987 г. с.9 – 11.

6. Селевко образовательные технологии.

М. «Народное образование», 1998 г.

7. Епишева школьников учиться математике.

М. «Просвещение», 1990 г.

8. Иванова подготовить уроки – практикумы.

Математика в школе №6, 1990 г. с. 37 – 40.

9. Смирнова модель обучения математике.

Математика в школе №1, 1997 г. с. 32 – 36.

10. Тарасенко способы организации практической работы.

Математика в школе №1, 1993 г. с. 27 – 28.

11. Об одном из видов индивидуальной работы.

Математика в школе №2, 1994 г. с.63 – 64.

12. Хазанкин творческие способности школьников.

Математика в школе №2, 1989 г. с. 10.

13. Сканави . Издатель , 1997 г.

14. и др. Алгебра и начала анализа. Дидактические материалы для

10 – 11 классов. М. Мнемозина, 2000 г.

15. Кривоногов задания по математике.

М. «Первое сентября», 2002 г.

16. Черкасов . Справочник для старшеклассников и

поступающих в вузы. «А С Т — пресс школа», 2002 г.

17. Жевняк для поступающих в вузы.

Минск И РФ «Обозрение», 1996 г.

18. Готовимся к экзамену по математике. М. Рольф, 1999 г.

19. и др. Учимся решать уравнения и неравенства.

М. «Интеллект – Центр», 2003 г.

20. и др. Учебно – тренировочные материалы для подготовки к Е Г Э.

М. «Интеллект – центр», 2003 г. и 2004 г.

21 и др. Варианты КИМ. Центр тестирования МО РФ, 2002 г., 2003г.

22. Гольдберг уравнения. «Квант» №3, 1971 г.

23. Как успешно обучать математике.

Математика, 1997 г. №3.

24 Окунев за урок, дети! М. Просвещение, 1988 г.

25. Якиманская – ориентированное обучение в школе.

«Директор школы», 1996 г. сентябрь.

26. Лийметс работа на уроке. М. Знание, 1975 г.