Привести уравнение к главным осям

Приведение кривой второго порядка к каноническому виду

Пример . Дано уравнение кривой 3x 2 +10xy+3y 2 -2x-14y-13=0 в системе координат (0,i,j), где i =(1,0) и j =(0,1).
1. Определить тип кривой.
2. Привести уравнение к каноническому виду и построить кривую в исходной системе координат.
3. Найти соответствующие преобразования координат.

Решение. Приводим квадратичную форму B=3x 2 +10xy+3y 2 к главным осям, то есть к каноническому виду. Матрица этой квадратичной формы . Находим собственные числа и собственные векторы этой матрицы:

Характеристическое уравнение:
; λ₁=-2, λ₂=8. Вид квадратичной формы: .
Исходное уравнение определяет гиперболу.
Заметим, что вид квадратичной формы неоднозначен. Можно записать 8x₁ 2 -2y₁ 2 , однако тип кривой остался тот же – гипербола.
Находим главные оси квадратичной формы, то есть собственные векторы матрицы B. .
Собственный вектор, отвечающий числу λ=-2 при x₁=1: x ₁=(1,-1).
В качестве единичного собственного вектора принимаем вектор , где – длина вектора x ₁.
Координаты второго собственного вектора, соответствующего второму собственному числу λ=8, находим из системы
.
x ₂=(1,1); .
Итак, имеем новый ортонормированный базис ( i ₁, j ₁).
По формулам (5) пункта 4.3.3. переходим к новому базису:
или

Задание. Привести к каноническому виду уравнение линии 17x 2 + 12xy + 8y 2 — 20 = 0.
Решение.Пример 2

Задание. Привести к каноническому виду уравнение линии второго порядка, используя теорию квадратичных форм и определить её вид. Уравнение кривой второго порядка путем выделения полного квадрата привести к каноническому виду. Решение

Задание. Привести уравнение к каноническому виду: 16x 2 — 9y 2 -64x — 8y +199 = 0.
Решение.Скачать решение

Задание. Установить, что каждое из следующих уравнений определяет гиперболу, и найти координаты ее центра С, полуоси, эксцентриситет, уравнения асимптот и уравнения директрис. Изобразить гиперболу на чертеже, указав фокусы, асимптоты и директрисы.
Решение:Скачать решение

Задание. Установить, что каждое из следующих уравнений определяет эллипс, и найти координаты его центра С, полуоси, эксцентриситет, уравнения директрис. Изобразить эллипс на чертеже, указав оси симметрии, фокусы и директрисы.
Решение:Скачать решение

Приведение квадратичной формы к главным осям

Ранее была рассмотрена задача приведения вещественной квадратичной формы

[math]n[/math] переменных [math]x_1,x_2,\ldots,x_n[/math] к каноническому виду (6.18)

при помощи невырожденной линейной замены переменных [math]x=Sy[/math] . Для решения этой задачи использовался метод Лагранжа.

Рассмотрим другой подход к решению. Линейную невырожденную замену переменных [math]x=Sy[/math] с ортогональной матрицей [math]S

(S^<-1>=S^T)[/math] будем называть ортогональной заменой переменных (или ортогональным преобразованием переменных).

Сформулируем задачу приведения квадратичной формы к главным осям : требуется найти ортогональную замену переменных [math]x=Sy[/math] [math](S^<-1>=S^T)[/math] , приводящую квадратичную форму (9.23) к каноническому виду (9.24).

Для решения используем следующий геометрический смысл задачи. Будем считать переменные [math]x_1,x_2,\ldots,x_n[/math] координатами вектора [math]\boldsymbol[/math] n-мерного евклидова пространства [math]\mathbb[/math] в ортонормированном базисе [math](\boldsymbol)= (\boldsymbol_1,\ldots,\boldsymbol_n)[/math] , а матрицу [math]A[/math] квадратичной формы (9.23) — матрицей некоторого линейного преобразования [math]\mathcal\colon \mathbb\to \mathbb[/math] в том же базисе. Причем это преобразование самосопряженное, так как его матрица симметрическая: [math]A^T=A[/math] . Квадратичную форму (9.23) можно представить в виде скалярного произведения

Ортогональной замене переменных [math]x=Sy[/math] соответствует переход от одного ортонормированного базиса к другому. Действительно, пусть [math]S[/math] — матрица перехода от ортонормированного базиса [math](\boldsymbol)[/math] к ортонормированному базису [math](\boldsymbol)= (\boldsymbol_1,\ldots,\boldsymbol_n)[/math] , т.е. [math](\boldsymbol)= (\boldsymbol)S[/math] и [math]S^<-1>=S^T[/math] . Тогда координаты [math]x[/math] вектора [math]\boldsymbol[/math] в базисе [math](\boldsymbol)[/math] и координаты [math]y[/math] того же вектора в базисе [math](\boldsymbol)[/math] связаны формулой (8.11): [math]x=Sy[/math] .

Сформулируем этот результат для квадратичной формы.

Теорема (9.12) о приведении квадратичной формы к главным осям

Вещественная квадратичная форма (9.23) при помощи ортогонального преобразования переменных [math]x=Sy[/math] может быть приведена к каноническому виду (9.24), где [math]\lambda_1, \lambda_2,\ldots,\lambda_m[/math] — собственные значения матрицы [math]A[/math] .

Следствие. Квадратичная форма (9.23) является положительно определенной (неотрицательно определенной) тогда и только тогда, когда все собственные значения ее матрицы положительны (неотрицательны).

1. При линейной невырожденной замене переменных матрица квадратичной формы изменяется по формуле (6.10): [math]A’=S^TAS[/math] . Для ортогональной матрицы [math]S[/math] эта формула принимает вид [math]A’=S^<-1>AS[/math] , который совпадает с формулой (9.4) изменения матрицы линейного преобразования при замене базиса.

2. Для нахождения канонического вида (9.24) достаточно определить все корни [math]\lambda_1, \lambda_2,\ldots,\lambda_m[/math] (среди которых могут быть равные) характеристического многочлена (уравнения) [math]\det(A-\lambda E)=0[/math] , где [math]E[/math] — единичная матрица.

3. Следствие теоремы 9.12 можно использовать для анализа знакоопределенности квадратичной формы:

– если все собственные значения положительные (отрицательные), то квадратичная форма положительно (отрицательно) определенная;

– если все собственные значения неотрицательные (неположительные), то квадратичная форма неотрицательно (неположительно) определенная;

– если имеются собственные значения разных знаков, то квадратичная форма неопределенная (знакопеременная).

4. Результаты, сформулированные в пункте 3 замечаний, могут быть использованы для проверки достаточных и необходимых условий второго порядка в задаче поиска безусловного экстремума функций. Для этого следует найти собственные значения [math]\lambda_1, \lambda_2,\ldots,\lambda_m[/math] матрицы Гессе [math]\dfrac[/math] в каждой из стационарных точек [math]x^<\ast>[/math] функции [math]f(x)=f(x_1,\ldots,x_n)[/math] .

Если все собственные значения положительные: 0,

i=1,\ldots,n[/math] , то в точке [math]x^<\ast>[/math] локальный минимум;

– если все собственные значения отрицательные: [math]\lambda_i , то в точке [math]x^<\ast>[/math] локальный максимум;

– если все собственные значения неотрицательные: [math]\lambda_i\geqslant0,

i=1,\ldots,n[/math] , то в точке [math]x^<\ast>[/math] может быть локальный минимум;

– если все собственные значения неположительные: [math]\lambda_i\leqslant0,

i=1,\ldots,n[/math] , то в точке [math]x^<\ast>[/math] может быть локальный максимум;

– если собственные значения [math]\lambda_i,

i=1,\ldots,n[/math] , разных знаков, то в точке [math]x^<\ast>[/math] нет экстремума;

– если все собственные значения нулевые: [math]\lambda_i=0,

i=1,\ldots,n[/math] , то требуется дополнительное исследование.

5. Задача приведения квадратичной формы к главным осям решается при помощи алгоритма приведения самосопряженного преобразования к диагональному виду. При этом находится диагональный вид матрицы квадратичной формы и ортогональная матрица [math]S[/math] замены переменных [math]x=Sy[/math] , приводящей квадратичную форму к каноническому виду (к главным осям).

Пример 9.7. Выяснить знакоопределенность квадратичной формы трёх переменных

и найти ортогональную замену переменных [math]x=Sy[/math] , приводящую квадратичную форму к каноническому виду (к главным осям).

Решение. Составляем матрицу квадратичной формы: [math]A=\begin 1&1&1\\ 1&1&1\\ 1&1&1 \end[/math] . В примере 9.6 были найдены собственные значения этой матрицы: [math]\lambda_<1,2>=0,[/math] [math]\lambda_3=3[/math] . Все собственные значения неотрицательные, поэтому квадратичная форма является неотрицательно определенной (см. пункт 4 замечаний 9.10).

В примере 9.6 была найдена ортогональная матрица

приводящая матрицу [math]A[/math] к диагональному виду [math]\Lambda= \operatorname (0,0,3)[/math] . Записываем искомую ортогональную замену переменных [math]x=Sy:[/math]

и квадратичную форму в каноническом виде: [math]\widetilde(y)= 3y_3^2[/math] .

Пример 9.8. Найти точки локального экстремума функции двух переменных с помощью матриц

Решение. В пункте 1 примера 6.13 найден градиент функции, а из необходимого условия экстремума первого порядка три стационарные точки:

Найдем собственные значения матрицы Гессе в каждой стационарной точке:

и воспользуемся пунктом 4 замечаний 9.10.

В точке [math]x^0=\begin0\\0 \end[/math] матрица Гессе имеет вид [math]\begin 0&0\\ 0&2\end[/math] . Из уравнения [math]\begin -\lambda&0\\ 0&2-\lambda\end=0[/math] находим [math]\lambda_1=0,[/math] [math]\lambda_2=2[/math] . Так как все собственные значения неотрицательные, то в точке [math]x^0[/math] может быть локальный минимум и для окончательного вывода требуется дополнительное исследование (см. пример 6.13).

В точке [math]x^1=\begin1\\1 \end[/math] матрица Гессе имеет вид [math]\begin 38&-4\\ -4&2 \end[/math] . Из уравнения [math]\begin 38-\lambda&-4\\ -4&2-\lambda\end=0[/math] , или [math]\lambda^2-40 \lambda+60=0[/math] получаем [math]\lambda_<1,2>= 20\pm2\sqrt<85>[/math] . Поскольку все собственные значения положительные, то в точке [math]x^1[/math] локальный минимум функции.

В точке [math]x^2=\begin-1\\1 \end[/math] матрица Гессе имеет вид [math]\begin -22&4\\ 4&2 \end[/math] . Из уравнения [math]\begin -22-\lambda&4\\ 4&2-\lambda\end=0[/math] , или [math]\lambda^2+40 \lambda-60=0[/math] получаем [math]\lambda_<1,2>=-10\pm4\sqrt<10>[/math] . Поскольку собственные значения имеют разные знаки, то в точке [math]x^2[/math] нет экстремума.

Привести уравнение к главным осям

7.6. Приведение квадратичной формы к главным осям

Перейдём от линейных преобразований сначала к матрицам, а затем к квадратичным формам.

Теорема 14. Для любой симметрической матрицы A существует ортогональная матрица Q такая, что QAQ T — диагональная.

Доказательство (для матриц 3-го порядка). Рассмотрим i, j, k — ортонормированный базис в пространстве R 3 . Матрица A задаёт в этом базисе симметрическое преобразование A. Пусть z1,Z2,Z3 — ортонормированный базис в R 3 , состоящий из собственных векторов A (такой существует по теореме 13). Матрица A в новом базисе имеет вид QAQ -1 , где Q — матрица перехода от одного базиса к другому (теорема 11 из 3.5.4). Так как базис состоит из собственных векторов, то матрица QAQ -1 — диагональная.
По теореме 9 (см. 7.5.2), матрица перехода от одного ортонормированного базиса к другому ортонормированному базису ортогональна. Поэтому Q — ортогональная матрица, т. е. Q -1 = Q T и матрица QAQ T — диагональная. Теорема доказана.

Теорема 15 (о приведении квадратичной формы к главным осям). Любую квадратичную форму с действительными коэффициентами можно привести к каноническому виду с помощью линейной замены переменных с ортогональной матрицей.

Доказательство. Пусть f(x1. ,xn) — квадратичная форма с матрицей A. Так как A — симметрическая, то, по теореме 14, существует ортогональная матрица Q такая, что QAQ T — диагональная. Рассмотрим линейную замену переменных с матрицей Q : X = YQ. После преобразований форма будет иметь матрицу QAQ T , т. е. диагональную матрицу, что и требовалось.

Теорема 16. Если квадратичная форма f(x1. xn) с матрицей A приведена к каноническому виду с помощью линейной замены переменных с ортогональной матрицей, то числа bi — характеристические корни матрицы A.

Доказательство. Пусть X = YQ — необходимая замена переменных, Q — ортогональная матрица,

Так как . то . — матрица, подобная матрице A. Было доказано (теорема 12 из раздела 3.6), что характеристические корни