Привести уравнение гиперболы к виду xy k

Приведение кривой второго порядка к каноническому виду

Пример №1 . Привести уравнение второго порядка к каноническому виду с помощью поворота и параллельного переноса осей координат. Построить кривую.

Пример №2 . Выполнив последовательно преобразования координат: поворот, а затем параллельный перенос координатных осей, преобразовать к каноническому виду уравнение кривой второго порядка и построить ее в исходной системе координат, а также найти параметры кривой.

Алгоритм перехода кривой второго порядка к каноническому виду

Пример №1 . 4y=-6-sqrt(4x-x 2 )
sqrt(4x-x 2 ) = -(4y+6)
Возведем в квадрат
4x-x 2 = (4y+6) 2
Раскрывая скобки, получаем:
16y 2 +48y + 36 +x 2 -4x = 0

Далее решается калькулятором. Если самостоятельно решать, то получим:
4x-x 2 = (4y+6) 2
-(x 2 — 4x) = 2(y+3/2) 2
-(x 2 — 4x + 4) = (y+3/2) 2
-(x — 2) 2 = (y+3/2) 2
(y+3/2) 2 + (x — 2) 2 = 0

Пример №2 . x=1-2/3 sqrt(y 2 -4y-5)
Здесь надо сначала привести к нормальному виду.
3/2(x-1)=sqrt(y 2 -4y-5)
Возводим в квадрат
9/4(x-1) 2 =y 2 -4y-5
9/4x 2 -9/4*2x+9/4-y 2 +4y+5=0
9/4x 2 -9/2x-y 2 +4y+29/4=0

Далее можно решать как с калькулятором, так и без него:
9/4(x-1) 2 =y 2 -4y-5
9/4(x-1) 2 =y 2 -4y+4-4-5
9/4(x-1) 2 =(y 2 -2)-9
9/4(x-1) 2 -(y 2 -2) = -9
-1/4(x-1) 2 +1/9(y 2 -2) = 1

Дипломная работа MBA

Вывести уравнение окружности.

Вывести каноническое уравнение эллипса.

Исследовать форму эллипса по его уравнению. Эксцентриситет эллипса, эксцентриситет окружности.

Вывести каноническое уравнение гиперболы. Сопряженная гипербола.

Асимптоты гиперболы. Исследование формы гиперболы по ее уравнению.

Вывести каноническое уравнение параболы.

Исследование формы параболы по ее уравнению.

Преобразование координат на плоскости : параллельный перенос и поворот осей координат.

Две канонические формы равносторонней гиперболы. График дробно-линейной функции.

Уравнения эллипса, гиперболы и параболы, оси симметрии которых параллельны осям координат.

Исследование общего уравнения второй степени

а) Преобразование общего уравнения линии второго порядка к новому началу координат.

б) Центральные кривые. Необходимое и достаточное условие расположения центра кривой в начале координат.

в) Упрощение уравнения кривой с помощью поворота осей координат.

г) Инвариант уравнения второго порядка. Признаки принадлежности кривых к эллиптическому, параболическому и гиперболическому типам.

д) План приведения к каноническому виду центральной кривой.

е) План приведения к каноническому виду нецентральной кривой.

Краткая теория, приведенная в задании, носит справочный характер и должна лишь помочь студенту в самостоятельной работе над литературой.

В общем случае кривую второго порядка определяет уравнение

Коэффициенты при старших членах здесь одновременно не равны нулю. Так как уравнение отражает не только форму, но и положение линии на плоскости относительно системы координат, то в общем виде оно сложнее, чем известные нам канонические уравнения эллипса

Простота канонических уравнений объясняется тем, что при выводе их используется специально выбранная система координат, а именно: в случае эллипса и гиперболы начало координат выбирается в центре кривой, а координатные оси совпадают с осями симметрии; в случае параболы начало координат выбирается в вершине кривой, а одна из осей совпадает с осью симметрии.

Изменяя положение системы координат на плоскости, можно добиться такого упрощения уравнения (1), что оно станет каноническим. Т.о., наша задача состоит в том, чтобы найти новую систему координат, в которой уравнение (1) примет канонический вид.

При нахождении этой системы координат будем использовать два вида преобразований координат.

Параллельный перенос осей координат.

Даны две системы координат с разными началами и и одинаковыми направлениями осей (рис.1). Обозначим через и координаты произвольной точки соответственно в старой и новой системах координат. Если координаты нового начала в системе , то справедливы формулы преобразования параллельного переноса осей координат

Поворот осей координат.

Даны две системы координат с одинаковым началом и разными направлениями осей. Пусть (рис.2) – угол между и (угол поворота системы координат). Справедливы формулы преобразования поворота осей координат

где координаты произвольной точки в , координаты этой точки в новой системе координат .

Дано уравнение гиперболы в виде . Путем параллельного переноса системы координат привести ее уравнение к виду , указать асимптоты гиперболы, построить соответствующие системы координат и данную гиперболу по уравнению .

Даны уравнения кривых второго порядка :

Требуется по данному уравнению определить, какого типа кривую (эллиптического, гиперболического, параболического) оно представляет, затем следует привести это уравнение к каноническому виду с помощью параллельного переноса системы координат, построить соответствующие системы координат и кривую по ее каноническому уравнению.

Дано уравнение кривой второго порядка

Требуется привести данное уравнение путем поворота и параллельного переноса системы координат к каноническому виду. Построить соответствующие системы координат и данную кривую по ее каноническому уравнению.

а) Дано уравнение кривой в полярных координатах

Требуется построить эту кривую по ее полярному уравнению.

б) Дано уравнение кривой в прямоугольных декартовых координатах

Записать это уравнение в полярных координатах, а затем построить данную линию по ее полярному уравнению.

Составить уравнение линии, каждая точка которой в два раза ближе к точке , чем к началу координат.

Гипербола — определение и вычисление с примерами решения

Гипербола:

Определение: Гиперболой называется геометрическое место точек абсолютное значение разности расстояний от которых до двух выделенных точек

Получим каноническое уравнение гиперболы. Выберем декартову систему координат так, чтобы фокусы

Рис. 31. Вывод уравнения гиперболы.

Расстояние между фокусами (фокусное расстояние) равно Согласно определению, для гиперболы имеем Из треугольников по теореме Пифагора найдем соответственно.

Следовательно, согласно определению имеем

Возведем обе части равенства в квадрат, получим

Перенося квадратный корень в левую часть, а все остальное в правую часть равенства, находим Раскроем разность квадратов Подставим найденное выражение в уравнение и сократим обе части равенства на 4, тогда оно перейдет в уравнение Вновь возведем обе части равенства в квадрат Раскрывая все скобки в правой части уравнения, получим Соберем неизвестные в левой части, а все известные величины перенесем в правую часть уравнения, получим Введем обозначение для разности, стоящей в скобках Получим Разделив все члены уравнения на величину получаем каноническое уравнение гиперболы: Для знака “+” фокусы гиперболы расположены на оси Ох, вдоль которой вытянута гипербола. Для знака фокусы гиперболы расположены на оси Оу, вдоль которой вытянута гипербола.

Проанализируем полученное уравнение. Если точка М(х;у) принадлежит гиперболе, то ей принадлежат и симметричные точки и следовательно, гипербола симметрична относительно координатных осей, которые в данном случае будут называться осями симметрии гиперболы (Рис. 32). Найдем координаты точек пересечения гиперболы с координатными осями: т.е. точками пересечения гиперболы с осью абсцисс будут точки т.е. гипербола не пересекает ось ординат.

Рис. 32. Асимптоты и параметры гиперболы

Определение: Найденные точки называются вершинами гиперболы.

Докажем, что при возрастании (убывании) переменной х гипербола неограниченно приближается к прямым не пересекая эти прямые. Из уравнения гиперболы находим, что При неограниченном росте (убывании) переменной х величина следовательно, гипербола будет неограниченно приближаться к прямым

Определение: Прямые, к которым неограниченно приближается график гиперболы называются асимптотами гиперболы.

В данном конкретном случае параметр а называется действительной, а параметр b — мнимой полуосями гиперболы.

Определение: Эксцентриситетом гиперболы называется отношение фокусного расстояния к действительной полуоси гиперболы

Из определения эксцентриситета гиперболы следует, что он удовлетворяет неравенству Кроме того, эта характеристика описывает форму гиперболы. Для демонстрации этого факта рассмотрим квадрат отношения мнимой полуоси гиперболы к действительной полуоси Если эксцентриситет и гипербола становится равнобочной. Если и гипербола вырождается в два полубесконечных отрезка

Пример:

Составить каноническое уравнение гиперболы, если мнимая полуось b = 5 и гипербола проходит через точку М(4; 5).

Решение:

Для решения задачи воспользуемся каноническим уравнением гиперболы, подставив в него все известные величины:

Следовательно, каноническое уравнение гиперболы имеет вид

Пример:

Составить уравнение гиперболы, вершины которой находятся в фокусах, а фокусы — в вершинах эллипса

Решение:

Для определения координат фокусов и вершин эллипса преобразуем его уравнение к каноническому виду. Эллипс: или Следовательно, большая полуось эллипса а малая полуось Итак, вершины эллипса расположены на оси и на оси Так как то эллипс вытянут вдоль оси абсцисс Ох. Определим расположение фокусов данного эллипса Итак, Согласно условию задачи (см. Рис. 33):

Рис. 33. Параметры эллипса и гиперболы

Вычислим длину мнимой полуоси Уравнение гиперболы имеет вид:

Гипербола в высшей математике

Решая его относительно , получим две явные функции

или одну двузначную функцию

Функция имеет действительные значения только в том случае, если . При функция действительных значений не имеет. Следовательно, если , то точек с координатами, удовлетворяющими уравнению (3), не существует.

При получаем.

При каждому значению соответствуют два значения , поэтому кривая симметрична относительно оси . Так же можно убедиться в симметрии относительно оси . Поэтому в рассуждениях можно ограничиться рассмотрением только первой четверти. В этой четверти при увеличении х значение у будет также увеличиваться (рис. 36).

Кривая, все точки которой имеют координаты, удовлетворяющие уравнению (3), называется гиперболой.

Гипербола в силу симметрии имеет вид, указанный на рис. 37.

Точки пересечения гиперболы с осью называются вершинами гиперболы; на рис. 37 они обозначены буквами и .

Часть гиперболы, расположенная в первой и четвертой четвертях, называется правой ветвью, а часть гиперболы, расположенная во второй и третьей четвертях, — левой ветвью.

Рассмотрим прямую, заданную уравнением . Чтобы не смешивать ординату точки, расположенной на этой прямой, с ординатой точки, расположенной на гиперболе, будем обозначать ординату точки на прямой , а ординату точки на гиперболе через . Тогда , (рассматриваем только кусок правой ветви, расположенной в первой четверти). Найдем разность ординат точек, взятых на прямой и на гиперболе при одинаковых абсциссах:

Умножим и разделим правую часть на

Будем придавать все большие и большие значения, тогда правая часть равенства будет становиться все меньше и меньше, приближаясь к нулю. Следовательно, разность будет приближаться к нулю, а это значит, что точки, расположенные на прямой и гиперболе, будут сближаться. Таким образом, можно сказать, что рассматриваемая часть правой ветви гиперболы по мере удаления от начала координат приближается к прямой .

Вследствие симметрии видно, что часть правой ветви, расположенная в четвертой четверти, будет приближаться к прямой, определяемой уравнением . Также кусок левой ветви, расположенный во второй четверти, приближается к прямой , а кусок левой ветви, расположенный в третьей четверти, — к прямой .

Прямая, к которой неограниченно приближается гипербола при удалении от начала координат, называется асимптотой гиперболы.

Таким образом, гипербола имеет две асимптоты, определяемые уравнениями (рис. 37).

• Парабола
• Многогранник
• Решение задач на вычисление площадей
• Тела вращения: цилиндр, конус, шар
• Правильные многогранники в геометрии
• Многогранники
• Окружность
• Эллипс

При копировании любых материалов с сайта evkova.org обязательна активная ссылка на сайт www.evkova.org

Сайт создан коллективом преподавателей на некоммерческой основе для дополнительного образования молодежи

Сайт пишется, поддерживается и управляется коллективом преподавателей

Whatsapp и логотип whatsapp являются товарными знаками корпорации WhatsApp LLC.

Cайт носит информационный характер и ни при каких условиях не является публичной офертой, которая определяется положениями статьи 437 Гражданского кодекса РФ. Анна Евкова не оказывает никаких услуг.