Привести к каноническому виду систему уравнений онлайн

Переход к канонической форме ЗЛП

Назначение сервиса . Онлайн-калькулятор предназначен для перехода ЗЛП к КЗЛП. Приведение задачи к канонической форме означает, что все ограничения будут иметь вид равенств, путем ввода дополнительных переменных.
Если на какую-либо переменную x_j не наложено ограничение, то она заменяется на разность дополнительных переменных, x_j = x_j1 — x_j2, x_j1 ≥ 0, x_j2 ≥ 0.

• Шаг №1
• Шаг №2
• Видеоинструкция

Математическая модель ЗЛП называется основной, если ограничения в ней представлены в виде уравнений при условии неотрицательности переменных.

Математическая модель называется канонической, если ее система ограничений представлена в виде системы m линейно независимых уравнений (ранг системы r=m), в системе выделен единичный базис, определены свободные переменные и целевая функция выражена через свободные переменные. При этом правые части уравнений неотрицательны (b_i ≥ 0).

Переменные, входящие в одно из уравнений системы с коэффициентом один и отсутствующие в других уравнениях называются базисными неизвестными, а все другие – свободными.

Решение системы называется базисным, если в нем свободные переменные равны 0, и оно имеет вид:
X_баз = (0, 0; b₁, …, b_m), f(X_баз) = c₀

Базисное решение является угловой точкой множества решений системы, т.е. определяет вершину многоугольника решений модели. Среди таких решений находится и то, при котором целевая функция принимает оптимальное значение.

Базисное решение называется опорным, если оно допустимо, т.е. все правые части уравнений системы (или неравенств) положительны b_i ≥ 0.

Компактная форма канонической модели имеет вид:
AX = b
X ≥ 0
Z = CX(max)

Понятие допустимого решения, области допустимых решений, оптимального решения задачи линейного программирования.
Определение 1 . Вектор X, удовлетворяющий системе ограничений ЗЛП, в том числе и условиям неотрицательности, если они имеются, называется допустимым решением ЗЛП.
Определение 2 . Совокупность всех допустимых решений образует область допустимых решений (ОДР) ЗЛП.
Определение 3 . Допустимое решение, для которого целевая функция достигает максимума (или минимума), называется оптимальным решением.

В каждой задаче ЛП ищутся значения переменных при условии, чтобы:

• эти значения удовлетворяли некоторой системе линейных уравнений или неравенств;
• при этих значениях целевая функция обращалась бы в минимум или максимум.

Одним из универсальных методов ЛП является симплексный метод, который, однако, можно применять, если задача ЛП имеет каноническую форму.

Определение. Задача ЛП имеет каноническую форму, если все ограничения системы состоят только из уравнений (кроме неравенств, выражающих неотрицательность переменных) и целевую функцию необходимо минимизировать.
Примером такой задачи ЛП в канонической форме является задача 1 – сбалансированная транспортная задача с системой ограничений (1) и целевой функцией (2).
Однако в большинстве экономических задач чаще всего в систему ограничений первоначально входят не только уравнения, а и неравенства.

Утверждение. Любая общая задача ЛП может быть приведена к канонической форме.
Приведение общей задачи ЛП к канонической форме достигается путем введения новых (их называют дополнительными) переменных.
Система ограничений (3) этой задачи состоит из четырех неравенств. Введя дополнительные переменные y₁≥ 0, y₂≥ 0, y₃≥ 0, y₄ ≥ 0, можно перейти к системе ограничений:

Эти дополнительные переменные y _i имеют абсолютно ясный экономический смысл, а именно означают величину неиспользованного времени работы (простоя машины i-го вида).
Например, если бы машины первого вида работали все 18 ч, то x + y = 18, следовательно, y ₁ = 0. Но мы допускаем возможность неполного использования времени работы первой машины x + y y = 6, мы можем из системы ограничений (3.9) сделать вывод, что y₁ = y₂ = y₃ = 0, а y₄ = 12 – 6 = 6. Т. е. машины первого, второго, третьего вида используют свое рабочее время полностью. А вот четвертая машина загружена лишь наполовину, 6 часов, и при заданном оптимальном плане простаивает. Возможно, после таких выводов руководителю предприятия захочется загрузить ее другой работой, сдать в аренду на это время и т.д.
Итак, введением дополнительных переменных мы можем любое ограничение типа неравенства привести к уравнению.

Рассмотрим задачу о смеси. Система ограничений имеет вид:
Неравенства были обращены в сторону «больше», поэтому вводя дополнительные переменные y ₁, y ₂, y ₃≥ 0, их необходимо вычесть из левой части, чтобы уравнять ее с правой. Получим систему ограничений в канонической форме:
Переменные y_i также будут иметь экономический смысл. Если вы вспомните практическое содержание задачи, то переменная y ₁ будет означать количество излишнего вещества А в смеси, y ₂ –количество излишков вещества В в смеси, y₃ – излишки С в смеси.
Задача нахождения максимального значения целевой функции может быть сведена к нахождению минимума для функции –F ввиду очевидности утверждения max F = –min (– F ). Посмотрите на рисунок: если в какой-то точке x= x₀ функция y= F(x) достигает своего максимума, то функция y= –F(x), симметричная ей относительно оси OX, в этой же точке x₀ достигнет минимума, причем F_max = – (–F_min) при x = x₀.

Вывод. Для представления задачи ЛП в канонической форме необходимо:

• неравенства, входящие в систему ограничений задачи, преобразовать в уравнения с помощью введения дополнительных переменных;
• если целевая функция F→max (максимизируется), она заменяется на функцию –F→ min (которая минимизируется).

Пример №1 . Следующую задачу ЛП привести к каноническому виду: F(X) = 5x₁ + 3x₂ → max при ограничениях:
2x₁ + 3x₂≤20
3x₁ + x₂≤15
4x₁≤16
3x₂≤12
Модель записана в стандартной форме. Введем балансовые неотрицательные переменные x₃, x₄, x₅, x₆, которые прибавим к левым частям ограничений-неравенств. В целевую функцию все дополнительные переменные введем с коэффициентами, равными нулю:
В первом неравенстве смысла (≤) вводим базисную переменную x₃. Во 2-ом неравенстве смысла (≤) вводим базисную переменную x₄. В третьем неравенстве вводим базисную переменную x₅. В 4-м неравенстве — базисную переменную x₆. Получим каноническую форму модели:
2x₁ + 3x₂ + 1x₃ + 0x₄ + 0x₅ + 0x₆ = 20
3x₁ + 1x₂ + 0x₃ + 1x₄ + 0x₅ + 0x₆ = 15
4x₁ + 0x₂ + 0x₃ + 0x₄ + 1x₅ + 0x₆ = 16
0x₁ + 3x₂ + 0x₃ + 0x₄ + 0x₅ + 1x₆ = 12
F(X) = 5x₁ + 3x₂ + 0x₃ + 0x₄ + 0x₅ + 0x₆ → max

Для приведения ЗЛП к канонической форме необходимо:
1. Поменять знак у целевой функции
— F = -2x₁ + x₂ — 4x₃ +2x₄ → max

4. Соответствующая целевая функция примет вид:
— F = -2x₁ + x₂ — 4(x₈ – x₉) +2(x₁₀ – x₁₁) → max

Пример №2 . Преобразовать следующие задачи ЛП к канонической форме и решить их симплекс-методом.

Нахождение уравнений прямой, заданной пересечением двух плоскостей

Этот онлайн калькулятор находит уравнения прямой, заданной пересечением двух плоскостей в пространстве.

Этот онлайн калькулятор предназначен для проверки решений задач, которые можно сформулировать следующим образом:

Записать канонические уравнения прямой, заданной уравнениями двух плоскостей

Вы задаете коэффициенты уравнений плоскостей, калькулятор выдает уравнения прямой в канонической форме. Немного теории, как обычно, можно почерпнуть под калькулятором

Нахождение уравнений прямой, заданной пересечением двух плоскостей

Канонические уравнения прямой, заданной пересечением двух плоскостей

Если плоскости пересекаются, то система уравнений, приведенная в начале статьи, задает прямую в пространстве. Для записи уравнений этой прямой в каноническом виде, надо найти какую либо точку, принадлежащую этой прямой, и направляющий вектор.

Точка, принадлежащая прямой, также принадлежит и каждой из плоскостей, то есть является одним из решений системы уравнений выше. Для нахождения точки, принадлежащей прямой, переходят от системы из двух уравнений с тремя неизвестными к системе из двух уравнений с двумя неизвестными, произвольно принимая какую-либо координату точки за ноль. Как правило, при решении задач, выбирают ту координату, при занулении которой решение системы из двух уравнений с двумя неизвестными дает в ответе целые числа. Калькулятор учитывает этот факт и также пытается найти целочисленное решение, зануляя все координаты по очереди.

Направляющий вектор прямой ортогонален нормальным векторам плоскостей, которые задаются коэффициентами A, B и С в общем уравнении плоскости . Таким образом его можно найти как результат векторного произведения нормальных векторов плоскостей .

Точка и вектор дают нам канонические уравнения прямой:

Существуют частные случаи, когда одна или две координаты направляющего вектора равны нулю.

В случае, если нулю равны две координаты, направляющий вектор коллинеарен одной из координатных осей. Соответственно, точки прямой могут принимать любое значение по этой оси, при этом значения по двум другим осям будут постоянны. Например, если двумя нулевыми координатами будут y и z, канонические уравнения прямой будут выглядеть так:

В случае. если нулю равна одна координата, направляющий вектор лежит в одной из координатных плоскостей (плоскостей, образованных парами координатных осей), значение координаты по третьей оси, ортогональной этой плоскости (как раз той, для которой координата направляющего вектора равна нулю), опять будет постоянным. Например, если нулевой координатой будет x, то канонические уравнения прямой будут выглядеть так:

Эти случаи также учитываются калькулятором.

Решение задач по математике онлайн

//mailru,yandex,google,vkontakte,odnoklassniki,instagram,wargaming,facebook,twitter,liveid,steam,soundcloud,lastfm, // echo( ‘

Калькулятор онлайн.
Решение систем линейных алгебраических уравнений (СЛАУ)
Метод Гаусса, матричный метод, метод Крамера, исследование на совместность (теорема Кронекера-Капелли), определение количества решений, нахождение нормальной фундаментальной системы решений.

С помощью данной математической программы вы можете решить и исследовать систему линейных алгебраических уравнений (СЛАУ).

Программа не только даёт ответ задачи, но и приводит подробное решение с пояснениями шагов решения.

Данная программа может быть полезна учащимся старших классов общеобразовательных школ при подготовке к контрольным работам и экзаменам, при проверке знаний перед ЕГЭ, родителям для контроля решения многих задач по математике и алгебре. А может быть вам слишком накладно нанимать репетитора или покупать новые учебники? Или вы просто хотите как можно быстрее сделать домашнее задание по математике или алгебре? В этом случае вы также можете воспользоваться нашими программами с подробным решением.

Таким образом вы можете проводить своё собственное обучение и/или обучение своих младших братьев или сестёр, при этом уровень образования в области решаемых задач повышается.

Ввод дробного числа в виде десятичной дроби.
При вводе десятичной дроби, целую часть от дробной части можно отделять точкой или запятой :
Ввод: -2.34
Результат: \( -2<,>34 \)

Ввод: -1,15
Результат: \( -1<,>15 \)

Ввод дробного числа в виде обыкновенной дроби.
В качестве числителя, знаменателя и целой части дроби может выступать только целое число.
Знаменатель не может быть отрицательным.

При вводе числовой дроби числитель отделяется от знаменателя знаком деления: /
Ввод: -2/3
Результат: $$ -\frac<2> <3>$$

Целая часть отделяется от дроби знаком амперсанд: &
Ввод: 5&8/3
Результат: $$ 5\frac<8> <3>$$
Помните, что на ноль делить нельзя!

RND CFracNum Fill RND int Fill Start MathJax
Сюда ввести строку с GET параметрами :

Немного теории.

Системы линейных алгебраических уравнений

Основные определения

Система \(m\) линейных алгебраических уравнений с \(n\) неизвестными (сокращенно СЛАУ) представляет собой систему вида
\( \left\< \begin a_<11>x_1 + a_<12>x_2 + \cdots + a_<1n>x_n = b_1 \\ a_<21>x_1 + a_<22>x_2 + \cdots + a_<2n>x_n = b_2 \\ \cdots \\ a_x_1 + a_x_2 + \cdots + a_x_n = b_m \end \right. \tag <1>\)

Уравнения системы называют алгебраическими потому, что левая часть каждого из них есть многочлен от \(n\) переменных \( x_1 , \ldots x_n \), а линейными потому, что эти многочлены имеют первую степень.

Числа \(a_ \in \mathbb \) называют коэффициентами СЛАУ. Их нумеруют двумя индексами: номером уравнения \(i\) и номером неизвестного \(j\). Действительные числа \( b_1 , \ldots b_m \) называют свободными членами уравнений.

СЛАУ называют однородной, если \( b_1 = b_2 = \ldots = b_m = 0 \). Иначе её называют неоднородной.

Решением СЛАУ, да и вообще всякой системы уравнений, называют такой набор значений неизвестных \( x_1^\circ, \ldots , x_n^\circ \), при подстановке которых каждое уравнение системы превращается в тождество. Любое конкретное решение СЛАУ также называют её частным решением.

Решить СЛАУ — значит решить две задачи:
— выяснить, имеет ли СЛАУ решения;
— найти все решения, если они существуют.

СЛАУ называют совместной, если она имеет какие-либо решения. В противном случае её называют несовместной. Однородная СЛАУ всегда совместна, поскольку нулевой набор значений её неизвестных всегда является решением.

Если СЛАУ (1) имеет решение, и притом единственное, то её называют определенной, а если решение неединственное — то неопределенной. При \(m=n\), т.е. когда количество уравнений совпадает с количеством неизвестных, СЛАУ называют квадратной.

Формы записи СЛАУ

Кроме координатной формы (1) записи СЛАУ часто используют и другие её представления.

Рассматривая коэффициенты \(a_\) СЛАУ при одном неизвестном \(x_j\) как элементы столбца, а \(x_j\) как коэффициент, на который умножается столбец, из (1) получаем новую форму записи СЛАУ:
\( \begin a_ <11>\\ a_ <21>\\ \vdots \\ a_ \end x_1 + \begin a_ <12>\\ a_ <22>\\ \vdots \\ a_ \end x_2 + \ldots + \begin a_ <1n>\\ a_ <2n>\\ \vdots \\ a_ \end x_n = \begin b_1 \\ b_2 \\ \vdots \\ b_m \end \)
или, обозначая столбцы соответственно \( a_1 , \ldots , a_n , b \),
\( x_1 a_1 + x_2 a_2 + \ldots + x_n a_n = b \tag <2>\)

Таким образом, решение СЛАУ (1) можно трактовать как представление столбца \(b\) в виде линейной комбинации столбцов \( a_1, \ldots, a_n \). Соотношение (2) называют векторной записью СЛАУ.

Поскольку \(A \;,\; X\) и \(B\) являются матрицами, то запись СЛАУ (1) в виде \(AX=B\) называют матричной. Если \(B=0\), то СЛАУ является однородной и в матричной записи имеет вид \(AX=0\).

Приведенные рассуждения показывают, что задачи :
а) решения СЛАУ (1)
б) представления столбца в виде линейной комбинации данных столбцов
в) решения матричных уравнений вида \(AX=B\)
являются просто различной формой записи одной и той же задачи.

Критерий совместности СЛАУ

«Триединство» форм записи СЛАУ позволяет легко получить критерий совместности СЛАУ. Напомним, что содержательный смысл это понятие имеет для неоднородных СЛАУ (однородные СЛАУ всегда совместны).

Матрицу
\( A = \begin a_ <11>& a_ <12>& \cdots & a_ <1n>\\ a_ <21>& a_ <22>& \cdots & a_ <2n>\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_ & a_ & \cdots & a_ \end \)
называют матрицей (коэффициентов) СЛАУ (1), а матрицу
\( (A|B) = \left( \begin a_ <11>& a_ <12>& \cdots & a_ <1n>& b_1 \\ a_ <21>& a_ <22>& \cdots & a_ <2n>& b_2 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots \\ a_ & a_ & \cdots & a_ & b_m \end \right) \)
расширенной матрицей СЛАУ (1). Расширенная матрица полностью характеризует СЛАУ. Это означает, что по этой матрице однозначно (если сохранить обозначения для неизвестных) восстанавливается сама СЛАУ.

Теорема Кронекера-Капелли. Для совместности СЛАУ \(AX=B\) необходимо и достаточно, чтобы ранг её матрицы \(A\) был равен рангу её расширенной матрицы \( (A|B) \).

Формулы Крамера

Теорема. СЛАУ с квадратной невырожденной матрицей имеет решение, и притом единственное, которое определяется по формулам Крамера :
$$ x_i = \frac<\Delta_i> <|A|>\;,\quad i=\overline <1,n>\tag <3>$$
где \(\Delta_i\) — определитель матрицы, получающейся из матрицы \(A\) заменой \(i\)-го столбца на столбец свободных членов.

Следствие. Однородная СЛАУ с квадратной невырожденной матрицей имеет единственное решение — нулевое.

Если матрица СЛАУ не является квадратной невырожденной, то формулы Крамера не работают и приходится использовать другие методы нахождения решений.

Однородные системы

Теорема. Если столбцы \( X^<(1)>, X^<(2)>, \ldots , X^ <(s)>\) — решения однородной СЛАУ \(AX=0\), то любая их линейная комбинация также является решением этой системы.

Следствие. Если однородная СЛАУ имеет ненулевое решение, то она имеет бесконечно много решений.

Естественно попытаться найти такие решения \( X^<(1)>, \ldots , X^ <(s)>\) системы \(AX=0\), чтобы любое другое решение этой системы представлялось в виде их линейной комбинации и притом единственным образом. Оказывается, что это всегда возможно и приводит к следующему определению.

Определение. Любой набор из \(k=n-r\) линейно независимых столбцов, являющихся решениями однородной СЛАУ \(AX=0\), где \(n\) — количество неизвестных в системе, а \(r\) — ранг её матрицы \(A\), называют фундаментальной системой решений этой однородной СЛАУ.

При исследовании и решении однородных систем линейных алгебраических уравнений будем использовать следующую терминологию. Если в матрице \(A\) однородной СЛАУ \(AX=0\) фиксировать базисный минор, то ему соответствуют базисные столбцы и, следовательно, набор неизвестных, отвечающих этим столбцам. Указанные неизвестные называют базисными, или зависимыми, а остальные неизвестные — свободными, или независимыми.

Теорема. Пусть дана однородная СЛАУ \(AX=0\) с \(n\) неизвестными и \( \textA = r \). Тогда существует набор из \(k=n-r\) решений \( X^<(1)>, \ldots , X^ <(k)>\) этой СЛАУ, образующих фундаментальную систему решений.

Если в фундаментальной системе решений все значения независимых неизвестных равны нулю, кроме одного, которое равно единице, то такую систему решений называют фундаментальной нормальной системой решений.

Следствие. С помощью нормальной фундаментальной системы решений однородной СЛАУ множество всех решений можно описать формулой :
$$ X = c_1X^ <(1)>+ \ldots + c_kX^ <(k)>$$
где постоянные \( c_i \;, \quad i=\overline <1,k>\), принимают произвольные значения.

Следствие. Для существования ненулевого решения у однородной квадратной СЛАУ необходимо и достаточно, чтобы её матрица была вырождена.

Неоднородные системы

Рассмотрим произвольную СЛАУ \(AX=B\). Заменив столбец \(B\) свободных членов нулевым, получим однородную СЛАУ \(AX=0\), соответствующую неоднородной СЛАУ \(AX=B\). Справедливо следующее утверждение о структуре произвольного решения неоднородной СЛАУ.

Теорема. Пусть столбец \(X^\circ\) — некоторое решение СЛАУ \(AX=B\). Произвольный столбец \(X\) является решением этой СЛАУ тогда и только тогда, когда он имеет представление \(X = X^\circ + Y \), где \(Y\) — решение соответствующей однородной СЛАУ \(AY=0\).

Следствие. Пусть \(X’\) и \(X»\) — решения неоднородной системы \(AX=B\). Тогда их разность \( Y = X’ — X» \) является решением соответствующей однородной системы \(AY=0\).

Эта теорема сводит проблему решения СЛАУ к случаю однородной системы: чтобы описать все решения неоднородной СЛАУ, достаточно энать одно её решение (частное решение) и все решения соответствующей однородной СЛАУ.

Чтобы решить неоднородную систему, надо, во-первых, убедиться, что она совместна (например, по теореме Кронекера-Капелли), а во-вторых, найти частное решение \(X^\circ\) этой системы, чтобы свести её к однородной системе.

Теорема о структуре общего решения СЛАУ. Пусть \(X^\circ\) — частное решение СЛАУ \(AX=B\) и известна фундаментальная система решений \( X^<(1)>, \ldots , X^ <(k)>\) соответствующей однородной системы \(AX=0\). Тогда любое решение СЛАУ \(AX=B\) можно представить в виде $$ X = X^\circ + c_1 X^ <(1)>+ c_2 X^ <(2)>+ \ldots + c_k X^ <(k)>$$
где \( c_i \in \mathbb \;, \quad i=\overline <1,k>\).
Эту формулу называют общим решением СЛАУ.