Привести дифференциальное уравнение к безразмерному виду

Условия подобия процессов конвективного теплообмена

Если систему дифференциальных уравнений и граничные условия привести к безразмерному виду, то число влияющих факторов формально сократится, например число (критерий)
Рейнольдса: соотношение сил инерции и вязкости.
Для нахождения явного вида зависимостей (9) нужны опытные данные. Чтобы результаты опытов на модели можно было перенести на натуру, необходимо, по условию подобия процессов на модели и натуре, выдержать равенство чисел подобия:
.

Условия подобия физических явлений

Если модель изготовлена в масштабе = 1/10, то для одной и той же жидкости на модели и натуре, для соблюдения условий подобия необходимо, чтобы отношение скоростей было = 10, что не всегда можно обеспечить.
Поэтому иногда моделируют процессы на других жидкостях
= 1/10. В теорию подобия внесли большой вклад
Гухман А.А., Кирпичев М.В., Петухов В.С., Михеев М.А. и др.
Приведем систему дифференциальных уравнений и условия однозначности к безразмерному виду одним из способов — методом масштабных преобразований.
Получатся безразмерные величины:

Безразмерное дифференциальное уравнение теплоотдачи

Выразим размерные величины через безразмерные и масштабы отнесения, выбранные из условий однозначности, подставим их в дифференциальные уравнения и граничные условия. Тогда дифференциальное уравнение теплоотдачи примет вид:
После сокращения на и переноса всех размерных величин в левую сторону получим: (1)
где — число Нуссельта (соотношение конвективной теплоотдачи вне пограничного слоя и теплопроводности внутри.

Дифференциальное уравнение энергии для стационарного режима имеет вид:
(2)
Выразим все размерные величины через безразмерные и масштабы отнесения:
Тогда дифференциальное уравнение энергии:
(3)

Безразмерное дифференциальное уравнение энергии

Умножим обе части уравнения (3) на
После сокращений получим безразмерное дифференциальное уравнение энергии Фурье-Кирхгофа (теплопроводности в жидкости): . (4)
Здесь число (критерий) Пекле.

Приведение к безразмерному виду уравнения движения

Дифференциальное уравнение движения Навье-Стокса в проекции на ось х для стационарного режима:
(5)
Умножим обе части уравнения на и вынесем из него только размерные величины:

Числа подобия Рейнольдса, Грасгофа, Эйлера

После сокращений имеем: (6)
В левой части — число (критерий) Рейнольдса
(соотношение сил инерции и вязкости). Умножим первый член правой части уравнения (6) на:
где число (критерий) Грасгофа – соотношение подъемных и вязкостных сил.
Второй член правой части равенства (6) умножим на:
где число (критерий) Эйлера – соотношение сил давления и инерции.

Безразмерное дифференциальное уравнение сплошности (неразрывности)

Тогда безразмерное дифференциальное уравнение движения
Навье-Стокса в проекции на ось х для стационарного режима:
(7)
Проекции уравнения Навье-Стокса на оси y и z не дадут новых чисел подобия, поэтому их не рассматриваем.
Дифференциальное уравнение сплошности (неразрывности)
или
Так как , то безразмерное дифференциальное уравнение сплошности: или (8)

Безразмерные система уравнений и граничные условия

Безразмерная система дифференциальных уравнений конвективного теплообмена:
(9)
Граничные условия I рода:
(10)

Преобразуем число Пекле следующим образом:
где число (критерий) Прандтля – соотношение полей скоростей и температур.
Из безразмерной системы уравнений и граничных условий можно выявить три вида величин:
● независимые переменные —
● постоянные величины —
● зависимые переменные —
Определяемые числа подобия
Определяющие числа подобия

Общий вид решений конвективной теплоотдачи в безразмерном виде

Каждый определяемый критерий подобия является функцией определяющих:
(11)
В безразмерных зависимостях (11) шесть влияющих факторов, по сравнению с двенадцатью — в размерных уравнениях (9)
для (см. Тепломассообмен 10).

Подобными называются явления, которые имеют одинаковую физическую природу и описываются одинаковыми по форме и по содержанию уравнениями.
Бывают следующие виды подобия:
● геометрическое – подобие геометрических фигур;
● тепловое – подобие тепловых потоков и температурных полей;
● кинематическое – подобие движений жидкостей;
● динамическое – подобие сил, вызывающих подобные движения.
Основные понятия о теории подобия можно получить из трех теорем подобия.
I теорема – в подобных явлениях одноименные числа подобия равны:

II и III теоремы подобия физических явлений

II теорема – решение дифференциального уравнения
(системы уравнений) можно представить в виде функции от чисел подобия, полученных из этого уравнения:
IIIтеорема – подобны те явления, условия однозначности которых подобны, а числа подобия, составленные из этих условий однозначности, равны.
Условия однозначности подобны, если в сходственных точках в сходственные моменты времени отношение одноименных величин есть величины постоянные, называемые константами подобия. Одноименные величины – это величины, имеющие одинаковый физический смысл и размерности.

Для геометрического подобия необходимо равенство отношений сходственных сторон: — константа геометрического подобия.

константа теплового константа кинема- подобия; тического подобия.
Сходственные точки – это точки, отвечающие геометрическому подобию А1-А2; В1-В2; С1-С2.
Сходственные моменты времени – имеющие одинаковое начало отсчета, для которых безразмерное время.
Константы подобия нельзя выбирать произвольно, они связаны между собой:
Так как то константы подобия связаны соотношением:

Приведение дифференциальных уравнений конвективного теплообмена и условий однозначности к безразмерному виду

Приведение дифференциальных уравнений конвективного теплообмена и условий однозначности к безразмерному виду

• Редукция дифференциальных уравнений конвекции Передача тепла к безразмерным формам и ясным условиям Чтобы применить на практике теорию подобия в случае конвективного теплообмена, описываемого системой дифференциальных уравнений и условиями единственности с большим числом переменных, необходимо сначала узнать число подобия, содержащееся в уравнении подобия. , Эти

системы дифференциальных уравнений, включая дифференциальные уравнения теплопередачи между твердыми телами в движущейся жидкости и внешней средой V, энергии или теплопроводности, движения вязких несжимаемых жидкостей (или уравнений Навье-Стокса) и непрерывности Числа, раскрывающие структуру. Хотя показанная система уравнений обеспечивает полное

математическое описание явления теплопередачи с условием единственности r, сталкивается с большими трудностями. Поскольку физические величины измерения могут быть связаны с безразмерными I-комплексами, число комплексов меньше, чем количество величин,

аналитическое решение этой системы Людмила Фирмаль

составляющих эти комплексы. Это значительно упрощает исследование физических процессов. Полученный безразмерный комплекс можно рассматривать как новую переменную c. Поэтому для получения числа сходств используется следующая формула: Уравнение движения вязкой жидкости Навье-Стокса (Dwx. „Dwx. Dwx. Dwx \ + w ‘- * r + 94rr f a * r v dx * n do * ^ dz * g ‘ (Для сокращения

вычислений уравнение Навье-Стокса дано только для осей ); Уравнение неразрывности жидкости _ | —_ Q •. (2b.13) И дг Уравнение энергии жидкости dt, а /. /. дт / дх, д4. дх \ / ог … Уравнение теплопередачи на границе между окружающей средой и твердым телом aAt- — X (dt / dx) CT. , (26-15) Напишите уравнения для двух похожих систем. «Процесс, который происходит в первой системе, описывается уравнениями (26-12) — (26-15). Процесс, который

происходит во второй системе, описывается тем же уравнением, что и процесс в первой системе. Но похожие значения имеют индекс (‘). / dsh’kh ;, dw’x, dwx \ дх \ дх’2 до’2 дз’1) dw ‘dw’ dw ‘ a / ‘,: / dt’, / dt ‘,, dt’ (a2 / ‘. dCh’.dCh’ от , / Dt, dt ‘, dt’ (a2 / ‘, dc’, dc ‘\ /P|L.oh ‘At’ = -X ‘(dt’ / dx ‘) CT (26-19) Исходя из сходства процессов, одинаковые значения в обеих системах попарно связаны одинаковыми коэффициентами преобразования. x’lx = yChu = rChr = C <\ m7m = Cx \ w’x / wx = w’y / wy = w’z / wz = Сш \ р ‘/ р =

• Ср; g’lg = Cg-p’ / p = Сp] = C ^; a ‘/ a = Ca; M’lM = t’lt = Ct \ VA = Cx; ct’ / a = Ca. Выразите все переменные в уравнении (26-10) — (26-19) секунд • Система с коэффициентами пересчета, аналогичными первым системным переменным: CP Cu> l ^ x. CP C%> л /. , Dw St dt C / \ x dx y du 1 dg P * | C / ^ V ^ С? «Гr-Cr> -C’L ^ Группировка терминов в этих отношениях на две части: = Или кт с, с, = 1; = 1. C? P-g g или c, см cg Ci Ci C; или вода s, «C / ‘ср. C» CQ Cw или CP N Ci s? «» В соотношениях (26-25) — (26-28) вместо таких коэффициентов преобразования

сгруппируйте эти значения по индексу, чтобы получить следующий номер сходства. Но — то же самое; • (26-29) Fr = то же самое; (26-30) w2 ‘4 * и = — £ — = — ^ — = то же самое; (26-31). Low rou2 Re — ^ — = — ^ = То же самое, (26-32) V. v Где Ho — число гидродинамических синхроний и характеризует скорость изменения поля скоростей движущейся жидкости. Fr — число Фруда, которое определяет отношение инерции к гравитации. Она является числом Эйлера, которое характеризует

отношение силы давления к силе инерции. Re — число Рейнольдса. Это отношение силы инерции к силе вязкости и определяет характер потока жидкости. сходства двух или более систем. Для похожих точек они имеют одинаковое значение. Из уравнений энергии (26-14) и (26-22) мы имеем следующее соотношение: Или • (26-33) ct cf c? • CULCL = C ± CL) или С * СГ = к (2б.34) Cl Cl Ca Подстановка

Числа подобия Ho, Fr, Eu и Re используются для изучения гидродинамического Людмила Фирмаль

этих значений вместо аналогичных коэффициентов преобразования и деление переменной дает следующий номер подобия: То же, что и выше ;-( 26-35) rol- * , Pe = —- идем, • (26-36) Но где Fo — это число Фурье, мера тепловой одновременности, которая характеризует взаимосвязь между скоростью изменения температурного поля, физическими параметрами и размером тела. Re — число Пекле, число подобия

конвективного теплообмена. Подставляя значение, равное -A / sr, в число Fe вместо коэффициента термодиффузии a и умножая числитель и знаменатель на избыточную температуру ft, Pe = т.е. ■ (л / *) * Число подобия характеризует тепло, передаваемое конвекцией, а знаменатель характеризует тепло, передаваемое теплопроводностью. Из уравнений теплопередачи (26-15) и (26-23) получается следующее соотношение: _ _ C, C, C s, ct = или -4- ^ = 1. , (26-37) H ck После

преобразования и разделения переменных, Nu = — = то же самое, — (26-38) Nu — это число Нуссельта, которое характеризует конвективный теплообмен между жидкой и твердой поверхностями. Число Нуссельта определяется тем же значением, что и число Био, но число Nu содержит теплопроводность теплоносителя, а число Bi содержит теплопроводность твердого тела. Числа Fo, Pe и Nu используются для определения термического сходства двух или более систем. Для похожих точек они имеют одинаковое значение. Разделив число Pe

на число Re, получим новое число Pr. Pr = Pe / Re = v / a, (26-39) Где Pr — число Прандтля, определяющее физические свойства жидкости. Число Pe может быть выражено как произведение чисел Re и Pr: Pe = Re. Pr = (wl / ) (v / a) = wl / a. (26-40) При изучении теплообмена в свободном потоке жидкости учитывается число Фруда, но значение скорости w, которое очень трудно измерить, должно быть исключено. Для этого умножьте Fr на Re2. Ga = Fr • Re2 = идерри, (26-41) Где -Ga — число Галилея, которое характеризует отношение силы тяжести к

молекулярному трению. • Умножьте полученное число Ga на симплекс (p-p0) / po. Где p и p0 ‘- плотность жидкости в двух точках и получают новое число. A L AR • & 1 * DR. / ОС ЛОХ Ar является архимедовым числом, определяющим условия свободного движения среды. Симплекс (p-Po) / p <> заменяется на

расширения) среды (когда газ р = 1/7). В этом случае номер Архимеда меняется на новый номер. Cr = L ^, (26-43) Здесь Gr — число Грасгофа, которое характеризует отношение подъемной силы, вызванной разницей между плотностью жидкости и силой молекулярного трения. Числа подобия Fr, Ga, Ar и Gr идентичны. Это те же четыре типа.

Образовательный сайт для студентов и школьников

Копирование материалов сайта возможно только с указанием активной ссылки «www.lfirmal.com» в качестве источника.

© Фирмаль Людмила Анатольевна — официальный сайт преподавателя математического факультета Дальневосточного государственного физико-технического института