Проект на тему решение системы уравнений

Презентация проекта по математике на тему «Способы решения систем уравнений» (7-9)класс

Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

«Актуальность создания школьных служб примирения/медиации в образовательных организациях»

Свидетельство и скидка на обучение каждому участнику

Описание презентации по отдельным слайдам:

Способы решения систем уравнений. Беглова Наталья Михайловна учитель математики

Содержание. 1. Введение 2. Уравнения и системы уравнений. 2.1 Основные понятия 3. Способы решения систем уравнений 3.1 Способ подстановки 3.2 Способ сложения 3.3 Графический способ 3.4 Способ сравнения 3.5 Метод введения новых переменных 3.6 Метод деления и умножения 3.7 Применение однородных уравнений в решении систем 3.8 Метод определителей 4. Решение задач с помощью систем уравнений 5. Линейные системы трех уравнений с тремя неизвестными. 6. Заключение. 7. Список литературы.

Определение Уравнение – это равенство, содержащее одну или несколько переменных Линейное уравнение с одной переменной Линейное уравнение с двумя переменными Свойства уравнений если в уравнении перенести слагаемое из одной части в другую, изменив его знак, то получится уравнение, равносильное данному если обе части уравнения умножить или разделить на одно и то же отличное от нуля число, то получится уравнение, равносильное данному Основные понятия. Уравнения.

Основные понятия. Система уравнений. Определения: Системой уравнений называется некоторое количество уравнений, объединенных фигурной скобкой. Фигурная скобка означает, что все уравнения должны выполняться одновременно. Решением системы уравнений называется значения переменных, обращающие каждое уравнение системы в верное равенство. Решить систему уравнений это значит — найти все её решения или установить, что их нет.

Способы решения систем уравнений Способ подстановки Метод деления и умножения Способ сложения Метод введения новых переменных Метод определителей Применение однородных уравнений в решении систем Способ сравнения Графический способ

Способ подстановки Алгоритм решения. Выражают одну переменную через другую в одном из уравнений системы. 2. Это выражение подставляют в другое уравнение системы, и в результате получают уравнение с одной переменной. 3. В уравнении с одной переменной находят корень. 4. Подставив найденный корень, получают значение другой переменной. 5. Записывают ответ.

Решение системы способом подстановки Ответ: (-3;5)и(2;10)

Способ сложения Алгоритм решения. Уравнять модули коэффициентов при какой-нибудь переменной Сложить почленно уравнения системы Составить новую систему: одно уравнение новое, другое — одно из старых Решить новое уравнение и найти значение одной переменной Подставить значение найденной переменной в старое уравнение и найти значение другой переменной Записать ответ: х=…; у=… .

Решение системы способом сложения ||·(-1) + ____________ Ответ: (-3;5)и(2;10)

Графический способ Алгоритм решения. Построить в одной системе координат график каждого уравнения Определить координаты точки пересечения Записать ответ: х=…; у=… , или (х; у)

Решение системы графическим способом 2 0 2 x 4 6 10 -2 y y=8+х Выразим у через х Построим график первого уравнения у=8+х Построим график второго уравнения Ответ: (-3;5)и(2;10) Парабола, ветви вниз (0;14)-вершина 12 14 8

Способ сравнения Выразить у через х (или х через у) в каждом уравнении. 2. Приравнять выражения, полученные для одноимённых переменных. 3. Решить полученное уравнение и найти значение одной переменной. 4. Подставить значение найденной переменной в одно из выражений для другой переменной и найти её значение. 5. Записать ответ: х =…; у =… . Алгоритм решения.

7х – 1 = 2х — 4 Решим полученное уравнение: 7х — 2х = 5 5х = 5 х = 1 Решение системы способом сравнения Вернемся к системе: Ответ: (1;6) Приравняем выражение для у:

Привести систему уравнений к простейшей часто удается с помощью замены переменных. Наиболее часто используемые виды замен: или Метод введения новых переменных.

Пример: Решите систему уравнений: х2 + ху +у2 =4 х + ху + у =2 Решение: (х + у)2 –ху=4 (х + у) + ху=2 Сделаем замену х + у= u; ху= v, получим: u2 –v =4 u2+u – 6 =0 u1 = 2; u2 = -3 u + v = 2 v = 2- u v1 = 0; v2 = 5 Осталось решить две простейшие системы: х + у =3 х1 = 0; х2=2 ху = 0 у1 = 2; у2 =0 х + у =3 ху =5 — решений нет Ответ: ( 0;2 ) ( 2;0 ) 1. 2.

Метод деления и умножения. Решение систем методом умножения и деления основано на следующих правилах: Если обе части уравнения f2( х;у ) = g2( х;у ) ни при каких значениях ( х;у ) одновременно в ноль не обращаются, то системы равносильны.

Разделим первое уравнение на второе Ответ: (5; 3) Выразим у через х Решение системы методом деления

Метод определителей. Алгоритм решения. Составить табличку (матрицу) коэффициентов при неизвестных и вычислить определитель . 2. Найти — определитель x, получаемый из  заменой первого столбца на столбец свободных членов. 3. Найти — определитель y, получаемый из  заменой второго столбца на столбец свободных членов. 4. Найти значение переменной х по формуле (Крамера) 5. Найти значение переменной у по формуле 6. Записать ответ: х =…; у =… .

-80 Составим матрицу из коэффициентов при неизвестных  = 7·6 — 2·17 = 42 — 34 = 8 = 1·6 — 2·(-9) = 6 + 18 = 24 = 7·(-9) — 1·17 = — 63 -17= -80 Составим определи- тель x, заменив в определи- теле  первый столбец на столбец свободных членов Составим определи- тель y, заменив в определи- теле  второй столбец на столбец свободных членов x х=  = 24 8 = 3; у= y  = 8 = -10. Найдем х и у Ответ: х=3; у= -10. Решение системы методом определителей.

7х + 2у = 1 17х + 6у = -9 Составим матрицу из коэффициентов при неизвестных Составим определитель x , заменив в определителе  первый столбец на столбец свободных членов. x = 1 2 -9 6 = 1*6 — 2*(-9) = 6 + 18 = 24 Составим определитель y , заменив в определителе  второй столбец на столбец свободных членов. y = 7 1 17 -9 = 7*(-9) — 1*17 = -63 – 17 = -80 = = Ответ: х = 3; у =10. 7 2 17 6 = 7*6 — 2*17 = 42 – 34 = 8 = Найдем х и у: Х= = = -10 3 У=

Линейные системы трех уравнений с тремя неизвестными. Решением линейной системы трех уравнений с тремя неизвестными называется всякая тройка чисел (x,y,z) удовлетворяющая каждому уравнению системы. Любая линейная система может быть решена методом последовательного исключения неизвестных ( метод Гаусса).

Гаусс Карл Фридрих (30.04.1777 — 23.02.1855) Немецкий математик, внёсший фундаментальный вклад также в астрономию и геодезию, иностранный чл.-корр. (с 31.01.1802) и иностранный почётный чл.(с 24.03.1824) Петербургской АН. Родился в семье водопроводчика. Учился в Гёттингенском университете (1795—98). В 1799 получил доцентуру в Брауншвейге, в 1807 — кафедру математики и астрономии в Гёттингенском университете, с которой была также связана должность директора Гёттингенской астрономической обсерватории. На этом посту Гаусс оставался до конца жизни. Отличительными чертами творчества Гаусса являются глубокая органаничная связь в его исследованиях между теоретической и прикладной математикой, необычайная широта проблематики. Работы Гаусса оказали большое влияние на развитие алгебры, теории чисел, дифференциальной геометрии, теории тяготения, классической теории электричества и магнетизма, геодезии, целых отраслей теоретической астрономии.

Краткое описание документа:

Весь материал исследован не только теоретически, но и практически, приведены примеры в тексте. Тема «Решение систем уравнений» предлагается на ГИА , поэтому умение решать системы уравнений очень важно. Моя презентация может использоваться учащимися, как пособие для самостоятельного изучения темы „Способы решения систем уравнений ”, а также в качестве дополнительного материала. Рассмотрены : Способ подстановки. Способ сложения. Графический способ решения. Способ сравнения. Метод введения новых переменных. Метод деления и умножения. Применение однородных уравнений в решении систем. Метод определителей.

Решение систем линейных алгебраических уравнений. 10 класс.

Исследовательская работа по теме «Решение систем линейных алгебраических уравнений». 10 класс. Алгебра и начала анализа.

Скачать:

Предварительный просмотр:

Муниципальное бюджетное образовательное учреждение

Средняя общеобразовательная школа № 81

Сормовского района г. Н. Новгорода

Научное общество учащихся

«Решение систем линейных алгебраических уравнений»

Выполнил: Тихонов Никита,

ученик 10 «а» класса

Капочкина Антонина Николаевна,

1.Системы линейных алгебраических уравнений

2. Решение систем линейных алгебраических уравнений методом Крамера.

2.1. Основные понятия.

2.2 Определители второго порядка и их свойства.

2.3 Определители третьего порядка и их свойства.

2.4. Решение СЛАУ методом Крамера.

3. Матрицы и действия над ними.

3.2. Действия над матрицами.

3.3.Обратная матрица. Матричный метод решения СЛАУ.

4. Решение систем линейных алгебраических уравнений методом Гаусса.

4.1. Совместность СЛАУ.

4.2. Решение СЛАУ методом Гаусса.

Уравнения в школьном курсе алгебры занимают ведущее место. На их изучение отводится времени больше, чем на любую другую тему. Действительно, уравнения не только имеют важное теоретическое значение, но и служат чисто практическим целям. Подавляющее большинство задач о пространственных формах и количественных отношениях реального мира сводится к решению различных видов уравнений и их систем. Овладевая способами их решения, учащиеся находят ответы на различные вопросы из науки и техники (транспорт, сельское хозяйство, промышленность, связь и т.д.).

Многие теоритические и практические вопросы, приводят не к одному уравнению, а к целой системе уравнений с несколькими неизвестными.

Способы решения систем линейных уравнений – очень интересная и важная тема в школьном курсе математики, задания из данной темы были представлены на экзамене в 9 классе, а также входят в состав заданий для ЕГЭ.

С решением систем линейных уравнений мы познакомились в седьмом классе. Тогда мы решали системы линейных уравнений двумя способами:

1. метод подстановки;
2. метод сложения.

Нужно заметить, что не все методы решения системы линейных алгебраических уравнений рассматриваются в школьном курсе математики. Существуют и другие методы, например, такие, как: метод Крамера , Гаусса (исключение неизвестных), матричный способ.

С этими способами решения систем линейных уравнений мы познакомимся в данной исследовательской работе.

В процессе работы приобретаются навыки, с помощью которых последующее решение систем линейных уравнений станет намного проще и быстрее.

Рассмотреть решение систем линейных алгебраических уравнений методом Крамера, методом Гаусса и матричным методом.

1. Познакомится с понятием определителя и методами его вычисления.
2. Рассмотреть метод Крамера решения систем линейных алгебраических уравнений.
3. Познакомиться с понятием матрицы, элементами матриц, и их элементарными преобразованиями.
4. Рассмотреть решение систем линейных алгебраических уравнений матричным методом.
5. Рассмотреть решение систем линейных алгебраических уравнений методом Гаусса.

1.Системы линейных алгебраических уравнений

1.1 Основные понятия и определения

Система m линейных уравнений с n переменными имеет вид:

где a ij, b i (i = 1,2,…,m; j = 1,2,…,n) – произвольные числа, называемые соответственно коэффициентами при переменных и свободными членами уравнений.

В более краткой записи с помощью знаков суммирования систему можно записать в виде:

Решением системы (1.1) называется такая совокупность n чисел ( x 1 = k 1, x 2 = k 2 ,…, x n = k n ), при подстановке которых каждое уравнение системы обращается в верное равенство.

Система уравнений называется совместной , если она имеет хотя бы одно решение, и несовместной , если она не имеет решений.

Совместная система уравнений называется определенной , если она имеет единственное решение, и неопределенной , если она имеет более одного решения. Например, система уравнений – совместная и определенная, так как имеет единственное решение (10;0); система – несовместная; а система уравнений – совместная и неопределенная, так как имеет более одного, а точнее бесконечное множество решений ( x 1 = c, x 2 = 20-c, где с – любое число).

Две системы уравнений называются равносильными , или эквивалентными , если они имеют одно и то же множество решений. С помощью элементарных преобразований системы уравнений получается система (1.1), равносильная данной.

2. Решение систем линейных алгебраических
уравнений методом Крамера.

2.1. Основные понятия.

Определителем n-го порядка называется число  n , составленное по определенному правилу и записываемое в виде квадратной таблицы

Определитель вычисляется согласно указанному ниже правилу, по заданным числам ( ), которые называются элементами определителя (всего их n 2 ). Индекс i указывает номер строки, j – номер столбца квадратной таблицы (1), на пересечении которых находится элемент . Любую строку или столбец этой таблицы будем называть рядом.

Главной диагональю определителя называется совокупность элементов , , …, определителя (1).

Побочной диагональю определителя называется совокупность элементов , , …, определителя (1).

Минором M ij элемента a ij называется определитель (n–1)–го порядка  n–1 , полученный из определителя n–го порядка  n вычеркиванием i-й строки и jстолбца.

Алгебраическое дополнение A ij элемента a ij определяется равенством

A ij = (–1) i+j  M ij (2)

Значение определителя  n находится по следующему правилу.

Для n = 3 в определителе выбирается разрешающая строка или столбец, относительно которой или которого вычисляются определители 2-го порядка

Здесь в качестве разрешающей была выбрана первая строка определителя (4), однако, без ограничения общности, в качестве разрешающей может быть выбрана любая другая строка либо столбец.

В дальнейшем в качестве разрешающей будем рассматривать первую строку определителя.

Величины A 11 , A 12 , A 13 – алгебраические дополнения, а M 11 , M 12 , M 13 – миноры, соответствующие элементам a 11 , a 12 , a 13 определителя  3 . Эти миноры являются определителями второго порядка, получаемыми из определителя  3 вычеркиванием первой строки и соответствующих столбцов. Например, чтобы найти минор M 13 , следует в определителе  3 вычеркнуть первую строку и третий столбец, а из оставшихся элементов составить определитель второго порядка.

Для произвольного n

где A 1k = (–1) 1+k M 1k , а миноры M 1k , являющиеся определителями (n–1)-го порядка, получаются из  n вычеркиванием первой строки и k-го столбца.

2.2 Определители второго порядка и их свойства.

Определителем второго порядка называется число

Приведем основные свойства определителей второго порядка.

1. Величина определителя не изменится, если его строки поменять местами соответственными столбцами.
2. При перестановке двух строк (столбцов) абсолютная величина определителя сохранится, а знак изменится на противоположный.
3. Если определитель содержит две одинаковые строки (два одинаковых столбца), то его величина равна нулю.
4. Общий множитель всех элементов строки (столбца) можно вынести за знак определителя.
5. Если все элементы какой – либо строки (столбца) определителя равны нулю, то величина определителя равна нулю.
6. Если к элементам какой – либо строки (столбца) определителя прибавить соответственные элементы другой строки (столбца), умноженные на одно то же число, то величина определителя не изменится.

Пример 1. Вычислить определитель ∆= .

Решение. По формуле (1) находим

Пример 2. Вычислить определитель ∆= .

Решение. Вынесем за знак определителя общие элементов 1-й и 2-й строк, т.е. числа 125 и 4:

Вынося за знак определителя общий множитель элементов 2-ого столбца, равный 4, получим

2.3 Определители третьего порядка и их свойства.

Определителем третьего порядка называется число

Свойства определителей третьего порядка аналогичны свойствам определителей второго порядка.

Пример 1. Вычислить определитель

Решение. По формуле (1) находим

Пример 2. Вычислить определитель

Решение. Вынося за знак определителя общие множители элементов 1, 2 и 3-й строк, получим

∆=3∙6∙2∙ =36∙ — 2 + 3 =36(4(1-5)-2∙0+3(5-

Пример 3. Вычислить определитель

Решение. Вынесем общий множитель элементов 2-й строки за знак определителя:

Вычтем из элементов 3-й строки соответственные элементы 1-й строки:

Так как определитель с двумя равными строками равен нулю, то ∆=7∙0=0.

Для вычисления определителя третьего порядка  3 часто пользуются привилом Сарруса (правило треугольников):

 3 = a 11 a 22 a 33 + a 12 a 23 a 31 + a 21 a 32 a 13 – (a 13 a 22 a 31 + a 12 a 21 a 33 + a 23 a 32 a 11 )

Схематическая запись этого правила приведена ниже:

Пример 4. Вычислить определить 4-го порядка.

2.4. Решение СЛАУ методом Крамера.

Пусть задана система линейных алгебраических уравнений в следующем виде:

Пусть определитель матрицы A коэффициентов системы отличен от нуля, т.е. det A  0. Тогда справедливы формулы Крамера для вычисления неизвестных :

где , а являются определителями n-го порядка, которые получаются из путем замены в нем i-го столбца столбцом свободных членов исходной системы.

Пример 1. Решить систему уравнений с помощью формул Крамера:

= 56 – 18 + 20 + 21 = 79.

Последовательно заменяя в  3 первый, второй и третий столбцы столбцом свободных членов, получим

Пример 2. Решить систему уравнений

Найдем определитель системы =5. Так как то по теореме Крамера система имеет единственное решение.

Вычислим определители , , , полученных из матрицы А, заменой соответственно первого, второго и третьего столбцов столбцом свободных членов:

Теперь по формулам Крамера (1.8)

x 1 = ; x 2 = ; x 3 =

т. е. решение системы (4; 2; 1).

Пример 3. Решить систему уравнений

Система уравнений имеет одно решение, так как определитель отличен от нуля.

Остальные определители получим путем замены соответствующего столбца исходного определителя на столбец свободных членов системы уравнений.

Решения находим по формулам:

3. Матрицы и действия над ними.

Матрица размерами m × n – совокупность mn чисел, расположенных в виде прямоугольной таблицы из m строк и n столбцов, например (обозначим за А )

2 5 2

А = 3 10 7 — матрица. (1)

Числа, из которых состоит матрица, называются элементами матрицы. В общем виде матрицы:

а 11 a 12 … a 1n

a 21 a 22 … a 2n

M = a 31 a 32 … a 3n (2)

a m1 a m2 … a mn

они обозначаются буквами с двумя индексами: 1ый индекс указывает номер строки, а 2ой – номер столбца, в которых содержится этот элемент.

Если m = n, то матрица называется квадратной , а число строк (или столбцов) – её порядком .

Две матрицы, имеющие одинаковое количество строк и столбцов, называются матрицами одинакового типа. Две матрицы А = [a ij ] и В = [b ij ] одинакового типа называются равными , если a ij = b ij при всех i и j.

Матрица, состоящая из одной строки (одного столбца), называется матрицей-строкой ( матрицей-столбцом ), а матрица, у которой все элементы а ij = 0 , – нулевой или нуль матрицей.

Элементы квадратной матрицы, имеющие одинаковые значения индексов, составляют главную диагональ , а элементы квадратной матрицы порядка n ,сумма индексов каждого из которых равна n+1, – побочную диагональ.

Сумма элементов главной диагонали квадратной матрицы называется следом матрицы. Квадратные матрицы, у которых все элементы вне главной диагонали равны нулю, называются диагональными (обозначается Е ):

Квадратная матрица, все элементы которой, стоящие ниже (выше) главной диагонали, равны нулю, называется треугольной :

a 11 а 12 … а 1n b 11 0 … 0

А = 0 а 22 … а 2n ; B = b 21 b 22 … 0 (4)

0 0 … a nn b n1 b n2 … b nn

Диагональная матрица является частным случаем треугольной. Преобразование элементов квадратной матрицы, состоящее в замене строк соответствующими столбцами, называется транспонированием матрицы. Таким образом, если

a 11 a 12 … a 1n

A = a 21 a 22 … a 2n ; (5)

a n1 a n2 … a nn

то

a 11 a 21 … a n1

A T = a 12 a 22 … a n2 . (6)

a 1n a 2n … a nn

Определитель n-го порядка матрицы

а 11 а 12 … а 1n

А = а 21 а 22 … а 2n

а n1 а n2 … а nn

а 11 а 12 … а 1n

∆ = а 21 а 22 … а 2n = ∑ (-1) I(k , k , …, k ) a 1k a 2k … a nk (7)

а n1 а n2 … а nn

Здесь суммирование распространяется на всевозможные перестановки индексов элементов а ij , т.е. на всевозможные перестановки ( k 1 , k 2 , …, k n ). Числа а ij называют элементами определителя .

Квадратная матрица, определитель которой отличен от нуля, называется невырожденной, а матрица с определителем, равным нулю – вырожденной .

Определитель обладает некоторыми свойствами. Перечислим их:

1. При транспонировании матрицы её определитель не изменяется.

2. Если все элементы некоторой строки определителя состоят из

нулей, определитель равен нулю.

3.От перестановки двух строк определитель меняет знак.

1. Определитель, содержащий две одинаковые строки, равен нулю.
2. Общий множитель всех элементов некоторой строки определителя можно вынести за знак определителя, или, если все элементы некоторой строки определителя умножить на одно и тоже число, то определитель умножается на это число.
3. Определитель, содержащий две пропорциональные строки, равен нулю.
4. Если все элементы i -й строки определителя представлены в виде суммы двух слагаемых, то определитель равен сумме двух определителей, у которых все строки, кроме i -й, те же, что и у данного определителя; i -я строка определителя состоит из первых слагаемых элементов i -й строки данного определителя, а i -я

строка другого – из вторых слагаемых элементов i -й строки.

1. Определитель не изменяется, если к элементам одной строки прибавить соответствующие элементы другой строки, умноженные на одно и тоже число.

3.2. Действия над матрицами.

Основные операции, которые производятся над матрицами, – сложение, вычитание, умножение, а также умножение матрицы на число. Указанные операции являются основными операциями алгебры матриц – теории, играющей весьма важную роль в различных разделах математики и естествознания.

Суммой двух матриц А и В одинаковых размеров называется матрица того же размера, элементы которой равны сумме соответствующих элементов матриц А и В . Таким образом, если

а 11 … а 1n b 11 … b 1n

a m1 … а mn b m1 … b mn

a 11 + b 11 … a 1n + b 1n

a m1 + b m1 … a mn + b mn

Операция нахождения суммы матриц называется сложением матриц и распространяется на случай конечного числа матриц одинаковы размеров.

Так же, как и сумма, определяется разность двух матриц

a 11 – b 11 … a 1n – b 1n

A – B = ……………………… (10)

a m1 – b m1 … a mn – b mn

Операция нахождения разности двух матриц называется вычитанием матриц . Проверкой можно убедиться, что операция сложения матриц удовлетворяет следующим свойствам:

1. А + В = В + А ; (коммутативность)
2. А + (В + С) = (А + В) + С ; (ассоциативность)
3. А + О = А .

Здесь А, В, С – произвольные матрицы одинаковых размеров; О – нулевая матрица того же размера.

Произведением матрицы А = [а ij ] на число λ называется матрица, элементы которой получаются из соответствующих элементов матрицы А умножением их на число λ. Произведение обозначим

λА. Таким образом от умножения матрицы (1) на число, получим:

a 11 … a 1n λa 11 … λa 1n

A = ………… , то λA = ……………… (11)

a m1 … a mn λa m1 … λa mn

Операция нахождения произведения матрицы на число называется умножением матрицы на число. Матрица –А = –1А называется противоположной матрице А . Проверкой можно убедиться, что операция умножения матрицы на число удовлетворяет следующим свойствам:

Здесь А, В – произвольные матрицы; μ, λ — произвольные числа; О – нулевая матрица.

Произведение АВ матрицы А на матрицу В определяется только в том случае, когда число столбцов матрицы А равно числу строк матрицы В . Пусть матрицы А и В такие, что число столбцов матрицы А равно числу строк матрицы В :

а 11 … а 1n b 11 … b 1n

a m1 … a mn b m1 … b mn

В этом случае произведением матрицы А на матрицу В , которые

заданы в определенном порядке ( А – 1ая, В – 2ая ), является матрица С , элемент которой с ij определяется по следующему правилу:

c ij = a i1 b 1j + a i2 b 2j + … + a in b nj = ∑ n α = 1 a iα b αj, (12)

где i = 1,2, …, m; j = 1, 2, …, k.

Для получения элемента с ij матрицы произведения С = АВ нужно элементы i -й строки матрицы А умножить на соответствующие элементы j -го столбца матрицы В и полученные произведения сложить. Например, если:

1 2 3 7 8

А = ; В = 9 10 , то (13)

4 5 6 11 12

1 7 + 2 9 + 3 11 1 8 + 2 10 + 3 12 58 64

АВ = = (14)

4 7 + 5 9 + 6 11 4 8 + 5 10 + 6 12 139 154

Число строк матрицы С = АВ равно числу строк матрицы А , а число столбцов – числу столбцов матрицы В .

Операция нахождения произведения двух матриц называется умножением матриц . Умножение матриц некоммутативно, т.е.

АВ ≠ ВА . Убедимся в примере матриц (13). Перемножив их в обратном порядке, получим:

39 54 69

ВА = 49 68 87 (15)

Сравнив правые части выражений (14) и (15), убедимся, что АВ ≠ ВА.

Матрицы А и В , для которых АВ = ВА, называются перестановочными . Например:

1 2 -3 2

А = ; В = перестановочны, т.к.

-2 0 -2 -4

-7 -6

Проверкой можно показать, что умножение матриц удовлетворяет следующим свойствам:

1. А(ВС) = (АВ)С ; (ассоциативность)
2. λ(АВ) = (λА)В = А(λВ);
3. А(В + С) = АВ + АС . (дистрибутивность)

Здесь А, В, С – матрицы соответствующих определению умножения матриц размеров; λ — произвольное число.

Операция умножения двух прямоугольных матриц распространяется на случай, когда число столбцов в 1ом множителе равно числу строк во 2ом, в остальных случаях произведение не определяется. А также, если матрицы А и В – квадратные одного и того же порядка, то умножение матриц всегда выполнимо при любом порядке следования сомножителей.

3.3.Обратная матрица. Матричный метод решения СЛАУ.

Пусть дана квадратная матрица

a 11 … a 1n

A – её определитель.

Если существует матрица Х такая, что АХ = ХА = Е, где Е – единичная матрица, то матрица Х называется обратной по отношению к матрице А , а сама матрица А – обратимой . Обратная матрица для А обозначается А -1 .

Теорема 1.1. Для каждой обратимой матрицы существует только одна обратная ей матрица.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть для матрицы А наряду с матрицей Х существует еще хотя бы одна отличная от Х обратная матрица, которую обозначим за Х 1 . Тогда должны выполняться следующие условия: ХА = Е, АХ 1 = Е . Умножив второе равенство на матрицу Х , получим ХАХ 1 = ХЕ =Х. Но, т.к. ХА = Е , то предыдущее равенство можно записать в виде ЕХ 1 = Х или Х = Х 1 .

Т е о р е м а д о к а з а н а.

Пример 1. Найти матрицу обратную матрице

1 2 3

Р е ш е н и е. Проверим, обратима матрица А или нет, т.е. является ли она невырожденной:

1 2 3 1 2 5

∆ А = –3 –1 1 = –3 –1 0 = 5 –3 1 = 5 (–3 + 2) = –5 ≠ 0.

2 1 –1 2 1 0 2 1

Найдем алгебраические дополнения всех элементов матрицы А :

А 11 = –1 1 = 0; А 12 = – –3 1 = –1;

1 –1 2 –1

А 13 = –3 –1 = –1; А 21 = – 2 3 = 5;

2 1 1 –1

А 22 = 1 3 = –7; А 23 = – 1 2 = 3;

2 –1 2 1

А 31 = 2 3 = 5; А 32 = — 1 3 = –10;

А 33 = 1 2 = 5.

Составим присоединённую матрицу для матрицы А :

0 5 5

Отсюда находим обратную матрицу:

Пример 2. Найти неизвестную матрицу Х из уравнения АХ = В , если:

А = 2 3 ; В = 3 4 .

Р е ш е н и е. Умножив обе части данного матричного уравнения слева на матрицу А -1 , получим:

А -1 АХ = А -1 В; Х = А -1 В.

Найдем А -1 : ∆ А = 1, А 11 = 2, А 12 = -1, А 21 = -3, А 22 = 1 , следовательно,

Найдем матрицу Х:

Х = А -1 В = 2 -3 3 4 = 9 5 .

Пример1. Решите систему алгебраических линейных уравнений матричным методом.

А= 1 -1 4 ; Х= у ; В= -5

Найдём обратную матрицу А -1 :

∆ = 1 -1 4 = 4*(-1)*1 + 1*1*1 + 1*2*4 – 4*(-1)*1 – 1*1*4 – 1*

4 1 -4 *2*1 = -4+1+8+4-4-2=9-6=3 =0

Следовательно обратная матрица существует. Построим её:

Составим алгебраические дополнения к элементам матрицы А:

А 11 = (-1) 2 -1 2 = -6 А 12 = (-1) 3 1 2 =4 А 13 = (-1) 4 1 -1 = 5

А 21 = (-1) 3 1 1 = -3 А 22 = (-1) 4 1 1 =0 А 23 = (-1) 5 1 1 =3

А 31 = (-1) 4 1 1 =3 А 32 = (-1) 5 1 1 =-1 А 33 = (-1) 6 1 1 =-2

Составим матрицу из алгебраических дополнений:

Транспонируем полученную матрицу:

Умножим полученную матрицу на число, обратное определителю матрицы А т.е на 1/3:

А -1 = 4/3 0/3 -1/3 = 4/3 0 -1/3

5/3 3/3 -2/3 5/3 1 4/3

Х= 4/3 0 -1/3 * -5 = 4/3+2/3 = 2

5/3 1 4/3 -2 5/3-5+4/3 -2

Таким образом, х=1,у= 2, z= -2

Ответ: х=1,у= 2, z= -2

Найдем алгебраические дополнения

Отсюда получаем x = 2, y = 3, z =1.

4 . Решение систем линейных алгебраических
уравнений методом Гаусса.

4.1. Совместность СЛАУ.

Одним из ключевых понятий при решении систем линейных алгебраических уравнений является понятие ранга матрицы. Введем это понятие. Выделим в матрице A размерности m  n k строк и k столбцов, где k – число, меньшее или равное меньшему из чисел m и n. Определитель порядка k, составленный из элементов, стоящих на пересечении выделенных k строк и k столбцов, называется минором или определителем , порожденным матрицей A. Например, для матрицы

при k = 2 определители

будут порожденными данной матрицей.

Рангом матрицы A (обозначается rang A) называется наибольший порядок порожденных ею определителей, отличных от нуля. Если равны нулю все определители порядка k, порожденные данной матрицей, то rang A

Теорема 1. Ранг матрицы не изменится, если

1. Поменять местами любые два параллельных ряда.
2. Умножить каждый элемент ряда на один и тот же множитель   0.
3. Прибавить к элементам ряда соответствующие элементы другого параллельного ряда, умноженные на один и тот же множитель.

Преобразования 1–3 называются элементарными . Две матрицы называются эквивалентными, если одна матрица получается из другой с помощью элементарных преобразований.

Базисным минором матрицы называется всякий отличный от нуля минор, порядок которого равен рангу данной матрицы.

Минор M k+1 порядка k+1, содержащий в себе минор M k порядка k, называется окаймляющим минором M k . Если у матрицы A существует минор M k  0, а все окаймляющие его миноры M k+1 = 0, то rang A = k.

Пример. Найти ранг матрицы

Имеем . Для M 2 окаймляющими будут только два минора:

каждый из которых равен нулю. Поэтому rang A = 2, а указанный минор M 2 может быть принят за базисный.

Теорема 2 (Кронекера-Капелли). Для того, чтобы система m линейных алгебраических уравнений относительно n неизвестных x 1 , x 2 , …, x n

была совместна (имела решение), необходимо и достаточно, чтобы ранг основной матрицы

системы и ранг так называемой расширенной матрицы

системы были равны, т.е. rang A = rang B = r.

Далее, если rang A = rang B и r = n, то система имеет единственное решение; если r

Система называется однородной, если все ее свободные члены b i (i = 1, m) равны нулю. Если хотя бы одно из чисел отлично от нуля, то система называется неоднородной. Для однородной системы уравнений rang A = rang B, поэтому она всегда совместна.

4.2. Решение СЛАУ методом Гаусса.

Метод Гаусса – метод последовательного исключения переменных – заключается в том, что с помощью элементарных преобразований система уравнений приводится к равносильной системе ступенчатого (или треугольного) вида, из которой последовательно, начиная с последних (по номеру) переменных, находится все остальные переменные.

Пусть задана система линейных алгебраических уравнений в следующем виде:

(1)

Пусть все хотя бы один из свободных членов системы уравнений отличен от нуля, т.е. система неоднородна. Если основная матрица A системы имеет ранг r = n, то расширенная матрица B этой системы с помощью элементарных преобразований строк и перестановок столбцов всегда может быть приведена к треугольному виду, где на главной диагонали матрицы располагаются единицы, а все элементы ниже главной диагонали равны нулю:

Эта матрица является расширенной матрицей системы

которая эквивалентна исходной системе (т.е. имеет те же самые решения, что и исходная система). Если хотя бы одно из чисел отлично от нуля, то система (2) и исходная система (1) несовместны. Если же , то система (1) совместна, а из системы (2) можно последовательно выразить в явном виде базисные переменные через свободные переменные . Если r = n, то решение этой системы единственно. В дальнейшем будем рассматривать последний случай, т.е. когда r = n.

Пример 1. Решить систему уравнений:

Р е ш е н и е. Расширенная матрица системы имеет вид:

Шаг 1. Так как a 0, то умножая вторую, третью и четвертую строки матрицы на числа (-2), (-3), (-2) и прибавляя полученные соответственно ко второй, третьей, четвертой строкам, исключим переменную x 1 из всех строк, начиная со второй. Поменяем местами вторую и третью строки:

Шаг 2. Умножая вторую строку на (-7/4) и прибавляя полученную строку к четвертой, исключим переменную x 2 из всех строк, начиная с третьей:

Шаг 3. Умножаем третью строку на 13,5/8=27/16, и прибавляя строку к четвертой, исключим из нее переменную x 3 . Получим систему уравнений

откуда, используя обратный ход метода Гаусса, найдем из четвертого уравнения x 4 =-2; из третьего x 3 = = =-1; из второго x 2 = = =2 и из первого уравнения x 1 =6+2 x 4 -3 x 3 — -2 x 2 =6+2(-2)-3(-1)-2·2=1, т.е. решение системы (1; 2; -1; 2).

Пример 2. Методом Гаусса решить систему уравнений:

Р е ш е н и е. Преобразуем расширенную матрицу системы

Итак, уравнение, соответствующее третьей строке последней матрицы, противоречиво – оно привелось к неверному равенству 0=-1, следовательно, данная система несовместна.

Пример3. С помощью метода последовательных исключений Гаусса решить вопрос о совместности данной системы и в случае совместности решить ее.

Составим расширенную матрицу B и проведем необходиые элементарные преобразования строк:

Последней матрице соответствует система, эквивалентная исходной

Из нее, двигаясь снизу вверх, последовательно находим: x 4 = –1, x 3 = 1, x 2 = 0, x 1 = –2.

Пример 4. . Методом Гаусса решить систему уравнений:

Запишем расширенную матрицу коэффициентов системы уравнений

Произведем элементарные преобразования со строками расширенной матрицы.

Разделим все элементы первой строки расширенной матрицы на 2.

Вычтем из второй строки первую, умноженную на 3.

Вычтем из третьей строки первую, умноженную на 1.

Теперь умножим все элементы второй строки расширенной матрицы на -2/11.

Вычтем из третьей строки вторую, умноженную на ½.

Теперь умножим все элементы третьей строки расширенной матрицы на -11/16

Произведенные выше элементарные преобразования – это прямой ход в метода Гаусса

Теперь нужно провести алгебраические преобразования в обратном порядке:

сначала с элементами третьего столбца, а затем второго столбца расширенной матрицы

Вычтем из второй строки третью, умноженную на (-1/11), а из первой строки третью, умноженную на 1/2

Вычтем из первой строки вторую, умноженную на 3/2

В результате последнего преобразования было получено решение системы уравнений:

Работа над это темой была очень интересной.

− в процессе работы я узнал много нового;

− я научился пользоваться научной литературой, сопоставлять и сравнивать различные точки зрения, выделять главное;

− теперь я знаю, какие действия можно выполнять над матрицами, какой путь решения систем линейных уравнений наиболее простой и быстрый, и ещё в своей работе я изучила многие другие теоретические вопросы;

− также весь материал я исследовал не только теоретически, но и практически, приводя некоторые примеры в тексте.

Тема решения систем линейных уравнений предлагается на выпускных экзаменах, поэтому умение их решать очень важно.

Исследовательская работа может использоваться учащимися, как пособие для самостоятельного изучения по теме „Методы решения систем линейных уравнений ”, а также в качестве дополнительного материала.

1. Кремер Н. Ш. Высшая математика для экономистов: Учебное пособие для ВУЗов.- М.: Издательское объединение «ЮНИТИ», 1997.
2. Апанасов П. Т., Орлов М. И. Сборник задач по математике: Учебное пособие для техникумов. — М.: Высшая школа, 1987.
3. Демин И. И. Математика для экономистов: Программа курса и практические задания. – М.: МИЭП, 1997.
4. Большой энциклопедический словарь «Математика». Ю.В.Прохоров 2000 г.
5. Справочник по математике для средних учебных заведений. А.Г.Цыпкин Москва «Наука» 1983г.

Проект на тему: «Методы решения симметрических и однородных систем рациональных уравнений».

Проект разработан для дополнительной работы с детьми.

На элективном курсе мы изучаем данный материал с детьми.

Просмотр содержимого документа
«Проект на тему: «Методы решения симметрических и однородных систем рациональных уравнений».»

Проект на тему: «Методы решения симметрических и однородных систем рациональных уравнений».

Автор: Хабибова Патимат Магомедовна – учитель математики МКОУ «Ободинская СОШ»

Знакомство с темой проекта. Поиск информации и справочной литературы в библиотеке и сети Интернет. Анализ и обработка информации. Обсуждение возможных вариантов исследования, сравнение предполагаемых стратегий, выбор способов, сбор и изучение информации, составление плана работы над проектом.

Основные теоретические положения.

Методы решения систем линейных однородных уравнений.

Методы решения систем нелинейных однородных уравнений. а) Однородные системы уравнений;
б) Симметричные системы уравнений.

Цель данного проекта – глубоко изучить литературу по проблеме, с научных позиций осмыслить, обобщить, проанализировать педагогический опыт и определить пути в данном направлении. Расширить свои знания в области математики, связанные с понятием «Системы уравнений». На эти темы отдельных часов в программе не выделено, она изучается в рамках тех уроков, где рассматриваются конкретные виды уравнений: целые, дробно-рациональные, иррациональные, показательные, логарифмические, тригонометрические. Задача проекта заключается в том, что для успешной подготовки учащихся к сдаче ЕГЭ требуется умение решать различные системы уравнений, а в курсе средней школы им отведено недостаточно времени, необходимого познать этот вопрос глубже. Основная часть проекта состоит из трёх частей: основные теоретические положения темы, методы решения однородных и симметрических уравнений,опыт работы ( методы решения однородных и симметрических систем уравнений).

РАЗДЕЛ 1. 1.1 Основные теоретические положения.

Если система однородных линейных уравнений:

, то она имеет единственное решение , ;

, то она имеет ненулевые решения.

Теорема. Для того чтобы система однородных уравнений имела ненулевые решения, необходимо и достаточно, чтобы ранг ее основной матрицы был меньше числа неизвестных, т.е. .

1.2 Методы решения систем линейных однородных уравнений. Метод Крамера. Пример. Решить систему .

система имеет только нулевое решение .

Ответ: .

Пример. Решить систему.

матрица системы.

Так как определитель системы система имеет отличные от нуля решения.

Найдем ранг матрицы . Поскольку определитель третьего порядка равен нулю, рассмотрим определитель второго порядка

.

Этот определитель является базисным.

Так как и , то система имеет бесчисленное множество решений.

1. Составим систему из уравнений коэффициенты, которых вошли в базисный минор: .

Неизвестные – главные неизвестные, неизвестное

Решаем систему методом Крамера.

Определитель системы , найдем дополнительные определители:

Итак, ; общее решение.

2. Положив получаем одно частное решение:

.

Положив получаем второе частное решение:

Положив получаем третье частное решение:

Метод Гаусса.
1. Решить систему уравнений

Решение. Выполним элементарные преобразования над строками матрицы коэффициентов, приведя ее к ступенчатому виду:

Ранг матрицы равен 3, тогда как число неизвестных равно 4. Поэтому одну из неизвестных, например, следует рассматривать как свободный параметр.
Далее нужно присвоить этому параметру произвольное значение и выразить базисные неизвестные , и через c.

Преобразованная матрица соответствует следующей системе уравнений:

Из последнего уравнения следует, что .
Выразим остальные базисные переменные:

Таким образом, общее решение системы найдено

1.2 МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ СИСТЕМ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ.
В этой части проекта я рассмотрю два основных метода решения систем нелинейных уравнений:
1) Однородные системы нелинейных уравнений;
2) Симметричные системы уравнений.
1) Однородные системы уравнений:
Уравнения называются однородными, если все слагаемые, содержащие неизвестные, имеют одну и ту же степень (показатели степеней разных неизвестных в слагаемых складываются). ИЛИ: Определение . Система двух уравнений с двумя неизвестными вида

называется однородной. Многочлены в левых частях уравнений системы являются однородными многочленами степени .

Пример Решить систему уравнений

Решение. Положим , тогда из первого уравнения системы находим . Но пара чисел не является решением второго уравнения системы. Поэтому рассмотрим случай, когда . Разделим обе части первого уравнения на . Получим . Это уравнение вместе со вторым уравнением данной системы образует систему, равносильную исходной. Решая данное уравнение, имеем или , т.е. или . Тогда данная система равносильна совокупности двух систем: и

Первая система этой совокупности не имеет действительных решений. Решив вторую систему совокупности, получим , тогда .

В примере рассмотрели однородную систему, в которой одно из чисел , равно . Если в однородной системе , , то надо такую систему свести к виду предыдущей (т.е. одно из чисел , равно ). Покажем это на примере.

Пример . Решить систему уравнений

Решение. Умножим первое уравнение системы на , а второе – на и сложим полученные уравнения. В результате имеем уравнение , которое вместе с первым уравнением системы образует систему, равносильную исходной. Пара чисел не является решением данной системы, значит можно перейти от последнего уравнения к следующему: . Решив его, получим или , т.е. или . Имеем совокупность двух систем: и Из первой системы получаем , . Вторая система имеет решения , .

Ответ. ; ; ; . Пример Решить систему уравнений

Решение. Первое уравнение системы однородно, но заметим, что все члены его левой части делятся на . Поэтому данную систему заменим равносильной ей совокупностью двух систем уравнений и Решая первую систему совокупности, находим , ; , . Процесс решения второй системы известен, ей удовлетворяют четыре пары чисел: Ответ. ; ; ; ; ; .

Пример . Решить систему уравнений

Решение. Пара удовлетворяет системе. Пусть . Разделим на оба уравнения системы, получим откуда находим Значит, . Положим , тогда . Заметим, что при имеем и . Решения данной системы запишем парой вида , где .

Рассмотрим примеры систем, в которых левые части уравнений являются однородными многочленами степени выше второй.

Пример . Решить систему уравнений

Решение. Разложим левые части уравнений на множители Разделим уравнения последней системы почленно, в результате получим уравнение . Полученное уравнение вместе с первым уравнением данной системы образует систему, равносильную исходной. Положим , получим , откуда , , т.е. , . Если , то из первого уравнения системы находим и поэтому . Аналогично, если , то , .

Замечание. Систему уравнений в примере можно было решить, используя прием: первое уравнение системы помножить на , второе – на и сложить. Получим уравнение , далее обе части уравнения можно разделить на . Уравнение, полученное в результате таких преобразований, и первое уравнение данной системы образуют систему, равносильную исходной. Затем решаем кубическое уравнение относительно . Однако приведенное выше решение примера, через разложение левых частей уравнений на множители и равносильных преобразований с этими уравнениями, привело к решению квадратного уравнения, решить которое проще кубического.

Оказывается, существует стандартная подстановка x = ty (y ≠ 0), которая позволяет решить систему однородных уравнений:
Пример:
Решение.
Пусть x = ty (y ≠ 0), тогда

Зная t, легко сразу найти , учитывая, что . Используя это, найдём y,а затем и х a) t =3

Решить систему уравнений:

Ни одно из уравнений системы не является однородным, однако в левой части уравнений стоят однородные функции. Применим стандартный приём, который позволяет свести систему такого вида к однородному уравнению. Умножим первое уравнение на 4, а второе на 3 и вычтем из первого уравнения второе. Имеем:

А это уравнение уже однородное. Очевидно, что пара (0; 0) является его решением, однако непосредственной подстановкой можно убедиться, что эта пара не является решением исходной системы уравнений. Значит, разделим уравнение на Получим:

Стандартная замена приводит нас к квадратному уравнению корни которого и Система распалась на две: 1)

Теорема 1. (о симметрических многочленах)

Любой симметрический многочлен от двух переменных представим в виде функции от двух основных симметрических многочленов

Другими словами, для любого симметрического многочлена f (x, y) существует такая функция двух переменных φ (u, v), что

Доказательство этого факта хотя и доступно школьнику, но далеко выходит за рамки школьного курса, поэтому мы приведём лишь примеры, которые иллюстрируют применение этой теоремы.

Функция может быть преобразована следующим образом:

Функция может быть преобразована следующим образом:

Аналогично, симметрическая функция трёх переменных определяется как функция, которая не изменяет своего значения при произвольных перестановках своих аргументов, то есть

Для симметрических многочленов трёх переменных справедлива точно такая же теорема, как и для многочленов двух переменных, а именно:

Теорема 2. (о симметрических многочленах)

Любой симметрический многочлен от трёх переменных представим в виде функции от трёх основных симметрических многочленов:

Другими словами, для любого симметрического многочлена f (x, y) существует такая функция трёх переменных θ (u, v, w), что

Применим эту теорему для упрощения систем уравнений.

Решите систему уравнений

Эта система является симметрической, поэтому делаем стандартную замену Поскольку а из второго уравнения системы следует, что то Левая часть второго уравнения перепишется так: Относительно u и v получаем систему

Перейдем к переменным x и y:

Решите систему уравнений

Эта система – симметрическая, поэтому делаем стандартную замену u = x + y, v = xy. Преобразуем левую часть первого уравнения: тогда система принимает вид:

Итак, для u получаем уравнение Вспомним теорему о рациональных корнях многочленов. Рациональные корни нашего уравнения нужно искать среди делителей числа –4. Перебирая все делители, убеждаемся, что рациональных корней у уравнения нет. Однако эта теорема и не была теоремой существования корней. Указанная теорема констатировала лишь следующее: если у многочлена с целыми коэффициентами существуют рациональные корни (но для них имеется ещё возможность НЕ существовать), то эти корни будут иметь некоторый специальный вид. Тот случай, когда рациональных корней нет, эта теорема и не описывала.

Попробуем найти корни уравнения исходной системы среди иррациональных чисел. Однако для этого придется проявить некоторую изобретательность: стандартная замена для симметрических систем здесь, очевидно не работает.

Возводя второе уравнение в куб, получим: Таким образом, по теореме Виета, и являются корнями квадратного уравнения Отсюда и Значит,

Заметим, что мы нашли один из корней уравнения

2) Системы симметричных уравнений:

Пусть , тогда система имеет вид: .
Вычтем из первого уравнения второе уравнение:

a)
По теореме, обратной теореме Виета, данная система порождает квадратное уравнение + 4m + 3 = 0, корнями которого являются x и y. В силу симметричности имеем: (1; 3); (3; 1).
b)
Из порождённого квадратного уравнения — 4n + 3 = 0 следует решения (-3; -1); (-1; -3).
Ответ: <(1; 3); (3; 1); (-3; -1); (-1; -3)>.

Пример Решить систему уравнений

Решение. Выполним алгебраическое сложение уравнений системы, предварительно помножив первое уравнение на , а второе – на . Получим уравнение, которое со вторым уравнением системы образуют систему, равносильную исходной: Как и в предыдущих примерах, первое уравнение системы можно разделить на . В результате получим уравнение четвертой степени, решение которого громоздко. Однако, решив его и реализовав план решения системы, описанный в предыдущих примерах, получим ответ. Но дана симметрическая система, а значит, с помощью введения новых неизвестных может быть преобразована к более простому виду. Покажем это. Пусть , , тогда имеем систему и т.д. Решая исходную систему любым из предложенных способов, получим ; ; ; .

Из опыта работы.
Элективный курс по математике «Уравнения, неравенства и их системы»
Составила: Хабибова Патимат Магомедовна,
учитель математики первой категории МКОУ «Ободинская СОШ» Хунзахского района РД.
ПОЯСНИТЕЛЬНАЯ ЗАПИСКА
Программа данного элективного курса рассчитана на 27 часов и предназначена для учащихся 11 класса. Элективный курс позволит интересующимся школьникам получить дополнительную подготовку и сдать ЕГЭ по предмету на профильном уровне. В настоящее время практика вступительных экзаменов оторвалась от школы. Нам известно насколько велики «ножницы» между требованиями школьной программы и требованиями, которые предъявляют к поступающему ВУЗ.
Курсы, которые предлагают ВУЗы учащимся, ориентируют их на экзамен лишь в данный ВУЗ. Элективный курс «Уравнения, неравенства и их системы» поможет подготовиться учащимся к поступлению в любое высшее учебное заведение, так как основной целью этого курса является знакомство учащихся с общими методами и приемами решения уравнений, неравенств и их систем.
Задачами данного элективного курса являются:

повышение уровня математического и логического мышления учащихся;

развитие навыков исследовательской деятельности,

подготовка выпускника к сдаче конкурсного экзамена по математике.

Работа элективного курса строится на принципах:

Однородное тригонометрическое уравнение – это уравнение двух видов:

a sin x + b cos x = 0 (однородное уравнение первой степени)

либо a sin 2 x + b sin x cos x + c cos 2 x = 0 (однородное уравнение второй степени).

Алгоритм решения однородного уравнения первой степени a sin x + b cos x = 0:

1) разделить обе части уравнения на cos x

2) решить получившееся выражение

Пример: Решим уравнение 2 sin x – 3 cos x = 0.

Разделим обе части уравнения на cos x:

2 sin x 3 cos x 0
———— – ———— = ———
cos x cos x cos x Получаем: 2 tg x – 3 = 0, 2 tg x = 3, tg x = 3/2
x = arctg 3/2 + πn

Условие: в уравнении должно быть выражение вида a sin 2 x.
Если его нет, то уравнение решается методом разложения на множители.

1) Разделить обе части уравнения на cos 2 x

2) Ввести новую переменную z, заменяющую tg x (z = tg x)

3) Решить получившееся уравнение

Пример: Решить уравнение sin 2 x – 3 sin x cos x + 2 cos 2 x = 0.

Разделим обе части уравнения на cos 2 x:

Получаем: tg 2 x – 3 tg x + 2 = 0.

Вместо tg x введем новую переменную z и получим квадратное уравнение:

z 2 – 3z + 2 = 0. Найдем корни: z₁ = 1, z₂ = 2. Значит: либо tg x = 1, либо tg x = 2.

Сначала найдем x при tg x = 1: x = arctg 1 + πn,x = π/4 + πn.

Теперь найдем x при tg x = 2: x = arctg 2 + πn.

Однородные логарифмические уравнения.

Решить уравнение log 2 ₃ (х 2 – 3х + 4) – 3log₃ (х + 5) log₃ (х 2 – 3х + 4) – 2log 2 ₃ (х + 5) = 0

Область определения уравнения

log₃ (х + 5) = 0 при х = -4. Проверкой определяем, что данное значение х не является корнем первоначального уравнения.Следовательно можно разделить обе части уравнения на log 2 ₃ (х+5).

Получим log 2 ₃ (х 2 – 3х + 4) / log 2 ₃ (х + 5) – 3 log₃ (х 2 – 3х + 4) / log₃ (х + 5) + 2 = 0.

Пусть log₃ (х 2 – 3х + 4) / log₃ (х + 5) = t. Тогда t 2 – 3 t + 2 = 0. Корни данного уравнения 1; 2. Возвратившись к первоначальной переменной, получим совокупность двух уравнений

[log₃ (х 2 – 3х + 4) / log₃ (х + 5) = 1

[log₃ (х 2 – 3х + 4) / log₃ (х + 5) = 2. Отсюда

Выполнив потенцирование, получим

[х 2 – 3х + 4 = х + 5,

[х 2 – 3х + 4 = (х + 5) 2 ;

[х = 2 + √5, [х = -21/13. Все корни входят в область определения.

Определение. Показательные уравнения вида называются однородными.

Суть метода: Так как показательная функция не может принимать значение, равное нулю, и обе части уравнения можно делить на одно и то же не равное нулю число, разделим обе части уравнения, например, на .

Пример: 2 x = 3 x Решение:Разделим обе части уравнения на

Симметрическое уравнение нечетной степени имеет корень -1.

В результате деления симметрического уравнения нечетной степени на (х + 1) получается симметрическое уравнение четной степени на единицу меньше. 3. Симметрическое уравнение четной степени 2n подстановкой
y = x +1|x может сводиться,на области действительных чисел, к уравнению степени n и к уравнениям второй степени.

1. Уравнения называются симметрическими уравнениями 3-й степени, если они имеют вид ах 3 + bx 2 + bх + a = 0.

Пример. х 3 + 2x 2 + 2х + 1 = 0. Решение.У исходного уравнения обязательно есть корень х = -1, поэтому разделим х 3 + 2x 2 + 2х + 1 на (х + 1) по схеме Горнера:

х 3 + 2x 2 + 2х + 1 = (х + 1)(x 2 + х + 1) = 0.

Квадратное уравнение x 2 + х + 1 = 0 не имеет корней.

Другой способ: Поскольку ах 3 + вх 2 + вх + а = а (х 3 + 1) + вх (х+1) = а (х+ 1) (х 2 — х+ 1) + вх (х+ 1) = (х+1) (ах 2 + (в — а) х + а), то уравнение (1) равносильно совокупности уравнений

х + 1 = 0 и ах 2 + (в — а) х + а = 0, решить которую просто.

Пример 1. Решить уравнение

3х 3 + 4х 2 + 4х + 3 = 0.

Уравнение является симметрическим уравнением третьей степени. Разложим на множители левую часть уравнения

3х 3 + 4х 2 + 4х + 3 = 3 (х 3 + 1) + 4х (х + 1) = ( х + 1) (3х 3 – 3х + 3 + 4х) = ( х+ 1) (3х 3 + х + 3).

Уравнение равносильно совокупности уравнений

х + 1 = 0 и 3х 3 + х + 3 = 0,

2. Уравнения называются симметрическими уравнениями 4-й степени, если они имеют вид ах 4 + bx 3 + сх 2 + bх + a = 0.

а) Разделить обе части исходного уравнения на х 2 . Это действие не приведет к потере корня, ведь х = 0 решением заданного уравнения не является.

б) С помощью группировки привести уравнение к виду:

а(x 2 + 1/x 2 ) + b(x + 1/x) + c = 0.

в) Ввести новую неизвестную: t = (x + 1/x).

Проделаем преобразования:t 2 = x 2 +2 + 1/x 2 . Если теперь выразить x 2 + 1/x 2 , то t 2 – 2 = x 2 + 1/x 2 .

г) Решить в новых переменных полученное квадратное уравнение:

аt 2 + bt + c – 2a = 0.

д) Сделать обратную подстановку.

6х 2 – 5х – 38 – 5/х + 6/х 2 = 0, 6(х 2 + 1/х 2 ) – 5(х + 1/х) – 38 = 0.

Вводим t: подстановка (x + 1/x) = t. Замена: (x 2 + 1/x 2 ) = t 2 – 2, имеем:

6t 2 – 5t – 50 = 0, t = -5/2 или t = 10/3. Вернемся к переменной х. После обратной замены решим два полученных уравнения: 1) x + 1/x = -5/2; х 2 + 5/2 х +1 = 0;

х = -2 или х = -1/2. 2) x + 1/x = 10/3; х 2 – 10/3 х + 1 = 0; х = 3 или х = 1/3. Ответ: -2; -1/2; 1/3; 3.

Способы решения некоторых видов уравнений высших степеней

1. Уравнения, которые имеют вид (х + а) n + (х + b) n = c, решаются подстановкой t = x + (a + b)/2. Этот метод называется методом симметризации.

Примером такого уравнения может быть уравнение вида (х + а) 4 + (х + b) 4 = c.

Делаем подстановку, о которой говорилось выше: t = x + (3 + 1)/2 = х + 2, после упрощения: х = t – 2, (t – 2 + 3) 4 + (t – 2 + 1) 4 = 272, (t + 1) 4 + (t – 1) 4 = 272. Убрав скобки с помощью формул, получим:t 4 + 4t 3 + 6t 2 + 4t + 1 + t 4 – 4t 3 + 6t 2 – 4t + 1 = 272, 2t 4 + 12t 2 – 270 = 0, t 4 + 6t 2 – 135 = 0, t 2 = 9 или t 2 = -15. Второе уравнение корней не дает, а вот из первого имеем t = ±3. После обратной замены получим, что х = -5 или х = 1. Ответ: -5; 1.

Для решения подобных уравнений часто оказывается эффективным и метод разложения на множители левой части уравнения.

2. Уравнения вида (х + а)(х + b)(x + c)(x + d) = А, где а + d = c + b.

Методика решения подобных уравнений заключается в частичном раскрытии скобок, а затем введении новой переменной. Пример.(х + 1)(х + 2)(x + 3)(x + 4) = 24. Решение. Вычисляем: 1 + 4 = 2 + 3. Группируем скобки по парам: ((х + 1)(x + 4))((х + 2)(x + 3)) = 24, (х 2 + 5х + 4)(х 2 + 5х + 6) = 24. Сделав замену х 2 + 5х + 4 = t, имеем уравнение t(t + 2) = 24, оно является квадратным: t 2 + 2t – 24 = 0, t = -6 или t = 4. После выполнения обратной замены, легко находим корни исходного уравнения. Ответ: -5; 0.

3. Уравнения вида (х + а)(х + b)(x + c)(x + d) = Ах 2 , где аd = cb.

Метод решения заключается в частичном раскрытии скобок, делении обеих частей на х 2 и решении совокупности квадратных уравнений.

Перемножив в левой части первые две и последние две скобки получим:

(х 2 + 14х + 24)(х 2 + 11х + 24) = 4х 2 . Делим на х 2 ≠ 0: (х + 14 + 24/х)(х + 11 + 24/х) = 4. Заменой (х + 24/х) = t приходим к квадратному уравнению: (t + 14)(t + 11) = 4; t 2 + 25х + 150 = 0. t = 10 или t = 15. Произведя обратную замену х + 24/х = 10 или х + 24/х = 15, находим корни. Ответ: (-15 ± √129)/2; -4; -6.

Данное уравнение сразу трудно классифицировать и выбрать метод решения. Поэтому сначала преобразуем, используя разность квадратов и разность кубов: ((3х + 5) 4 – 4х 2 ) + ((х + 6) 3 – 1) = 0. Затем, после вынесения общего множителя, придем к простому уравнению: (х + 5)(х 2 + 18х + 48) = 0. Ответ: -5; -9 ± √33. Задача. Составить многочлен третьей степени, у которого один корень, равный 4, имеет кратность 2 и корень, равный -2. Решение.По следствию из теоремы Безу, если у многочлена есть корень кратности 2 равный 4 и есть корень -2, то он без остатка должен поделиться на (х – 4) 2 (х + 2), значит:f(x)/((х – 4) 2 (х + 2)) = q(x) или f(x) = (х – 4) 2 (х + 2)q(x).Умножив первые две скобки, и приведя подобные слагаемые, получим: f(x) = (х 3 – 6x 2 + 32)q(х), х 3 – 6x 2 + 32 – многочлен третьей степени, следовательно, q(x) – некоторое число из R (т. е. действительное). Пусть q(x) есть единица, тогда f(x) = х 3 – 6x 2 + 32.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ. Тема «Уравнения и системы уравнений» — одна из ключевых тем школьного курса математики. На ней основаны темы решения неравенств и текстовых задач, аналитическое решение геометрических задач. Если говорить о практическом применении, то можно сказать, что ни одна экономическая модель не обходится без этой темы. Практически все естественные науки тем или иным образом затрагивают тему решения уравнений и систем уравнений. Знание этой темы может пригодиться учащимся в их повседневных делах.
Итак, в своём проекте я, во-первых, обобщила основные методы решения систем линейных однородных уравнений с двумя переменными, во-вторых, рассмотрела некоторые методы решения систем нелинейных уравнений с двумя переменными, в-третьих, составила решебник, который, я надеюсь, поможет читающим мой проект лучше понять тему, которую я выбрала, и сформирует навык решения систем уравнений. Другими словами я решила все задачи, которые стояли передо мной, и справилась с моей целью. Надеюсь, мой проект был интересен для чтения, повторения прошлого и знакомства с частью нового материала. Во-первых анализ вступительных экзаменов по математике показывает, что задачи на однородные уравнения и системы однородных уравнений представляют для абитуриентов определенную сложность, поэтому умение их решать во многом определяет успешную сдачу экзамена в любом ВУЗе. Во-вторых в настоящее время в различных сферах проектной деятельности (технической, экономической и др.) все шире применяют компьютерные исследования на основе модели. Под моделью понимается формализованное описание объекта, системы объектов, процесса или явления, выполненное посредством математических соотношений, набора чисел, словесных формул и т. п.. Часто описание процессов или явлений сводится к их описанию посредством линейных однородных уравнений или систем однородных уравнений. Поэтому тема проектной работы является актуальной. Познавательная ценность для данной области знаний: 1. умение решать однородные уравнения и системы однородных уравнений для дальнейшего обучения в ВУЗе. 2. применение однородных уравнений и систем однородных уравнений в проектной деятельности человека.

В научно-практической работе предметом исследования являются различного вида однородные уравнения (алгебраические, показательные, логарифмические и тригонометрические) и системы однородных уравнений. Сложность математического описания любого исследуемого объекта зависит: от необходимости одновременного рассмотрения всей совокупности факторов, отражающих свойства объекта и количества взаимосвязей. Ведущая идея: изучить существующие виды разнообразных задач содержащие однородные уравнения и системы уравнений, проанализировать их решения, а также научиться их решать различными способами.

В работе рассмотрены различные подходы к решению алгебраических, показательных, логарифмических и тригонометрических однородных уравнений и систем однородных и симметрических уравнений. В результате проведенного анализа решения данных уравнений и систем уравнений был сделан вывод о том, что наиболее часто встречающимся способом является способ замены общей части текущей переменной. Информационные источники.

1. Дорофеев Г. В. Математика. Алгебра. Функции. Анализ данных. – М.: Дрофа,2001.

2. Ионин В. Л. Системы однородных уравнений. Квант, № 9, 1975.

3. Шахмейстер А. Х. Системы уравнений. – С-Пб.: ЧеРо–на–Неве, 2004.

4. А.Х.Шахмейстер: «Системы уравнений математика»
5. Ю.Н.Макарычев, Н.Г.Миндюк, К.И.Нешков «АЛГЕБРА. Учебник для 9 класса с углублённым изучением математики» Москва 2006 год, 5-е издание — М.:Мнемозина, 439 страница.
6. М.Л.Галицкий, А.М.Гольдман, Л.И.Звавич «Сборник задач по алгебре 8-9 классы» Москва «Просвещение» 1994 год, 271 страница.