Приведенное квадратное уравнение теорема виета урок

Алгебра. 8 класс

Квадратное уравнение x 2 – 6x + 8 = 0 имеет два корня, x₁ = 2; x₂ = 4.
x₁ • x₂ = 8 – равно свободному члену;
x₁ + x₂ = 6 – равно второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком.

Таким свойством обладает любое приведённое квадратное уравнение, имеющее корни. Докажем это.

Рассмотрим приведённое квадратное уравнение x 2 + px + q = 0.

D = p 2 – 4q.
Пусть D > 0, тогда уравнение имеет два действительных различных корня:
и .

Найдём сумму и произведение корней:

Если дискриминант приведённого квадратного уравнения будет равен 0, то условимся считать, что тогда уравнение имеет не один корень, а два совпавших корня, и поэтому доказанная теорема будет также верна.

Эта теорема называется теоремой Виета по имени французского математика Франсуа Виета.

Любое квадратное уравнение можно привести к равносильному ему приведённому квадратному уравнению, разделив обе части уравнения на первый коэффициент. Тогда при наличии действительных корней у этого уравнения и согласно теореме Виета, получим вышеприведённые равенства. Это следствие из теоремы Виета – обобщённая теорема Виета.

Используем теорему Виета для нахождения произведения и суммы корней уравнения 2x 2 + 9x + 7 = 0.

D = b 2 – 4ac = 9 2 – 4 • 2 • 7 = 25 > 0, значит, уравнение имеет 2 корня. Эти же корни имеет приведённое квадратное уравнение .

По теореме Виета

На практике чаще всего используется теорема, обратная теореме Виета:

тогда y и z – корни уравнения x 2 + px + q = 0.

Запишем уравнение x 2 + px + q = 0 в виде x 2 – (y + z)x + y • z = 0.

Проверим, что у является корнем уравнения. Подставим его вместо х:
y 2 – (y + z)y + y • z = 0.

Получим 0 = 0, значит, y – корень уравнения.

Аналогично можно проверить, что и z является корнем уравнения.

С помощью теоремы, обратной теореме Виета, можно проверять, правильно ли найдены корни квадратного уравнения.

Значит, по теореме, обратной теореме Виета, числа 2 и 3 являются корнями данного уравнения.

С помощью теоремы, обратной теореме Виета, также можно подбором находить корни приведённого квадратного уравнения.

x 2 + 13x + 40 = 0
D = 13 2 – 4 • 1 • 40 = 169 – 160 = 9 > 0, значит, уравнение имеет два корня.

Подберём такие x₁ и x₂, чтобы

Таким образом, по теореме, обратной теореме Виета, получим корни данного уравнения x₁ = –5; x₂ = –8.

Алгебра. 8 класс: учеб. для общеобразоват. организаций / [Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, С. Б. Суворова]; под ред. С. А. Теляковского. – 6-е изд. – М.: Просвещение, 2017.

Конспект урока в 8 классе. «Приведенное квадратное уравнение. Теорема Виета».

Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

«Актуальность создания школьных служб примирения/медиации в образовательных организациях»

Свидетельство и скидка на обучение каждому участнику

Тема урока: «Теорема Виета».

Выяснить зависимость между корнями и коэффициентами приведенного квадратного уравнения; познакомить учащихся с теоремой Виета, учить находить подбором корни квадратного уравнения, используя теорему Виета, способствовать развитию внимания, логического мышления, связной математической речи, развивать умение анализировать и делать выводы.

Тип урока: сообщение новых знаний.

І.Актуализация опорных знаний.

Девиз : Думай и делай, делай и думай. И.А.Крылов.

Эпиграф : Никогда не теряй терпенья – это последний ключ, который открывает двери. Антуан де Сент- Экзюпери.

Какое уравнение называется квадратным?

Какие существуют виды квадратных уравнений?

Сколько корней может иметь квадратное уравнение?

От чего зависит наличие действительных корней квадратного уравнения?

Английский математик, которому принадлежит термин «Дискриминант».

Назовите формулу нахождения дискриминанта.

7 .Сколько корней имеет уравнение, если D > 0 .

8 .Сколько корней имеет уравнение, если D = 0.

9. Существуют ли корни квадратного уравнения, если D

10 . Назовите формулы нахождения корней квадратного уравнения.

ІІ. Изучение нового материала.

Поверите ли вы мне, если я скажу, что данное уравнение

смогу устно решить за несколько секунд и вы в конце урока тоже .

Сегодня мы с вами поведём речь о приведённых квадратных уравнениях, которые записывают ещё так: x 2 + px + q = 0.

Посмотрите внимательно на результаты работы.

Какое предположение можно сделать?

Сравните сумму и произведением корней с коэффициентами уравнений.

Какая существует зависимость между корнями приведенного квадратного уравнения и его коэффициентами?

Если приведённое квадратное уравнение x 2 + px + q = 0

Сформулированное утверждение называется теоремой Виета.

Сумма корней приведённого квадратного уравнения равна второму коэффициент, взятому с противоположным знаком, а произведение равно свободному члену.

Как же доказать? ( проблемный вопрос)

Предложить учащимся самостоятельно у доски доказать теорему Виета.

По праву достойна в стихах быть воспета

О свойствах корней теорема Виета

Что лучше, скажи постоянства такого .

Умножишь ты корни – и дробь уж готова?

А сумма корней тоже дроби равна

Хоть с минусом дробь, что за беда!

Немного исторических фактов о французском математике Франсуа Виете.

( Вьет (Vièete) Франсуа (1540, Фонтене-ле-Конт, – 13.12.1603, Париж), французский математик. По профессии юрист. В 1591 ввёл буквенные обозначения не только для неизвестных величин, но и для коэффициентов уравнений; благодаря этому стало впервые возможным выражение свойств уравнений и их корней общими формулами. Ему принадлежит установление единообразного приёма решения уравнений второй, третьей и четвертой степеней. Среди открытий сам Виет особенно высоко ценил установление зависимости между корнями и коэффициентами уравнений. Для приближённого решения уравнений с численными коэффициентами Виет предложил метод, сходный с позднейшим методом Ньютона. Сочинения Виета написаны трудным языком и поэтому получили меньшее распространение, чем заслуживали.)

Теорема (обратная теореме Виета).

ІІІ. Тренировочные упражнения.

Правильно ли найдены корни квадратного уравнения:

1) х 2 — 6х + 5 = 0,

2) х 2 + 3х – 40 = 0,

3) х 2 — 2х – 3 = 0,

Найдите корни квадратного уравнения:

х 2 — 16х + 15 = 0, ( х ₁ = 1, х ₂ =15)

х 2 + 2х — 3 = 0 (х ₁ = 1, х ₂ = — 3)

Составить приведенное квадратное уравнение, если x ₁ = –3, x ₂ = 1:

Составьте приведенное квадратное уравнение, если его корни равны:

В уравнении х 2 + pх + 36 = 0 один из корней равен — 4. Найдите другой корень и коэффициент p.

Вернёмся к уравнению х 2 – 2016х + 2015 = 0 . Найдём его корни.

ІV. Самостоятельная работа. ( если будет время)

Первичная проверка знаний ( с последующей взаимопроверкой):

Cоставить приведенное квадратное уравнение

2) Правильно ли найдены корни квадратного уравнения:

х 2 – 16х + 63 = 0

3) Один из корней квадратного уравнения равен -3. Найти коэффициент р и второй корень уравнения:

Cоставить приведенное квадратное уравнение

2) Правильно ли найдены корни квадратного уравнения:

х 2 + 18х — 63 = 0

3) Один из корней квадратного уравнения равен -2. Найти коэффициент р и второй корень уравнения:

Сегодня на уроке я узнал …

Сегодня на уроке я научился …

На следующих уроках мне хотелось бы…

VІ. Домашнее задание.

Прочитать, выучить теорему , п. 24;

решить № 583, №585, № 588.

ПО АЛГЕБРЕ В 8 КЛАССЕ

Подготовил и выполнил:

Тема урока: «Теорема Виета»

Цели урока: 1)способствовать формированию знаний у учащихся о теореме Виета,

научить её доказывать, а также применять при решении

приведенных квадратных уравнений;

2) способствовать развитию наблюдательности, умению анализировать

3) побуждать учащихся к самоконтролю, взаимоконтролю, вызывать

у них потребность в обосновании своих высказываниях

Оборудование: компьютер, экран, магнитная доска, индивидуальные оценочные

листы, карточки с заданиями, листы для выполнения диктанта.

1. Организационный момент.

Друзья мои! Я очень рада

Войти в приветливый ваш класс

И для меня уже награда

Вниманье ваших умных глаз.

( учитель проверяет готовность учащихся к уроку и говорит об оценочных листах, в которых учащиеся во время урока будут выставлять себе баллы)

Работа в группе

1. На уроке для меня было важно______________________________________

2. На уроке мне было сложно_________________________________________

3. Теперь я умею__________________________________________________

4. На уроке у меня получилось_____________________________________

2. Актуализация опорных знаний.

— Ребята, для того чтобы познавать мир, нам необходимы знания и прежде, чем начать изучать следующую тему, нужно убедиться, что мы имеем хорошие и прочные знания по предыдущей теме. А девизом нашего сегодня урока будут слова ученого Аль- Бируни: «Знания – самое превосходное из владений. Все стремятся к нему, само же оно не приходит». Кто мне скажет, какую тему мы проходили на предыдущих уроках? (Ответы уч-ся « Решение неполных квадратных уравнений», «Решение квадратных уравнений по формуле».«Решение задач с помощью квадратных уравнений»)

А) Математический тест для учащихся:

Ученики получают карточки с заданиями. Заполняют пропущенные слова в

Уравнение вида ax2 + bx + c = 0, где a, b, c — заданные числа, a ≠ 0, x — переменная, называется…

Полное квадратное уравнение не имеет корней, если …

Уравнение вида x2 + вx + с = 0 называется…

Квадратное уравнение имеет два корня, если b2 — 4ac…

Дано уравнение 3×2 — 7x + 4 = 0. D =…

Если квадратное уравнение ax2 + bx + c = 0, то a… коэффициент, c…

Уравнение x2 = a, где a – это…

Полное квадратное уравнение имеет единственный корень, если…

Уравнение вида ax2 + c = 0, где a ≠ 0, c ≠ 0, называют… квадратным уравнением.

Дано уравнение x2 — 6x + 8 = 0. D =…

После окончания работы, учитель говорит правильные ответы, учащиеся проверяют следующим образом: за правильный ответ – 1 балл, за неправильный ответ – 0 баллов, результат теста заносят в оценочный лист. Б) Фронтальный опрос учащихся.(устная работа)(задания на экране)1) укажите коэффициенты квадратных уравнений:а) 2х2 — 5х +10 =0; б) 2 + х + х2 =0; в) 5х2 — 4х=3; г) 6х – х2=0; д) 11- 2х2 =4х 2) назовите корни уравнений: х2 = 64; х2 + 3х =0; у2 – 121 =0; 5х2 =0; х2 -2=0

Учитель предлагает учащимся посоревноваться кто быстрее решит уравнение и записывает уравнение: х2 – 6х + 8 =0 (ученики решают с помощью дискриминанта, а учитель сразу говорит ответ, учащиеся проверяют, ответ действительно верный. Учитель предлагает еще два уравнения: х2- 2х – 15 =0 и х2 – 10х – 39 =0 и снова говорит сразу ответ, учащиеся проверяют ответы. У учащихся удивление, учитель знает, какой- то секрет при решении уравнений. Этим самым они ставят для себя проблему на уроке и её нужно решить.

3. Изучение нового материала.

Учитель разбивает класс на три группы и дает каждой группе задание

После проверки заданий учитель раздает каждому ученику таблицу с заданиями

Учащиеся проверяют сумму корней и произведение корней с коэффициентами квадратного уравнения и делают соответствующие выводы.

Небольшая историческая справка о Франсуа Виете. На экране портрет Ф.Виета. Ученица рассказывает ( на экране) о французском ученом.

«Впервые эти выводы сделал Франсуа Виет ( 1540 – 1603гг)- французский математик. Он был одним из первых, кто стал обозначать числа буквами, что существенно развило теорию уравнений. Свои выводы Франсуа Виет сформулировал в виде теоремы и доказал её. Использование этой теоремы позволяет экономить время при решении уравнений, что немаловажно при сдаче экзамена в форме тестирования. В старших классах есть задачи, решение которых можно выполнять только с помощью теоремы Виета».

Ученик (ца) рассказывают математический стих: «Теорема Виета»

По праву достойна в стихах быть воспета О свойствах корней теорема Виета Что лучше, скажи, постоянства такого? Умножишь ты корни — и дробь уж готова: В числителе с, в знаменателе а И сумма корней тоже дроби равна. Хоть с минусом дробь эта, что за беда – В числителе в, в знаменателе а?!

— А сейчас ребята найдите формулировку теоремы Виета в учебнике и зачитаем её.

Четыре ученика по очереди доказывают теорему у доски, остальные ребята работают в тетрадях.

1 ученик. Дано: х2 +вх + с =0, х1 и х2 — корни. Доказать: х1 + х2 = — в, х1 х2 = с.2 ученик. Доказательство: D= в2 — 4с 0, х1 = ; х2 = .3 ученик. х1 + х2 = + = = — b.4 ученик. х1 · х2 = · = = = cЧтобы применять теорему Виета, квадратное уравнение нужно привести к приведенному виду. А если квадратное уравнение не является приведенным, то как будет выглядеть теорема Виета?

После ответов учащихся учитель показывает на экране записи, ученики их записывают в тетрадь.

х1 + х2 = — b х1 · х2 =с

Физкультминутка ( музыкальная пауза, учащиеся выполняют различные несложные упражнения )

4. Закрепление новой темы.

Учащиеся в парах решают следующие уравнения: а) х2 +17х – 18=0 ( -18; 1)

б) х2 -11х +18 =0 (9; 2)

Ученики решают уравнения возле доски:

а) х2 +7х – 18 =0; б) х2 +9х +18 =0; в) х2 — 3х — 28 = 0

Самостоятельная работа по учебнику № 576, № 577

Более слабые ученики решают уравнения возле доски.

1) х2 — 15х +36 =0; 2) х2 + 9х + 20 = 0; 3) х2 — 17х + 30= 0;

х1 =12, х2 =3 х1 = -4, х2 = — 5. х1 = 15, х2 = 2

Проверка решений уравнений.

5. Подведение итогов урока.

— Чем мы занимались на уроке? Что нового узнали?

— Получилось ли реализовать цель, поставленную в начале урока? Почему?

— Кто хотел бы вернуться к какому – то этапу урока? В чем были трудности?

— Что понравилось на уроке, что запомнилось?

Учащиеся выставляют себе баллы, и оценочный лист отдают учителю.

Учитель выставляет оценки за урок.

6. Постановка домашнего задания.

Д/задание — № 575, № 574, № 587. Более сильные учащиеся готовят

доказательство теоремы Виета и обратной теоремы

Приведенное квадратное уравнение. Теорема Виета

Тема: «Приведенное квадратное уравнение. Теорема Виета»

Цель урока:

• Ввести понятие приведенного квадратного уравнения,
• Вывести формулу корней приведенного квадратного уравнения,
• Сформулировать и доказать теорему Виета,
• Сформулировать и доказать теорему, обратную теореме Виета,
• Научить учащихся решать приведенные квадратные уравнения, пользуясь теоремой обратной теореме Виета.

Тип урока: урок ознакомления с новым материалом.

Оборудование: учебник алгебры под ред. Никольский С.М. и др., тетрадь, раздаточный материал, презентация к уроку, составленная учителем.

Просмотр содержимого документа
«Приведенное квадратное уравнение. Теорема Виета»

Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение

«Средняя общеобразовательная школа №2 с. Чермен»

Конспект урока по алгебре

«Приведенное квадратное уравнение.

высшей квалификационной категории

с. Чермен 2021 год

Тема: «Приведенное квадратное уравнение. Теорема Виета»

Ввести понятие приведенного квадратного уравнения,

Вывести формулу корней приведенного квадратного уравнения,

Сформулировать и доказать теорему Виета,

Сформулировать и доказать теорему, обратную теореме Виета,

Научить учащихся решать приведенные квадратные уравнения, пользуясь теоремой обратной теореме Виета.

Тип урока: урок ознакомления с новым материалом.

Оборудование: учебник алгебры под ред. Никольский С.М. и др., тетрадь, раздаточный материал, презентация к уроку, составленная учителем.

Содержание (цель) этапа

Постановка цели урока. Создание благоприятных условий для успешной деятельности. Мотивация учения.

Проверка домашнего задания

Фронтальная, индивидуальная проверка и коррекция знаний и умений учащихся.

Анализ проверочной работы

Разбор допущенных ошибок, ответы на вопросы.

Изучение нового материала

Формирование опорных знаний, формулировка правил, решение задач, анализ результатов, ответы на вопросы учащихся.

Закрепление изученного материала

Усвоение изученного материала путем его применения при решении задач по аналогии под контролем учителя.

Подведение итогов урока

Оценка знаний отвечавших учеников. Проверка знаний и понимания формулировок правил методом фронтального опроса.

Ознакомление учащихся с содержанием задания и получение необходимых пояснений.

Разноуровневые задания для обеспечения развития учащихся.

Организационный момент. Постановка цели урока. Создание благоприятных условий для успешной деятельности. Мотивация учения.

Проверка домашнего задания. Фронтальная, индивидуальная проверка и коррекция знаний и умений учащихся.

Анализ проверочной работы. Разбор допущенных ошибок, ответы на вопросы.

Текст проверочной работы:

2.Найдите значение параметра а, при которых уравнение имеет:

Два различных корня.

2.Найдите значение параметра а, при которых уравнение имеет:

Два различных корня.

Изучение нового материала.

х 2 — 12х – 45 = 0

Найдите связь между коэффициентами а, b, с, суммой и произведением корней квадратного уравнения. Сделайте вывод.

4.1. Франсуа Виет – французский математик 16 века. Он был адвокатом, позднее – советником французских королей Генриха III и Генриха II.

Однажды он сумел расшифровать очень сложное испанское письмо, перехваченное французами. Инквизиция чуть не сожгла его на костре, обвинив в сговоре с дьяволом.

Франсуа Виета называют «отцом буквенной современной алгебры»

Как связаны между собой корни квадратного трёхчлена и его коэффициенты p и q? Ответ на этот вопрос дает теорема , которая носит имя «отца алгебры», французского математика Ф.Виета, которую мы будем сегодня изучать.

Знаменитая теорема была обнародована в 1591 году.

4.2.Сформулируем определение приведенного квадратного уравнения.

Определение. Квадратное уравнение вида называется приведенным.

Это значит, что старший коэффициент уравнения равен единице.

Всякое квадратное уравнение может быть приведено к виду . Для этого необходимо разделить обе части уравнения на .

4.3. Вывести формулы корней приведенного квадратного уравнения.

4.4. Сформулировать и доказать теорему Виета.

Если и — корни уравнения , то справедливы формулы , т.е. сумма корней приведенного квадратного уравнения равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком, а произведение корней равно свободному члену.

После этого учителем проводится доказательство теоремы. Затем совместно с учащимися делает вывод.

. . Значит числа и — числа

положительные. Необходимо найти два положительных числа, произведение которых

равно 6, а сумма равна 5. =2, =3 – корни уравнения.

4.5. Применение теоремы Виета.

С её помощью можно:

Найти сумму и произведение корней квадратного уравнения, не решая его,

Зная один из корней , найти другой,

Определить знаки корней уравнения,

Подобрать корни уравнения, не решая его.

По данным двум числам составлять квадратное уравнение.

4.6. Сформулируем теорему обратную теореме Виета.

Если числа p, q, и таковы, что удовлетворяют соотношения , то , — корни квадратного уравнения .

4.7. рассмотреть решение задачи 5 на странице учебника 125.