Проект по математике 11 класс уравнения

Уравнения и методы их решения
проект по алгебре (10, 11 класс) на тему

Данный проект направлен на углубление «линии уравнений» в школьном курсе , появляется возможность намного полнее удовлетворить свои интересы и запросы в математическом образовании, через практические занятия оценить свой потенциал с точки зрения образовательной перспективы.

Скачать:

Предварительный просмотр:

Подписи к слайдам:

Уравнения и методы их решения Над проектом работали: Маслов Андрей Мулярчук Екатерина Фадеенко Виктор МКОУ СО ш с Красное 2014

Показательные уравнения Опред.: Уравнение вида a х = b , называется показательным

Методы решения: Приведение к одному основанию Разложение левой части уравнения на множители (выносим степень с наименьшим показателем) Замена переменной, приведение к квадратному (подстановка) Деление левой и правой частей уравнения на степень

Приведение к одному основанию: 2 3х · 3 х =576 (2 ³ ) х · 3 х =576 8 х · 3 х =576 24 х =24 ² = > х=2

Разложение левой части уравнения на множители: 3 х+1 — 2 · 3 х-2 =25 3 х-2 (3 ³ -2)=25 3 х-2 · 25=25 |: 25 3 х-2 = 1 3 х-2 = 3 0 = > х-2=0 х=2

Замена переменной, приведение к квадратному: 9 х – 4 · 3 х – 45=0 3 2х – 4 · 3 х -45=0 3 х = t=>t²-4t-45=0 t 1 +t 2 =4 t 1 =9 t 1 +t 2 =45 t 2 =-5 п.к. 3 х =9 3 х =3 ² = > х=2

Деление левой и правой частей уравнения на степень: 3 х = 5 2х 3 х = 25 х |÷3 х 1= 25 х 3 25 º 25 х = >x=0 3 3

Примеры для самопроверки: 1 0,5х-1 9; 7 · 5 х – 5 х +1 = 2 · 5 -3 ; 27 2 х ² + 14 · 2 х +1 – 29=0; 7 х +6 · 3 х +6 =7 3х · 3 3х

Типовые задания ЕГЭ: 1.Решить уравнение: 5 х =125; 2.Решить уравнение: 1 0,1х-1 _ 16; 32 ¯ 3.Указать промежуток, которому принадлежит корень уравнения: 3 х ² +х-12 = 1;

4.Решить уравнение: 3 х+1 — 2 ·3 х-2 =25; 5.Решить уравнение: 3 2х – 4 ·3 х – 45=0; 6.Решить уравнение: 3 2х-1 – 2 2х-1 = 0; 7.Решить уравнение: 3 2х+5 – 2 2х+7 + 3 2х+4 — 2 2х+4 = 0;

8.Найти промежуток, которому принадлежат все решения уравнения: 3 · 16 х + 2 · 81 х =5 · 36 х ; 9.Указать промежуток, которому принадлежит корень уравнения: 5 2х – 4 · 5 х – 5 = 0; 10.Решить уравнение: 3 Sin²x + 3 Cos²x = 4

В4.Найти модуль разности корней: 4 х- √х ² -5 — 12 · 2 х-1-√х ² -5 + 8 = 0; В5.Решить уравнение: 2 3х-1 · 5 3х-1 = 100; В6.Решить уравнение: √ 3 · 2 х − 4 х − 2 = 1−2 х ; В7.Решить уравнение: 32 х+3 · 3 3х+1 · 625 х+2 = 600 х+7 ;

I) Уравнения Cosx=a, a [-1; 1] а ) Cosx=a, а (0; 1) X= а rccosa +2 n , n б )Cosx=a, a (-1;0) X= ( — arccosa) +2 Cosx=0 Cosx=-1 , X= +2 n X= +2 Cosx =1 X =2

Например. Cosx= , X= + 2 X= +2 Cosx=- — , (-1; 0) X= ( -arccos ) +2 k, k X= — ) + 2 k, k X= +2 k, k Z

II) Уравнения sinx=a, a 1; 1] Sinx=a, a (0; 1) X= (-1) n arcsina + n, n Z Sinx=a, a (-1;0) X= (-1) n+1 arcsina+ n, n Z Sinx= 0 X= n, n Z Sinx= 1 X= +2 K, k Z Sinx= -1 X = — + 2 n , n

Например. Sinx= , (0; 1) X= (-1) n arcsin + n Z X= (-1) n + Z Sinx= — , — (-1; 0) X=(-1) n+1 arcsin + Z X=(-1) n+1 + n, n Z

III) Уравнения tgx=a, a tgx=a, a 0 x=arctga + Z tgx= -a , a x= -arctga + n, n Z

Например. tgx = , [0; ) x = arctg x= + Z tgx= — , — (- ; 0) x= -arctg + n, n Z x = — + Z

Методы решения тригонометрических уравнений. 1)Уравнения, сводящиеся к квадратным а ) Sin 2 x + sinx – 2=0 Sinx=t, t [-1;1] t 2 + t -2=0 t 1 =1, t 2 =-2-п.к так -1; 1 ] как -2 ∉ sinx=1, x= + 2

2.разложение левой части на множители Cosx = cos 3 x Cosx-cos3x=0 -2sin2xsin(-x) =0 Sin2x=0 или sinx=0 x= 2x= X = n ,

3.однородное уравнение 1-ой степени asinx + bcosx =0 Решается делением на cosx 0 0 + = 0 sinx + cosx =0 |: cosx atgx+b=0 x=-arctg + tgx+1=0 tgx=-1 + x=-arctg1 n, n Z x=- +

4. однородное уравнение 2- ой степени asin2x+bsinxcosx+ccos 2 x=0 asin 2 x+bsinxcosx+ccos 2 x=0 |:cos 2 x 0 atg 2 x+btgx+c=0 tgx=t, at 2 +bt+c=0 Д = b 2 -4ac t 1,2 = tgx= x 1 =arctg( ) + n x 2 = arctg( ) + n 3sin 2 x-7sinxcosx+2cos 2 x=0|:cos 2 x 0 3tg 2 x-7tgx+2=0 tgx=t, 3t 2 -7t+2=0 Д = b 2 -4ac=25, Д t 1,2 = tgx=2 tgx= x=arctg2+ x=arctg + k, k Z

5. Уравнение вида asinx+bcosx=c asinx+bcosx=c Sinx + cosx= =cos =sin Cos + sin cosx= Sin ( + x) = X= (-1) n arcsin — + z n, n Sinx-cosx=1 = sinx – cosx= Sin( — x )= X — = (-1) n + , n Z X= (-1) n + +

Уравнения для самостоятельной работы! Базовый уровень Sinx= Cosx=- tgx= 1+sin( )=0 Sin 2 x= Sinx+cosx=0 2cos(2x- )= Sin(x- )=0 +1=0 tgx-1=0

Повышенный уровень 2sin 2 x+3sinxcosx-2cos 2 x=0 =0 3sinx+4cosx=10 Sinx-sin2x+sin3x-sin4x=0 Sinx-sin2x+sin3x-sin4x=0 Cosx+cos = Sin3x-sin9x=0 tg(3x+60 0 )= ctg( -1)sin( -1)ctgx=0 4sin cos = — Sinx-cosx=4sinxcos2x

Трудные задания Cos 2 x+cos 2 2x+cos 2 3x+cos 2 4x=2 (cos6x-1)ctg3x=sin3x Cos(x+ )+sin2x=-2 Cos 2 x+ |cosx|sinx=0 Cos 2 x+sin 2 2x+cos 2 3x= (cos2x + 3 sinx-4)=0 =0 cosx+2sinx)=1 — 1=4sinx + ctgxtg =0

Трудные задания cosx — cos 3 x +2 =0 удовлетворяющие условие: | x + | +2cosx=0 =0, удовлетворяющие условию | x | – = -4 + =8

Уравнение с модулем Определение: a a

Методы решений. По определению модуля: |x+1|=3 = и = = => x =-4

метод интервалов: | x +1| + | x -1| + | x +10|=12 1.найдём корни подмодульных выражений: X =-1 x =1 x =-10 2.нанесём корни на числовую ось -10 -1 1

метод интервалов: 3. = = x = посторонний корень = = =

метод интервалов: = = = x = – посторонний корень Ответ: x 1 =-2 x 2 =0

Базовый уровень 1.| x +3|=12 2. x +5=| x | 3. | x -15|=25 x 4.|2 x |=100 5.| x -40|=80 6.| x |=5 7. | x |=3 x +10 8. |3 x -9|=1

Повышенный уровень 1.| — – 5 = 2.| x 2 -5 x +6|= x +1 3.| x -3|+2| x +1|=4 4.|5-2 x |+| x +3|=2-3 x 5. =| x |+2 6. x | x |+7 x +12=0 7. x 2 -5 x — 8. x 2 -|3 x -5|=5| x | 9. | x +5|=|2 x -3- x 2 | 10. 3|2 x 2 +4 x +1|=| x 2 +5 x +1| 11.|2 x — y -3|+| x +5 y -7|=0

При решение логарифмических уравнений применяют, такие преобразования, которые не приводят к потери корней, но могут привести к приобретению посторонних корней. Поэтому проверка каждого из полученных корней путем подстановок и их в исходное уравнение обязательно, если нет уверенности в равносильности уравнений. Проверку найденных корней можно заменить нахождением области определения уравнений. Тогда корнями уравнения, будут те числа, которые принадлежат этой области.

логарифмических Методы решения уравнений.

1)Решение логарифмических уравнений на основании определения логарифма . (2 x +1)=2 2 x +1 = 2 x +1=9 X =4 ( 2×4+1)= Проверка 9=2 Ответ:х=4

2)Метод приведения логарифмических уравнений к квадратному. ( +1)=2 ОДЗ: = = X По определению логарифма ( x +1 =2 +1 +2x+1= +1 -2x=0 =0 =2 Ответ: х=2

3) Метод потенцирования ) ОДЗ = = = 0 Применяя метод потенцирования, получили Х=6- +х-6=0 =2, =-3 –п.к Ответ:х=2

4)Метод приведения логарифмов к одному основанию. Используя формулу =2 n f ( x ) Где а ,а 1, n z . =2 n | |, где a , a . ОДЗ: -5 0 +5x-6=0 + =-5 =-6

5)Метод логарифмирования ОДЗ: = = x = = 1+ , 2 1+ 2 X =3 ОДЗ

Решить уравнение показательные по образцу. -6 =4 ОДЗ: = = Ответ: Х =1 )= ОДЗ: р.м.п У= У=0= Д=4+24=28 = х 1- ; ;

=6+2х- = Ответ:х=-1,х=2 1) =0 2) 3)

Решить логарифмические уравнения, упростив правую часть. 1) 2) 3) 4)

Решить уравнение по образцу 2 Х=0 ∉ ОДЗ , х= Ответ: х=

Решите уравнения, приведя к логарифмам с одинаковыми основаниями. lg (x+2) + 3 +26)=0 3 ) +log 3 (-x-1)=0 2 +x-5)+ =log 3 -log 4 =-9

Решить уравнения X log 3 x-3= 0,1×1+lgx=1 Xlog4x=23(log4x+3)=0 log3x-log3(x+8)=-log3(x+3) log2(x+1)+log2(x+2)=1 2log4(4-x)=4-log2(-2-x) log2(x+1)=1+2log2x lg(x+ )-lg(x- )= lg(x+6)- lgx log 2 -1=log 2 5x 2 -8x+5 =0 Log2 (24-x-2x+7)=3-x 2log 2 (1- )=3log 2 (2+ )+12 4log 7 ( ( ) 0,75 ) = X 2log 2 x +3 -6=0 -4+log2(5-log0,2125)x2-x=0 Log 2 2 Log2(log5x)=1 2 +7=0 Lg2(x+1)=lg(x+1)lg(x-1)+2lg2(x-1) 3log2x2-log22(-x)=5 log x log 2 5 x=-1 log 3 |x+8|+ log 3 x 4 =2

Решить уравнение Log3x+7(9+12x+4×2)+log2x+3(6×2+23x+21)=4 log(100x 3 )lg =8 log 6 (x+5)+ log6x 2 =1 = Log 3 (x+2)(5x)-log 3 Log4log2x+log2log4x=2 -log 7 7= 4 -log 2 4=log 7 7x lg +lg log23x+ log2x3+3log3x+3logx3=2 2log3xlog2x+2log3x-log2x-1=0

Метод монотонности функций. Теорема 1 . Если одна из функций возрастает, а другая убывает на промежутке, то уравнение f ( x )= g ( x ) имеет не более одного корня. Теорема 2 . Если одна функция возрастает (убывает), а вторая принимает постоянные значения на некотором промежутке, то уравнение имеет не более одного корня.

Алгоритм решения уравнения методом использования монотонности. 1.Иследовать на монотонность функции f ( x ) и g ( x ) в О.О.У 2.Если выполняются условия теоремы f ( x ) и g ( x ) и удается подобрать удовлетворяющие уравнению f ( x )= g ( x ), то -единственный корень этого уравнения , ( )-функция возрастает т.к возрастает и возрастает и в правой части уравнения постоянная функция, то уравнения имеет один корень. 9+16=25 25=25

, возрастает функция и -возрастающая и ( )-возрастающая функция ,в правой части постоянная функция. Х=1, 6- 4 Х=2, 36-16 Х=3 , 216-64=152

Х=1 , + Х=4, — -функция убывает, а -возрастает, теорему не применять Ф.М.У а= У=х-4,а=1 прямая направлена Применяем теорему: уравнений имеет один корень Х=3 , -1=-1, Х =3

Уравнение с завуалированным обратным числом. ( ) x +( ) x =8 (4+ )=16-16=1= 4+ =t t ( ) =1= 4- = t+ =8| t t2-8t+1=0 д =b2-4ac=64-4=60 t 1,2 = = =4 ( ) x =(4+ ) ( ) x =(4- ) =1 = -1 X =2 x = -2

Например! ( ) x + ( ) x =6 ( ) x + ( ) x =10

Используемая литература С.М.Никольский- алгебра 10-11класс Ш.А .Алимов и др- алгебра 10-11класс Справочник по математике 5-11 класс Т.С. Кармакова -элективный курс «Методы решения нестандартных уравнений»

По теме: методические разработки, презентации и конспекты

Диофантовы уравнения и методы их решения.

Данная работа посвящена одному из наиболее интересных разделов теории чисел — решение диофантовых уравнений(ДУ). Целью настоящей работы является углубление и систематизация знаний, полученных по теме.

программа курса по математике «Уравнения. Виды уравнений и методы их решения» 8 класс

Программа курса «Уравнения. Виды уравнений и методы их решения» направлена на углубление и систематизацию знаний учащихся по указанной теме. Уравнение – одно из ва.

План – конспект урока в 11 классе «Обобщение и систематизация знаний учащихся по изучению уравнений, неравенств, методов их решения».

Предлагаю учителям, работающим в 11-х классах конспект урока, который я разработала сама. Работа на уроке проводится в группах, на которые делится класс перед уроком. В каждой .

Логарифмические уравнения и методы их решения

Урок закрепления изученного материала.

презентация урока алгебра 8 класс » Квадратные уравнения и методы их решения»

презентация урока алгебра 8 класс » Квадратные уравнения и методы их решения»автор преподаватель школы № 1 г. Кувасая Борисевич Павел Георгиевич.

Презентация «Простейшие уравнения и методы их решения»

Материал для подготовки к ЕГЭ по математике ( базовый и 1 часть профильного экзамена).

Презентация «Иррациональные уравнения и методы их решения»

Презентация показывает основные методы решения иррациональных уравнений на примерах.

Проект по математике «Способы решения уравнений различных видов»

Умение учащихся самостоятельно добывать знания и совершенствовать очень важно, потому что современному обществу, производству нужны работники и руководители, способные быстро и правильно решать постоянно возникающие конкретные задачи, вести диалог с коллегами и партнерами, самостоятельно принимать решения. Поэтому на уроках используются технологии, отвечающие современным требованиям. Одной из таких технологий является “технология проектов”. Суть и идея ее заключается в организации самостоятельной, поисковой, творческой деятельности учащихся.

В основу «технологии проектов» положена идея о направленности учебно-познавательной деятельности школьников на результат, который получается при решении той или иной практической или теоретической значимой проблемы. Внешний результат можно увидеть, осмыслить, применить в реальной практической деятельности. Внутренний результат – опыт деятельности – становится достоянием учащегося, соединяя в себе знания и умения, компетенции и ценности.

Просмотр содержимого документа
«Проект по математике «Способы решения уравнений различных видов»»

Проект по математике

«Способы решения уравнений различных видов»

Подготовили учащиеся 8 класса

Учитель математики — Некрасова Тамара Ивановна

«Уравнение представляет собой наиболее серьёзную и важную вещь в математике».

«Посредством уравнений, теорем
Он уйму всяких разрешал проблем:
И засуху предсказывал, и ливни.
Поистине его познанья дивны»

Тема проекта «Способы решения уравнений различных видов»

Тип проекта: групповой, краткосрочный, творческо-исследовательский

Участники проекта: ученики 8 класса.

Сроки реализации проекта: три недели.

Результат: защита проектов, создание презентации, а затем оказание помощи одноклассникам, испытывающим затруднения по данному учебному материалу.

Целью работы является комплектовать все виды уравнений по видам и разобрать основные способы решения данных уравнений.

Задания для групп (в каждой группе 2 человека)

Зачем нужно уметь решать уравнения?

Какими методами решаются уравнения?

1. Обсуждение и утверждение плана работы. Распределение учащихся на группы, выбор каждой группой вопросов-заданий и форм (проектных продуктов) представления результатов работы (первая неделя).

2. Изучение и анализ источников и литературы.(вторая неделя)

3. Оформление результатов работы над проектом.(вторая неделя)

4. Представление проектных продуктов.(третья неделя)

Работа над проектом

Подбор исторических сведений об уравнениях (1 учащийся)

Задание для группы 1.

Собрать информацию по теме «Линейные уравнения, методы их решения» (источники: материалы учебников алгебры 7-8, справочники, Интернет).

Подобрать 10 – 15 уравнений по данной теме (вместе с решением).

Оформить отчёт о проделанной работе: теория + практические задания («бумажный» вариант).

Подготовиться к защите проекта.

Задание для группы 2.

Собрать информации по теме «Квадратные уравнения и уравнения, приводимые к квадратным, методы их решения» (источники: материалы учебников алгебры 7-8, справочники, Интернет).

Подобрать 10 – 15 уравнений по данной теме (вместе с решением).

Оформить отчёт о проделанной работе: теория + практические задания («бумажный» вариант).

Подготовиться к защите проекта.

Задание для группы 3.

Собрать информации по теме «Дробно-рациональные уравнения, методы их решения» (источники: материалы учебников алгебры 7-8, справочники, Интернет).

Подобрать10 – 15 уравнений по данной теме (вместе с решением).

Оформить отчёт о проделанной работе: теория + практические задания («бумажный» вариант).

Подготовиться к защите проекта.

Создание презентации (коллективная работа)

В те далекие времена, когда мудрецы впервые стали задумываться о равенствах содержащих неизвестные величины, наверное, еще не было нимонет, ни кошельков. Но зато были кучи, а также горшки, корзины, которыепрекрасно подходили на роль тайников-хранилищ, вмещающих неизвестное количество предметов. «Ищется куча, которая вместе с двумя третями ее, половиной и одной седьмой составляет 37. «, — поучал во II тысячелетии до новой эры египетский писец Ахмес. В древних математических задачах Междуречья, Индии, Китая, Греции неизвестные величины выражали число

павлинов в саду, количество быков в стаде, совокупность вещей, учитываемых при разделе имущества. Хорошо обученные науке счета писцы, чиновники и посвященные в тайные знания жрецы довольно успешно справлялись с такими задачами.

Дошедшие до нас источники свидетельствуют, что древние ученые владели какими-то общими приемами решения задач с неизвестными величинами. Однако ни в одном папирусе, ни в одной глиняной табличке не дано описания этих приемов. Авторы лишь изредка снабжали свои числовые выкладки скупыми комментариями типа: «Смотри!», «Делай так!», «Ты правильно нашел». В этом смысле исключением является «Арифметика»

греческого математика Диофанта Александрийского (III в.) – собрание задач на составление уравнений с систематическим изложением их решений.

Однако первым руководством по решению задач, получившим широкую известность, стал труд багдадского ученого IX в. Мухаммеда бен Мусы аль-Хорезми. Слово «аль-джебр» из арабского названия этого трактата – «Китаб аль-джебер валь-мукабала» («Книга о восстановлении и противопоставлении») – со временем превратилось в хорошо знакомое всем слово «алгебра», а само сочинение аль-Хорезми послужило отправной точкой в становлении науки о решении уравнений.

1) Сейчас мы с вами рассмотрим решения линейных уравнений.

Вспомним, что уравнение вида ax+b=0 называется линейным уравнением или

уравнением первой степени так как при переменной «х» старшая степень

находится в первой степени.

Решение линейного уравнения очень простое:

Пример 1 Решите уравнение 3x+3=5x

Линейное уравнение решается методом переноса членов содержащих

неизвестные в левую часть от знака равенства, свободные коэффициенты в

правую часть от знака равенства:

Значение переменной, обращающее уравнение в верное равенство

называется корнем уравнения.

Выполнив проверку получим:

Значит 1,5 – корень уравнения.

Решения уравнений методом переноса слагаемых из одной части

уравнения в другую, при этом знак слагаемых меняется на противоположный

и применяют свойства уравнений – обе части уравнения можно умножить

(разделить) на одно и то же отличное от нуля число или выражение, можно

рассмотреть при решении следующих уравнений.

Пример 2 Решите уравнения:

а) 6x+1=− 4x; б) 8+7x=9x+4; в) 4(x−8)=− 5

а) Методом переноса решаем

б) Аналогично предыдущему примеру решаем методом переноса:

в) В данном уравнении необходимо раскрыть скобки, применяя

распределительное свойство умножения относительно операции сложения.

Презентация по математике для 11 класса «Решение уравнений». Подготовка к ЕГЭ

Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

Выберите документ из архива для просмотра:

Выбранный для просмотра документ Подготовка к ЕГЭ В5.pptx

Описание презентации по отдельным слайдам:

Подготовка к ЕГЭ по математике Решение заданий В5 Город Краснодар МБОУ О(С)ОШ № 3 Учитель математики высшей категории Шафорост О.А.

Умения по КТ Решать рациональные, иррациональные, показательные, тригонометрические и логарифмические уравнения, их системы

Целые рациональные уравнения линейное уравнение: . —

Целые рациональные уравнения

Целые рациональные уравнения квадратное уравнение Если уравнение имеет более одного корня- указать наименьший

Целые рациональные уравнения

Дробно-рациональные уравнения х2-2x=6x-15 х2-8x+15=0 x=5, x=3 Нам нужен наибольший корень Ответ:5 Решим уравнение как ОДЗ пропорцию х≠2

Дробно-рациональные уравнения Найдите корень уравнения . Если уравнение имеет более одного корня, в ответе запишите больший из корней.

Иррациональные уравнения Если уравнение имеет более одного корня, указать меньший.

Уравнение 3 степени

Логарифмические уравнения log2(2x — 1) = 3.

Тригонометрические уравнения Решить уравнение и указать наибольшее отрицательное решение sin3x=1/2 в градусах.

Самостоятельная работа 1 вариант 2 вариант

1 вариант 2 вариант

Краткое описание документа:

Презентация предназначена для обобщения и систематизации знаний по теме «Решение уравнений» в 11 классе при подготовке к ЕГЭ.

В презентации рассмотрены все типы уравнений » задания В5 из банка данных с подробным описанием методов решения.

Данный материал можно использовать для проведения урока повторения и для самостоятельной работы учащихся в процессе подготовки к экзамену.

В конце представлены два варианта заданий для проверки уровня усвоения материала и ответы для проверки правильности решения.

Курс повышения квалификации

Дистанционное обучение как современный формат преподавания

• Сейчас обучается 932 человека из 80 регионов

Курс профессиональной переподготовки

Математика: теория и методика преподавания в образовательной организации

• Сейчас обучается 682 человека из 75 регионов

Курс повышения квалификации

Методика обучения математике в основной и средней школе в условиях реализации ФГОС ОО

• Сейчас обучается 308 человек из 69 регионов

Ищем педагогов в команду «Инфоурок»

Дистанционные курсы для педагогов

Самые массовые международные дистанционные

Школьные Инфоконкурсы 2022

33 конкурса для учеников 1–11 классов и дошкольников от проекта «Инфоурок»

Найдите материал к любому уроку, указав свой предмет (категорию), класс, учебник и тему:

5 573 513 материалов в базе

Другие материалы

• 16.10.2013
• 2781
• 15

• 16.10.2013
• 9579
• 469

• 15.10.2013
• 2844
• 0

• 15.10.2013
• 1927
• 3

• 15.10.2013
• 1095
• 1

• 14.10.2013
• 19731
• 122

• 14.10.2013
• 1448
• 0

Вам будут интересны эти курсы:

Оставьте свой комментарий

Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.

Добавить в избранное

• 17.10.2013 6619
• RAR 1.3 мбайт
• 209 скачиваний
• Рейтинг: 3 из 5
• Оцените материал:

Настоящий материал опубликован пользователем Шафорост Ольга Александровна. Инфоурок является информационным посредником и предоставляет пользователям возможность размещать на сайте методические материалы. Всю ответственность за опубликованные материалы, содержащиеся в них сведения, а также за соблюдение авторских прав несут пользователи, загрузившие материал на сайт

Если Вы считаете, что материал нарушает авторские права либо по каким-то другим причинам должен быть удален с сайта, Вы можете оставить жалобу на материал.

Автор материала

• На сайте: 7 лет и 3 месяца
• Подписчики: 1
• Всего просмотров: 14801
• Всего материалов: 6

Московский институт профессиональной
переподготовки и повышения
квалификации педагогов

Дистанционные курсы
для педагогов

663 курса от 690 рублей

Выбрать курс со скидкой

Выдаём документы
установленного образца!

Учителя о ЕГЭ: секреты успешной подготовки

Время чтения: 11 минут

Количество бюджетных мест в вузах по IT-программам вырастет до 160 тыс.

Время чтения: 2 минуты

Полный перевод школ на дистанционное обучение не планируется

Время чтения: 1 минута

Инфоурок стал резидентом Сколково

Время чтения: 2 минуты

Тринадцатилетняя школьница из Индии разработала приложение против буллинга

Время чтения: 1 минута

В Забайкалье в 2022 году обеспечат интернетом 83 школы

Время чтения: 1 минута

В Воронеже продлили удаленное обучение для учеников 5-11-х классов

Время чтения: 1 минута

Подарочные сертификаты

Ответственность за разрешение любых спорных моментов, касающихся самих материалов и их содержания, берут на себя пользователи, разместившие материал на сайте. Однако администрация сайта готова оказать всяческую поддержку в решении любых вопросов, связанных с работой и содержанием сайта. Если Вы заметили, что на данном сайте незаконно используются материалы, сообщите об этом администрации сайта через форму обратной связи.

Все материалы, размещенные на сайте, созданы авторами сайта либо размещены пользователями сайта и представлены на сайте исключительно для ознакомления. Авторские права на материалы принадлежат их законным авторам. Частичное или полное копирование материалов сайта без письменного разрешения администрации сайта запрещено! Мнение администрации может не совпадать с точкой зрения авторов.