Проект по алгебре 8 класс квадратные уравнения

Презентация к уроку алгебры в 8 классе по теме «Решение квадратных уравнений по формуле»
презентация к уроку по алгебре (8 класс) по теме

Урок объяснения нового материала по теме «Решение квадратных уравнений по формуле» в 8 классе. УМК Ю.Н. Макарычев,Н.Г. Миндюк и др.

Скачать:

Предварительный просмотр:

Подписи к слайдам:

Решение квадратных уравнений по формуле Цели: Вывести общую формулу для нахождения корней квадратных уравнений Формировать умения использовать данные формулы при решении квадратных уравнений.

Назовите коэффициенты квадратного уравнения х 2 — 5х+4=0; 4х- 5 х 2 — 1=0; 4 х 2 — 4х +1=0.

Решите уравнения: 2х ²-18=0 х²=7 4у²+7у=0 х²+9=0 Х²+16=0 8у²-5у=0 (х-3)²-9=0 (х+3)²-4=0

Вспомните шаги алгоритма для решения квадратного уравнения методом выделения квадрата двучлена. Решите уравнение: 2х ²-24х+54=0

Рассмотрим решение уравнений в тетраде . 2х ²+3х+1=0 ах ²+вх+с=0

D=b ²-4ac D ˃0, то уравнение имеет 2 корня D˂0 , то уранение не имеет корней D=0, то уравнение имеет 1 корень

Корни уравнения: Х=- b/2a, если D=0 Х= — b+ D 2a Х = — b- D 2a

Выполним упражнение: № 533 ( a , б,в ) №534 Как найти корни квадратного уравнения?

Вывод: Вычислить дискриминант и сравнить его с нулем. Если дискриминант больше или равен нулю найти его корни по формулам., если меньше нуля записать , что корней нет.

Домашнее задание: П.22- выучить вывод, рассмотреть примеры 1-3 №536 (любые три) Выучить формулы Составить любое своё квадратное уравнение и решить его.

Итог: От чего зависит количество корней квадратного уравнения? Сколько корней может иметь квадратное уравнение? Как найти дискриминант? Как вычислить корни?

Рефлексия: Узнал новое Понял хорошо Не понял

По теме: методические разработки, презентации и конспекты

Презентация к уроку в 8 классе «Решение неполных квадратных уравнений»

Данная презентации способствует объяснению новой темы «Решение неполных квадратных уравнений» Поурочный план.

Урок по алгебре в 8 классе. Тема: Решение квадратных уравнений по формуле.

Урок обобщения и систематизации знаний учащихся по теме «Решение квадратных уравнений по формуле».

Презентации к урокам алгебры 7 класс по теме «Линейные уравнения с одной переменной»

Презентации к трём последовательным урокам, соответствующим программе по алгебре для 7 класса , содержат как теоретический , так и практический материал, а также упражнения для устного счёта. В .

Презентация к уроку алгебры 8 класса по теме «Неполные квадратные уравнения»

Данная презентация содержит материал для актуализации знаний по теме «Квадратные уравнения», знакомству с понятием «Неполные квадратные уравнения» и отработке навыков решения этих уравнений.

Урок алгебры 8 класса по теме «Квадратные уравнения»

Тема урока «Квадратные уравнения»Цель: Обобщение темы; проверка знаний умений и навыков; активизировать работу учащихся.

Презентация к уроку. Алгебра 7 класс. «Решение систем линейных уравнений методом подстановки»

урок открытия нового материала.

Презентация к уроку алгебры «Решение задач с помощью квадратных уравнений»

Презентация к уроку алгебры в 8 классе на тему: «Решение задач с помощью квадратных уравнений&quot.

Проект по математике на тему «Квадратные уравнения» (8 класс)

Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

МБОУ – СОШ «Рязанские сады»

Проект по математике

решения квадратных уравнений»

Выполнила: ученица 8 класса

Фомина Екатерина Петровна

Руководитель: учитель математики

I квалификационной категории

Ярославцева Людмила Егоровна

История возникновения и развития квадратных уравнений………………..5

Что такое квадратное уравнение………………………………………………8

Способы решения квадратных уравнений……………………………………9

Разложение левой части уравнения на множители…………………………..9

Выделение квадрата двучлена…………………………………………………9

Решение квадратных уравнений по формуле………………………………..11

Решение квадратных уравнений с помощью теоремы Виета………………13

Свойства коэффициентов квадратного уравнения…………………………..16

Графический способ решений квадратных уравнений………………………17

Решение квадратных уравнений с помощью номограммы………………….20

Список используемых источников и литературы…………………………….24

В школе на уроках математики мы изучили несколько способов решения квадратного уравнения. От учителя я узнала, что существуют и другие способы, но мы не рассматриваем их в школьной программе. Меня это заинтересовало, и я решила узнать, какие еще способы решения квадратного уравнения существуют и сколько их всего.

Познакомиться с биографией великих математиков, занимавшихся решением квадратных уравнений.

Найти различные способы решений квадратных уравнений.

Практическое применение способов решения квадратных уравнений в современной жизни.

Найти исторический материал решений квадратных уравнений.

Систематизировать знания о различных способах решения квадратных уравнений.

Подготовить презентацию своего проекта.

Человеку, изучающему алгебру, часто полезнее решить одну и ту же задачу тремя различными способами, чем решать три-четыре задачи. Решая одну задачу различными способами, можно путем сравнения выяснить, какой из них короче и эффективнее. Так вырабатывается опыт.

У.У. Сойер (английский математик XX века)

Квадратные уравнения — это фундамент, на котором покоится величественное здание алгебры. Умение решать уравнения не только имеет теоретическое значение для познания естественных законов, но и служит практическим целям. Большинство жизненных задач сводится к решению различных видов уравнений, и чаще это уравнения квадратного вида.

Решение квадратных уравнений – одна из важнейших тем курса алгебры 8 класса.

В школьном курсе изучаются формулы корней квадратных уравнений, с помощью которых можно решать любые квадратные уравнения. Однако имеются и другие приёмы решения квадратных уравнений, которые позволяют очень быстро и рационально решать данные уравнения.

Часто первый избранный способ бывает далеко не самым удачным, поэтому задача каждого ученика — научиться находить не только верные, но и наиболее рациональные способы решения квадратного уравнения. В некоторых случаях их можно решать и устно, только для этого необходимо помнить алгоритм, который может пригодиться как на экзамене, так и в различных жизненных ситуациях.

Важность умения решать квадратные уравнения в очередной раз доказывает то, что такие уравнения умели решать еще в древности. Но как это делалось, если в то время не существовала символическая алгебра? Какие есть еще способы решения квадратных уравнений, и сколько их? Ответа на эти вопросы я не нашла на страницах школьного учебника. Чтобы разобраться и глубже изучить данную тему, я решила провести исследование.

Изучением квадратных уравнений люди занимались еще с древних веков. Мне захотелось узнать историю развития квадратных уравнений.

В школьных учебниках дана не полная информация о квадратных уравнениях и способах их решения.

Объект исследования: квадратные уравнения.

Предмет исследования: способы решения квадратного уравнения.

Работа с учебной и научно-популярной литературой, интернет-рессурсами.

Наблюдение, сравнение, анализ.

Ожидаемые результаты: в ходе изучения данной работы я реально смогу оценить свой интеллектуальный потенциал, расширить свой кругозор, заинтересоваться математикой и историей ее развития и, соответственно, в будущем определиться с выбором профессии. Я смогу создать проектный продукт по исследуемой теме в форме компьютерной презентации, что позволит мне компенсировать недостаточность знаний по этому вопросу.

Считаю свою работу перспективной, так как в дальнейшем этим материалом могут воспользоваться и ученики для повышения математической грамотности, и учителя на факультативных занятиях.

История возникновения и развития квадратных уравнений

Кто хочет ограничиться настоящим без знания прошлого, тот никогда его не поймет.

Г.В. Лейбниц (немецкий математик XVII-XVIII веков)

Уже примерно за 2000 лет до нашей эры Вавилоняне знали, как решать квадратные уравнения. Решение их в Древнем Вавилоне было тесно связано с практическими задачами, в основном такими, как измерение площади земельных участков, земельные работы, связанные с военными нуждами; наличие этих познаний также обусловлено развитием математики и астрономии вообще. Были известны способы решения как полных, так и неполных квадратных уравнений. Приведём примеры квадратных уравнений, решавшихся в Древнем Вавилоне, используя современную алгебраическую запись:

Правила решения квадратных уравнений во многом аналогичны современным, однако в вавилонских текстах не зафиксированы рассуждения, путём которых эти правила были получены.

Найденные древние вавилонские глиняные таблички (около 2 тысяч лет до н.э.) являются самыми ранними свидетельствами об изучении квадратных уравнений. На них изложены методы решения некоторых типов квадратных уравнений. Правило решения этих уравнений совпадает по существу с современным, однако неизвестно, каким образом дошли вавилоняне до этого правила. Несмотря на высокий уровень развития алгебры в Вавилоне, в клинописных текстах отсутствуют понятие отрицательного числа и общие методы решения квадратных уравнений.

Квадратные уравнения решали и в Индии. Древнеиндийский математик Баудхаяма в VIII столетии до н.э. впервые использовал квадратные уравнения в форме ax 2 = c и ax 2 + bx = c и привел методы их решения.

Задачи на квадратные уравнения встречаются в астрономическом трактате «Ариабхаттиам», составленном в 499 году индийским математиком и астрономом Ариабхаттой.

Другой индийский ученый, Брахмагупта (VII век), изложил общее правило решения квадратных уравнений, приведенных к единой конической форме:

ах 2 + bx = c , где a > 0 . В этом уравнении коэффициенты (кроме а) могут быть и отрицательными. В Древней Индии были распространены публичные соревнования в решении трудных задач. В одной из старинных индийских книг говорится по поводу таких соревнований следующее: «Как солнце блеском своим затмевает звезды, так ученый человек затмит славу другого в народных собраниях, предлагая и решая алгебраические задачи». Задачи часто облекались в стихотворную форму.

Некоторые виды квадратных уравнений, сводя их решение к геометрическим построениям, могли решать древнегреческие математики. Приемы решения уравнений без обращения к геометрии дает Диофант Александрийский (III в.). В его книгах «Арифметика» нет систематического изложения алгебры, однако в них содержится систематизированный ряд задач, сопровождаемых объяснениями и решаемых при помощи составления уравнений различных степеней. При составлении уравнений Диофант для упрощения решения умело выбирает неизвестные.

Основоположником алгебры считают среднеазиатского математика Мухаммед бен Муса аль — Хорезми (787 – 850 г. г.).

Аль-Хорезми — не фамилия, это своеобразное прозвище, означающее, что Мухаммед, сын Мусы, происходит из Хорезма. (Хорезм — это крупный оазис в низовьях Амударьи, был заселён людьми в глубочайшей древности, там ещё в I тысячелетии до нашей эры существовала высокая культура). В VIII веке арабы завоевали Хорезм и уничтожили эту древнюю культуру.

Об Аль-Хорезми известно лишь, что он написал ряд трудов по астрономии и географии. И самое главное — он написал сочинение, которое по-арабски называется «Китаб аль-джебр валь-мухабала», что в переводе на русский язык означает «Книга о восстановлении и противопоставлении». Это сочинение оказало большое влияние на развитие математики в Европе, а само слово «аль-джебр», входившее в название книги, постепенно стало названием науки — алгебра.

Аль-Хорезми в своем алгебраическом трактате дает классификацию линейных и квадратных уравнений. Автор насчитывает 6 видов уравнений, выражая их следующим образом:

1) «Квадраты равны корням», т.е. а = b х.

2) «Квадраты равны числу», т.е. а = с.

3) «Корни равны числу», т.е. вх = с.

4) «Квадраты и числа равны корням», т.е. а + с = b х.

5) «Квадраты и корни равны числу», т.е. а + bx = с.

6) «Корни и числа равны квадратам», т.е. bx + с = а.

Аль-Хорезми избегает употреблений отрицательных чисел, поэтому члены каждого их этих уравнений слагаемые, а не вычитаемые. При этом заведомо не берутся во внимание уравнения, у которых нет положительных решений.

Формулы решения квадратных уравнений в Европе были впервые изложены в 1202 г. в «Книге абака» итальянским математиком Леонардом Фибоначчи. Он первый в Европе подошел к введению отрицательных чисел.

Общее правило решения квадратных уравнений, приведенных к единому каноническому виду: х 2 + bx = с , при всевозможных комбинациях знаков коэффициентов b, с было сформулировано в 1544 г. немецким математиком М. Штифелем. Вывод формулы решения квадратного уравнения в общем виде имеется у Виета, однако Виет признавал только положительные корни. Итальянские математики Тарталья, Кардано, Бомбелли среди первых в XVI в. учитывают, помимо положительных и отрицательные корни. Лишь в XVII в. благодаря трудам Жиррара, Декарта, Ньютона и других ученых способ решения квадратных уравнений принимает современный вид.

Декарт Жирар Ньютон Никколо Тарталья

Франсуа Виет (1540-1603) первым догадался обозначать буквами не только неизвестные, но и коэффициенты при них. Это скромное, казалось бы, новшество внесло огромный вклад в развитие математики. Ведь если не использовать букв для обозначения коэффициентов квадратного уравнения, то записать даже несложную формулу для его решения будет довольно трудно. Недаром Виета часто называют «отцом алгебры».

Что такое квадратное уравнение?

Квадратное уравнение – это алгебраическое уравнение вида ax 2 + bx + c = 0, где х – переменная ; коэффициенты а, b и с – любые действительные числа, причем, а ≠ 0 .

Квадратные уравнения бывают трёх видов:

1. Полные квадратные уравнения (ax 2 + bx + c = 0, где) .

2. Неполные квадратные уравнения – это уравнение вида

3. Приведенные квадратные уравнения – это уравнения вида x 2 + px + q = 0 , в котором старший коэффициент a=1, р – коэффициент при х (p= ) , q – свободный член ( q = ).

Способы решений квадратных уравнений.

способ: разложение левой части уравнения на множители.

Этот метод не всегда удобен, т.к. не всегда удается применить способ группировки .

способ: выделение квадрата двучлена.

Цель метода — привести уравнение общего вида к неполному квадратному уравнению. В этом нам помогут формулы сокращенного умножения, а именно, квадратов суммы и разности:

Рассмотрим примеры решения полных квадратных уравнений, т. е. таких уравнений, у которых все три коэффициента отличны от нуля. Начнём с уравнений, в которых первый коэффициент равен единице. Такие уравнения называют приведёнными квадратными уравнениями.

Решим приведённое квадратное уравнение

Представим левую часть уравнения в виде квадрата двучлена. Получим:

Решим еще одно приведенное квадратное уравнение:

Если к разности х 2 — 6х прибавить число 9, то получим выражение, которое можно записать в виде (х — 3) 2 , т. е. в виде квадрата двучлена. Прибавим к левой части число 9, а чтобы равенство не нарушилось, вычтем 9 из левой части.

x – 3 = -4 или х – 3 = 4

Пример3: рассмотрим общий случай – не приведенное квадратное уравнение

Этот метод применим для любых квадратных уравнений, но не всегда удобен в использовании. Чаще всего используется для доказательства формулы корней квадратного уравнения.

c пособ: решение квадратных уравнений по формуле.

Решение квадратных уравнений выделением квадрата двучлена часто приводит к громоздким преобразованиям. Поэтому поступают иначе. Решают упавнение в общем виде и в результате получают формулу корней. Затем эту формулу применяют при решении любого квадратного уравнения.

Решим квадратное уравнение:

Разделив обе его части на а, получим равносильное ему приведённое квадратное уравнение:

Преобразуем это уравнение:

Получившееся уравнение равносильно начальному. Число его корней зависит от знака дроби . Так как а ≠ 0, то 4а 2 — положительное число, поэтому знак этой дроби определяется знаком её числителя, т. е. выражения b 2 — 4ас.

Это выражение называют дискриминантом квадратного уравнения ах 2 +вх+с=0

( «дискриминант» по-латыни — различитель).

Рассмотрим теперь различные возможные случаи в зависимости от D .

Исследовательский проект «Решение квадратных уравнений»

Исследовательский проект на тему «Решение квадратных уравнений». Современные научно-методические исследования показывают, что использование разнообразных методов и способов позволяет значительно повысить эффективность и качество изучения решений квадратных уравнений.

Просмотр содержимого документа
«Исследовательский проект «Решение квадратных уравнений»»

Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение «Школа № 13»

ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ ПРОЕКТ ПО

современные научно-методические исследования показывают, что использование разнообразных методов и способов позволяет значительно повысить эффективность и качество изучения решений квадратных уравнений.

разработать методическое пособие для учащихся, содержащее различные способы решения квадратных уравнений, выделить эффективные способы решения и показать их практическое применение.

Гипотеза: любое квадратное уравнение можно решить всеми существующими способами.

Предмет исследования: способы решения уравнений второй степени .

теоретический, математический, графический.

Впервые я услышала о квадратных уравнениях на уроках алгебры от учителя. Особенно меня заинтересовали способы их решения, причем наиболее рациональные.

Во-вторых , чем знамениты эти уравнения.

В-третьих , почему их решением так долго занимались великие ученые.

В-четвертых , способы решения квадратных уравнений и их практическая значимость.

Определение квадратного уравнения, его виды:

Квадратным уравнением называется уравнение вида ax2 +bx + c = 0,

а,b,с – некоторые числа, причем, а ≠ 0.

Если в квадратном уравнении хотя бы один из коэффициентов b или с равен нулю , то такое уравнение называют

неполным квадратным уравнением.

Неполные квадратные уравнения бывают трёх видов: 1) ах2 + с = 0, где с ≠ 0; 2) ах2 + bх = 0, где b ≠ 0; 3) ах2 = 0.

Квадратные уравнения — это фундамент, на котором покоится величественное здание алгебры. Квадратные уравнения находят широкое применение при решении тригонометрических, показательных, логарифмических, иррациональных, трансцендентных уравнений и неравенств.

• Квадратные уравнения в Древнем Вавилоне;
• Квадратные уравнения в Индии;
• Квадратные уравнения у ал-Хорезми;
• Квадратные уравнения в Европе ХIII- XVIIвв.

Разложение левой части уравнения на множители:

Метод выделения полного квадрата (классический метод).

Для этого запишем выражение х 2 + 6х в следующем виде:

Преобразуем теперь левую часть уравнения

прибавляя к ней и вычитая 4 2 . Имеем:

Таким образом, данное уравнение можно записать так:

Решение квадратных уравнений по формуле с четным коэффициентом.

0 и p = — 3 x 2 + 8 x + 7 = 0; x 1 = — 7 и x 2 = — 1, так как q = 7 0 и p = 8 0 . Теорема Виета. Б) x 2 + 4 x – 5 = 0; x 1 = — 5 и x 2 = 1, так как q = — 5 и p = 4 0; x 2 – 8 x – 9 = 0; x 1 = 9 и x 2 = — 1, так как q = — 9 и p = — 8 » width=»640″

так как q = — 9 и p = — 8

Решение уравнений способом «переброски»

квадратное уравнение ах 2 + b х + с = 0, где, а ≠ 0.

Умножая обе его части на, а, получаем уравнение

Пусть ах = у, откуда х = у/а; тогда приходим к

уравнению у 2 + by + ас = 0, равносильно данному.

Его корни у 1 и у 2 найдем с помощью теоремы Виета.

При этом способе коэффициент, а умножается на

свободный член, как бы «перебрасывается» к нему,

поэтому его называют способом «переброски».

Этот способ применяют, когда можно легко найти

корни уравнения, используя теорему Виета и, что

самое важное, когда дискриминант есть точный

Свойства коэффициентов квадратного уравнения .

1) Если, а+ b + с = 0 (т.е. сумма коэффициентов равна нулю), то х 1 = 1, х 2 = с/а.

2)Если второй коэффициент b = 2 k – четное число, то формулу корней

можно записать в виде

0, два корня 2) D=0 , единственный корень 3) D 0, корней нет. » width=»640″

Решение квадратных уравнений через дискриминант.

Выделение полного квадрата двучлена

Графическое решение квадратного уравнения.

График первой зависимости — парабола, проходящая через начало координат.

График второй зависимости – прямая.

Возможны следующие случаи:

• прямая и парабола могут пересекаться в двух точках, абсциссы точек пересечения являются корнями квадратного уравнения;
• прямая и парабола могут касаться (только одна общая точка), т.е. уравнение имеет одно решение;
• прямая и парабола не имеют общих точек, т.е. квадратное уравнение не имеет корней.

Решим графически уравнение х 2 — 3х — 4 = 0

Построим параболу у = х 2

прямую у = 3х + 4.

Прямая и парабола пересекаются

Решим графически уравнение х 2 — 2х + 1 = 0.

Построим параболу у = х 2

прямую у = 2х — 1.

Прямая и парабола пересекаются

в точке А с абсциссой х = 1.

Решим графически уравнение х 2 — 2х + 5 = 0

Построим параболу у = х 2

прямую у = 2х — 5 .

Прямая и парабола не имеют точек

т.е. данное уравнение

корней не имеет.

Уравнение х 2 — 2х + 5 = 0

корней не имеет.

Решение квадратных уравнений с помощью циркуля и линейки

Решение квадратных уравнений с помощью номограммы.

2)Решим с помощью номограммы уравнение

Разделим коэффициенты этого уравнения на 2, получим уравнение

3) Для уравнения

коэффициенты p и q выходят за пределы шкалы, выполним подстановку z = 5 t , получим уравнение

которое решаем посредством номограммы и получим t 1 = 0,6 и t 2 = 4,4,

Геометрический способ решения квадратных уравнений

В оригинале эта задача формулируется следующим образом : «Квадрат и десять корней равны 39»

Уравнения – язык алгебры, квадратные уравнения – это фундамент, на котором построено величественное здание алгебры. Изученные способы решения квадратных уравнений будут применяться и при дальнейшем изучении математики, при решении уравнений, сводящихся к решению квадратных. В ходе выполнения своей работы я считаю, что с поставленной целью и задачами я справилась, мне удалось обобщить и систематизировать изученный материал по выше указанной теме.

Проанализировав все новые способы решения квадратных уравнений, я увидела, что нельзя однозначно сказать, какой именно метод наиболее удобен или совершенен. Все они хороши, но каждый в своем конкретном случае.

Я пришла к выводу, что все способы надо иметь в своем арсенале и применять их по мере необходимости с точки зрения рациональности решения .

Я составила буклет-памятку, в него вошли те способы решения квадратных уравнений, которые не изучаются в школе.

Нужно отметить, что не все они удобны для решения, но каждый из них уникален. Некоторые способы решения помогают сэкономить время, что немаловажно при решении заданий на ОГЭ и ЕГЭ. Данные буклеты я раздам одноклассникам и ученикам других классов. Они могут воспользоваться собранными в буклет-памятку материалами для изучения и закрепления рациональных способов решения квадратных уравнений. В дальнейшем я планирую провести опрос, насколько интересна информация, предложенная в буклете, и используют ли они данные способы для решения квадратных уравнений, если да, то какой способ они считают наиболее простым и понятным

1. Алимов Ш.А., Ильин В.А. и др. Алгебра, 6-8. Пробный учебник для 6-8 классовой средней школы. — М., Просвещение, 1981.

2. Брадис В.М. Четырехзначные математические таблицы для средней школы.Изд. 57-е. — М., Просвещение, 1990. С. 83.

3. Кружепов А.К., Рубанов А.Т. Задачник по алгебре и элементарным функциям. Учебное пособие для средних специальных учебных заведений. — М., высшая школа, 1969.

4. Окунев А.К. Квадратичные функции, уравнения и неравенства. Пособие для учителя. — М., Просвещение, 1972.

5. Пресман А.А. Решение квадратного уравнения с помощью циркуля и линейки. — М., Квант, № 4/72. С. 34.

6. Соломник В.С., Милов П.И. Сборник вопросов и задач по математике. Изд. — 4-е, дополн. — М., Высшая школа, 1973.

7. Худобин А.И. Сборник задач по алгебре и элементарным функциям. Пособие для учителя. Изд. 2-е. — М., Просвещение, 1970.