76. Приведение квадратичных форм к каноническому виду
Рассмотрим некоторое линейное преобразование А с матрицей .
Это симметрическое преобразование можно записать в виде:
Y1 = a11x1 + a12x2
Y2 = a12x1 + a22x2
Где у1 и у2 – координаты вектора в базисе .
Очевидно, что квадратичная форма может быть записана в виде
Ф(х1, х2) = х1у1 + х2у2.
Как видно, геометрический смысл числового значения квадратичной формы Ф в точке с координатами х1 и х2 – скалярное произведение .
Если взять другой ортонормированный базис на плоскости, то в нем квадратичная форма Ф будет выглядеть иначе, хотя ее числовое значение в каждой геометрической точке и не изменится. Если найти такой базис, в котором квадратичная форма не будет содержать координат в первой степени, а только координаты в квадрате, то квадратичную форму можно будет привести к каноническому виду.
Если в качестве базиса взять совокупность собственных векторов линейного преобразования, то в этом базисе матрица линейного преобразования имеет вид:
.
При переходе к новому базису от переменных х1 и х2 мы переходим к переменным и . Тогда:
Тогда .
Выражение называется Каноническим видом квадратичной формы. Аналогично можно привести к каноническому виду квадратичную форму с большим числом переменных.
Теория квадратичных форм используется для приведения к каноническому виду уравнений кривых и поверхностей второго порядка.
Пример. Привести к каноническому виду квадратичную форму
Ф(х1, х2) = 27.
Коэффициенты: а11 = 27, а12 = 5, а22 = 3.
Составим характеристическое уравнение: ;
(27 — l)(3 — l) – 25 = 0
Пример. Привести к каноническому виду уравнение второго порядка:
17×2 + 12xy + 8y2 – 20 = 0.
Коэффициенты а11 = 17, а12 = 6, а22 = 8. А =
Составим характеристическое уравнение:
(17 — l)(8 — l) — 36 = 0
136 — 8l — 17l + l2 – 36 = 0
L2 — 25l + 100 = 0
Итого: — каноническое уравнение эллипса.
Пример. Используя теорию квадратичных форм, привести к каноническому виду уравнение линии второго порядка. Схематично изобразить график.
Решение: Составим характеристическое уравнение квадратичной формы : при
Решив это уравнение, получим l1 = 2, l2 = 6.
Найдем координаты собственных векторов:
Полагая m1 = 1, получим n1 =
Полагая m2 = 1, получим n2 =
Собственные векторы:
Находим координаты единичных векторов нового базиса.
Имеем следующее уравнение линии в новой системе координат:
Каноническое уравнение линии в новой системе координат будет иметь вид:
Пример. Используя теорию квадратичных форм, привести к каноническому виду уравнение линии второго порядка. Схематично изобразить график.
Решение: Составим характеристическое уравнение квадратичной формы : при
Решив это уравнение, получим l1 = 1, l2 = 11.
Найдем координаты собственных векторов:
Полагая m1 = 1, получим n1 =
Полагая m2 = 1, получим n2 =
Собственные векторы:
Находим координаты единичных векторов нового базиса.
Имеем следующее уравнение линии в новой системе координат:
Каноническое уравнение линии в новой системе координат будет иметь вид:
Пример. Используя теорию квадратичных форм, привести к каноническому виду уравнение линии второго порядка. Схематично изобразить график.
4ху + 3у2 + 16 = 0
Коэффициенты: a11 = 0; a12 = 2; a22 = 3.
Характеристическое уравнение:
Корни: l1 = -1, l2 = 4.
Для l1 = -1 Для l2 = 4
M1 = 1; n1 = -0,5; m2 = 1; n2 = 2;
= (1; -0,5) = (1; 2)
Получаем: — каноническое уравнение гиперболы.
При использовании компьютерной версии “Курса высшей математики” возможно запустить программу, которая решает рассморенные выше примеры для любых начальных условий.
Для запуска программы дважды щелкните на значке:
В открывшемся окне программы введите коэффициенты квадратичной формы и нажмите Enter.
Примечание: Для запуска программы необходимо чтобы на компьютере была установлена программа Maple (Ó Waterloo Maple Inc.) любой версии, начиная с MapleV Release 4.
Приведение кривой второго порядка к каноническому виду
Пример №1 . Привести уравнение второго порядка к каноническому виду с помощью поворота и параллельного переноса осей координат. Построить кривую.
Пример №2 . Выполнив последовательно преобразования координат: поворот, а затем параллельный перенос координатных осей, преобразовать к каноническому виду уравнение кривой второго порядка и построить ее в исходной системе координат, а также найти параметры кривой.
Алгоритм перехода кривой второго порядка к каноническому виду
Пример №1 . 4y=-6-sqrt(4x-x 2 )
sqrt(4x-x 2 ) = -(4y+6)
Возведем в квадрат
4x-x 2 = (4y+6) 2
Раскрывая скобки, получаем:
16y 2 +48y + 36 +x 2 -4x = 0
Далее решается калькулятором. Если самостоятельно решать, то получим:
4x-x 2 = (4y+6) 2
-(x 2 — 4x) = 2(y+3/2) 2
-(x 2 — 4x + 4) = (y+3/2) 2
-(x — 2) 2 = (y+3/2) 2
(y+3/2) 2 + (x — 2) 2 = 0
Пример №2 . x=1-2/3 sqrt(y 2 -4y-5)
Здесь надо сначала привести к нормальному виду.
3/2(x-1)=sqrt(y 2 -4y-5)
Возводим в квадрат
9/4(x-1) 2 =y 2 -4y-5
9/4x 2 -9/4*2x+9/4-y 2 +4y+5=0
9/4x 2 -9/2x-y 2 +4y+29/4=0
Далее можно решать как с калькулятором, так и без него:
9/4(x-1) 2 =y 2 -4y-5
9/4(x-1) 2 =y 2 -4y+4-4-5
9/4(x-1) 2 =(y 2 -2)-9
9/4(x-1) 2 -(y 2 -2) = -9
-1/4(x-1) 2 +1/9(y 2 -2) = 1
Примеры по дифференциальным уравнениям в частных производных
Немного теории
Дифференциальным уравнением с частными производными (ДУ с ЧП) называется уравнение относительно неизвестной функции нескольких переменных (ФНП) и ее частных производных. Наивысший порядок частных производных (существенно входящих в уравнение) называется порядком этого уравнения.
ДУ с ЧП называется линейным (ЛДУ с ЧП), если неизвестная функция и ее производные входят в это ДУ линейно (в первой степени).
В этом разделе вы найдете подробно решенные задачи по темам: классификация и приведение к каноническому виду ДУ с ЧП второго порядка с двумя переменными, определение типа уравнения, решение уравнений и систем ДУ в ЧП.
ДУ с ЧП находят широкое применение в прикладных науках: квантовая механика, электродинамика, термодинамика, теория теплои массопереноса и др. при математическом описании и моделировании различных физических процессов. Поэтому такие уравнения изучаются под общим названием уравнений математической физики (примеры решений 16 задач).
Приведение к каноническому виду
Задача 1. Привести к каноническому виду уравнение
Задача 2. Привести уравнение к каноническому виду.
Задача 3. Найти общее решение уравнения, приведя его к каноническому виду:
Решение ДУ в ЧП
Задача 4. Решить уравнение Пфаффа
$$ z^2 dx +zdy +(3zx +2y)dz=0. $$
Задача 5. Решить задачу Коши для уравнения в частных производных
$$ u_-2\Delta u =(x^2+y^2+z^2)t; \quad u(t=0)=xyz, u_t(t=0)=x-y. $$
Задача 6. Найти общее решение уравнения в частных производных
Задача 7. Найти общее решение уравнения в частных производных первого порядка.
$$ xy u_x +(x-2u)u_y = yu. $$
Задача 8. Найти решение задачи Коши для уравнения в частных производных
$$ y u_x -xy u_y=2xu, \quad u(x+y=2)=1/y. $$
Задача 9. Решить систему дифференциальных уравнений в частных производных
Разные задачи на исследование ДУ в ЧП
Задача 10. Найти поверхность, удовлетворяющую данному уравнению и проходящую через данную линию
Задача 11. Найти области гиперболичности, эллиптичности и параболичности уравнения и исследовать их зависимость от $l$, где $l$ – числовой параметр.
Задача 12. Найти функцию, гармоническую внутри круга радиуса $R$ c центром в начале координат и такую, что
Помощь с решением ДУ в ЧП
Если вам нужна помощь с решением задач и контрольных по дифференциальным уравнениям (и другим разделам математического анализа), обращайтесь в МатБюро. Стоимость подробной консультации от 100 рублей , оформление производится в Word, срок от 1 дня.
http://math.semestr.ru/line/curve.php
http://www.matburo.ru/ex_ma.php?p1=maducp