Проект на тему системы уравнений

Решение систем линейных алгебраических уравнений. 10 класс.

Исследовательская работа по теме «Решение систем линейных алгебраических уравнений». 10 класс. Алгебра и начала анализа.

Скачать:

Предварительный просмотр:

Муниципальное бюджетное образовательное учреждение

Средняя общеобразовательная школа № 81

Сормовского района г. Н. Новгорода

Научное общество учащихся

«Решение систем линейных алгебраических уравнений»

Выполнил: Тихонов Никита,

ученик 10 «а» класса

Капочкина Антонина Николаевна,

1.Системы линейных алгебраических уравнений

2. Решение систем линейных алгебраических уравнений методом Крамера.

2.1. Основные понятия.

2.2 Определители второго порядка и их свойства.

2.3 Определители третьего порядка и их свойства.

2.4. Решение СЛАУ методом Крамера.

3. Матрицы и действия над ними.

3.2. Действия над матрицами.

3.3.Обратная матрица. Матричный метод решения СЛАУ.

4. Решение систем линейных алгебраических уравнений методом Гаусса.

4.1. Совместность СЛАУ.

4.2. Решение СЛАУ методом Гаусса.

Уравнения в школьном курсе алгебры занимают ведущее место. На их изучение отводится времени больше, чем на любую другую тему. Действительно, уравнения не только имеют важное теоретическое значение, но и служат чисто практическим целям. Подавляющее большинство задач о пространственных формах и количественных отношениях реального мира сводится к решению различных видов уравнений и их систем. Овладевая способами их решения, учащиеся находят ответы на различные вопросы из науки и техники (транспорт, сельское хозяйство, промышленность, связь и т.д.).

Многие теоритические и практические вопросы, приводят не к одному уравнению, а к целой системе уравнений с несколькими неизвестными.

Способы решения систем линейных уравнений – очень интересная и важная тема в школьном курсе математики, задания из данной темы были представлены на экзамене в 9 классе, а также входят в состав заданий для ЕГЭ.

С решением систем линейных уравнений мы познакомились в седьмом классе. Тогда мы решали системы линейных уравнений двумя способами:

1. метод подстановки;
2. метод сложения.

Нужно заметить, что не все методы решения системы линейных алгебраических уравнений рассматриваются в школьном курсе математики. Существуют и другие методы, например, такие, как: метод Крамера , Гаусса (исключение неизвестных), матричный способ.

С этими способами решения систем линейных уравнений мы познакомимся в данной исследовательской работе.

В процессе работы приобретаются навыки, с помощью которых последующее решение систем линейных уравнений станет намного проще и быстрее.

Рассмотреть решение систем линейных алгебраических уравнений методом Крамера, методом Гаусса и матричным методом.

1. Познакомится с понятием определителя и методами его вычисления.
2. Рассмотреть метод Крамера решения систем линейных алгебраических уравнений.
3. Познакомиться с понятием матрицы, элементами матриц, и их элементарными преобразованиями.
4. Рассмотреть решение систем линейных алгебраических уравнений матричным методом.
5. Рассмотреть решение систем линейных алгебраических уравнений методом Гаусса.

1.Системы линейных алгебраических уравнений

1.1 Основные понятия и определения

Система m линейных уравнений с n переменными имеет вид:

где a ij, b i (i = 1,2,…,m; j = 1,2,…,n) – произвольные числа, называемые соответственно коэффициентами при переменных и свободными членами уравнений.

В более краткой записи с помощью знаков суммирования систему можно записать в виде:

Решением системы (1.1) называется такая совокупность n чисел ( x 1 = k 1, x 2 = k 2 ,…, x n = k n ), при подстановке которых каждое уравнение системы обращается в верное равенство.

Система уравнений называется совместной , если она имеет хотя бы одно решение, и несовместной , если она не имеет решений.

Совместная система уравнений называется определенной , если она имеет единственное решение, и неопределенной , если она имеет более одного решения. Например, система уравнений – совместная и определенная, так как имеет единственное решение (10;0); система – несовместная; а система уравнений – совместная и неопределенная, так как имеет более одного, а точнее бесконечное множество решений ( x 1 = c, x 2 = 20-c, где с – любое число).

Две системы уравнений называются равносильными , или эквивалентными , если они имеют одно и то же множество решений. С помощью элементарных преобразований системы уравнений получается система (1.1), равносильная данной.

2. Решение систем линейных алгебраических
уравнений методом Крамера.

2.1. Основные понятия.

Определителем n-го порядка называется число  n , составленное по определенному правилу и записываемое в виде квадратной таблицы

Определитель вычисляется согласно указанному ниже правилу, по заданным числам ( ), которые называются элементами определителя (всего их n 2 ). Индекс i указывает номер строки, j – номер столбца квадратной таблицы (1), на пересечении которых находится элемент . Любую строку или столбец этой таблицы будем называть рядом.

Главной диагональю определителя называется совокупность элементов , , …, определителя (1).

Побочной диагональю определителя называется совокупность элементов , , …, определителя (1).

Минором M ij элемента a ij называется определитель (n–1)–го порядка  n–1 , полученный из определителя n–го порядка  n вычеркиванием i-й строки и jстолбца.

Алгебраическое дополнение A ij элемента a ij определяется равенством

A ij = (–1) i+j  M ij (2)

Значение определителя  n находится по следующему правилу.

Для n = 3 в определителе выбирается разрешающая строка или столбец, относительно которой или которого вычисляются определители 2-го порядка

Здесь в качестве разрешающей была выбрана первая строка определителя (4), однако, без ограничения общности, в качестве разрешающей может быть выбрана любая другая строка либо столбец.

В дальнейшем в качестве разрешающей будем рассматривать первую строку определителя.

Величины A 11 , A 12 , A 13 – алгебраические дополнения, а M 11 , M 12 , M 13 – миноры, соответствующие элементам a 11 , a 12 , a 13 определителя  3 . Эти миноры являются определителями второго порядка, получаемыми из определителя  3 вычеркиванием первой строки и соответствующих столбцов. Например, чтобы найти минор M 13 , следует в определителе  3 вычеркнуть первую строку и третий столбец, а из оставшихся элементов составить определитель второго порядка.

Для произвольного n

где A 1k = (–1) 1+k M 1k , а миноры M 1k , являющиеся определителями (n–1)-го порядка, получаются из  n вычеркиванием первой строки и k-го столбца.

2.2 Определители второго порядка и их свойства.

Определителем второго порядка называется число

Приведем основные свойства определителей второго порядка.

1. Величина определителя не изменится, если его строки поменять местами соответственными столбцами.
2. При перестановке двух строк (столбцов) абсолютная величина определителя сохранится, а знак изменится на противоположный.
3. Если определитель содержит две одинаковые строки (два одинаковых столбца), то его величина равна нулю.
4. Общий множитель всех элементов строки (столбца) можно вынести за знак определителя.
5. Если все элементы какой – либо строки (столбца) определителя равны нулю, то величина определителя равна нулю.
6. Если к элементам какой – либо строки (столбца) определителя прибавить соответственные элементы другой строки (столбца), умноженные на одно то же число, то величина определителя не изменится.

Пример 1. Вычислить определитель ∆= .

Решение. По формуле (1) находим

Пример 2. Вычислить определитель ∆= .

Решение. Вынесем за знак определителя общие элементов 1-й и 2-й строк, т.е. числа 125 и 4:

Вынося за знак определителя общий множитель элементов 2-ого столбца, равный 4, получим

2.3 Определители третьего порядка и их свойства.

Определителем третьего порядка называется число

Свойства определителей третьего порядка аналогичны свойствам определителей второго порядка.

Пример 1. Вычислить определитель

Решение. По формуле (1) находим

Пример 2. Вычислить определитель

Решение. Вынося за знак определителя общие множители элементов 1, 2 и 3-й строк, получим

∆=3∙6∙2∙ =36∙ — 2 + 3 =36(4(1-5)-2∙0+3(5-

Пример 3. Вычислить определитель

Решение. Вынесем общий множитель элементов 2-й строки за знак определителя:

Вычтем из элементов 3-й строки соответственные элементы 1-й строки:

Так как определитель с двумя равными строками равен нулю, то ∆=7∙0=0.

Для вычисления определителя третьего порядка  3 часто пользуются привилом Сарруса (правило треугольников):

 3 = a 11 a 22 a 33 + a 12 a 23 a 31 + a 21 a 32 a 13 – (a 13 a 22 a 31 + a 12 a 21 a 33 + a 23 a 32 a 11 )

Схематическая запись этого правила приведена ниже:

Пример 4. Вычислить определить 4-го порядка.

2.4. Решение СЛАУ методом Крамера.

Пусть задана система линейных алгебраических уравнений в следующем виде:

Пусть определитель матрицы A коэффициентов системы отличен от нуля, т.е. det A  0. Тогда справедливы формулы Крамера для вычисления неизвестных :

где , а являются определителями n-го порядка, которые получаются из путем замены в нем i-го столбца столбцом свободных членов исходной системы.

Пример 1. Решить систему уравнений с помощью формул Крамера:

= 56 – 18 + 20 + 21 = 79.

Последовательно заменяя в  3 первый, второй и третий столбцы столбцом свободных членов, получим

Пример 2. Решить систему уравнений

Найдем определитель системы =5. Так как то по теореме Крамера система имеет единственное решение.

Вычислим определители , , , полученных из матрицы А, заменой соответственно первого, второго и третьего столбцов столбцом свободных членов:

Теперь по формулам Крамера (1.8)

x 1 = ; x 2 = ; x 3 =

т. е. решение системы (4; 2; 1).

Пример 3. Решить систему уравнений

Система уравнений имеет одно решение, так как определитель отличен от нуля.

Остальные определители получим путем замены соответствующего столбца исходного определителя на столбец свободных членов системы уравнений.

Решения находим по формулам:

3. Матрицы и действия над ними.

Матрица размерами m × n – совокупность mn чисел, расположенных в виде прямоугольной таблицы из m строк и n столбцов, например (обозначим за А )

2 5 2

А = 3 10 7 — матрица. (1)

Числа, из которых состоит матрица, называются элементами матрицы. В общем виде матрицы:

а 11 a 12 … a 1n

a 21 a 22 … a 2n

M = a 31 a 32 … a 3n (2)

a m1 a m2 … a mn

они обозначаются буквами с двумя индексами: 1ый индекс указывает номер строки, а 2ой – номер столбца, в которых содержится этот элемент.

Если m = n, то матрица называется квадратной , а число строк (или столбцов) – её порядком .

Две матрицы, имеющие одинаковое количество строк и столбцов, называются матрицами одинакового типа. Две матрицы А = [a ij ] и В = [b ij ] одинакового типа называются равными , если a ij = b ij при всех i и j.

Матрица, состоящая из одной строки (одного столбца), называется матрицей-строкой ( матрицей-столбцом ), а матрица, у которой все элементы а ij = 0 , – нулевой или нуль матрицей.

Элементы квадратной матрицы, имеющие одинаковые значения индексов, составляют главную диагональ , а элементы квадратной матрицы порядка n ,сумма индексов каждого из которых равна n+1, – побочную диагональ.

Сумма элементов главной диагонали квадратной матрицы называется следом матрицы. Квадратные матрицы, у которых все элементы вне главной диагонали равны нулю, называются диагональными (обозначается Е ):

Квадратная матрица, все элементы которой, стоящие ниже (выше) главной диагонали, равны нулю, называется треугольной :

a 11 а 12 … а 1n b 11 0 … 0

А = 0 а 22 … а 2n ; B = b 21 b 22 … 0 (4)

0 0 … a nn b n1 b n2 … b nn

Диагональная матрица является частным случаем треугольной. Преобразование элементов квадратной матрицы, состоящее в замене строк соответствующими столбцами, называется транспонированием матрицы. Таким образом, если

a 11 a 12 … a 1n

A = a 21 a 22 … a 2n ; (5)

a n1 a n2 … a nn

то

a 11 a 21 … a n1

A T = a 12 a 22 … a n2 . (6)

a 1n a 2n … a nn

Определитель n-го порядка матрицы

а 11 а 12 … а 1n

А = а 21 а 22 … а 2n

а n1 а n2 … а nn

а 11 а 12 … а 1n

∆ = а 21 а 22 … а 2n = ∑ (-1) I(k , k , …, k ) a 1k a 2k … a nk (7)

а n1 а n2 … а nn

Здесь суммирование распространяется на всевозможные перестановки индексов элементов а ij , т.е. на всевозможные перестановки ( k 1 , k 2 , …, k n ). Числа а ij называют элементами определителя .

Квадратная матрица, определитель которой отличен от нуля, называется невырожденной, а матрица с определителем, равным нулю – вырожденной .

Определитель обладает некоторыми свойствами. Перечислим их:

1. При транспонировании матрицы её определитель не изменяется.

2. Если все элементы некоторой строки определителя состоят из

нулей, определитель равен нулю.

3.От перестановки двух строк определитель меняет знак.

1. Определитель, содержащий две одинаковые строки, равен нулю.
2. Общий множитель всех элементов некоторой строки определителя можно вынести за знак определителя, или, если все элементы некоторой строки определителя умножить на одно и тоже число, то определитель умножается на это число.
3. Определитель, содержащий две пропорциональные строки, равен нулю.
4. Если все элементы i -й строки определителя представлены в виде суммы двух слагаемых, то определитель равен сумме двух определителей, у которых все строки, кроме i -й, те же, что и у данного определителя; i -я строка определителя состоит из первых слагаемых элементов i -й строки данного определителя, а i -я

строка другого – из вторых слагаемых элементов i -й строки.

1. Определитель не изменяется, если к элементам одной строки прибавить соответствующие элементы другой строки, умноженные на одно и тоже число.

3.2. Действия над матрицами.

Основные операции, которые производятся над матрицами, – сложение, вычитание, умножение, а также умножение матрицы на число. Указанные операции являются основными операциями алгебры матриц – теории, играющей весьма важную роль в различных разделах математики и естествознания.

Суммой двух матриц А и В одинаковых размеров называется матрица того же размера, элементы которой равны сумме соответствующих элементов матриц А и В . Таким образом, если

а 11 … а 1n b 11 … b 1n

a m1 … а mn b m1 … b mn

a 11 + b 11 … a 1n + b 1n

a m1 + b m1 … a mn + b mn

Операция нахождения суммы матриц называется сложением матриц и распространяется на случай конечного числа матриц одинаковы размеров.

Так же, как и сумма, определяется разность двух матриц

a 11 – b 11 … a 1n – b 1n

A – B = ……………………… (10)

a m1 – b m1 … a mn – b mn

Операция нахождения разности двух матриц называется вычитанием матриц . Проверкой можно убедиться, что операция сложения матриц удовлетворяет следующим свойствам:

1. А + В = В + А ; (коммутативность)
2. А + (В + С) = (А + В) + С ; (ассоциативность)
3. А + О = А .

Здесь А, В, С – произвольные матрицы одинаковых размеров; О – нулевая матрица того же размера.

Произведением матрицы А = [а ij ] на число λ называется матрица, элементы которой получаются из соответствующих элементов матрицы А умножением их на число λ. Произведение обозначим

λА. Таким образом от умножения матрицы (1) на число, получим:

a 11 … a 1n λa 11 … λa 1n

A = ………… , то λA = ……………… (11)

a m1 … a mn λa m1 … λa mn

Операция нахождения произведения матрицы на число называется умножением матрицы на число. Матрица –А = –1А называется противоположной матрице А . Проверкой можно убедиться, что операция умножения матрицы на число удовлетворяет следующим свойствам:

Здесь А, В – произвольные матрицы; μ, λ — произвольные числа; О – нулевая матрица.

Произведение АВ матрицы А на матрицу В определяется только в том случае, когда число столбцов матрицы А равно числу строк матрицы В . Пусть матрицы А и В такие, что число столбцов матрицы А равно числу строк матрицы В :

а 11 … а 1n b 11 … b 1n

a m1 … a mn b m1 … b mn

В этом случае произведением матрицы А на матрицу В , которые

заданы в определенном порядке ( А – 1ая, В – 2ая ), является матрица С , элемент которой с ij определяется по следующему правилу:

c ij = a i1 b 1j + a i2 b 2j + … + a in b nj = ∑ n α = 1 a iα b αj, (12)

где i = 1,2, …, m; j = 1, 2, …, k.

Для получения элемента с ij матрицы произведения С = АВ нужно элементы i -й строки матрицы А умножить на соответствующие элементы j -го столбца матрицы В и полученные произведения сложить. Например, если:

1 2 3 7 8

А = ; В = 9 10 , то (13)

4 5 6 11 12

1 7 + 2 9 + 3 11 1 8 + 2 10 + 3 12 58 64

АВ = = (14)

4 7 + 5 9 + 6 11 4 8 + 5 10 + 6 12 139 154

Число строк матрицы С = АВ равно числу строк матрицы А , а число столбцов – числу столбцов матрицы В .

Операция нахождения произведения двух матриц называется умножением матриц . Умножение матриц некоммутативно, т.е.

АВ ≠ ВА . Убедимся в примере матриц (13). Перемножив их в обратном порядке, получим:

39 54 69

ВА = 49 68 87 (15)

Сравнив правые части выражений (14) и (15), убедимся, что АВ ≠ ВА.

Матрицы А и В , для которых АВ = ВА, называются перестановочными . Например:

1 2 -3 2

А = ; В = перестановочны, т.к.

-2 0 -2 -4

-7 -6

Проверкой можно показать, что умножение матриц удовлетворяет следующим свойствам:

1. А(ВС) = (АВ)С ; (ассоциативность)
2. λ(АВ) = (λА)В = А(λВ);
3. А(В + С) = АВ + АС . (дистрибутивность)

Здесь А, В, С – матрицы соответствующих определению умножения матриц размеров; λ — произвольное число.

Операция умножения двух прямоугольных матриц распространяется на случай, когда число столбцов в 1ом множителе равно числу строк во 2ом, в остальных случаях произведение не определяется. А также, если матрицы А и В – квадратные одного и того же порядка, то умножение матриц всегда выполнимо при любом порядке следования сомножителей.

3.3.Обратная матрица. Матричный метод решения СЛАУ.

Пусть дана квадратная матрица

a 11 … a 1n

A – её определитель.

Если существует матрица Х такая, что АХ = ХА = Е, где Е – единичная матрица, то матрица Х называется обратной по отношению к матрице А , а сама матрица А – обратимой . Обратная матрица для А обозначается А -1 .

Теорема 1.1. Для каждой обратимой матрицы существует только одна обратная ей матрица.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть для матрицы А наряду с матрицей Х существует еще хотя бы одна отличная от Х обратная матрица, которую обозначим за Х 1 . Тогда должны выполняться следующие условия: ХА = Е, АХ 1 = Е . Умножив второе равенство на матрицу Х , получим ХАХ 1 = ХЕ =Х. Но, т.к. ХА = Е , то предыдущее равенство можно записать в виде ЕХ 1 = Х или Х = Х 1 .

Т е о р е м а д о к а з а н а.

Пример 1. Найти матрицу обратную матрице

1 2 3

Р е ш е н и е. Проверим, обратима матрица А или нет, т.е. является ли она невырожденной:

1 2 3 1 2 5

∆ А = –3 –1 1 = –3 –1 0 = 5 –3 1 = 5 (–3 + 2) = –5 ≠ 0.

2 1 –1 2 1 0 2 1

Найдем алгебраические дополнения всех элементов матрицы А :

А 11 = –1 1 = 0; А 12 = – –3 1 = –1;

1 –1 2 –1

А 13 = –3 –1 = –1; А 21 = – 2 3 = 5;

2 1 1 –1

А 22 = 1 3 = –7; А 23 = – 1 2 = 3;

2 –1 2 1

А 31 = 2 3 = 5; А 32 = — 1 3 = –10;

А 33 = 1 2 = 5.

Составим присоединённую матрицу для матрицы А :

0 5 5

Отсюда находим обратную матрицу:

Пример 2. Найти неизвестную матрицу Х из уравнения АХ = В , если:

А = 2 3 ; В = 3 4 .

Р е ш е н и е. Умножив обе части данного матричного уравнения слева на матрицу А -1 , получим:

А -1 АХ = А -1 В; Х = А -1 В.

Найдем А -1 : ∆ А = 1, А 11 = 2, А 12 = -1, А 21 = -3, А 22 = 1 , следовательно,

Найдем матрицу Х:

Х = А -1 В = 2 -3 3 4 = 9 5 .

Пример1. Решите систему алгебраических линейных уравнений матричным методом.

А= 1 -1 4 ; Х= у ; В= -5

Найдём обратную матрицу А -1 :

∆ = 1 -1 4 = 4*(-1)*1 + 1*1*1 + 1*2*4 – 4*(-1)*1 – 1*1*4 – 1*

4 1 -4 *2*1 = -4+1+8+4-4-2=9-6=3 =0

Следовательно обратная матрица существует. Построим её:

Составим алгебраические дополнения к элементам матрицы А:

А 11 = (-1) 2 -1 2 = -6 А 12 = (-1) 3 1 2 =4 А 13 = (-1) 4 1 -1 = 5

А 21 = (-1) 3 1 1 = -3 А 22 = (-1) 4 1 1 =0 А 23 = (-1) 5 1 1 =3

А 31 = (-1) 4 1 1 =3 А 32 = (-1) 5 1 1 =-1 А 33 = (-1) 6 1 1 =-2

Составим матрицу из алгебраических дополнений:

Транспонируем полученную матрицу:

Умножим полученную матрицу на число, обратное определителю матрицы А т.е на 1/3:

А -1 = 4/3 0/3 -1/3 = 4/3 0 -1/3

5/3 3/3 -2/3 5/3 1 4/3

Х= 4/3 0 -1/3 * -5 = 4/3+2/3 = 2

5/3 1 4/3 -2 5/3-5+4/3 -2

Таким образом, х=1,у= 2, z= -2

Ответ: х=1,у= 2, z= -2

Найдем алгебраические дополнения

Отсюда получаем x = 2, y = 3, z =1.

4 . Решение систем линейных алгебраических
уравнений методом Гаусса.

4.1. Совместность СЛАУ.

Одним из ключевых понятий при решении систем линейных алгебраических уравнений является понятие ранга матрицы. Введем это понятие. Выделим в матрице A размерности m  n k строк и k столбцов, где k – число, меньшее или равное меньшему из чисел m и n. Определитель порядка k, составленный из элементов, стоящих на пересечении выделенных k строк и k столбцов, называется минором или определителем , порожденным матрицей A. Например, для матрицы

при k = 2 определители

будут порожденными данной матрицей.

Рангом матрицы A (обозначается rang A) называется наибольший порядок порожденных ею определителей, отличных от нуля. Если равны нулю все определители порядка k, порожденные данной матрицей, то rang A

Теорема 1. Ранг матрицы не изменится, если

1. Поменять местами любые два параллельных ряда.
2. Умножить каждый элемент ряда на один и тот же множитель   0.
3. Прибавить к элементам ряда соответствующие элементы другого параллельного ряда, умноженные на один и тот же множитель.

Преобразования 1–3 называются элементарными . Две матрицы называются эквивалентными, если одна матрица получается из другой с помощью элементарных преобразований.

Базисным минором матрицы называется всякий отличный от нуля минор, порядок которого равен рангу данной матрицы.

Минор M k+1 порядка k+1, содержащий в себе минор M k порядка k, называется окаймляющим минором M k . Если у матрицы A существует минор M k  0, а все окаймляющие его миноры M k+1 = 0, то rang A = k.

Пример. Найти ранг матрицы

Имеем . Для M 2 окаймляющими будут только два минора:

каждый из которых равен нулю. Поэтому rang A = 2, а указанный минор M 2 может быть принят за базисный.

Теорема 2 (Кронекера-Капелли). Для того, чтобы система m линейных алгебраических уравнений относительно n неизвестных x 1 , x 2 , …, x n

была совместна (имела решение), необходимо и достаточно, чтобы ранг основной матрицы

системы и ранг так называемой расширенной матрицы

системы были равны, т.е. rang A = rang B = r.

Далее, если rang A = rang B и r = n, то система имеет единственное решение; если r

Система называется однородной, если все ее свободные члены b i (i = 1, m) равны нулю. Если хотя бы одно из чисел отлично от нуля, то система называется неоднородной. Для однородной системы уравнений rang A = rang B, поэтому она всегда совместна.

4.2. Решение СЛАУ методом Гаусса.

Метод Гаусса – метод последовательного исключения переменных – заключается в том, что с помощью элементарных преобразований система уравнений приводится к равносильной системе ступенчатого (или треугольного) вида, из которой последовательно, начиная с последних (по номеру) переменных, находится все остальные переменные.

Пусть задана система линейных алгебраических уравнений в следующем виде:

(1)

Пусть все хотя бы один из свободных членов системы уравнений отличен от нуля, т.е. система неоднородна. Если основная матрица A системы имеет ранг r = n, то расширенная матрица B этой системы с помощью элементарных преобразований строк и перестановок столбцов всегда может быть приведена к треугольному виду, где на главной диагонали матрицы располагаются единицы, а все элементы ниже главной диагонали равны нулю:

Эта матрица является расширенной матрицей системы

которая эквивалентна исходной системе (т.е. имеет те же самые решения, что и исходная система). Если хотя бы одно из чисел отлично от нуля, то система (2) и исходная система (1) несовместны. Если же , то система (1) совместна, а из системы (2) можно последовательно выразить в явном виде базисные переменные через свободные переменные . Если r = n, то решение этой системы единственно. В дальнейшем будем рассматривать последний случай, т.е. когда r = n.

Пример 1. Решить систему уравнений:

Р е ш е н и е. Расширенная матрица системы имеет вид:

Шаг 1. Так как a 0, то умножая вторую, третью и четвертую строки матрицы на числа (-2), (-3), (-2) и прибавляя полученные соответственно ко второй, третьей, четвертой строкам, исключим переменную x 1 из всех строк, начиная со второй. Поменяем местами вторую и третью строки:

Шаг 2. Умножая вторую строку на (-7/4) и прибавляя полученную строку к четвертой, исключим переменную x 2 из всех строк, начиная с третьей:

Шаг 3. Умножаем третью строку на 13,5/8=27/16, и прибавляя строку к четвертой, исключим из нее переменную x 3 . Получим систему уравнений

откуда, используя обратный ход метода Гаусса, найдем из четвертого уравнения x 4 =-2; из третьего x 3 = = =-1; из второго x 2 = = =2 и из первого уравнения x 1 =6+2 x 4 -3 x 3 — -2 x 2 =6+2(-2)-3(-1)-2·2=1, т.е. решение системы (1; 2; -1; 2).

Пример 2. Методом Гаусса решить систему уравнений:

Р е ш е н и е. Преобразуем расширенную матрицу системы

Итак, уравнение, соответствующее третьей строке последней матрицы, противоречиво – оно привелось к неверному равенству 0=-1, следовательно, данная система несовместна.

Пример3. С помощью метода последовательных исключений Гаусса решить вопрос о совместности данной системы и в случае совместности решить ее.

Составим расширенную матрицу B и проведем необходиые элементарные преобразования строк:

Последней матрице соответствует система, эквивалентная исходной

Из нее, двигаясь снизу вверх, последовательно находим: x 4 = –1, x 3 = 1, x 2 = 0, x 1 = –2.

Пример 4. . Методом Гаусса решить систему уравнений:

Запишем расширенную матрицу коэффициентов системы уравнений

Произведем элементарные преобразования со строками расширенной матрицы.

Разделим все элементы первой строки расширенной матрицы на 2.

Вычтем из второй строки первую, умноженную на 3.

Вычтем из третьей строки первую, умноженную на 1.

Теперь умножим все элементы второй строки расширенной матрицы на -2/11.

Вычтем из третьей строки вторую, умноженную на ½.

Теперь умножим все элементы третьей строки расширенной матрицы на -11/16

Произведенные выше элементарные преобразования – это прямой ход в метода Гаусса

Теперь нужно провести алгебраические преобразования в обратном порядке:

сначала с элементами третьего столбца, а затем второго столбца расширенной матрицы

Вычтем из второй строки третью, умноженную на (-1/11), а из первой строки третью, умноженную на 1/2

Вычтем из первой строки вторую, умноженную на 3/2

В результате последнего преобразования было получено решение системы уравнений:

Работа над это темой была очень интересной.

− в процессе работы я узнал много нового;

− я научился пользоваться научной литературой, сопоставлять и сравнивать различные точки зрения, выделять главное;

− теперь я знаю, какие действия можно выполнять над матрицами, какой путь решения систем линейных уравнений наиболее простой и быстрый, и ещё в своей работе я изучила многие другие теоретические вопросы;

− также весь материал я исследовал не только теоретически, но и практически, приводя некоторые примеры в тексте.

Тема решения систем линейных уравнений предлагается на выпускных экзаменах, поэтому умение их решать очень важно.

Исследовательская работа может использоваться учащимися, как пособие для самостоятельного изучения по теме „Методы решения систем линейных уравнений ”, а также в качестве дополнительного материала.

1. Кремер Н. Ш. Высшая математика для экономистов: Учебное пособие для ВУЗов.- М.: Издательское объединение «ЮНИТИ», 1997.
2. Апанасов П. Т., Орлов М. И. Сборник задач по математике: Учебное пособие для техникумов. — М.: Высшая школа, 1987.
3. Демин И. И. Математика для экономистов: Программа курса и практические задания. – М.: МИЭП, 1997.
4. Большой энциклопедический словарь «Математика». Ю.В.Прохоров 2000 г.
5. Справочник по математике для средних учебных заведений. А.Г.Цыпкин Москва «Наука» 1983г.

Исследовательский проект на тему: «Системы уравнений»

Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

Описание презентации по отдельным слайдам:

Системы уравнений
Проект выполнил
ученик 9 класса Б
МАОУ лицея №20

Руководитель проекта
Поличева Н.М.

Как научится решать системы уравнений с двумя переменными из ОГЭ по математике?

Проблема проекта:
Добавить нижний колонтитул
2

Цели:
1)Осознать и осмыслить различные способы решения систем уравнений с двумя переменными.
2)Решить задачи и уравнения, которые представлены в ОГЭ.
3)Сделать вывод о проделанной работе .

Задачи:
1) Вспомнить все виды решения уравнений.
2) Через решение уравнений и задач развить творческую и мыслительную деятельность учащихся.
3) Научиться решать и проверять результаты своей деятельности.

Определение:
Система уравнений — это условие, состоящее в одновременном выполнении нескольких уравнений относительно нескольких (или одной) переменны.
Добавить нижний колонтитул
5

История уравнений
Уравнение с двумя неизвестными выражает зависимость между двумя величинами , имеет бесчисленное множество решений и является неопределенным.
Решением таких уравнений занимались в древности китайцы, греки и индийцы.
В «Арифметике» Диофанта приведено много задач, решаемых им с помощью неопределенных уравнений.

Добавить нижний колонтитул
6

Задачи на составление и решение систем уравнений встречаются в вавилонских и египетских текстах 2 тысячелетия до н.э., в трудах древнегреческих, китайских и индийских ученых. Нижние индексы при буквах впервые употребил в 1675 г. немецкий математик Лейбниц.

Добавить нижний колонтитул
7

Основные методы решения систем уравнений
И
1. Метод подстановки: из какого-либо уравнения системы выражаем одно неизвестное через другое и подставляем во второе уравнение системы.

2. Метод алгебраического сложения: путем сложения двух уравнений получить уравнение с одной переменной.

3.Метод решения уравнения с системой графическим способом.
шаблона
4. Метод введения новых переменных: ищем в системе некоторые повторяющиеся выражения, которые обозначим новыми переменными, тем самым упрощая вид системы. обратная связь
8

Добавить нижний колонтитул
14
Вывод:
Работа над проектом, используя учебные пособия, а также применение полученных знаний на практике – это реальная возможность решить задание № 21 и подготовиться к ОГЭ по математике, и сдать его на хорошую оценку.

https://oge.sdamgia.ru/
https://www.google.com/search
Учебник Алгебры Ларин ОГЭ
Консультация с педагогом по математике
Учебник Алгебры 9 класс Мордкович
https://www.google.com/search

Список литературы:
Добавить нижний колонтитул
15

Спасибо за внимание

Курс повышения квалификации

Дистанционное обучение как современный формат преподавания

• Сейчас обучается 939 человек из 80 регионов

Курс профессиональной переподготовки

Математика: теория и методика преподавания в образовательной организации

• Сейчас обучается 686 человек из 75 регионов

Курс повышения квалификации

Методика обучения математике в основной и средней школе в условиях реализации ФГОС ОО

• Сейчас обучается 313 человек из 69 регионов

Ищем педагогов в команду «Инфоурок»

Дистанционные курсы для педагогов

«Взбодрись! Нейрогимнастика для успешной учёбы и комфортной жизни»

Свидетельство и скидка на обучение каждому участнику

Найдите материал к любому уроку, указав свой предмет (категорию), класс, учебник и тему:

5 587 872 материала в базе

Самые массовые международные дистанционные

Школьные Инфоконкурсы 2022

33 конкурса для учеников 1–11 классов и дошкольников от проекта «Инфоурок»

«Психологические методы развития навыков эффективного общения и чтения на английском языке у младших школьников»

Свидетельство и скидка на обучение каждому участнику

Другие материалы

• 01.04.2021
• 182
• 3

• 01.04.2021
• 194
• 3

• 01.04.2021
• 170
• 0

• 01.04.2021
• 130
• 0

• 01.04.2021
• 118
• 0

• 01.04.2021
• 118
• 1

• 01.04.2021
• 192
• 4

• 01.04.2021
• 129
• 1

Вам будут интересны эти курсы:

Оставьте свой комментарий

Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.

Добавить в избранное

• 01.04.2021 337
• PPTX 2.6 мбайт
• 22 скачивания
• Оцените материал:

Настоящий материал опубликован пользователем Поличева Наталья Михайловна. Инфоурок является информационным посредником и предоставляет пользователям возможность размещать на сайте методические материалы. Всю ответственность за опубликованные материалы, содержащиеся в них сведения, а также за соблюдение авторских прав несут пользователи, загрузившие материал на сайт

Если Вы считаете, что материал нарушает авторские права либо по каким-то другим причинам должен быть удален с сайта, Вы можете оставить жалобу на материал.

Автор материала

• На сайте: 5 лет и 5 месяцев
• Подписчики: 36
• Всего просмотров: 47986
• Всего материалов: 75

Московский институт профессиональной
переподготовки и повышения
квалификации педагогов

Дистанционные курсы
для педагогов

663 курса от 690 рублей

Выбрать курс со скидкой

Выдаём документы
установленного образца!

Учителя о ЕГЭ: секреты успешной подготовки

Время чтения: 11 минут

В ростовских школах рассматривают гибридный формат обучения с учетом эвакуированных

Время чтения: 1 минута

Инфоурок стал резидентом Сколково

Время чтения: 2 минуты

Минпросвещения подключит студотряды к обновлению школьной инфраструктуры

Время чтения: 1 минута

РДШ организовало сбор гуманитарной помощи для детей из ДНР

Время чтения: 1 минута

Каждый второй ребенок в школе подвергался психической агрессии

Время чтения: 3 минуты

Студенты российских вузов смогут получить 1 млн рублей на создание стартапов

Время чтения: 3 минуты

Подарочные сертификаты

Ответственность за разрешение любых спорных моментов, касающихся самих материалов и их содержания, берут на себя пользователи, разместившие материал на сайте. Однако администрация сайта готова оказать всяческую поддержку в решении любых вопросов, связанных с работой и содержанием сайта. Если Вы заметили, что на данном сайте незаконно используются материалы, сообщите об этом администрации сайта через форму обратной связи.

Все материалы, размещенные на сайте, созданы авторами сайта либо размещены пользователями сайта и представлены на сайте исключительно для ознакомления. Авторские права на материалы принадлежат их законным авторам. Частичное или полное копирование материалов сайта без письменного разрешения администрации сайта запрещено! Мнение администрации может не совпадать с точкой зрения авторов.

Только 23 февраля!
Получите новую
специальность
по низкой цене

Цена от 1220 740 руб. Промокод на скидку Промокод скопирован в буфер обмена ПП2302 Выбрать курс Все курсы профессиональной переподготовки

Прэктная работа по теме «Системна линейных уравнений»

Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ

ЛУГАНСКОЙ НАРОДНОЙ РЕСПУБЛИКИ

МАЛАЯ АКАДЕМИЯ НАУК УЧАЩЕЙСЯ МОЛОДЕЖИ

Система линейных уравнений

Введение…………………………………………………………………………3
1.Система линейных уравнений с двумя переменными………………………7

Понятие о системах уравнений …………………………………………7

Способ алгебраического сложения………………………………………8

1.5.Геометрическая интерпретация решений системы
двух линейных уравнений с двумя неизвестными………………………11

4. Геометрическая интерпретация решения системы трех линейных
уравнений с тремя неизвестными……………………………………………………………………24

5.Решение систем линейных уравнений с параметрами………………………………..27

6.Решение систем уравнений на EXCEL…………………………………………………………….30

Список используемых источников……………………………………………….33

«Перед вами система линейных уравнений с двумя переменными Что скрывается за этими скупыми значками? Математик даст общий ответ: «Это система из двух линейных уравнений с двумя переменными. Но что она выражает, сказать не могу» Если обратиться за ответом к инженерам разных специальностей, то услышим разные ответы.

Инженер-электрик скажет, что передним уравнения напряжения или токов в электрической цепи с активными напряжениями.

Инженер-механик верен, что это уравнения равновесия сил для системы рычагов или пружин.

Инженер-строитель сообщит, что имеет дело с уравнениями, связывающими силы и деформации в какой-то строительной конструкции.

Инженер-плановик авторитетно заявит, что это уравнения для расчета загрузки станков. Так какой же из ответов правильный? Каждый из них верен. Да одна и та же система линейных уравнений может отображать равновесное состояние и электрической цепи, и рычагов, и строительной конструкции. Все зависит от того, что скрывается за постоянными коэффициентами и символами неизвестных — и.» (Пекелис1973,стр190-191)

Различные явления действительности имеют поразительное математическое сходство. Так о системе уравнений и применении её в различных сферах производства говорится в книге изданной почти полвека назад. За это время мир очень изменился.

Только о системах линейных уравнений не забыли. Наоборот с развитием экономики возросла необходимость прогнозировать экономические риски, востребован их анализ , которые делаются на основе решения систем линейных уравнений со многими переменными. Внимание к методам решения систем линейных уравнений только возрастает.

В нашем примере фигурируют только уравнения с двумя переменными, а ведь количество переменных и уравнений в системе может быть неограниченным. При решении теоретических и практических задач в науке, технике, производстве приходится иметь дело с системами уравнений с несколькими неизвестными.

Системы линейных уравнений приходят на помощь, когда приходится иметь дело с заведомо малыми величинами, старшими степенями которых можно пренебречь, что сводит эти уравнения линейным.

Развитие экономики, повлекшее за собой необходимость решать задачи математической экономики, как правило, сводящихся к системе линейных уравнений с большим числом переменных обусловило поиск различных способов решений систем уравнений.

Для решения систем линейных уравнений с переменными с давних времен использовали исключения.

В XVII— XVIII вв. над решением систем линейных уравнений работали такие ученые, как Ферма, Ньютон, Лейбниц, Эйлер, Лагранж и другие.

Решение системы уравнений выраженное формулами , впервые использовал в 1675г. немецкий математик Г.Лейбниц, что способствовало развитию теории определителей.

Интересно, что определители были открыты дважды .Сначала — без теоретического обоснования, но с правилами практического применения —в древнем Китае, еще в начале нашей эры, а может и раньше. А уже в XVIII В. Метод определителей открыл Лейбниц в процессе разработки универсального метода решения систем линейных уравнений, что и привело к введению понятия определителей.

Из изучения определителей, решения систем линейных уравнений с многими переменными начинается очень важный раздел современной математики — линейная алгебра.

Сталкиваясь на уроках математики с системами линейных уравнений, мы их решали способом подстановки, сложения и иллюстрировали их решение с помощью графиков. Появилось желание узнать, а есть ли другие способы решения систем линейных уравнений и так ли сложно их освоить.

При выполнении этой работы была поставлена цель, изучить различные способы решения систем линейных уравнений с последующим оптимальным применением того или иного способа при дальнейшем решении систем.

Актуальность работы вызвана тем, что с помощью линейных уравнений математически модулируют все большее число процессов в технике, экономике, производстве, науке.

В работе ставились следующие задачи:

1.Изучить литературу по методам решения систем линейных алгебраических

2.Рассмотреть способы решения систем линейных алгебраических уравнений

1.СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ С ДВУМЯ ПЕРЕМЕННЫМИ

Понятие о системах уравнений

Совокупность нескольких уравнений с несколькими переменными называют системой уравнений (неизвестное обозначенное одной и той же буквой в каждом из уравнений , должно обозначать одну и ту же неизвестную величину)

Система (1.1) где и — неизвестные, а —коэффициенты системы, а — свободные члены, называется системой двух линейных уравнений с двумя неизвестными.

Если , то система называется однородной, в остальных случаях — неоднородной.

Система называется совместной , если она имеет хотя бы одно решение, и называется несовместной , если у нее нет ни одного решения.
Совместная система вида называется определенной , если она имеет единственное решение; если у нее есть хотя бы два различных решения, то она называется неопределенной.

Решением системы уравнений с несколькими неизвестными называется совокупность значений этих неизвестных, обращающая каждое уравнение системы в тождество.

Решить систему уравнений, значит найти множество все её решений или показать, что она решений не имеет.

Не существует общего аналитического способа решения систем, все методы основаны на численных решениях. Основная задача при решении — это правильно анализировать систему и находить оптимальный алгоритм решения для каждого примера. В школьном курсе математики подробно описаны такие методы как алгебраическое сложение, подстановка, а так же графический способ.

Чтобы решить систему (1.1), из первого уравнения системы найдем при . Подставив найденное значение во второе уравнение системы (1.1), получим , откуда . Если , то . Тогда . Итак, решением системы при (1.1) является пара чисел

Блок-схема решения системы (1.1) способом подстановки представлена на схеме 1.1.

Пример 1. Решим систему уравнений:

Уравнения могут быть сложными, и выражение переменной через вторую неизвестную окажется слишком громоздким для дальнейших вычислений. Когда неизвестных в системе больше 3-х решение подстановкой также нецелесообразно.

Способ алгебраического сложения

Чтобы решить систему (1.1) способом алгебраического сложения, умножим обе части первого уравнения на второго на . Получаем Полагая что система имеет решение, складываем левые и правые части уравнений системы; получаем откуда находим при . Аналогично поступаем, чтобы найти умножим обе части первого уравнения системы (1.1) на а второго на Получаем складываем левые и

правые части уравнений: откуда при . Таким образом, если .

Поскольку система уравнений решена в предположении, что она имеет решения, то необходимо подстановкой убедиться, что найденная пара чисел — решения этой системы.

Для применений данного метода необходима практика и наблюдательность. Решить систему линейных уравнений методом сложения при количестве переменных 3 и более непросто. Алгебраическое сложение удобно применять, когда в уравнениях присутствуют дроби и десятичные числа.

Блок-схема решения системы (1.1) способом сложения представлена на схеме 1.2.

Пример 2. Решим систему уравнений:

Умножим обе части первого уравнения системы на 3, а второго на -2. имеем: Почленно сложим левые и правые части полученных уравнений: Подставим найденное значение в одно из уравнений системы и решим его:

Чтобы решить систему (1.1) способом сравнения, найдем или из каждого уравнения системы: и . Приравнивая полученные для выражения , найдем , . Таким образом, система если , имеет решение

Блок-схема решения системы (1.1) способом сравнения представлена на схеме 1.3.

Пример 3. Решим систему уравнений:

Выразим переменную из каждого уравнения системы: и . Приравняв полученные выражения имеем Подставим найденное значение в первое уравнение получим

Геометрическая интерпретация решений системы двух линейных уравнений с двумя неизвестными

Если предположить, что в каждом уравнений системы, по крайней мере один из коэффициентов при переменных отличен от нуля, то каждое из уравнений является уравнением прямой линии.

Если определитель системы , то это означает, что если

1)все коэффициенты отличны от нуля, то и так как то обе прямые пересекаются в единственной точке, координаты которой и образуют решение системы. ( рис.1.1)

2) Если хотя бы один из коэффициентов при переменных равен нулю, например , то, по нашему условию, и, следовательно, (иначе ). Поэтому данная система равносильна системе уравнений перпендикулярных прямых (одна из которых параллельна оси ординат, другая — оси абсцисс), пересекающихся в одной точке. (рис.1.2).

Если же определитель системы равен нулю, то коэффициенты при переменных пропорциональны и, следовательно, либо система эквивалентна одному уравнению и обе прямые совпадают и система имеет бесконечное множество решений
(рис.1.3), либо система не имеет решений и обе прямые параллельны и не совпадают (рис.1.4)

Блок-схема геометрической интерпретации решений представлена на схеме 1.4

Блок-схема решения системы
двух линейных уравнений с двумя
переменными способом подстановки

Блок-схема решения системы
двух линейных уравнений с двумя
переменными способом сложения

Блок-схема решения системы
двух линейных уравнений с двумя
переменными способом сравнения

Выразить из каждого уравнения одну туже переменную

Сравнить полученные выражения, найти одну из переменных

Подставить найденное значение в любое уравнение , найти значение второй переменной

Рассмотрим решение систем линейных уравнений методом Гаусса. Пусть задана система трёх линейных уравнений с тремя неизвестными и: (3.1) .

Разделим обе части первого уравнения системы (3.1) на . Получим (3.2)

Умножим обе части уравнения (3.2) на и отнимим от второго уравнения системы (3.1). Получим:

Умножим обе части уравнения (3.2) на и отнимим от третьего уравнения системы (3.2). Получим: Имеем систему: Пусть Тогда (3.3)

Разделим обе части первого уравнения системы (3.3) на имеем Умножим обе части этого уравнения на отнимим его отвторого уравнения системы (3.3). Получим: Обозначим После проведенных преобразований получим систему треугольного

вида:

Теперь, начиная с последнего уравнения, легко определить значения всех переменных. Если то средикоэффициентов системы (3.1) при существует хотя бы один, отличный от нуля. Это уравнение и считается первым.

Пример 1. Решите систему уравнений

Умножим обе части первого уравнения системы на 2 и отнимим его от второго уравнения, потом обе части первого уравнения умножим на 4 и отнимим его от третьего. Имеем систему Эта система имеет бесконечно много решений. Выразим через Подставив в первое уравнение исходной системы, имеем: Таким образом система имеет бесконечно много решений.

Ответ: ,

Пример2. Решите систему уравнений

Умножим обе части первого уравнения системы на 2 и отнимим его почленно от второго уравнения, потом отнимем первое уравнение от третьего. Получим систему уравнений Теперь прибавим второе и третье уравнения полученной системы. Имеем Поскольку третье уравнение системы не имеет решений , то система несовместна.

Ответ : система несовместна.

Одним из наиболее распространенных методов решения линейных систем является метод Крамера.

Рассмотрим систему двух линейных уравнений с двумя неизвестными и : Числа называют коэффициентами системы, а — свободными членами. При решении системы линейных уравнений методом сложения были найдены следующие решения ; .

Проанализировав полученные результаты, можно установить правило, по которому составлены выражения для нахождения и. Коэффициенты системы образуют таблицу , которую называют квадратной матрицей второго порядка.

Число называют определителем этой матрицы. Его обозначают так: . Это определитель второго порядка, его называют определителем системы

Определитель второго порядка можно вычислить по схеме: =.

Обратим внимание на числители в формулах, полученных для нахождения и . Их тоже можно рассм атривать как определители второго порядка. Обозначаются они ; .

Теперь можно записать: ; .

Полученные формулы называют формулами Крамера. Анализируя их, видим, что при решении системы возможны такие случаи.

1.. Система имеет единственное решение; ; .

2.; ; . Система не имеет решений.

3. ;; . Система имеет бесконечно много решений.

Пример 1. Решите систему уравнений

;

; .

Следовательно, ; .

Ответ:.

Пример 2. Решите систему уравнений

;

; .
Следовательно, данная система имеет бесконечно много решений. Любое из них можно получить, взяв произвольное значение , а потом выразивши из уравнения. Например, если , то То есть пара — одно из решений системы.

Ответ: система имеет множество решений.

Пример 3. . Решите систему уравнений

;

; .

Следовательно, данная система не имеет решений.

Ответ: система несовместна.

Формулы Крамера можно обобщить на случай системы трех линейных уравнений с тремя неизвестными.

Рассмотрим систему

— коэффициенты системы; — свободные члены системы

Запишем, как и в системе с двумя неизвестными, таблицу коэффициентов системы — квадратную матрицу третьего порядка: .

Число = называют определителем этой матрицы.

Вычисление определителя третьего порядка можно выполнить по такой схеме:

— .

Следовательно, ; ;.

То есть если , то решением системы будет тройка чисел , таких, что ; ; .

Эти формулы так же называют формулами Крамера.

Пример 4. . Решите систему уравнений

;

; =- 4 ; .

Отсюда, ; ; .

Ответ: .

Пример 5. . Решите систему уравнений

Решение ; ; ; .

Ответ:

Пример 6. Решите систему уравнений

;

; ; .

Система не имеет решений.

Ответ: система несовместна.

Пример 7 Решите систему уравнений

Решение ; ;

;

Ответ: система имеет множество решений.

4.ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ИНТЕРПРЕТАЦИЯ РЕШЕНИЙ СИСТЕМЫ ТРЕХ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ С ТРЕМЯ НЕИЗВЕСТНЫМИ

Известно, что всякое линейное уравнение, (4.1) у которого хотя бы один из коэффициентов при переменных отличен от нуля, изображает в координатном пространстве плоскость. Более точно: в координатном пространстве существует такая плоскость , координаты каждой точки которой удовлетворяют уравнению (4.1), и, наоборот, всякая точка, координаты которой удовлетворяют уравнению (4.1), лежат в плоскости

Будем предполагать, что в каждом уравнении системы трех линейных уравнений (4.2) хотя бы один из коэффициентов при переменных отличен от нуля. Тогда каждое из этих уравнений является уравнение плоскости в координатном пространстве, и, следовательно, множество решений этой системы является множеством всех точек координатного пространства, лежащих в каждой из этих плоскостей, и, значит, совпадает, с их пересечением. Пусть первое уравнение системы является уравнением плоскости , второе — плоскости , третье —плоскости.

Решая систему (4.2) методом последовательного исключения переменных, мы получим треугольную систему, либо равносильную систему, в которой число уравнений меньше числа переменных и среди уравнений системы нет противоречивых уравнений, либо систему, в которой одно из уравнений противоречиво.

Рассмотрим геометрический смысл каждого из случаев.

1)Если данная система равносильна треугольной, то она имеет единственное решение. Геометрически это означает, что все три плоскости пересекаются в одной точке (рис.1).

2) а)Если данная система равносильна системе, состоящей из одного уравнения, то она имеет бесконечное множество решений, лежащих в одной плоскости. Геометрически это означает, что все три плоскости совпадают.

Пример1.