Проект на тему решение уравнений с модулем

Исследовательская работа по математике на тему: «Способы решения линейных уравнений, содержащих знак модуля».

Понятие «модуль» широко применяется во многих разделах школьного курса математики, например, в изучении абсолютной и относительной погрешностей приближенного числа; в геометрии и физике будут изучаться понятия вектора и его длины (модуля вектора). Понятия модуля применяется в курсах высшей математики, физики и технических наук, изучаемых в высших учебных заведениях. Несмотря на то, что тема «Модуль числа» проходит «красной нитью» через весь курс школьной и высшей математики, для ее изучения по программе отводится очень мало времени (в 6 классе -2 часа, в 8 классе — 4 часа).

Исходя из всего вышесказанного, возникает проблема: найти разнообразные методы в обучении решению задач с модулем.

Практически у каждого обучающегося вызывают затруднения задания, содержащие модуль. Это один из самых трудных материалов, с которыми школьники сталкиваются на экзаменах (в заданиях ЕГЭ это задания С5 и С6).

Считаю, что эта тема требует более глубокого исследования, так как она прослеживается в различных заданиях повышенной сложности, которые предлагают учащимся авторы дидактических материалов, в задачах математических олимпиад, в заданиях вступительных экзаменов в Высшие Учебные Заведения и на ЕГЭ.

Указанные обстоятельства обусловили мой выбор темы исследовательской работы.

Основной целью работы считаю получение расширенной информации о модуле числа, его применении, а также о различных способах решения уравнений, содержащих знак абсолютной величины.

Цель исследовательской работы определяет следующие задачи:

— показать необходимость более глубокого рассмотрения темы «Решение линейных уравнений, содержащих знак модуля» в школьной программе;

— разработать алгебраический метод решения линейных уравнений, содержащих знак модуля;

— разработать графический методы решения линейных уравнений, содержащих знак модуля.

Я предположила, что в результате исследования я смогу показать своим одноклассникам и друзьям, что решение уравнений с модулями не являются одним из сложнейших заданий.

Формулирование цели исследовательской работы определяет:

объект исследования – решение уравнений, содержащих знак абсолютной величины;

предмет исследования – алгебраический и графический методы решения линейных уравнений, содержащих знак модуля.

Проект «Решение уравнений с модулем»

Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

Выберите документ из архива для просмотра:

Выбранный для просмотра документ Математика.pptx

Описание презентации по отдельным слайдам:

Математика. 10- 11 классы

Решение уравнений, содержащих знак модуля

Цель проекта изучение способов решения уравнений , содержащих модуль.

Ход проекта I ОПРЕДЕЛЕНИЕ МОДУЛЯ

ОПРЕДЕЛЕНИЕ МОДУЛЯ | a | =

Алгоритм решения уравнений по определению

Пример 1 |x³ +x+1| = |x³ +3x-1|

Данное уравнение равносильно совокупности двух уравнений : 1 СПОСОБ РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЙ С МОДУЛЕМ ПО ОПРЕДЕЛЕНИЮ 1. x³ +x+1=x³ +3x-1 и 2. x³ +x+1=-(x³ +3x-1) Решаем эти уравнения и получаем корни х1 =1, x2 =0 3.Проверка корней. Ответ: 0;1

2 способ Алгоритм решения уравнений способом возведения в квадрат обеих частей уравнения Возведем в квадрат обе части уравнения Решим полученное уравнение Сделаем проверку Запишем ответ

Пример 2 Решить уравнение: | 2x-1|=|x+3|

Решение: возводим левую и правую части данного уравнения в квадрат, получаем равносильное уравнение (2x-1)² =(x+3)², корнями которого, а значит и исходного уравнения, являются числа х =- 2/3 и х = 4 Ответ: <-2/3 , 4>

3 СПОСОБ решение уравнений с модулем с использованием числовой оси

Решаем совокупность систем

Выбранный для просмотра документ ПРОЕКТ Решение уравнений с модулем.docx

«Решение уравнений с модулем»

Тема проекта «Решение уравнений с модулем»

Участники проекта: обучающиеся 11 класса Тюхтин Евгений и Яковлева Светлана

Руководитель проекта: учитель математики Олейникова Г.М.

Краткая аннотация проекта

Вопросы, направляющие проект

Пример продукта проектной деятельности

Критерии оценки проекта

10.Материалы по сопровождению и поддержке проектной деятельности.

Краткая аннотация проекта

Проект может быть использован при изучении темы «Решение уравнений с модулем» в 10-11 классах. Применяться при подготовке к единому государственному экзамену.

Данная работа позволяет увидеть различные способы решения уравнений с модулем: по определению, возведение в квадрат, с помощью числовой прямой.

Данный проект позволит обучающимся расширить объем знаний по данной теме, развивать специальные и общеучебные умения .

Развивать коммуникативные способности обучающихся, навыки исследовательской работы.

Учить обобщать и систематизировать, применять на практике .

Что участие в проекте даст его участникам

После завершения проекта обучающиеся смогут

— знать определение модуля, решать уравнения с модулем по определению;

— решать уравнения с модулем способом возведения в квадрат обеих частей уравнения;

— уметь решать уравнения с модулем, использую числовую ось, определяя знак модуля на промежутках;

— уметь раскрывать знак модуля;

— научаться работать по алгоритму;

— приобретут навыки, умения ориентироваться в информационной среде.

Оформление материалов исследования.

Обсуждение темы проекта

Последовательность подачи материала

Обсуждение форм представления работы

Подведение итогов, оценивание.

Вопросы, направляющие проект

Способы решения уравнений с модулем?

Можно ли решить уравнение с модулем используя определение модуля?

Можно ли решить уравнение с модулем используя другие способы решения?

Можно ли составить алгоритмы решения уравнения с модулем?

«Решение уравнений с модулем по определению модуля»

«Решение уравнений с модулем способом возведения в квадрат»

«Решение уравнений с модулем с использованием числовой оси»

Карточки с заданиями

Критерии оценки проекта

Самостоятельность работы над проектом

Актуальность и значимость темы

Полнота раскрытия темы

Оригинальность решения проблемы

Презентация содержания проекта

Использование средств наглядности, технические средства

Ответы и вопросы

Материалы по сопровождению и поддержке проектной деятельности:

С.М. Никольский «Алгебра и начала математического анализа» изд. Просвещение 2009 г

Р.Б. Райхмист «Задачник по математике» изд. «Московский лицей» Москва 2003 г.

Е.Е. Калугина «Уравнения, содержащие знак модуля» изд. «Илекса» Москва 2010 г.

Курс повышения квалификации

Дистанционное обучение как современный формат преподавания

• Сейчас обучается 945 человек из 80 регионов

Курс профессиональной переподготовки

Математика: теория и методика преподавания в образовательной организации

• Сейчас обучается 687 человек из 75 регионов

Курс повышения квалификации

Методика обучения математике в основной и средней школе в условиях реализации ФГОС ОО

• Сейчас обучается 315 человек из 69 регионов

Ищем педагогов в команду «Инфоурок»

Дистанционные курсы для педагогов

«Взбодрись! Нейрогимнастика для успешной учёбы и комфортной жизни»

Свидетельство и скидка на обучение каждому участнику

Найдите материал к любому уроку, указав свой предмет (категорию), класс, учебник и тему:

5 593 129 материалов в базе

Самые массовые международные дистанционные

Школьные Инфоконкурсы 2022

33 конкурса для учеников 1–11 классов и дошкольников от проекта «Инфоурок»

«Психологические методы развития навыков эффективного общения и чтения на английском языке у младших школьников»

Свидетельство и скидка на обучение каждому участнику

Другие материалы

• 22.10.2016
• 328
• 0

• 22.10.2016
• 10279
• 130

• 22.10.2016
• 381
• 0

• 22.10.2016
• 333
• 0

• 22.10.2016
• 1057
• 5

• 22.10.2016
• 740
• 2

• 22.10.2016
• 329
• 1

Вам будут интересны эти курсы:

Оставьте свой комментарий

Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.

Добавить в избранное

• 22.10.2016 2416
• RAR 442.4 кбайт
• 28 скачиваний
• Рейтинг: 4 из 5
• Оцените материал:

Настоящий материал опубликован пользователем Олейникова Галина Михайловна. Инфоурок является информационным посредником и предоставляет пользователям возможность размещать на сайте методические материалы. Всю ответственность за опубликованные материалы, содержащиеся в них сведения, а также за соблюдение авторских прав несут пользователи, загрузившие материал на сайт

Если Вы считаете, что материал нарушает авторские права либо по каким-то другим причинам должен быть удален с сайта, Вы можете оставить жалобу на материал.

Автор материала

• На сайте: 5 лет и 4 месяца
• Подписчики: 0
• Всего просмотров: 23235
• Всего материалов: 10

Московский институт профессиональной
переподготовки и повышения
квалификации педагогов

Дистанционные курсы
для педагогов

663 курса от 690 рублей

Выбрать курс со скидкой

Выдаём документы
установленного образца!

Учителя о ЕГЭ: секреты успешной подготовки

Время чтения: 11 минут

В приграничных пунктах Брянской области на день приостановили занятия в школах

Время чтения: 0 минут

В ростовских школах рассматривают гибридный формат обучения с учетом эвакуированных

Время чтения: 1 минута

В Белгородской области отменяют занятия в школах и детсадах на границе с Украиной

Время чтения: 0 минут

Курские власти перевели на дистант школьников в районах на границе с Украиной

Время чтения: 1 минута

Приемная кампания в вузах начнется 20 июня

Время чтения: 1 минута

Ленобласть распределит в школы прибывающих из Донбасса детей

Время чтения: 1 минута

Подарочные сертификаты

Ответственность за разрешение любых спорных моментов, касающихся самих материалов и их содержания, берут на себя пользователи, разместившие материал на сайте. Однако администрация сайта готова оказать всяческую поддержку в решении любых вопросов, связанных с работой и содержанием сайта. Если Вы заметили, что на данном сайте незаконно используются материалы, сообщите об этом администрации сайта через форму обратной связи.

Все материалы, размещенные на сайте, созданы авторами сайта либо размещены пользователями сайта и представлены на сайте исключительно для ознакомления. Авторские права на материалы принадлежат их законным авторам. Частичное или полное копирование материалов сайта без письменного разрешения администрации сайта запрещено! Мнение администрации может не совпадать с точкой зрения авторов.

Презентация «Уравнения с модулем»

В презентации «Уравнения с модулем» рассмотрены основные способы решения таких уравнений. Можно использовать в 8-11 классах. Использовать при изучении нового материала, закреплениии обобщении, при повторении, при подготовке к ЕГЭ и т.д.

Были использованы материалы коллег, изменены и исправлены ошибки.

Просмотр содержимого документа
«Презентация «Уравнения с модулем»»

Уравнения с модулем

0 -a, если а0, если а = 0 |a|= 2 » width=»640″

Способы решения уравнений с модулями:

• 1. По определению модуля
• 2. Возведение обоих частей уравнения в квадрат
• 3. Замена переменной
• 4. Раскрытие модуля на промежутке знакопостоянства
• 5. Замена совокупностью систем
• 6. Важный частный случай

1. По определению модуля

Пример : |3x — 8| = 5

3x — 8 = 5 или 3x — 8 = -5;

Решить по определению модуля

По определению модуля № 1

2x — 3 = 5 или 2x — 3 = -5

По определению модуля № 2

x 2 + 4x = 5 или x 2 + 4x = -5

По определению модуля № 3

5x — 1 = 4 или 5x — 1 = -4

5x = 5 или 5x = -3

По определению модуля

По определению модуля № 4

11 — 2x 2 = 3 или 11 — 2x 2 = -3

2x 2 = 8 2x 2 = 14

x = 2 или x = -2 x = 7 x = — 7

2. Возведение обеих частей в квадрат

Пример |x — 3| = |x + 2|

Решение (x — 3) 2 = (x + 2) 2 *

(x — 3) 2 — (x + 2) 2 = 0

(x — 3 + x + 2)(x — 3 — x — 2) = 0

-5∙(2x – 1) = 0, то (2x – 1) = 0

При возведении обоих частей в квадрат данного уравнения равносильность не нарушается, т.к. модуль всегда неотрицательный, и |а| 2 = a 2

Решить возведением обеих частей в квадрат

|x 2 – 5x| = |x 2 – x + 4|

|x 2 + 5x +11| = |2x + 1|

Решить возведением обеих частей в квадрат

(x — 4) 2 – (x — 1) 2 = 0

(x — 4 + x — 1)(x — 4 — x + 1) = 0

Решить возведением обеих частей в квадрат

(x + 5) 2 — (2x — 5) 2 = 0

(x + 5 — 2x + 5)(x + 5 + 2x — 5) = 0

Решить возведением обеих частей в квадрат

|x 2 – 5x| = |x 2 – x + 4|

(x 2 — 5x) 2 = (x 2 — x + 4) 2

(x 2 — 5x) 2 — (x 2 — x + 4) 2 = 0

(2x 2 — 6x + 4)(-4x — 4) = 0

-8(x 2 — 3x + 2)(x + 1) = 0

(x — 2)(x — 1)(x + 1) = 0

Решить возведением обеих частей в квадрат

|x 2 + 5x + 11| = |2x + 1|

(x 2 + 5x + 11) 2 = (2x + 1) 2

(x 2 + 5x +11) 2 — (2x + 1) 2 = 0

(x 2 + 7x + 12)(x 2 + 3x +10) = 0

x 2 + 7x + 12 = 0 или x 2 + 3x +10 = 0

Пример: x 2 — 7|x| — 8 = 0

Решение: t = |x| условие t ≥ 0

t 1 = -1 не удовлетворяет условию

Решить заменой переменной

Решить заменой переменной

Пусть t = |x| , то t ≥ 0

x = 2 или x = -2; x = 1 или x = -1.

Решить заменой переменной

Пусть t = |x| , t ≥ 0

t = 2 или t = -5 -5

4.Раскрытие модуля на промежутке знакопостоянства

Найдем нули подмодульных выражений: 0; -1

Решить, используя раскрытие модуля на промежутках знакопостоянства

Раскрытие модуля на промежутке знакопостоянства

2) |x — 3| + 2|x + 1| = 4

1) |5 — x| + |x — 1| = 10

3) |x — 1| + |2x — 3| = 2

Раскрытие модуля на промежутках знакопостоянства № 1

Раскрытие модуля на промежутке знакопостоянства

3, то x — 3 +2x + 2 = 4 3x — 1 = 4 3x = 4+1 3x= 5 x = 5/3 нет решений Ответ: — 1 2 » width=»640″

Раскрытие модуля на промежутках знакопостоянства № 2

1,5, то x — 1 + 2x — 3 = 2 3x — 4 = 2 3x = 2 + 4 3x= 6 x = 2 Ответ: 2/3; 2 2 » width=»640″

Раскрытие модуля на промежутках знакопостоянства № 3

3 . Если x 1,5, то

5.Замена совокупностью систем

Замена совокупностью систем

Пример: |2x + 7| = 3x + 4

6. Важный частный случай

Решение: т.к. |f ( x )| = -f( x ), то f( x )≤0