Приведение кривой второго порядка к каноническому виду
Пример №1 . Привести уравнение второго порядка к каноническому виду с помощью поворота и параллельного переноса осей координат. Построить кривую.
Пример №2 . Выполнив последовательно преобразования координат: поворот, а затем параллельный перенос координатных осей, преобразовать к каноническому виду уравнение кривой второго порядка и построить ее в исходной системе координат, а также найти параметры кривой.
Алгоритм перехода кривой второго порядка к каноническому виду
Пример №1 . 4y=-6-sqrt(4x-x 2 )
sqrt(4x-x 2 ) = -(4y+6)
Возведем в квадрат
4x-x 2 = (4y+6) 2
Раскрывая скобки, получаем:
16y 2 +48y + 36 +x 2 -4x = 0
Далее решается калькулятором. Если самостоятельно решать, то получим:
4x-x 2 = (4y+6) 2
-(x 2 — 4x) = 2(y+3/2) 2
-(x 2 — 4x + 4) = (y+3/2) 2
-(x — 2) 2 = (y+3/2) 2
(y+3/2) 2 + (x — 2) 2 = 0
Пример №2 . x=1-2/3 sqrt(y 2 -4y-5)
Здесь надо сначала привести к нормальному виду.
3/2(x-1)=sqrt(y 2 -4y-5)
Возводим в квадрат
9/4(x-1) 2 =y 2 -4y-5
9/4x 2 -9/4*2x+9/4-y 2 +4y+5=0
9/4x 2 -9/2x-y 2 +4y+29/4=0
Далее можно решать как с калькулятором, так и без него:
9/4(x-1) 2 =y 2 -4y-5
9/4(x-1) 2 =y 2 -4y+4-4-5
9/4(x-1) 2 =(y 2 -2)-9
9/4(x-1) 2 -(y 2 -2) = -9
-1/4(x-1) 2 +1/9(y 2 -2) = 1
Приведение к каноническому виду линейных уравнений с частными производными второго порядка
Федеральное агентство по образованию
ИРКУТСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ
Институт математики, экономики и информатики
Кафедра дифференциальных и интегральных уравнений
ПРИВЕДЕНИЕ К КАНОНИЧЕСКОМУ ВИДУ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ С ЧАСТНЫМИ ПРОИЗВОДНЫМИ ВТОРОГО ПОРЯДКА
Приведение к каноническому виду линейных уравнений с частными производными 2-го порядка с двумя независимыми переменными …………………………………………………………………………
1.1. Необходимый теоретический материал………………………..
1.2. Пример выполнения задачи1 (приведение к
каноническому виду уравнений гиперболического типа) .
1.3. Пример выполнения задачи 2 (приведение к
каноническому виду уравнений параболического типа)
1.4. Пример выполнения задачи 3 (приведение к
каноническому виду уравнений эллиптического типа) ..
1.5. Задачи для самостоятельного решения ………………….….
Упрощение группы младших производных
для уравнений второго порядка с постоянными коэффициентами
2.1. Необходимый теоретический материал …………………..
2.2. Пример выполнения задачи 4
2.3. Задачи для самостоятельного решения ……………………..
В настоящих методических указаниях изложен теоретический материал и на конкретных примерах разобрано приведение к каноническому виду линейных уравнений с частными производными второго порядка с двумя независимыми переменными для уравнений гиперболического, эллиптического и параболического типов.
Методические указания предназначены для студентов математических специальностей очной и заочной формы обучения.
§1. Приведение к каноническому виду линейных уравнений с частными производными 2-го порядка с двумя независимыми переменными.
Задача. Определить тип уравнения
(1)
и привести его к каноническому виду.
1.1. Необходимый теоретический материал.
I. Тип уравнения (1) определяется знаком выражения :
· если в некоторой точке, то уравнение (1) называется уравнением гиперболического типа в этой точке;
· если в некоторой точке, то уравнение (1) называется уравнением эллиптического типа в этой точке;
· если в некоторой точке, то уравнение (1) называется уравнением параболического типа в этой точке.
Уравнение (1) будет являться уравнением гиперболического, эллиптического, параболического типа в области D, если оно гиперболично, эллиптично, параболично в каждой точке этой области.
Уравнение (1) может менять свой тип при переходе из одной точки (области) в другую. Например, уравнение является уравнением эллиптического типа в точках ; параболического типа в точках ; и гиперболического типа в точках .
II. Чтобы привести уравнение к канонического виду, необходимо:
1. Определить коэффициенты ;
2. Вычислить выражение ;
3. Сделать вывод о типе уравнения (1) (в зависимости от знака выражения );
4. Записать уравнение характеристик:
; (2)
5. Решить уравнение (2). Для этого:
а) разрешить уравнение (2) как квадратное уравнение относительно dy:
; (3)
б) найти общие интегралы уравнений (3) (характеристики уравнения (1)):
· (4)
в случае уравнения гиперболического типа;
· , (5)
в случае уравнения параболического типа;
· , (6)
в случае уравнения эллиптического типа.
6. Ввести новые (характеристические) переменные и :
· в случае уравнения гиперболического типа в качестве и берут общие интегралы (4) уравнений (3), т. е.
· в случае уравнения параболического типа в качестве берут общий интеграл (5) уравнения (3), т. е. , в качестве берут произвольную, дважды дифференцируемую функцию , не выражающуюся через , т. е. ;
· в случае уравнения эллиптического типа в качестве и берут вещественную и мнимую часть любого из общих интегралов (6) уравнений (3):
7. Пересчитать все производные, входящие в уравнение (1), используя правило дифференцирования сложной функции:
,
,
, (7)
,
.
8. Подставить найденные производные в исходное уравнение (1) и привести подобные слагаемые. В результате уравнение (1) примет один из следующих видов:
· в случае уравнения гиперболического типа:
;
· в случае уравнения параболического типа:
;
· в случае уравнения эллиптического типа:
.
1.2. Пример выполнения задачи 1.
Определить тип уравнения
и привести его к каноническому виду.
1. Определим коэффициенты :
2. Вычислим выражение :
.
3. уравнение гиперболического типа во всей плоскости XOY.
4. Запишем уравнение характеристик:
. (9)
5. Решим уравнение (9). Для этого:
а) разрешаем уравнение (9) как квадратное уравнение относительно dy: ;
;
(10)
б) найдём общие интегралы уравнений (10) (характеристики уравнения (9)):
6. Введём характеристические переменные:
7. Пересчитаем производные, входящие в исходное уравнение.
Используя формулы (7), получим:
Здесь слева написаны коэффициенты уравнения (8) при соответствующих производных.
8. Собирая подобные слагаемые, получим:
Или после деления на -100 (коэффициент при ):
Ответ. Уравнение (8) является уравнением гиперболического типа на всей плоскости XOY. Канонический вид
где
1.3. Пример выполнения задачи 2.
Определить тип уравнения
и привести его к каноническому виду.
1. Определим коэффициенты . В нашем примере они постоянны:
2. Вычислим выражение :
.
3. уравнение параболического типа во всей плоскости XOY.
4. Запишем уравнение характеристик:
. (12)
5. Решим уравнение (12). Для этого:
а) разрешаем уравнение (9) как квадратное уравнение относительно dy. Однако в этом случае левая часть уравнения является полным квадратом:
;
(13)
б) имеем только одно уравнение характеристик (13). Найдём его общий интеграл (уравнения параболического типа имеют только одно семейство вещественных характеристик):
6. Введём характеристические переменные: одну из переменных вводим как и ранее
а в качестве берут произвольную, дважды дифференцируемую функцию, не выражающуюся через , пусть
;
7. Пересчитаем производные, входящие в исходное уравнение.
Используя формулы (7), получим:
Здесь слева написаны коэффициенты уравнения (11) при соответствующих производных.
8. Собирая подобные слагаемые, получим:
Функцию, стоящую в правой части уравнения (11) необходимо также выразить через характеристические переменные.
После деления на 25 (коэффициент при ):
Ответ. Уравнение (11) является уравнением параболического типа на всей плоскости XOY. Канонический вид
где
1.4. Пример выполнения задачи 3.
Определить тип уравнения
(14)
и привести его к каноническому виду.
1. Определим коэффициенты :
2. Вычислим выражение :
.
3. уравнение эллиптического типа во всей плоскости XOY.
4. Запишем уравнение характеристик:
. (15)
5. Решим уравнение (15). Для этого:
а) разрешаем уравнение (15) как квадратное уравнение относительно dy: ; (16)
б) уравнения (16) – это пара комплексно-сопряженных уравнений. Они имеют пару комплексно-сопряженных общих интегралов. (Уравнения эллиптического типа не имеют вещественных характеристик)
(17)
6. Введём характеристические переменные как вещественную и мнимую части одного из общих интегралов (17):
7. Пересчитаем производные, входящие в исходное уравнение.
Используя формулы (7), получим:
Здесь слева написаны коэффициенты уравнения (14) при соответствующих производных.
8. Собирая подобные слагаемые, получим:
Или после деления на 4 (коэффициент при и ):
Ответ. Уравнение (14) является уравнением эллиптического типа на всей плоскости XOY. Канонический вид
где
1.5. Задачи для самостоятельного решения.
Определить тип уравнения и привести его к каноническому виду.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
Определить тип уравнения и привести его к каноническому виду.
Определить тип уравнения и привести его к каноническому виду.
§2. Упрощение группы младших производных
для уравнений второго порядка с постоянными коэффициентами
2. 1. Необходимый теоретический материал
В самом общем виде линейное уравнение с частными производными второго порядка с двумя независимыми переменными имеет вид
(1)
Преобразованием независимых переменных группа старших производных уравнения может быть упрощена. Уравнение (1) приводится к одному из следующих видов
· в случае уравнения гиперболического типа:
; (11)
· в случае уравнения параболического типа:
; (12)
· в случае уравнения эллиптического типа:
. (13)
Если коэффициенты исходного уравнения постоянны, то для дальнейшего упрощения уравнения любого типа нужно сделать замену неизвестной функции
, (14)
где — новая неизвестная функция, — параметры, подлежащие определению. Такая замена не «испортит» канонического вида, но при этом позволит подобрать параметры так, чтобы из трех слагаемых группы младших производных в уравнении осталось только одно. Уравнения гиперболического, параболического и эллиптического типов соответственно примут вид
;
;
.
Чтобы реализовать замену (14) в уравнениях (11), (12), (13), необходимо пересчитать все производные, входящие в эти уравнения по формулам
(15)
Подробно рассмотрим этот процесс на примере уравнения гиперболического типа, т. е. уравнения (11). Пересчитаем производные, входящие в это уравнение, используя формулы (15).
Здесь слева расставлены соответствующие коэффициенты уравнения (11). Собирая подобные слагаемые, получим
. (16)
В уравнении (16) приравняем к нулю коэффициенты при и
Откуда Подставив эти значения параметров в уравнение (16) и разделив его на , придем к уравнению
,
где .
2.2. Пример выполнения задачи 4
к каноническому виду и упростить группу младших производных.
9. Определим коэффициенты :
10. Вычислим выражение :
.
11. уравнение эллиптического типа во всей плоскости XOY.
12. Запишем уравнение характеристик:
. (18)
5. Решим уравнение (18). Для этого:
а) разрешаем уравнение (18) как квадратное уравнение относительно dy: ;
; (19)
б) найдём общие интегралы уравнений (19) (характеристики уравнения (17)):
6. Введём характеристические переменные:
13. Пересчитаем производные, входящие в исходное уравнение.
Используя формулы (7), получим:
Здесь слева написаны коэффициенты уравнения (17) при соответствующих производных.
14. Собирая подобные слагаемые, получим:
(20)
Теперь с помощью замены неизвестной функции (14)
упростим группу младших производных.
Пересчитаем производные, входящие в уравнение (20), используя формулы (15).
Здесь слева расставлены соответствующие коэффициенты уравнения (20). Собирая подобные слагаемые, получим
. (21)
В уравнении (21) приравняем к нулю коэффициенты при и
Откуда Подставив эти значения параметров в уравнение (21) и разделив его на , придем к уравнению
.
Ответ. Уравнение (20) является уравнением эллиптического типа на всей плоскости XOY. Его канонический вид
,
где .
2.3. Задачи для самостоятельного решения
Задача 4. Привести уравнения к каноническому виду и упростить группу младших производных.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
Привести к каноническому виду уравнения параболического
Параболой называется геометрическое место точек плоскости, равноудаленных от данной точки (фокуса), и данной прямой (директрисы).
Произведем выбор осей: 0 x проходит через фокус перпендикулярно директрисе («+» от директрисы к F ); за начало координат возьмем середину отрезка от до директрисы. Длину | OF | обозначим через ( p – параметр параболы); ось 0 y проведём через точку O параллельно директрисе. Поместим вершину параболы в точку O . Пусть M ( x ; y ) – произвольная точка параболы, K – основание перпендикуляра, опущенного из точки M на директрису, то есть точка .
По определению | KM |=| MF | , тогда с учетом
Это каноническое уравнение параболы ветвью вправо (рис. 2.8).
Очевидно, что x ≥ 0 и каждому x соответствует два значения y , равных по величине и противоположных по знаку, следовательно, парабола симметрична относительно оси 0 x .
Эксцентриситет параболы (аналогично эллипсу и гиперболе) определяется формулой:
. Можно показать, что парабола ветвью влево (рис. 2.9), имеет уравнение y 2 = – 2 px .
Для параболы ветвями вверх ( рис. 2.10 ) или вниз (рис. 2.11 ) уравнения выводятся аналогично уравнению (2.19) и имеют соответственно канонический вид x 2 =2 py и y 2 =2 px.
Пример 2.7. Составить уравнение линии, для каждой точки которой ее расстояние до точки A (3;–4) равно расстоянию до прямой y = 2 . Полученное уравнение привести к каноническому виду.
Решение. Пусть M ( x ; y ) – текущая точка искомой кривой. Опустим из точки M перпендикуляр MB на прямую y = 2. Тогда точка B имеет координаты ( x ; 2). Так как по условию MA = MB , то
Полученное уравнение определяет параболу ветвью вниз и с вершиной в точке O ’ ( 3;–1). Точка A ( 3;–4) является фокусом параболы. Для приведения уравнения к простейшему (каноническому) виду положим x – 3= x ’ , y + 1= y ’ . Тогда в системе координат x ’ 0 ’ y ’ уравнение параболы принимает следующий вид: x ’2 = –12 y ’ .
Примечание. При вращении параболы вокруг ее оси образуется параболоид вращения
http://pandia.ru/text/80/113/36843.php
http://www.sites.google.com/site/vyssaamatem/kupit-ucastok/ii-4-kanoniceskoe-uravnenie-paraboly