Приведенное полное квадратное уравнение можно решить следующими способами

Квадратные уравнения

Квадратное уравнение или уравнение второй степени с одним неизвестным — это уравнение, которое после преобразований может быть приведено к следующему виду:

ax 2 + bx + c = 0 — квадратное уравнение,

где x — это неизвестное, а a, b и c — коэффициенты уравнения. В квадратных уравнениях a называется первым коэффициентом (a ≠ 0), b называется вторым коэффициентом, а c называется известным или свободным членом.

называется полным квадратным уравнением. Если один из коэффициентов b или c равен нулю, или нулю равны оба эти коэффициента, то уравнение представляют в виде неполного квадратного уравнения.

Приведённое квадратное уравнение

Полное квадратное уравнение можно привести к более удобному виду, разделив все его члены на a, то есть на первый коэффициент:

Затем можно избавиться от дробных коэффициентов, обозначив их буквами p и q:

то получится x 2 + px + q = 0.

Уравнение x 2 + px + q = 0 называется приведённым квадратным уравнением. Следовательно, любое квадратное уравнение, в котором первый коэффициент равен 1, можно назвать приведённым.

является приведённым, а уравнение:

можно заменить приведённым уравнением, разделив все его члены на -3:

Решение квадратных уравнений

Чтобы решить квадратное уравнение, надо привести его к одному из следующих видов:

Для каждого вида уравнения есть своя формула нахождения корней:

Вид уравнения	Формула корней
ax 2 + bx + c = 0
ax 2 + 2kx + c = 0
x 2 + px + q = 0	или если коэффициент p нечётный

Обратите внимание на уравнение:

это преобразованное уравнение ax 2 + bx + c = 0, в котором коэффициент b — четный, что позволяет его заменить на вид 2k. Поэтому формулу нахождения корней для этого уравнения можно упростить, подставив в неё 2k вместо b:

Пример 1. Решить уравнение:

Так как в уравнении второй коэффициент не является чётным числом, а первый коэффициент не равен единице, то искать корни будем по самой первой формуле, называемой общей формулой нахождения корней квадратного уравнения. Сначала определим, чему равны коэффициенты:

Теперь, для нахождения корней уравнения, просто подставим значения коэффициентов в формулу:

Определим, чему равны коэффициенты:

Так как в уравнении второй коэффициент — чётное число, то будем использовать формулу для квадратных уравнений с чётным вторым коэффициентом:

Приведём уравнение к общему виду:

Определим, чему равны коэффициенты:

Так как первый коэффициент равен 1, то будем искать корни по формуле для приведённых уравнений с чётным вторым коэффициентом:

Определим, чему равны коэффициенты:

Так как первый коэффициент равен 1, то будем искать корни по формуле для приведённых уравнений с нечётным вторым коэффициентом:

Приведенное полное квадратное уравнение можно решить следующими способами

Главная
• Список секций
• Математика
• Основные способы решения полных квадратных уравнений

Основные способы решения полных квадратных уравнений

Автор работы награжден дипломом победителя III степени

Актуальность выбранной темы продиктована желанием показать разнообразие способов решения квадратных уравнений. Необходимость решать уравнения первой, но и второй степени ещё в древности была вызвана потребностью решать задачи, связанные с нахождением площади земельного участка и с земляными работами военного характера, а также с развитием астрономии и самой математики.

Начиная с 8 класса, умение решать квадратные уравнения является основополагающим, так как они находят широкое применение в решении тригонометрических, логарифмических, иррациональных, показательных и других видов уравнений. Квадратное уравнение широко распространено: во многих строительных и архитектурных расчётах, сооружениях, спорте, описании траектории движения планет. Поэтому исследование способов решения полных квадратных уравнений считаю актуальным.

Проблема: какие существуют способы решения полных квадратных уравнений?

Цель работы: изучить и систематизировать способы решения полных квадратных уравнений.

Изучить литературу по теме исследования.

Выбрать и изучить способы решения полных квадратных уравнений.

Объект исследования: полные квадратные уравнения.

Методы исследования: теоретический (изучение литературы), математический (построение графиков, вычисления).

Рассмотрим основные способы решения таких уравнений в нашей работе.

2.1 Квадратное уравнение: определение, виды, способы решения

Квадратным уравнением называется уравнение вида ax ² + bx + c =0, где х-переменная, a , b и c – некоторые числа, причём а¹0. Коэффициенты имеют свои названия: а – первый или старший коэффициент, в – второй коэффициент, с – свободный член. Если а=1, то уравнение называется приведённым. Если в=0 или с=0, то квадратное уравнение называют неполным (рис.1).

Рис.1 Виды квадратных уравнений

Примеры полных квадратных уравнений: 3x 2 -5x+2=0, x 2 -16x+24=0;

неполные: x 2 + 3x=0, 2x 2 — 128=0, 62x 2 = 0.

Корнями квадратного уравнения называются значения переменной, при которых уравнение обращается в верное равенство. Квадратное уравнение может иметь два, один или ни одного корня. [1]

В школьном курсе математики изучается несколько способов решения полных квадратных уравнений. Однако имеются и другие способы, которые позволяют очень быстро и рационально решать многие уравнения, всего насчитывается более десятка способов. Рассмотрим основные: решение квадратных уравнений по формуле, решение уравнения выделением полного квадрата, решение уравнения путём разложения левой части на множители, решение с помощью теоремы Виета и графический способ. Но сначала обратимся к историческим сведениям: как давно возникли квадратные уравнения и как их решали раньше?

2.2 Из истории квадратных уравнений

Квадратные уравнения в Индии.

Задачи на квадратные уравнения встречаются уже в астрономическом тракте «Ариабхаттиам», составленном в 499г. индийским математиком и астрономом Ариабахаттой. Другой индийский ученый, Брахмагупта ( VII в.), изложил общее правило решения квадратных уравнений, приведенных к единой канонической форме:

ах 2 + b х = с, а > 0

В уравнении все коэффициенты, кроме а, могут быть отрицательными. Правило Брахмагупта (приложение 1) по существу совпадает с ныне существующими.

Квадратные уравнения в Древнем Вавилоне

Квадратные уравнения умели решать около 2000 лет до н.э. вавилоняне. Если применить современную алгебраическую запись, то в их клинописных текстах можно встретить неполные и полные квадратные уравнения, например:

х 2 + х = , х 2 – х = 14

Правило решения этих уравнений, изложенное в вавилонских текстах, совпадает по существу с современным, однако неизвестно, каким образом дошли вавилоняне до этого правила. Почти все найденные до сих пор клинописные тексты приводят только задачи с решениями, изложенными в виде рецептов, без указаний относительно того, каким образом они были найдены. [5]

Квадратные уравнения в Европе XIII — XVII вв.

Формулы решения квадратных уравнений по образцу аль-Хорезми (приложение 1) в Европе были впервые изложены в «Книге абака», написанной в 1202г. итальянским математиком Леонардо Фибоначчи. Этот объемный труд, в котором отражено влияние математики как стран ислама, так и Древней Греции, отличается и полнотой, и ясностью изложения. Автор разработал самостоятельно некоторые новые алгебраические примеры решения задач и первый в Европе подошёл к введению отрицательных чисел. Его книга способствовала распространению алгебраических знаний не только в Италии, но и в Германии, Франции и других странах Европы. Многие задачи из «Книги абака» переходили почти во все европейские учебники XVI — XVII вв. и частично XVIII век.

Общее правило решения квадратных уравнений, приведённых к единому каноническому виду

при всевозможных комбинациях знаков коэффициентов b и с было сформулировано в Европе лишь в 1544г. М.Штифелем.

Вывод формулы решения квадратного уравнения в общем виде имеется у Виета, однако Виет признавал только положительные корни. Итальянские математики Тарталья, Кардано, Бомбелли среди первых в XVI в. учитывают, кроме положительных, и отрицательные корни. Лишь в XVII в. благодаря трудам Жирара, Декарта, Ньютона и других учёных способ решения квадратных уравнений принимает современный вид. [3]

2.3 Решение квадратных уравнений по формуле

Решение квадратных уравнений сводится к нахождению дискриминанта, чтобы определить количество корней: D=b 2 — 4aс.

Если D>0, то уравнение имеет два корня и находим эти корни по формуле:

Если D=0, то уравнение имеет один корень

Рассмотрим пример 1: нужно найти корни уравнения 3x 2 — 2x — 16=0.

Записываем сначала, чему равны числовые коэффициенты a, b и c:

a=3,b= -2,c= -16. Находим дискриминант: D=b 2 -4ac = (-2) 2 -4∙2∙(-16)=4+192=196

Дискриминант больше нуля, следовательно, у нас два корня, найдем их:

Х₁= (2 – 14) /6 = -2 Х₂ = (2 + 14) /6 = 8/3

Рассмотрим пример 2: найти корни уравнения x 2 — 6x + 11=0.

a=1,b= -6,c= 11. Находим дискриминант: D=b 2 -4ac = (-6) 2 -4∙1∙11= 36 — 44= — 8

Дискриминант меньше нуля, следовательно, корней нет.

Ответ: корней нет.

Рассмотрим пример 3: найти корни уравнения 4x 2 — 12x + 9=0.

a=4,b= -12,c= 9. Находим дискриминант: D=b 2 -4ac = (-12) 2 -4∙4∙9= 144 -144= 0

Дискриминант равен нулю, следовательно, у нас один корень:

2.4 Решение квадратных уравнений методом выделения полного квадрата

Поясним этот метод на примере 4: решим уравнение х 2 + 6х – 7 = 0.

Выделим в левой части полный квадрат. Для этого запишем выражение

х 2 + 6х в виде: х 2 + 6х = х 2 + 2· х ·3.

В полученном выражении первое слагаемое – квадрат числа х, а второе – удвоенное произведение х на 3, поэтому, чтобы получить полный квадрат, нужно прибавить 3 2 , так как х 2 + 2· х ·3 + 3 2 = (х + 3) 2 .

Преобразуем теперь левую часть уравнения х 2 + 6х – 7 = 0, прибавляя к ней и вычитая 3 2 . Имеем:

х 2 + 6х – 7 = х 2 + 2· х ·3 + 3 2 – 3 2 – 7 = (х + 3) 2 – 9 – 7 = (х + 3) 2 – 16.

Таким образом, данное уравнение можно записать так:

(х + 3) 2 –16 = 0, т.е. (х + 3) 2 = 16.

Следовательно, х + 3 = 4, х₁ = 1, или х + 3 = — 4 , х₂ = – 7.

2.5 Разложение левой части квадратного уравнения на множители

Рассмотрим пример 5: решим уравнение х 2 + 10х – 24 = 0.

Разложим левую часть уравнения на множители:

х 2 + 10х – 24 = х 2 + 12х – 2х – 24 = х(х + 12) – 2(х +12) = (х + 12)(х – 2).

Следовательно, уравнение можно переписать так:

Так как произведение равно нулю, то, по крайне мере один из его множителей равен нулю. Поэтому левая часть уравнения обращается в нуль при х = 2, а также при х = — 12. Это означает, что числа 2 и – 12 являются корнями уравнения х 2 + 10х – 24 = 0.

2.6 Графический способ решения

Если в уравнении x 2 + bx + c = 0

перенести второй и третий члены в правую часть, то получим x 2 = – bx – c .

Построим графики зависимостей у = х 2 и у = – bx – c .

График первой зависимости – парабола, проходящая через начало координат.

График второй зависимости – прямая. Возможны следующие случаи:

прямая и парабола могут пересекаться в двух точках, абсциссы точек пересечения являются корнями квадратного уравнения;

прямая и парабола могут касаться (только одна общая точка), т.е. уравнение имеет одно решение;

прямая и парабола не имеют общих точек, т.е. квадратное уравнение не имеет корней. [2]

Пример 6: решим графически уравнение х 2 –3х – 4 = 0.

Запишем уравнение в виде х 2 = 3х + 4. Построим параболу у = х 2 и прямую у = 3х + 4. Прямую у = 3х + 4 можно построить по двум точкам М(0;4) и N (3;13).

Прямая и парабола пересекаются в двух точках А и B с абсциссами х₁ = – 1 и х₂ = 4. (Рис.2)

2.7 Решение квадратных уравнений с помощью теоремы Виета

1. Приведенное квадратное уравнение имеет вид х 2 + px + q = 0.

Его корни удовлетворяют теореме Виета, которая при а = 1 имеет вид

Отсюда можно сделать следующие выводы (по коэффициентам p и q можно предсказать знаки корней).

Если свободный член q приведенного уравнения положителен ( q >0), то уравнение имеет два одинаковых по знаку корня и это зависит от второго коэффициента p .

Если p >0, то оба корня отрицательные, если p 2 – 3х + 2 = 0; х₁ = 2 и х₂ = 1, так как q = 2 > 0 и p = – 3 2 +8х + 7 = 0; х₁ = – 7 и х₂ = – 1, так как q = 7 > 0 и p = 8 >0.

Если свободный член q приведенного уравнения отрицателен ( q p p >0.

х 2 + 4х – 5 = 0; х₁ = – 5 и х₂ = 1, так как q = – 5 p = 4 > 0;

х 2 – 8х – 9 = 0; х₁ = 9 и х₂ = – 1, так как q = – 9 p = – 8 >0.

2. Теорема Виета для квадратного уравнения ах 2 + b х +с = 0 имеет вид

Справедлива теорема, обратная теореме Виета:

Если числа х₁ и х₂ таковы, что х₁+х₂ = — b , х₁х₂ = c , то х₁ и х₂ – корни квадратного уравнения х 2 + b х + c = 0.

Эта теорема позволяет в ряде случаев находить корни квадратного уравнения без использования формулы корней. [4]

Пример 7: решим уравнение х 2 – 9х + 14 =0.

Найдём два числа х₁ и х₂ , такие, что

Такими числами являются 2 и 7. По теореме, обратной теореме Виета, они и служат корнями заданного квадратного уравнения.

При решении квадратного уравнения не надо ограничиваться одним

способом решения уравнения, который изучается в школьном курсе математики, а для каждой ситуации можно использовать свой способ решения.

Особенно популярным способом является решение квадратного уравнения по формуле и теорема Виета. Изучив материалы для подготовки к ГИА, я пришла к выводу: материалы содержат много квадратных уравнений, при решении которых можно использовать различные способы.

Интересным для меня оказался графический способ решения квадратного уравнения. Но недостаток этого способа – не всегда значения абсцисс точек пересечения графиков будут являться целыми и точными значениями.

Более подробно изучив тему «Решение полных квадратных уравнений», я углубила знания в истории развития математики и открыла много полезного и нового для себя. Кроме вышеперечисленных мною основных способов решения квадратных уравнений в разных источниках выделяют ещё: решение уравнений способом «переброски», решение с помощью циркуля и линейки, решение с помощью номограммы, геометрический способ и использование свойств коэффициентов квадратного уравнения.

Такая широкая тема позволяет всем желающим находить в книгах, научных журналах, сайтах всё новые пути решения уравнений, создавать основу для дальнейших исследований в мире математики, получать необходимые интересующие сведения, применение которых на практике способствует развитию мышления и повышению уровня знаний. Каждый из способов удобен по-своему, интересен и значим в общей копилке умений каждого.

Список использованных источников и литературы

Мерзляк А.Г. Алгебра: 8 класс: учебник для общеобразовательных организаций/А.Г.Мерзляк, В.Б.Полонский, М.С.Якир. – М.:Вентана – Граф, 2017.

Окунев А.К. Квадратичные функции, уравнения и неравенства / Пособие для учителя. — М.: Просвещение, 2016.

Соломник В.С., Милов П.И. Сборник вопросов и задач по математике. Изд. — 4-е, дополн. — М.: Высшая школа, 2017.

Якушева Г.Н. Математика. Справочник школьника. — М., Просвещение, 2015.

История возникновения квадратных уравнений: [Электронный ресурс]. URL : https://ru.wikipedia.org/wiki/Квадратное_уравнение (Дата обращения 26.03.2019).

Индийский математик Брахмагупта и среднеазиатский учёный, математик, астроном Абу́ Абдулла́х Муха́ммад ибн Муса́ аль-Хорезми́

Квадратные уравнения (способы решения)

Разделы: Математика

Необходимость решать уравнения не только первой, но и второй степени ещё в древности была вызвана потребностью решать задачи, связанные с нахождением площадей земельных участков и с земляными работами военного характера, а также с развитием астрономии и самой математики.

Квадратные уравнения умели решать около 2000 лет до нашей эры в Вавилоне. Применяя современную алгебраическую запись, можно сказать, что в их книгописных текстах встречаются, кроме неполных, и такие, как полные квадратные уравнения.

Определение

Уравнение вида ax 2 + bx + c = 0, где a, b, c — действительные числа, причем a ≠ 0, называют квадратным уравнением.

Если a = 1 , то квадратное уравнение называют приведенным; если a ≠ 1, то неприведенным .
Числа a, b, c носят следующие названия: a — первый коэффициент, b — второй коэффициент, c — свободный член.

Корни уравнения ax 2 + bx + c = 0 находят по формуле

Выражение D = b 2 — 4ac называют дискриминантом квадратного уравнения.

• если D 0, то уравнение имеет два действительных корня.

В случае, когда D = 0, иногда говорят, что квадратное уравнение имеет два одинаковых корня.

Формулы

Полное квадратное уравнение

Неполные квадратные уравнения

Если в квадратном уравнении ax 2 + bx + c = 0 второй коэффициент b или свободный член c равен нулю, то квадратное уравнение называется неполным.

Неполные уравнения выделяют потому, что для отыскания их корней можно не пользоваться формулой корней квадратного уравнения — проще решить уравнение методом разложения его левой части на множители.

Способы решения неполных квадратных уравнений:

Решение неполного квадратного уравнения

Квадратные уравнения с комплексными переменными

Сначала рассмотрим простейшее квадратное уравнение z 2 = a, где a-заданное число, а z-неизвестное. На множестве действительных чисел это уравнение:

1. имеет один корень z = 0, если а = 0;
2. имеет два действительных корня z_{1, 2} = ±√a
3. Не имеет действительных корней, если a 2 + x + 1 = 0.
   Решим уравнение. Для этого построим два графика y = x 2 ; y = x + 1.

y = x 2 , квадратичная функция, график парабола.
y = x + 1, линейная функция, график прямая.

Графики пересекаются в двух точках, уравнение имеет два корня.
Ответ: x ≈ -0,6; x ≈ 2,6.

Решение задач с помощью квадратных уравнений

Зная, что скорость в стоячей воде равна 10 км/ч, составим уравнение.