Продолжите утверждение тригонометрическим уравнением называется уравнение содержащее

Продолжите утверждение тригонометрическим уравнением называется уравнение содержащее

§ 20. Тригонометрические уравнения

Простейшие тригонометрические уравнения

Все уравнения, которые содержат переменную под знаком тригонометрических функций, называются тригонометрическим уравнением. Если перед вами уравнения такого вида, как:

sin x = a; cos x = a; tg x = a; ctg x = a,

в котором x является его переменной, и a является действительным числом, то такие уравнения называются простейшими тригонометрическими уравнениями. И если нам с вами известно, что в том случае, когда:

1) | а | Два основных метода решения тригонометрических уравнений

А сейчас мы с вами перейдем к рассмотрению основных методов решения тригонометрических уравнений. Для этих целей, как правило, используют:

• во-первых, метод введения новой переменной;
• во-вторых, способ разложения на множители.

А сейчас давайте вернемся немного назад и вспомним, как на третьем примере мы с вами решили тригонометрическое уравнение:

Вспомним, что мы сделали в первую очередь. Во-первых, ввели новую переменную ю z = sin t, а потом переписали уравнение, которое приобрело такой вид:

В итоге, мы с вами получили два простых уравнения:

Из сделанных ранее выводов мы увидели, что первое уравнение не имеет решения. А вот второе имеет их целых два:

Далее мы увидели, что их можно объединить одной формулой

Вспомните, как было решено это тригонометрическое уравнение:

Пример 4. Решим следующее уравнение.

Попробуем в него ввести новую переменную:

Смотрим, что это нам даст. А это нам позволит записать уравнение, которое имеет более простой вид:

Смотрим, что мы имеем:

Теперь вернемся к переменной х, ну и в итоге получим уже два уравнения:

С методом введения новой переменной мы уже выяснили, а сейчас попробуем решить тригонометрическое уравнение вторым способом, методом разложения на множители. В принципе, с этим методом вы также знакомы.

Берем уравнение f(х) =0 и пробуем преобразовать его к такому виду:

Для этого нам нужно решить два уравнения:

Пример 5. В следующем примере решение задачи также сводится к решению совокупности уравнений

И соответственно из этих уравнений у нас выходит:

Пример 6. Следующее уравнение решаем по такому же принципу.

Нам дано следующее уравнение:

Следовательно, приходим к совокупности уравнений:

Замечание. Тут необходимо учесть то, что не всегда переход от уравнения:

к совокупности уравнений:

Например, берем уравнение:

С помощью уравнения tg x = 0 находим х = пn, а из уравнения sin x = 1 находим

Но здесь присутствует одно «но», так как включить обе серии решений в ответ нельзя.

Так как при значении

Его множитель tg х не имеет смысла, другими словами он не имеет значения, так как не является областью определения уравнения, т.е. – это посторонние корни.

Однородные тригонометрические уравнения

Теперь давайте рассмотрим и тригонометрические уравнения, которые имеют специальный вид, но встречаются довольно таки часто.

Определение. Уравнение, имеющее вид:

называется однородным тригонометрическим уравнением 1-й степени; а уравнение, которое выглядит так:

является однородным тригонометрическим уравнением 2-й степени.

Уравнения 1-й степени

Давайте рассмотрим общий случай решения тригонометрических уравнений, в котором коэффициенты а и b отличны от нуля, ведь при а =0, уравнение будет иметь вид

а такое уравнение мы обсуждать не будем, так же, как и при b=0 получаем sin х =0.

Нам дано уравнение:

Делим его части почленно на соs x, и получим:

Вот мы и пришли к простейшему тригонометрическому уравнению

Внимание! Следует запомнить, что делить обе части уравнения на одно и то же выражение можно только в случае, если это выражение нигде не обращается в нуль. А вот как в этом убедиться?

Пример 7. Давайте решим уравнение 2 sin х — 3соs х = 0.

Решение. Разделим почленно на соs х, обе части уравнения и у нас получится:

Пример 8. Дано уравнение 2x + соs2x =0. Решение. Разделим почленно на соs 2 x обе части уравнения и получим:

Теперь приступим к однородному тригонометрическому уравнению 2-й степени:

Если в данном уравнении содержится член sin 2 х, у которого коэффициент отличный от 0, то при интересующих нас значениях переменной соs х не обращается в нуль, и следовательно обе части уравнения можно разделить почленно на соs 2 х. И вот что мы получим:

А получили мы квадратное уравнение относительно новой переменной z = tg х. Если в однородном тригонометрическом уравнении:

коэффициент а = 0, т.е. отсутствует член sin2 х. Тогда мы получим такое уравнение:

И решаем его методом разложения на множители:

У нас получается два уравнения. Также обстоит дело, когда с = 0, т.е. когда однородное уравнение имеет вид, где sin х можно вынести за скобки.

Тест по теме «Решение тригонометрических уравнений» 10 класс

Тест по теме «Решение тригонометрических уравнений» 10 класс

Просмотр содержимого документа
«Тест по теме «Решение тригонометрических уравнений» 10 класс»

«Решение тригонометрических уравнений»

10 класс Алгебра и начала математического анализа

Выполнила: учитель математики МКОУ СОШ № 9 г. Кизляр Исинова А.А.

Инструкция по выполнению работы

Работа состоит из трёх частей и содержит 25 заданий.

Часть I содержит 10 заданий. Задания вида:продолжите утверждения и с выбором верного ответа. Задания части I считаются выполненными, если учащийся продолжил утверждение и указал цифру верного ответа.

Часть II содержит 6 заданий с выбором верного ответа, соответствующих базовому уровню и уровню возможностей. При их выполнении надо записать полное решение и ответ (цифру верного ответа).

Часть III содержит 9 заданий, соответствующих уровню возможностей и доступных учащимся, хорошо успевающим по математике. При их выполнении надо записать полное решение и ответ.

На выполнение тестовой работы даётся 80 мин.

Проводится работа в два этапа. При этом реализуется основной принцип итоговой аттестации: успешное выполнение заданий II или III частей работы не компенсирует отсутствие результата выполнения заданий первой части. Оценивание осуществляется способом «сложения».

На первом этапев первый день в течение 40 мин учащиеся выполняют первую и вторую часть работы. В оставшееся время урока после сдачи учащимися работ проводится проверка ответов и устанавливается, кто из школьников не преодолел «порог», позволяющий получить положительную отметку. Проводится анализ возможных причин затруднений школьников и допущенных ошибок.

На втором этапево второй день в течение 40 минут учащиеся, не прошедшие «порог» в первый день, вновь пытаются это сделать, решая задания первой и второйчастей (другой вариант). Остальные учащиеся выполняют задания III части работы. При этом некоторые из них могут попытаться улучшить результат, выполнения заданий второй части.

Советуем учащимся для экономии времени пропускать задание, которое не удаётся выполнить сразу, и переходить к следующему. К выполнению пропущенных заданий можно вернуться, если у вас останется время.

* С данной инструкцией необходимо ознакомить школьников до проведения тестовой работы. Инструкция и текст работы выдаются каждому школьнику.

Для оценивания результатов выполнения работы применяются отметки «2», «3», «4», или «5». Полное правильное выполнение всей работы – 45 б.

Отметка «3» выставляется, если набрано от 5 до 7 баллов из части I и от 4 до 6из части II.

Отметка «4» выставляется, если набрано от 8 до 10 баллов из части I и от 7 до 8 из части II, или III части;

Для получения отметки «5» необходимо набрать 11 баллов из части I и 9баллов части II, и от 18 до 25 баллов III части.

«Решение тригонометрических уравнений»

Здравствуй, уважаемый посетитель!

Меня зовут Александр Бабаев. И это мой сайт.Он посвящён не только математике. Вы найдёте здесь много интересных и полезных, я надеюсь, для себя вещей.
Кроме того, что здесь выкладываются интересные задачки, разбираются непонятные моменты и осуществляется помощь в решении трудных задач, на сайте выкладывается фото и видео мероприятий, которые я провожу, в блоге вы найдёте обсуждение различных проблем с которыми я сталкиваюсь и могу поделиться с вами, дорогой посетитель.
Для моих замечательных студентов есть специальный раздел, где они могут посмотреть всё, что им нужно для овладевания курсом математики.
Более того, в специальных разделах я публикую мои рецензии на просмотренные мной фильмы и игры.