Приведенное квадратное уравнение 8 класс конспект

План уроков «Приведенное квадратное уравнение, теорема Виета»
план-конспект урока по алгебре (8 класс)

План двух уроков алгебры в 8 классе по теме «Приведенное квадратное уравнение, теорема Виета» на основе учебника Алгебра 8 класс Колягина, Ткачева, Федорова, Шабунина (2013г)

Скачать:

Предварительный просмотр:

Подготовила: Ушакова Марина Анатольевна

Студентка ОЗО3 факультета математики

Тема: Приведенное квадратное уравнение, теорема Виета

Анализ (ЛМА) темы

На основе учебника Алгебра 8 класс Колягина, Ткачева, Федорова, Шабунина (2013г.)

Цели обучения содержанию темы:

• Знакомство с формулой приведенного квадратного уравнения;
• Демонстрация того, что знание формул Виета дает ряд преимуществ при решении квадратных уравнений;
• Обучение разложению квадратного трехчлена на множители.

Базовые знания и умения:

• Понятие квадратного уравнения;
• Общий метод решения квадратного уравнения (формулы корней квадратного уравнения);
• Основное свойство дроби;
• Правила сложения и умножения многочленов;
• Разложение многочлена на множители методом группировки.

Вводятся определения следующих понятий:

• Приведенное квадратное уравнение;
• Квадратный трехчлен;

Математические предложения (утверждения), отличные от определений:

• Правило приведения квадратного уравнения к виду х 2 +рх+q = 0 (а=1) (вводится на примерах) ;
• Формулы корней приведенного квадратного уравнения (доказывается логически);
• Теорема Виета и теорема, обратная теореме Виета (доказываются логически);
• Теорема о разложении квадратного трехчлена на множители (доказывается логически).

Конспект урока в 8 классе. «Приведенное квадратное уравнение. Теорема Виета».

Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

Тема урока: «Теорема Виета».

Выяснить зависимость между корнями и коэффициентами приведенного квадратного уравнения; познакомить учащихся с теоремой Виета, учить находить подбором корни квадратного уравнения, используя теорему Виета, способствовать развитию внимания, логического мышления, связной математической речи, развивать умение анализировать и делать выводы.

Тип урока: сообщение новых знаний.

І.Актуализация опорных знаний.

Девиз : Думай и делай, делай и думай. И.А.Крылов.

Эпиграф : Никогда не теряй терпенья – это последний ключ, который открывает двери. Антуан де Сент- Экзюпери.

Какое уравнение называется квадратным?

Какие существуют виды квадратных уравнений?

Сколько корней может иметь квадратное уравнение?

От чего зависит наличие действительных корней квадратного уравнения?

Английский математик, которому принадлежит термин «Дискриминант».

Назовите формулу нахождения дискриминанта.

7 .Сколько корней имеет уравнение, если D > 0 .

8 .Сколько корней имеет уравнение, если D = 0.

9. Существуют ли корни квадратного уравнения, если D

10 . Назовите формулы нахождения корней квадратного уравнения.

ІІ. Изучение нового материала.

Поверите ли вы мне, если я скажу, что данное уравнение

смогу устно решить за несколько секунд и вы в конце урока тоже .

Сегодня мы с вами поведём речь о приведённых квадратных уравнениях, которые записывают ещё так: x 2 + px + q = 0.

Посмотрите внимательно на результаты работы.

Какое предположение можно сделать?

Сравните сумму и произведением корней с коэффициентами уравнений.

Какая существует зависимость между корнями приведенного квадратного уравнения и его коэффициентами?

Если приведённое квадратное уравнение x 2 + px + q = 0

Сформулированное утверждение называется теоремой Виета.

Сумма корней приведённого квадратного уравнения равна второму коэффициент, взятому с противоположным знаком, а произведение равно свободному члену.

Как же доказать? ( проблемный вопрос)

Предложить учащимся самостоятельно у доски доказать теорему Виета.

По праву достойна в стихах быть воспета

О свойствах корней теорема Виета

Что лучше, скажи постоянства такого .

Умножишь ты корни – и дробь уж готова?

А сумма корней тоже дроби равна

Хоть с минусом дробь, что за беда!

Немного исторических фактов о французском математике Франсуа Виете.

( Вьет (Vièete) Франсуа (1540, Фонтене-ле-Конт, – 13.12.1603, Париж), французский математик. По профессии юрист. В 1591 ввёл буквенные обозначения не только для неизвестных величин, но и для коэффициентов уравнений; благодаря этому стало впервые возможным выражение свойств уравнений и их корней общими формулами. Ему принадлежит установление единообразного приёма решения уравнений второй, третьей и четвертой степеней. Среди открытий сам Виет особенно высоко ценил установление зависимости между корнями и коэффициентами уравнений. Для приближённого решения уравнений с численными коэффициентами Виет предложил метод, сходный с позднейшим методом Ньютона. Сочинения Виета написаны трудным языком и поэтому получили меньшее распространение, чем заслуживали.)

Теорема (обратная теореме Виета).

ІІІ. Тренировочные упражнения.

Правильно ли найдены корни квадратного уравнения:

1) х 2 — 6х + 5 = 0,

2) х 2 + 3х – 40 = 0,

3) х 2 — 2х – 3 = 0,

Найдите корни квадратного уравнения:

х 2 — 16х + 15 = 0, ( х ₁ = 1, х ₂ =15)

х 2 + 2х — 3 = 0 (х ₁ = 1, х ₂ = — 3)

Составить приведенное квадратное уравнение, если x ₁ = –3, x ₂ = 1:

Составьте приведенное квадратное уравнение, если его корни равны:

В уравнении х 2 + pх + 36 = 0 один из корней равен — 4. Найдите другой корень и коэффициент p.

Вернёмся к уравнению х 2 – 2016х + 2015 = 0 . Найдём его корни.

ІV. Самостоятельная работа. ( если будет время)

Первичная проверка знаний ( с последующей взаимопроверкой):

Cоставить приведенное квадратное уравнение

2) Правильно ли найдены корни квадратного уравнения:

х 2 – 16х + 63 = 0

3) Один из корней квадратного уравнения равен -3. Найти коэффициент р и второй корень уравнения:

Cоставить приведенное квадратное уравнение

2) Правильно ли найдены корни квадратного уравнения:

х 2 + 18х — 63 = 0

3) Один из корней квадратного уравнения равен -2. Найти коэффициент р и второй корень уравнения:

Сегодня на уроке я узнал …

Сегодня на уроке я научился …

На следующих уроках мне хотелось бы…

VІ. Домашнее задание.

Прочитать, выучить теорему , п. 24;

решить № 583, №585, № 588.

ПО АЛГЕБРЕ В 8 КЛАССЕ

Подготовил и выполнил:

Тема урока: «Теорема Виета»

Цели урока: 1)способствовать формированию знаний у учащихся о теореме Виета,

научить её доказывать, а также применять при решении

приведенных квадратных уравнений;

2) способствовать развитию наблюдательности, умению анализировать

3) побуждать учащихся к самоконтролю, взаимоконтролю, вызывать

у них потребность в обосновании своих высказываниях

Оборудование: компьютер, экран, магнитная доска, индивидуальные оценочные

листы, карточки с заданиями, листы для выполнения диктанта.

1. Организационный момент.

Друзья мои! Я очень рада

Войти в приветливый ваш класс

И для меня уже награда

Вниманье ваших умных глаз.

( учитель проверяет готовность учащихся к уроку и говорит об оценочных листах, в которых учащиеся во время урока будут выставлять себе баллы)

Работа в группе

1. На уроке для меня было важно______________________________________

2. На уроке мне было сложно_________________________________________

3. Теперь я умею__________________________________________________

4. На уроке у меня получилось_____________________________________

2. Актуализация опорных знаний.

— Ребята, для того чтобы познавать мир, нам необходимы знания и прежде, чем начать изучать следующую тему, нужно убедиться, что мы имеем хорошие и прочные знания по предыдущей теме. А девизом нашего сегодня урока будут слова ученого Аль- Бируни: «Знания – самое превосходное из владений. Все стремятся к нему, само же оно не приходит». Кто мне скажет, какую тему мы проходили на предыдущих уроках? (Ответы уч-ся « Решение неполных квадратных уравнений», «Решение квадратных уравнений по формуле».«Решение задач с помощью квадратных уравнений»)

А) Математический тест для учащихся:

Ученики получают карточки с заданиями. Заполняют пропущенные слова в

Уравнение вида ax2 + bx + c = 0, где a, b, c — заданные числа, a ≠ 0, x — переменная, называется…

Полное квадратное уравнение не имеет корней, если …

Уравнение вида x2 + вx + с = 0 называется…

Квадратное уравнение имеет два корня, если b2 — 4ac…

Дано уравнение 3×2 — 7x + 4 = 0. D =…

Если квадратное уравнение ax2 + bx + c = 0, то a… коэффициент, c…

Уравнение x2 = a, где a – это…

Полное квадратное уравнение имеет единственный корень, если…

Уравнение вида ax2 + c = 0, где a ≠ 0, c ≠ 0, называют… квадратным уравнением.

Дано уравнение x2 — 6x + 8 = 0. D =…

После окончания работы, учитель говорит правильные ответы, учащиеся проверяют следующим образом: за правильный ответ – 1 балл, за неправильный ответ – 0 баллов, результат теста заносят в оценочный лист. Б) Фронтальный опрос учащихся.(устная работа)(задания на экране)1) укажите коэффициенты квадратных уравнений:а) 2х2 — 5х +10 =0; б) 2 + х + х2 =0; в) 5х2 — 4х=3; г) 6х – х2=0; д) 11- 2х2 =4х 2) назовите корни уравнений: х2 = 64; х2 + 3х =0; у2 – 121 =0; 5х2 =0; х2 -2=0

Учитель предлагает учащимся посоревноваться кто быстрее решит уравнение и записывает уравнение: х2 – 6х + 8 =0 (ученики решают с помощью дискриминанта, а учитель сразу говорит ответ, учащиеся проверяют, ответ действительно верный. Учитель предлагает еще два уравнения: х2- 2х – 15 =0 и х2 – 10х – 39 =0 и снова говорит сразу ответ, учащиеся проверяют ответы. У учащихся удивление, учитель знает, какой- то секрет при решении уравнений. Этим самым они ставят для себя проблему на уроке и её нужно решить.

3. Изучение нового материала.

Учитель разбивает класс на три группы и дает каждой группе задание

После проверки заданий учитель раздает каждому ученику таблицу с заданиями

Учащиеся проверяют сумму корней и произведение корней с коэффициентами квадратного уравнения и делают соответствующие выводы.

Небольшая историческая справка о Франсуа Виете. На экране портрет Ф.Виета. Ученица рассказывает ( на экране) о французском ученом.

«Впервые эти выводы сделал Франсуа Виет ( 1540 – 1603гг)- французский математик. Он был одним из первых, кто стал обозначать числа буквами, что существенно развило теорию уравнений. Свои выводы Франсуа Виет сформулировал в виде теоремы и доказал её. Использование этой теоремы позволяет экономить время при решении уравнений, что немаловажно при сдаче экзамена в форме тестирования. В старших классах есть задачи, решение которых можно выполнять только с помощью теоремы Виета».

Ученик (ца) рассказывают математический стих: «Теорема Виета»

По праву достойна в стихах быть воспета О свойствах корней теорема Виета Что лучше, скажи, постоянства такого? Умножишь ты корни — и дробь уж готова: В числителе с, в знаменателе а И сумма корней тоже дроби равна. Хоть с минусом дробь эта, что за беда – В числителе в, в знаменателе а?!

— А сейчас ребята найдите формулировку теоремы Виета в учебнике и зачитаем её.

Четыре ученика по очереди доказывают теорему у доски, остальные ребята работают в тетрадях.

1 ученик. Дано: х2 +вх + с =0, х1 и х2 — корни. Доказать: х1 + х2 = — в, х1 х2 = с.2 ученик. Доказательство: D= в2 — 4с 0, х1 = ; х2 = .3 ученик. х1 + х2 = + = = — b.4 ученик. х1 · х2 = · = = = cЧтобы применять теорему Виета, квадратное уравнение нужно привести к приведенному виду. А если квадратное уравнение не является приведенным, то как будет выглядеть теорема Виета?

После ответов учащихся учитель показывает на экране записи, ученики их записывают в тетрадь.

х1 + х2 = — b х1 · х2 =с

Физкультминутка ( музыкальная пауза, учащиеся выполняют различные несложные упражнения )

4. Закрепление новой темы.

Учащиеся в парах решают следующие уравнения: а) х2 +17х – 18=0 ( -18; 1)

б) х2 -11х +18 =0 (9; 2)

Ученики решают уравнения возле доски:

а) х2 +7х – 18 =0; б) х2 +9х +18 =0; в) х2 — 3х — 28 = 0

Самостоятельная работа по учебнику № 576, № 577

Более слабые ученики решают уравнения возле доски.

1) х2 — 15х +36 =0; 2) х2 + 9х + 20 = 0; 3) х2 — 17х + 30= 0;

х1 =12, х2 =3 х1 = -4, х2 = — 5. х1 = 15, х2 = 2

Проверка решений уравнений.

5. Подведение итогов урока.

— Чем мы занимались на уроке? Что нового узнали?

— Получилось ли реализовать цель, поставленную в начале урока? Почему?

— Кто хотел бы вернуться к какому – то этапу урока? В чем были трудности?

— Что понравилось на уроке, что запомнилось?

Учащиеся выставляют себе баллы, и оценочный лист отдают учителю.

Учитель выставляет оценки за урок.

6. Постановка домашнего задания.

Д/задание — № 575, № 574, № 587. Более сильные учащиеся готовят

доказательство теоремы Виета и обратной теоремы

Конспект урока в 8-м классе «Квадратные уравнения»

Презентация к уроку

Тип урока: Урок изучения нового.

Цели урока: Организовать коллективный способ изучения нового материала, повторение формул сокращенного умножения, работу с учебником. Сформулировать определение квадратного уравнения; доказать теорему о корнях уравнения х 2 = d.

В результате ученик

• какие учебные задачи стоят перед ним при изучении темы,
• определение квадратного уравнения,
• название коэффициентов квадратного уравнения:

• из предложенных уравнений выбирать квадратные,
• определение квадратного уравнения,
• составлять квадратное уравнение, если заданы коэффициенты:

• необходимость изучения темы «Квадратные уравнения»

Структура урока:

1. Мотивационно-ориентировочная часть:
   • актуализация знаний
   • мотивация, постановка учебной задачи.
2. Операционно-познавательная часть:
   • решение учебной задачи (цели урока).
3. Рефлексивно-оценочная часть:
   • подведение итогов урока,
   • выдача домашнего задания.

Ход урока

«Уравнение – это золотой ключ, открывающий все математические сезамы».
С. Коваль.

I. Мотивационно-ориентировочная часть.

1. Актуализация имеющихся знаний и умений учащихся.

– Каков общий вид линейного уравнения? (ах + с = 0)

– Как называются числа а и с, какие значения они могут принимать? (Это коэффициенты уравнения, они могут быть любыми, кроме случая, когда

– Дайте определение корня уравнения. (Корень уравнения – это такое число, при подстановке которого в уравнение получается верное числовое равенство)

– А что значит решить уравнение? (Решить уравнение – найти все его корни или установить, что их нет)

– При изучении каких предметов вам приходилось составлять и решать уравнение? (При изучении физики, химии, геометрии)

– Какую тему я просила вас повторить? (Разложение квадратного трехчлена на множители)

– Чему вы научились за время изучения этой темы, покажут задания, которые я предлагаю вам решить:

(открыть створку доски)

1) Решите уравнения (устно):

2) Разложите на множители способом группировки: х 2 -12х+20;

х 2 – 12х + 20 = х 2 – 10х — 2х + 20 = х (х – 10) – 2(х – 10) = (х – 10) (х – 2)

II. Операционно-познавательная часть.

1 Ребятам предлагается решить задачу №1 в учебнике. Читаем задачу. Учащимся предлагается сформулировать алгоритм решение такого типа задач. На доске ученик записывает решение.

Если х см – это высота прямоугольника, то (х + 10) см – основание
х (х + 10) см 2 – площадь прямоугольника, она равна 24 см 2 . Следовательно
х (х + 10) = 24
х 2 + 10х – 24 = 0 Разложим левую часть на множители способом группировки
х 2 + 10х – 24 = х 2 + 12х – 2х – 24 = (х 2 + 12х) – (2х + 24) =
х (х + 12) — 2 (х + 12) = (х + 12) (х – 2)
(х – 2) (х + 12) = 0
х – 2 = 0 или х + 12 = 0
х₁ = 2, х₂ = -12. Так как длина отрезка не может быть отрицательным числом, то высота прямоугольника равна 2 см.

Учитель обращает внимание, что при решении этой задачи было получено уравнение х 2 + 10х – 24 = 0

Что мы имеем в левой части? (Квадратный трехчлен)

Как вы думаете называется уравнение х 2 + 10х – 24 = 0? (Квадратным уравнением)

Значит тема сегодняшнего урока «Квадратные уравнения».

Мы должны дать определение квадратного уравнения, научиться составлять квадратное уравнение по его коэффициентам, выбирать из предложенных уравнений квадратные.

Учитель дает определение квадратного уравнения.

Квадратным уравнением называется уравнение вида ах 2 + bх + с = 0, где а, b, с – заданные числа, а ≠ 0.

Числа a, b, c – это коэффициенты квадратного уравнения. Число а называют первым или старшим коэффициентом, b – вторым коэффициентом, а c – свободным членом.

2. Из истории квадратных уравнений. Презентация.

3. Решить уравнение х 2 = 64.

Теорема. Уравнение х 2 = d, где d > 0? Имеет два корня х₁ =, х₂ = —.

х 2 = d
х 2 – d = 0
Т.к d > 0, то d = () 2 .
х 2 — () 2 = 0
(х — ) (х +) = 0
х — = 0 или х + = 0
х₁ = х₂= —

Если d = 0, то уравнение имеет один корень х = 0.

Если d 2 – 17х + 14 = 0;
б) х 2 + 14 + 0;
в) – 7х 2 + 14 – 5х = 0;
г) – 17х + 14 = 0;
д) – 17х + х 2 = 0;
е) 3х 3 – 17х + 14 = 0;
ж) 5х – 8 — 3х 2 = 0

2. Составьте квадратное уравнение по его коэффициентам:

а) а = 3, b = 7, с = 6;
б) а = 2; b = 0; с = 10;
в) а = 4; b = 1; с = 0

3. Приведите данные уравнения к виду ах 2 + bх + с = 0, а ≠ 0

а) х 2 + 2х – 3 = 2х + 6;
б) х (х + 1) – 3 = х (2х – 4) + х 2 ;
в) х 2 = (3х – 2 ) 2

– Что нового вы сегодня узнали на уроке?

(Понятие квадратного уравнения)

– Какую цель мы поставили в начале урока?

(Дать определение квадратного уравнения, научиться составлять квадратное уравнение по коэффициентам, выбирать среди уравнений квадратные)

– Так какое же уравнение называется квадратным? (Учащиеся отвечают)

Какую работу мы должны провести дальше с уравнениями нового класса?

(Научиться решать, исследовать вопрос о количестве корней уравнения, изучить свойства)

– Об этом мы поговорим на следующих уроках

Запишем домашнее задание.

1. Знать определение квадратного уравнения п.25
2. №403 (2; 4 ), 404 (2; 4 ), 405 (2; 4; 6 ), 408 (2; 4; 6 ), 409 (2; 4; 6 )
3. Для желающих доклады:
   а) Исследования Декарта по решению алгебраических уравнений.
   б) Диофант Александрийский.
   в) Трактат «Китаб аль – джебр валь – мукабала» аль Хорезми. Приемы решений уравнений вида ах 2 = bх.

Полностью текст работы приведен в Приложении.