Уравнения первой степени: формулы, как их решать, пример, упражнения
Уравнения первой степени: формулы, как их решать, пример, упражнения — Наука
Содержание:
В первая степень или линейные уравнения с неизвестным — это те, которые могут быть выражены как сумма двух членов следующим образом:
куда а и б, с участием к ≠ 0, являются действительными числами R или также комплексными C. Чтобы решить эту задачу, члены транспонируются, что означает изменение членов с одной стороны равенства на другую.
Чтобы решить неизвестное, транспонируется член + b, который должен перейти в правую часть равенства с измененным знаком.
Затем значение x очищается следующим образом:
В качестве примера мы собираемся решить следующее уравнение:
Переносим член -5 в правую часть с измененным знаком:
Это эквивалентно добавлению 5 к обеим сторонам исходного уравнения:
6x — 5 + 5 = 4 + 5 → 6x = 9
А теперь решаем неизвестный «х»:
Это эквивалентно делению обеих частей равенства на 6. Таким образом, мы можем использовать следующее, чтобы получить решение:
-Вы можете прибавить или вычесть одно и то же количество к обеим сторонам равенства в уравнении, не изменяя его.
-Вы также можете умножить (или разделить) на одинаковую величину все члены как слева, так и справа от уравнения.
-И если оба члена уравнения возведены в одну и ту же степень, равенство также не изменяется.
Как решать уравнения первой степени
Решение уравнения первой степени также называется его корнем. Именно значение x преобразует исходное выражение в равенство. Например в:
Если мы подставим в это уравнение x = 5, мы получим:
Поскольку линейные уравнения первой степени бывают разных форм, которые иногда не очевидны, существует ряд общих правил, которые включают в себя несколько алгебраических манипуляций, чтобы найти значение неизвестного:
— Во-первых, если есть указанные операции, их необходимо провести.
— Группирующие символы, такие как круглые скобки, скобки и фигурные скобки, если они существуют, должны быть удалены с сохранением соответствующих знаков.
— Термины переносятся так, что все те, которые содержат неизвестное, помещаются с одной стороны равенства, а те, которые не содержат его, с другой.
-Затем все подобные термины сокращаются до формы топор = -b.
–И последний шаг — прояснить неизвестное.
Графическая интерпретация
Уравнение первой степени, поставленное в начале, может быть получено из уравнения прямой y = mx + c, в результате чего y = 0. Полученное значение x соответствует пересечению прямой с горизонтальной осью.
На следующем рисунке есть три линии. Начиная с зеленой линии, уравнение которой:
Делая y = 0 в уравнении прямой, получается уравнение первой степени:
Чье решение — x = 6/2 = 3. Теперь, когда мы детализируем график, легко понять, что на самом деле линия пересекает горизонтальную ось в точке x = 3.
Синяя линия пересекает ось x в точке x = 5, которая является решением уравнения –x + 5 = 0. Наконец, линия с уравнением y = 0,5x + 2 пересекает ось x в точке x = — 4, что легко увидеть из уравнения первой степени:
Примеры простых линейных уравнений
Целочисленные уравнения
Это те, в терминах которых нет знаменателей, например:
Дробные уравнения
Эти уравнения содержат по крайней мере один знаменатель, отличный от 1. Чтобы решить их, рекомендуется умножить все члены на наименьшее общее кратное (НОК) знаменателей, чтобы исключить их.
Следующее уравнение является дробным типом:
Поскольку эти числа малы, нетрудно увидеть, что m.c.m (6, 8,12) = 24. Этот результат легко получить, выразив числа как произведение простых чисел или их степеней, давайте посмотрим:
Наименьшее общее кратное определяется путем умножения общего и необычного множителей 6, 8 и 12 на их наибольшую экспоненту, затем:
lcm (6,8,12) = 2 3 ⋅3 = 8 × 3 = 24
Поскольку у нас есть наименьшее общее кратное, его нужно умножить на каждый из членов уравнения:
4 (x + 5) -3 (2x + 3) = 2 (1-5x)
Мы пользуемся распределительным свойством:
4x + 20 — 6x -9 = 2 — 10x
Все члены, содержащие неизвестный «x», сгруппированы в левой части равенства, а независимые или числовые члены остаются в правой части:
4x — 6x + 10 x = 2 +9 — 20
Буквальные уравнения
Это линейные уравнения с одним неизвестным, которые, однако, сопровождаются буквальными коэффициентами (буквами). Эти буквы обрабатываются так же, как и числа. Пример буквального уравнения первой степени:
Это уравнение решается так же, как если бы независимые члены и коэффициенты были числовыми:
-3ax — 5x = — b — 2a
Факторизация неизвестного «x»:
х (-3a — 5) = — b — 2a
х = (- b — 2a) / (-3a — 5) → x = (2a + b) / (3a + 5)
Системы уравнений первой степени
Системы уравнений состоят из системы уравнений с двумя или более неизвестными. Решение системы состоит из значений, которые одновременно удовлетворяют уравнениям, и для его однозначного определения должно быть уравнение для каждой неизвестной.
Общий вид системы м линейные уравнения с п неизвестные это:
Если у системы есть решение, оно называется совместимый определен, когда существует бесконечный набор значений, которые удовлетворяют, это неопределенный совместимый, и, наконец, если у нее нет решения, то она несовместимый.
При решении систем линейных уравнений используются несколько методов: редукция, подстановка, выравнивание, графические методы, метод исключения Гаусса-Жордана и использование определителей являются одними из наиболее часто используемых. Но есть и другие алгоритмы решения, более удобные для систем со многими уравнениями и неизвестными.
Пример системы линейных уравнений с двумя неизвестными:
8x — 5 = 7лет — 9
6х = 3у + 6
Решение этой системы представлено далее в разделе решенных упражнений.
Линейные уравнения с абсолютным значением
Абсолютное значение действительного числа — это расстояние между его положением на числовой прямой и нулем на числовой прямой. Поскольку это расстояние, его значение всегда положительно.
Абсолютное значение числа обозначается полосами по модулю: │x│. Абсолютное значение положительного или отрицательного числа всегда положительно, например:
В уравнении абсолютного значения неизвестное находится между стержнями модуля. Рассмотрим следующее простое уравнение:
Есть две возможности, первая — это положительное число x, и в этом случае мы имеем:
Другая возможность состоит в том, что x — отрицательное число, в этом случае:
Это решения этого уравнения. Теперь посмотрим на другой пример:
Сумма внутри столбцов может быть положительной, поэтому:
Или это может быть отрицательно. В таком случае:
-x — 6 = 11 ⇒ -x = 11 + 6 = 17
А ценность неизвестного:
Таким образом, это уравнение абсолютного значения имеет два решения: x1 = 5 и x2 = -17. Мы можем проверить, что оба решения приводят к равенству в исходном уравнении:
Простые решаемые упражнения
— Упражнение 1
Решите следующую систему линейных уравнений с двумя неизвестными:
8x — 5 = 7y -9
6х = 3у + 6
Решение
Как предлагается, эта система идеальна для использования метода подстановки, поскольку во втором уравнении неизвестная Икс практически готов к оформлению:
И его можно сразу подставить в первое уравнение, которое затем становится уравнением первой степени с неизвестным «y»:
8 [(3y + 6) / 6] — 5 = 7y — 9
Знаменатель можно опустить, умножив каждый член на 6:
6. 8⋅ [(3y + 6) / 6] — 6.5 = 6 .7y– 6. 9
8⋅ (3лет + 6) — 30 = 42лет — 54
Применяя распределительное свойство в первом члене справа от равенства:
24 года + 48-30 = 42 года — 54 ⇒ 24 года + 18 = 42 года — 54
Уравнение можно упростить, так как все коэффициенты кратны 6:
4лет + 3 = 7лет — 9
С этим результатом переходим к очистке от x:
х = (3у +6) / 6 → х = (12 + 6) / 6 = 3
— Упражнение 2.
Решите следующее уравнение:
Решение
Продукты представлены в этом уравнении, и, следуя инструкциям, данным в начале, они должны быть разработаны в первую очередь:
3х — 10х +14 = 5х + 36х + 12
Тогда все члены, содержащие неизвестные, переносятся в левую часть равенства, а в правую часть будут стоять независимые члены:
3x — 10x — 5x — 36x = 12 — 14
— Упражнение 3.
Сложение трех внутренних углов треугольника дает 180 °. Наивысшее превосходит второстепенное на 35 °, а последнее, в свою очередь, превышает разницу между наибольшим и средним на 20 °. Какие углы?
Решение
Мы будем называть «x» большим углом, «y» — средним, а «z» — наименьшим. Когда в утверждении говорится, что их сумма равна 180º, можно записать:
Тогда мы знаем, что большее превышает меньшее на 35º, мы можем записать это так:
Наконец, наименьшее значение превышает разницу между наибольшим и средним на 20 °:
У нас есть система из 3-х уравнений и 3-х неизвестных:
Решая для z из первого уравнения, мы имеем:
180 — х — у = х — у + 20
Передача неизвестных в левую часть, как всегда:
-x — y — x + y = 20 — 180
Буква «y» отменяется и остается:
Из второго уравнения находим значение z:
z = x — 35 = 80 — 35 = 45º
И значение y находится от первого или третьего:
y = 180 — x — z = 180 — 80 — 45 = 55º
Ссылки
- Балдор. 1977. Элементарная алгебра. Венесуэльские культурные издания.
- Монтерейский институт. Уравнения, неравенства и абсолютное значение. Получено с: montereyinstitute.org.
- Интернет-учитель. Классификация линейных уравнений или уравнений первой степени. Получено с: profesorenlinea.cl.
- Хоффман, Дж. Выбор тем по математике. Том 2.
- Хименес, Р. 2008. Алгебра. Прентис Холл.
- Зилл, Д. 1984. Алгебра и тригонометрия. Макгроу Хилл.
3 различия между пандемией и эпидемией (и примеры)
Цели достижения: что это такое и как они помогают понять процесс обучения
Линейные уравнения — алгоритмы и примеры решений с объяснением для 6 класса
Простые равенства с неизвестными — первоначальный этап знакомства с линейными уравнениями. Примеры с объяснением для 6 класса основываются не только на решении последних, но и на базовых определениях, а также использования формул сокращенного умножения для понижения степени до единицы. Математики рекомендуют начать с теории, а затем перейти к ее практическому применению.
Общие сведения
Уравнение — совокупность чисел и переменных. Иными словами, тождеством, содержащим неизвестные величины, называется математическая запись, в которой следует определить значения переменных, превращающих это выражение в истинное. Например, переменная t в выражении 2t=6 эквивалентна 3, поскольку 2*3=6.
Линейное — тождество, в котором максимальный показатель степени при неизвестной величине всегда эквивалентен единице.
В математике существует термин «корень уравнения». Он означает, что для решения равенства необходимо найти все допустимые значения, превращающие его в истинное тождество. Далее следует разобрать классификацию линейных выражений с переменными.
Классификация уравнений
Прежде чем рассматривать примеры уравнений по алгебре в 7 классе (изучаются подробнее, чем в 6-м), необходимо разобрать их классификацию, поскольку она влияет на алгоритм нахождения корней. Они бывают трех типов:
Первый вид — обыкновенные приведенные линейные уравнения, состоящие из числовых величин и переменных с единичным степенным показателем. Они являются наиболее распространенными не только в математике и физике, но и в других дисциплинах с физико-математическим уклоном. Графиком их функции является прямая линия, которую также называют прямо пропорциональной зависимостью.
Ко второму типу относятся любые многочлены линейного типа, имеющие переменную, а также некоторый параметр. Последний влияет на решение и нахождение корней. Обычно он задается на начальном этапе решения, но бывают и исключения. В последнем случае необходимо указывать диапазон допустимых значений параметра.
Суть решения второго вида уравнений — предотвратить превращение тождества в пустое множество. Для этой цели требуется исключить при помощи записи в виде неравенства все ложные значения параметра. Выражения с параметром применяются в программировании при написании и разработке различных алгоритмов. Кроме того, их можно встретить при описании физических процессов и явлений.
Последний тип — выражения высшей степени, которые при помощи математических преобразований превращаются в первый или второй тип. Для их решения необходимо знать формулы сокращенного умножения, понижающие степень до единицы, а также навык раскрытия скобок и приведения подобных компонентов.
Обыкновенные тождества
Простое линейное уравнение записывается в таком виде: At+Bt+Ct+As+Bs+Cs=0. Некоторых коэффициентов может и не быть. Кроме того, тождество может записываться в виде выражения, включающего в свой состав скобки. Алгоритм решения имеет следующий вид:
Следует отметить, что также составляются примеры линейных уравнений для тренировки в 7 классе. Необходимо разобрать решение одного из них «7 (t-1)(t+1)-7t (t-1)=8». Решать его нужно по вышеописанному алгоритму:
Последний пункт реализации методики свидетельствует о том, что корень тождества найден правильно. Далее нужно рассмотреть выражения с параметром.
Выражения с параметром
Уравнения с некоторым параметром решаются немного по другой методике. Ее суть заключается в нахождении корня, дополнительно зависящего от некоторого значения. Алгоритм имеет следующий вид:
Реализацию методики необходимо рассмотреть на практическом примере «t-2+pt=0», где р — параметр тождества. Решать выражение нужно по такому алгоритму:
Иногда в некоторых задачах нет необходимости подставлять значение параметра. В этом случае следует просто записать формулу корня, указав допустимый интервал (диапазон) последнего. Например, в вышеописанном примере решение записывается следующим образом: t=2/(1+p)
Понижение степени
Некоторые уравнения представлены степенью при неизвестной, превышающую единицу. К ним относятся следующие виды: квадратные, кубические и бикубические. Каждый из трех видов имеет собственный алгоритм нахождения корней.
Однако некоторые из них можно свести к линейному типу. Для этого применяется метод разложения на множители. Он подразумевает алгебраические соотношения, при помощи которых выражение легко записывается в обыкновенной линейной форме. К ним относятся следующие:
Первая и вторая формула называется квадратом суммы или разности соответственно. Третья — разность квадратов. Кроме того, бывают случаи, при которых невозможно применить эти тождества. Для этого требуется выносить общий множитель за скобки, тем самым понижая степень. Для нахождения корней существует определенная методика:
Реализация алгоритма нужно проверить на практическом примере, т. е. следует решить уравнение «3t^2-3=0». Найти его корни можно, воспользовавшись вышеописанной методикой:
Кубические и бикубические должны сводиться к квадратным, а затем преобразовываться в линейные, поскольку формулы кубов суммы и разности, при их разложении на множители, дают вторую степень. Однако существует еще один частный случай, о котором не упоминалось при классификации линейных выражений с неизвестными — системы уравнений.
Системы линейного типа
Система уравнений — совокупность выражений с неизвестными, которые имеют общие решения. Методика для вычисления корней имеет следующий вид:
Однако для практического применения вышеописанной методики необходимо разобрать систему уравнений, состоящую из двух тождеств (5t-2s=1 и 4t^2-s^2=0). Решать ее нужно по вышеописанной методике:
В третьем пункте математики рекомендуют разложить тождество на множители, поскольку необходимо всегда понижать степень при неизвестной величине. Во всех трех случаях описаны простые примеры, которые позволяют перейти к более сложным заданиям.
Следует отметить, что еще одним методом решения системы уравнений считается построение графиков функций, входящих в ее состав. Методика поиска решений сводится к простым шагам, которые можно править относительно предыдущего алгоритма таким образом:
В последнем пункте методики находятся корни системы уравнений. Далее рекомендуется их подставить в исходные выражения для проверки.
Таким образом, линейные уравнения применяются в различных физико-математических дисциплинах и прикладных науках. Для их решения существуют определенные методики, позволяющие выполнить эту операцию за короткий промежуток времени и не допустить ошибок.
Алгебра. 7 класс
Конспект урока
Уравнения первой степени с одним неизвестным. Линейные уравнения с одним неизвестным
Перечень рассматриваемых вопросов:
Решение линейных уравнений.
Уравнение – это равенство, включающее в себя переменную, значение которой нужно вычислить.
Корень уравнения – это число, при подстановке которого в уравнение получается верное равенство.
Переменная – символ, используемый для представления величины, которая может принимать любое из ряда значений.
Свободный член – член уравнения, не содержащий неизвестного.
Решить уравнение – значит найти все его корни или установить, что их нет.
Преобразование – это действия, выполняемые с целью замены исходного выражения на выражение, которое будет тождественно равным исходному.
Линейное уравнение – уравнение вида ax = b, где x – переменная, a, b – некоторые числа.
1. Никольский С. М. Алгебра: 7 класс. // Никольский С. М., Потапов М. К., Решетников Н. Н., Шевкин А. В. – М.: Просвещение, 2017. – 287 с.
1. Чулков П. В. Алгебра: тематические тесты 7 класс. // Чулков П. В. – М.: Просвещение, 2014 – 95 с.
2. Потапов М. К. Алгебра: дидактические материалы 7 класс. // Потапов М. К., Шевкин А. В. – М.: Просвещение, 2017. – 96 с.
3. Потапов М. К. Рабочая тетрадь по алгебре 7 класс: к учебнику С. М. Никольского и др. «Алгебра: 7 класс». 1, 2 ч. // Потапов М. К., Шевкин А. В. – М.: Просвещение, 2017. – 160 с.
Теоретический материал для самостоятельного изучения.
Давайте посмотрим на 2 уравнения: 10x = 36 и 3x 2 = 2
Можем ли мы сказать, что оба уравнения являются линейными уравнениями первой степени?
Конечно, нет. Хотя, по определению линейных уравнений, оба уравнения подходят, у второго уравнения переменная входит в него во второй степени, а это противоречит отличительной особенности линейного уравнения первой степени.
Определение: Уравнение вида ax = b, где – x переменная, a, b – некоторые числа, называется линейным уравнением с одной переменной.
А что означает решить уравнение?
Решить уравнение – означает найти все его корни или доказать, что корней нет.
Линейными уравнениями называются не только уравнения вида ax + b = 0, но и любые уравнения, которые преобразованиями и упрощениями сводятся к этому виду.
Давайте подумаем, является ли уравнение 2(5x + 4) = 2x – 16 – линейным уравнением первой степени? Нет, так как оно не записано в виде ax = b. Можно ли привести его к такому виду?
Попробуем это сделать. Переменная x входит в это уравнение первой степени. Все такие уравнения можно преобразовать в вид ax + b = 0 с помощью тождественных преобразований. Для этого раскроем скобки в левой части уравнения, воспользовавшись распределительным законом умножения.
Вычтем из правой и левой частей уравнения 2x и 8.
Затем приведём подобные слагаемые в левой и правой частях уравнения и получим уравнение стандартного вида.
А как же проверить, является ли число корнем уравнения, не решая его?
В таком случае, нам достаточно подставить значение переменной в уравнение и проверить, выполняется равенство или нет.
Чтобы узнать, является ли число корнем уравнения, нужно:
— Подставить вместо переменной числовое значение.
— Посмотреть, получилось верное равенство или нет.
Если верное, то число является корнем уравнения, в противном случае – нет.
Чётко распознать линейное уравнение можно в некоторых случаях. Скажем, если перед нами уравнения, в которых есть только неизвестные в первой степени и числа.
Приведём это уравнение к стандартному виду. В левой части раскроем скобки:
Линейное уравнение имеет вид:
Задание 1. Какое значение переменной удовлетворяет уравнению 4x – 2 = 14?
Для того чтобы определить, какое из значений удовлетворяет уравнению, нужно подставить вместо переменной соответствующее значение и проверить, получается ли истинное равенство. Соответственно, при истинности, значение переменной будет удовлетворять условию.
При x = 0 получаем: 4 · 0 – 2 = 14
–2 = 14 – ложь. Следовательно, x = 0 не удовлетворяет решению уравнения.
При x = 2,5 получаем: 4 · 2,5 – 2 = 14
3 = 14 – ложь. Следовательно, x = 2,5 не удовлетворяет решению уравнения.
При x = 4 получаем: 4 · 4 – 2 = 14
14 = 14 – истина. Следовательно, x = 4 удовлетворяет решению уравнения.
При x = 0,1 получаем: 4 · 0,1 – 2 = 14
–1,6 = 14 – ложь. Следовательно, x = 0,1 не удовлетворяет решению уравнения.
Задание 2. Уравнение 2(2x – 3) = 2x + 16 надо привести к стандартному виду.
Для того чтобы определить, какое из значений является верным приведением уравнения к стандартному виду, нужно просто привести уравнение к стандартному виду.
2(2x – 3) = 2x + 16 – раскроем скобки, умножив число на разность;
4x – 6 = 2x + 16 – преобразуем уравнение, перенеся слагаемые, содержащие переменные в левую часть уравнения, а числа в правую, меняя при этом знак на противоположный;
4x – 2x = 16 – 6 – упростим выражение, приведя подобные слагаемые;
2x = 22 – полученное уравнение приведено к стандартному виду ax = b, где a = 1, b = 22
http://kupuk.net/uroki/algebra/lineinye-yravneniia-algoritmy-i-primery-reshenii-s-obiasneniem-dlia-6-klassa/
http://resh.edu.ru/subject/lesson/7277/conspect/