Привести к простейшему виду уравнение параболы

Привести к простейшему виду уравнение параболы

Привести к простейшему виду уравнение параболы y = 2x 2 + 4x + 5 и найти координаты ее вершины.

Уравнение y = 2x 2 + 4x + 5 преобразуем, выделив в правой части полный квадрат:

пусть теперь x₁ = x + 1, y₁ = y — 3. Из сравнения с формулами

координаты нового начала: x₀ = -1; y₀ = 3. Уравнение параболы примет вид

Приведение кривой второго порядка к каноническому виду

Пример №1 . Привести уравнение второго порядка к каноническому виду с помощью поворота и параллельного переноса осей координат. Построить кривую.

Пример №2 . Выполнив последовательно преобразования координат: поворот, а затем параллельный перенос координатных осей, преобразовать к каноническому виду уравнение кривой второго порядка и построить ее в исходной системе координат, а также найти параметры кривой.

Алгоритм перехода кривой второго порядка к каноническому виду

Пример №1 . 4y=-6-sqrt(4x-x 2 )
sqrt(4x-x 2 ) = -(4y+6)
Возведем в квадрат
4x-x 2 = (4y+6) 2
Раскрывая скобки, получаем:
16y 2 +48y + 36 +x 2 -4x = 0

Далее решается калькулятором. Если самостоятельно решать, то получим:
4x-x 2 = (4y+6) 2
-(x 2 — 4x) = 2(y+3/2) 2
-(x 2 — 4x + 4) = (y+3/2) 2
-(x — 2) 2 = (y+3/2) 2
(y+3/2) 2 + (x — 2) 2 = 0

Пример №2 . x=1-2/3 sqrt(y 2 -4y-5)
Здесь надо сначала привести к нормальному виду.
3/2(x-1)=sqrt(y 2 -4y-5)
Возводим в квадрат
9/4(x-1) 2 =y 2 -4y-5
9/4x 2 -9/4*2x+9/4-y 2 +4y+5=0
9/4x 2 -9/2x-y 2 +4y+29/4=0

Далее можно решать как с калькулятором, так и без него:
9/4(x-1) 2 =y 2 -4y-5
9/4(x-1) 2 =y 2 -4y+4-4-5
9/4(x-1) 2 =(y 2 -2)-9
9/4(x-1) 2 -(y 2 -2) = -9
-1/4(x-1) 2 +1/9(y 2 -2) = 1

Общее уравнение параболы (примеры и упражнения)

Общее уравнение параболы (примеры и упражнения) — Наука

Содержание:

В общее уравнение параболы содержит квадратичные члены в Икс И в Y, а также линейные члены в обеих переменных плюс независимый член. Ось симметрии первой параллельна вертикальной оси, а вторая — горизонтальной.

В общем, квадратное уравнение без перекрестного члена ху записывается как:

Топор 2 + Сай 2 + Dx + Ey + F = 0

Значения A, C, D, E и F являются действительными числами. При выполнении условий A ∙ C = 0 и A + C ≠ 0 кривая, полученная в результате построения графиков точек, удовлетворяющих указанному уравнению, является параболой.

Случай 1

Для вертикальной параболы ее общее уравнение:

Топор 2 + Dx + Ey + F = 0

Где A и E отличны от 0. Другими словами, когда термин появляется с x 2 , парабола вертикальная.

Случай 2

Со своей стороны, для горизонтальной параболы имеем:

Сай 2 + Dx + Ey + F = 0

Здесь C и D также отличны от 0, поэтому квадратичный член соответствует y 2 .

В любом случае общее уравнение параболы квадратично по одной из переменных и линейно по другой.

Элементы притчи

Парабола, определяемая как геометрическое место, состоит из множества точек плоскости, которые равноудалены от другой точки, называемой фокус а также строку, известную как директивная строка.

Исходя из общего уравнения, можно изучить параболу, указав ее элементы. Эти элементы, включая фокус и директивную строку, кратко описаны:

–Ось, который относится к оси симметрии параболы, может быть горизонтальным (параллельно оси абсцисс) или вертикальным (параллельно оси ординат).

–Ориентация, что, в свою очередь, соответствует ориентации оси. Парабола вертикальна, если ее ось симметрии вертикальна, и горизонтальна, если ось также расположена.

–Вершина, — точка, в которой ось пересекает параболу.

–Фокус, точка, расположенная на оси, внутри параболы и на расстоянии п из вершины. Все точки параболы равноудалены от фокуса и направляющей линии.

–Параметр, это расстояние п между фокусом и вершиной.

–Прямая линия, которая перпендикулярна оси и также является расстоянием п вершины параболы, но не пересекает ее, так как находится снаружи.

–Прямая сторона, — хорда, которая проходит через фокус, пересекая параболу в двух точках, перпендикулярных ее оси.

–Эксцентриситет, который в случае притчи всегда равен 1.

–Графическое представление.

Информация для определения всех этих элементов содержится в общем уравнении.

Каноническая форма

Для определения элементов параболы иногда удобно перейти от общей формы к канонической форме параболы, используя метод дополнения квадратов по квадратичной переменной.

Эта каноническая форма такова:

Где точка (h, k) — вершина V параболы. Каноническая форма также может быть преобразована в общее уравнение, развивая замечательный продукт и переставляя термины.

Примеры

Пример 1

Ниже приведены уравнения параболы в общем виде:

а) 4х 2 + 5лет — 3 = 0

б) 1 — 2y + 3x –y 2 = 0

В а) коэффициенты определены: A = 4, C = 0, D = 0, E = 5, F = -3. Это парабола, ось симметрии которой вертикальна.

Со своей стороны, в б) общее уравнение имеет вид:

— Y 2 + 3х — 2у + 1 = 0

И коэффициенты: C = –1, D = 3, E = -2 и F = 1.

Пример 2

Следующая притча имеет каноническую форму:

Чтобы найти его общее уравнение, сначала разработайте заметный продукт и сделайте круглые скобки справа:

Y 2 –2y + 1 = 6x –18

Теперь все термины перенесены влево и удобно сгруппированы:

Y 2 –2y + 1– 6x +18 = 0 → y 2 — 6x –2y + 19 = 0

Поскольку квадратичный член равен y 2 это горизонтальная парабола. Коэффициенты:

С = 1; D = -6; E = –2, F = 19.

Решенные упражнения

Упражнение 1

Следующая притча дана в общем виде:

Икс 2 –10x — 12лет — 11 = 0

Просьба писать в канонической форме.

Решение

Переход к каноническому виду достигается заполнением квадратов, в данном случае, по переменной x. Начнем с написания терминов в скобках x:

(Икс 2 –10x) –12y — 11 = 0

Вы должны преобразовать то, что указано в скобках, в трехчлен полного квадрата, что достигается добавлением 5 2 , который, естественно, необходимо вычесть, иначе выражение изменится. Выглядит это так:

(Икс 2 −10x + 5 2 ) −12y — 11−5 2 = 0

Три члена в скобках составляют трехчлен полного квадрата (x-5) 2 . Это можно проверить, разработав этот замечательный продукт для подтверждения. Теперь остается притча:

(х — 5) 2 –12y –36 = 0

Ниже приведены термины вне скобок:

(х — 5) 2 –12 (и +3) = 0

Что окончательно трансформируется в:

Пример 2

Найдите элементы предыдущей параболы и постройте ее график.

Решение

Вершина

Вершина параболы имеет координаты V (5, -3)

Ось

Параметр

По поводу значения параметра п которое появляется в канонической форме: (x — h) 2 = 4p (y — k) находится путем сравнения обоих уравнений:

Ориентация

Эта парабола вертикальная и открывается вверх. Поскольку вершина расположена в точке x = 5, y = -3, то осью симметрии является вертикальная линия x = 5.

Фокус

Фокус находится на прямой x = 5, следовательно, у нее также есть координата x = 5.

Координата Y Фокус должен быть на p единиц выше k, то есть: p + k = 3 + (-3) = 0, тогда фокус находится в точке (5,0).

Прямая линия

Он перпендикулярен оси, поэтому теперь имеет форму y = c, поскольку он находится на расстоянии p от вершины, но вне параболы, это означает, что он находится на расстоянии p ниже k:

Прямая сторона

Этот отрезок пересекает параболу, проходит через фокус и параллелен директивной линии, поэтому он содержится в прямой y = 0.

Графическое представление

Его можно легко получить из бесплатного онлайн-программного обеспечения для построения графиков, такого как Geogebra. В поле ввода он размещается так: