Проект по решению уравнений с параметром

Творческий проект » Задачи с параметрами».

Мы не случайно захотели рассмотреть данную тему. В последние годы на ГИА предлагались так называемые задачи с параметрами — уравнения, неравенства или системы уравнений, содержащие параметры . При решении задач с параметрами приходится все время производить несложные, но последовательные рассуждения, составлять для себя логическую схему решаемой задачи . Основная трудность их решения состоит в том, чтоб внимательно следить за возникающим ветвлением и аккуратно учитывать все возможности. Такие задачи — незаменимое средство для тренировки логического мышления, их решение позволяет намного лучше понять обычные, без параметров , задачи .

С учётом этого был разработан проект «Задачи с параметрами». Изучили теоретический материал по теме, обработали и систематизировали. В связи с этим вытекает следующая цель и задачи: .

Цель работы: Сформировать умения и навыки решения задач с параметрами для подготовки к ГИА.

1. Изучить алгоритм решения некоторых задач с параметрами. 2. Научиться выбирать способ решения задач с параметрами. 3.Развивать свои навыки исследовательской и познавательной деятельности.

Данный вопрос изучен всесторонне, но каждый заново открывает для себя искусство решения задач с параметрами .
Исследование поможет учителям и учащимся 7- 9х классов в подготовке к ГИА.
Главной особенностью работы является ориентированность её на возможность самостоятельного овладения учащимися содержанием.

Скачать:

Предварительный просмотр:

«Задачи с параметрами»

Автор работы: Куликова Олеся

Место выполнения работы:

МОУ СОШ №12, 10 класс

Руководитель: Полянская Нина Николаевна

учитель математики МОУ СОШ № 12

г.Новоалександровск, 2014 г

II. Основная часть………………………………………………………………………………4
1. Знакомство с параметром …………………………………………………………………4
2. Что значит решить задачу с параметрами . 5 3. Основные типы задач с параметрами……………………………………………………….5 4. Алгоритмы решения задач с параметрами………………………………………………….6

1. Решение линейных уравнений………………………………………………………6
2. Решений линейных неравенств………………………………………………. ……6
3. Решение систем линейных уравнений с параметрами…… ………………………7
4. Решение квадратных уравнений……………………………………………………..7
5. Решение квадратных неравенств…………………………………………………….8

5. Решение заданий с параметрами по текстам ГИА………………………………………….8

Приложение 1. Алгоритм решения уравнения с параметром первой степени.

Приложение 2. Алгоритм решения неравенства к(х) > b(a).

Приложение 3. Алгоритм решения квадратного уравнения с параметром А(а)х + В(а)х + С(а) =0 .

Приложение 4. Алгоритм решения квадратных неравенств А(а)х 2 + В(а)х + С(а)  0.

В последние годы на ГИА предлагались так называемые задачи с параметрами — уравнения, неравенства или системы уравнений, содержащие параметры . При решении задач с параметрами приходится все время производить несложные, но последовательные рассуждения, составлять для себя логическую схему решаемой задачи . Основная трудность их решения состоит в том, чтоб внимательно следить за возникающим ветвлением и аккуратно учитывать все возможности. Поэтому такие задачи — незаменимое средство для тренировки логического мышления, их решение позволяет намного лучше понять обычные, без параметров , задачи .

Данный вопрос изучен всесторонне, но каждый заново открывает для себя искусство решения задач с параметрами .
Исследование поможет учителям и учащимся 7- 9х классов в подготовке к ГИА.
Главной особенностью работы является ориентированность её на возможность самостоятельного овладения учащимися содержанием.

В работе задачи сформированы по основным темам алгебры 7-9 классов:

— решение линейных уравнений; — решение линейных неравенств; — решение квадратных уравнений; — решение квадратных неравенств; — решение системы уравнений, неравенств.

В каждой теме в начале дан алгоритм решения и представлено решение некоторых задач. Работа поможет учащимся привить интерес к решению задач с параметрами в процессе самоподготовки.
В связи с этим вытекает следующая цель и задачи: .

Цель работы : Сформировать умения и навыки решения задач с параметрами для подготовки к ГИА.

1. Изучить алгоритм решения некоторых задач с параметрами. 2. Научиться выбирать способ решения задач с параметрами. 3.Развивать свои навыки исследовательской и познавательной деятельности.

1. Знакомство с параметром

Если в уравнении некоторые коэффициенты заданы не конкретными числовыми значениями, а обозначены буквами, то они называются параметрами, а уравнение параметрическим.

Поскольку в школьных учебниках нет определения параметра, мы предлагаем взять за основу следующий его простейший вариант.

Определение. Параметром называется независимая переменная, значение которой в задаче считается заданным фиксированным или произвольным действительным числом, или числом, принадлежащим заранее оговоренному множеству.

В качестве примера рассмотрим уравнение: в(в – 1)х=в +в+2

в этом уравнении х обозначено неизвестное число, а буква в выполняет роль известного фиксированного числа. Это уравнение является линейным уравнением с параметром в .

Придавая в различные значения, мы будем получать различные уравнения с числовыми коэффициентами. При различных в получаем различные уравнения из данного семейства уравнений, определяемых параметром в .

в =2 2х=4 имеет единственный корень
в = – 0,5 0,75х = – 2,25 также имеет единственный корень
в = 1 0х = 0 множество корней

в = 0 0х = – 2 корней нет

Итак, решая уравнение в(в – 1)х=в +в+2 , мы должны рассмотреть случаи:

3) когда В результате получаем следующие возможные решения:

При уравнение имеет единственный корень

При уравнение корней не имеет

При в=1 уравнение имеет бесконечное множество корней

2. Что значит решить задачу с параметрами ?

Решить уравнение с параметрами означает

1. Определить, при каких значениях параметров существуют решения. 2. Для каждой допустимой системы значений параметров найти соответствующее множество решений.

3. Основные типы задач с параметрами.

Тип 1. Уравнения, неравенства, их системы и совокупности, которые необходимо решить либо для любого значения параметра (параметров), либо для значений параметра, принадлежащих заранее оговоренному множеству. Этот тип задач является базовым при овладении темой «Задачи с параметрами», поскольку вложенный труд предопределяет успех и при решении задач всех других основных типов.

Тип 2. Уравнения, неравенства, их системы и совокупности, для которых требуется определить количество решений в зависимости от значения параметра (параметров). При решении задач данного типа нет необходимости ни решать заданные уравнения, неравенства, их системы и совокупности и т. д., ни приводить эти решения; такая лишняя в большинстве случаев работа является тактической ошибкой, приводящей к неоправданным затратам времени.

Тип 3. Уравнения, неравенства, их системы и совокупности, для которых требуется найти все те значения параметра, при которых указанные уравнения, неравенства, их системы и совокупности имеют заданное число решений (в частности, не имеют или имеют бесконечное множество решений).

Тип 4. Уравнения, неравенства, их системы и совокупности, для которых при искомых значениях параметра множество решений удовлетворяет заданным условиям в области определения. Например, найти значения параметра, при которых: 1) уравнение выполняется для любого значения переменной из заданного промежутка;
2) множество решений первого уравнения является подмножеством множества решений второго уравнения и т. д.

4. Алгоритмы решения задач с параметрами.

4.1. Решение линейных уравнений с параметрами

Определение. Уравнение вида аx=b , где х – переменная , а и b — некоторые числа, называется линейным уравнением с одной переменной .

Алгоритм решения уравнения с параметром первой степени. (Приложение 1)

Задание №1. Решите уравнение ax =1.

Решение: если а = 0 , то нет решения ; если а  0 , то х = Ответ: если а  0 , то х = ; если а = 0 , то нет решения.

Задание №2. Для каждого значения параметра а найдите количество корней уравнения ах=8. Рассмотрим уравнение: а =

у = а — семейство горизонтальных прямых;

у= — графиком является гипербола.

Ответ: Если а = о, то уравнение решений не имеет. Если а ≠ о, то одно решение.

Задание №3 . При каких значениях а, уравнение не имеет решений?

Решение : х  -2 , дробь равна нулю, когда х =а , значит уравнение не имеет решение если а = -2.

Ответ: при а = -2 нет решений

4.2.Решение линейных неравенств с параметром

Алгоритм решения неравенства к(х) > b(a) (Приложение 2)

Задание №4 .Решите неравенство: ( а -4) х + а -5>0.

Решение: ( а -4) х >5- a . если а >4,то х > если а х

если то х – любое из R . если , то нет решений .

Задание №5 . Для каждого значения параметра а найдете решение неравенства ax +1 >0.

Решение: если а =0,то 0 х +1>0, 0 x >-1 при любом х .

если а >0, то х >- если a х

Ответ: при а =0 , х любое ; при а >0, х >- ; при a х

4.3.Решение систем линейных уравнений с параметрами

Системой двух уравнений первой степени с двумя неизвестными х и у называется система вида

Решение данной системы — это пары чисел ( х; у ), являющиеся решениями одновременно и первого, и второго уравнения .

Если , то система имеет единственное решение. Если , то система не имеет решений. Если , то система имеет бесконечно много решений.

Задание №6 . При каких значениях параметра а система а) имеет бесконечное множество решений; б) имеет единственное решение?

Решение: а) , а =4; б) , а  4 .

Ответ: а) если а =4, то система имеет множество решений; б) если а  4 , то одно решение.

4.4.Решение квадратных уравнений с параметрами

Уравнение вида ах 2 + bx + c =0, где х – переменная, а  0 называется квадратным. Корни квадратных уравнений х 1 ; х 2 причем х 1  х 2 . Дискриминант квадратного уравнения D = b 2 –4 ac Теорема Виета: х 1 + х 2 = — , х 1 х 2 = .

Алгоритм решения квадратного уравнения с параметром А(а) х +В (а) х +С(а) =0 (Приложение 3).

Задание №7 . .Найти все значения параметра а, при которых уравнение

x 2 –2( а -2) х + а 2 –2 a -3=0 имеет два различных положительных корня.

Решение: D > 0, 4( а -2) 2 –4( а 2 -2 а -3)>0, а

По теореме Виета условием положительности корней будет a >3

4.5.Решение квадратных неравенств параметрами

Алгоритм решения квадратных неравенств А(а)х 2 + В(а)х + С(а)  0 (Приложение 4)

Задание №8 . . При каких значениях параметра а неравенство ( а +6) х 2 -( а +3) x +1

Решение: если нет решений

если нет решений

5. Решение заданий с параметрами по текстам ГИА.

Задание № 9 . Найдите значения р , при которых парабола у=-2х 2 +рх-50 касается оси х . Для каждого значения р определите координаты точки касания.

Решение: Парабола у=-2х 2 +рх-50 касается оси х значит квадратный трехчлен -2х 2 +рх-50 имеет единственный корень. Следовательно дискриминант этого квадратного трехчлена равен 0: D=p 2 -400, p 2 -400=0, p= ±20.

При p= -20, у=-2х 2 -20х-50, у=-2(х+5) 2 , х=-5 – абсцисса точки касания параболы с осью х , (-5;0) – координаты точки касания.

При p= 20, у=-2х 2 +20х-50, у=-2(х-5) 2 , х=5 – абсцисса точки касания параболы с осью х , (5;0) – координаты точки касания.

Ответ: при p= -20, координаты точки касания – (-5;0); при p= 20 — (5;0).

Задание № 10 . Найдите все отрицательные значения параметра а , при которых неравенство ах 2 + (а-6) х + а ≥ 0 не имеет решений.

Решение: Неравенство ах 2 + (а-6) х + а ≥ 0 не имеет решений при отрицательных а, если дискриминант уравнения ах 2 + (а-6) х + а ≥ 0 меньше нуля, т.е. D = (а-6) 2 -4а∙а Получаем:

Решая методом интервалов получим а

Задание № 11. Найдите все значения k, при которых прямая y=kx пересекает ровно в двух различных точках график функции, заданной условиями:

Решение: Построим график данной функции
у=

Прямая у= kx пересекает график функции в двух различных точках, если:

1. Угловой коэффициент прямой больше углового коэффициента прямой у=0 и меньше либо равен угловому коэффициенту прямой, проходящей через точку с координатами (-2;-1);
2. Угловой коэффициент прямой больше либо равен угловому коэффициенту прямой, параллельной прямой у=х-2 и меньше углового коэффициента прямой, параллельной прямой у=3х+5.

1. Найдем угловой коэффициент прямой, проходящей через точку с координатами (-2;-1): -1= -2k; k = 0,5.

Угловой коэффициент прямой у=0 равен 0. Получаем: 0

1. Угловой коэффициент прямой, параллельной прямой у = х-2, равен 1, а прямой, параллельной прямой у=3х+5, равен 3. Получаем: 1 ≤ k

Ответ: ( 0; 0,5 ] U [ 1; 3).

Итак, в ходе данного исследования я узнала, что такое параметры, параметрические уравнения и неравенства, что значит решить задачу с параметрами, мною изучен алгоритм решения наиболее распространенных задач с параметрами. Познакомилась с четырьмя основными типами задач с параметрами. Определены сложности, возникающие при решении этих задач. Причем самым трудным в их решении является выбор способа решения и отслеживание возникающих ветвлений.

Проделанная работа по созданию проекта не только обогатила меня новыми знаниями и умениями, требовала самостоятельности, способствовала развитию логического мышления, но и помогла при подготовке к ГИА.

1. Горбачев В.И. Общие методы решения уравнений и неравенств с параметрами. М., Математика в школе №6/99 с.60-68

2. Звавич Л.И. и др. Алгебра и начала анализа. 3600 задач для школьников и поступающих в вузы.- М.: Дрофа. 1999 г. – 382 с.

3. Кожухов С.К. Об одном классе параметрических задач. – М., Математика в школе, №3/96 с.45-49

4. Кожухов С.К Различные способы решений задач с параметрами. – М., Математика в школе, №6/98 с.9-12

5. Крамар В.С. Примеры с параметрами и их решения. Пособие для поступающих в вузы. – М.:АРКТИ 200 – 48 с.

6. Мещерякова Г.П. Задачи с параметром, сводящиеся к квадратным уравнениям. М., Математика в школе, №5/2001 с.60-62

7. Ястребинецкий Г.А. Уравнения и неравенства, содержащие параметры. М.: Просвещение, 1972г.

Рецензируемая работа посвящена актуальной проблеме – решению задач с параметрами для подготовки к государственной итоговой аттестации. Задачи с параметрами традиционно представляют для учащихся сложность в логическом, техническом и психологическом плане. Однако именно решение таких задач открывает перед учащимися большое число эвристических приемов общего характера, применяемых в исследованиях на любом математическом материале. Автор работы понимает, что д анный вопрос в математике изучен всесторонне, но ученица заново открывает для себя искусство решения задач с параметрами.

Основная часть рецензируемой работы представляет собой изучение теоретических сведений о задачах с параметрами.

В работе задачи сформированы по основным темам алгебры 7-9 классов:

— решение линейных уравнений;

— решение линейных неравенств;

— решение квадратных уравнений;

— решение квадратных неравенств;

— решение системы уравнений, неравенств.

В каждой теме в начале дан алгоритм решения и представлено решение некоторых задач. Работа написана живо и хорошим математическим языком. Автором и зучен алгоритм решения некоторых задач с параметрами. Она научилась выбирать способ решения задач с параметрами. Автор работы проявила личную заинтересованность и самостоятельность в проделанной работе, научилась отдельным приёмам исследовательской работы. В конце работы приведён довольно большой список использованной литературы.

Работа представляет практический интерес, поскольку может быть использована как пособие для элективных курсов и факультативных занятий. Главной методической особенностью работы является ориентированность её на возможность самостоятельного овладения учащимися содержанием.

Рецензировала учитель математики Полянская Н.Н

Творческие проекты и работы учащихся

В процессе работы над индивидуальным проектом по математике «Решение уравнений с параметром» учеником 11 класса школы была поставлена и реализована цель, изучить различные способы решения задач с параметрами, решить ряд аналогичных заданий, чтобы подготовиться к решению примеров с параметрами на ЕГЭ.

Подробнее о проекте:

В готовом творческом и исследовательском проекте по математике «Решение уравнений с параметром» автор анализирует задания с параметром из ЕГЭ прошлых лет, систематизирует все задания по видам, показывает способы решения в общем виде, подбирает по несколько подобных примеров на каждый вид для самостоятельного решения. К концу учебного года 19/20 автор планирует создать методичку для подготовки к решению заданий с параметром из ЕГЭ.

Оглавление

Введение
1. Методы решения заданий с параметром.
1.1. Аналитический метод.
1.2. Графический метод.
1.3. Метод решения относительно параметра.
2. Виды уравнений с параметром.
3. Решение уравнений с параметром.
4. Задания для самостоятельного решения.
Заключение
Литература

Введение

На ЕГЭ встречаются два типа задач с параметрами. Первый «для каждого значения параметра найти все решения некоторого уравнения или неравенства». Второй «найти все значения параметра, при каждом из которых решения уравнения или неравенства удовлетворяют заданным условиям».

И ответы в задачах этих двух типов различаются по существу. В задачах первого типа ответ выглядит так: перечисляются все возможные значения параметра и для каждого из этих значений записываются решения уравнения. В ответах второго типа задач с параметром перечисляются все значения параметра, при которых выполнены условия задачи.

Противоречие: многие ученики не приступают к решению задания с параметром на ЕГЭ, даже несмотря на то, что оно высоко оценивается.

Проблема: как подготовиться к решению заданий с параметрами из ЕГЭ

Цель проекта: изучение различных способов решения задач с параметрами.

Задачи:

• Проанализировать задания с параметром из ЕГЭ прошлых лет
• Систематизировать все задания по видам
• Показать способы решения в общем виде
• Подобрать по несколько подобных примеров на каждый вид для самостоятельного решения
• к концу учебного года 19/20 создать методичку для подготовки к решению заданий с параметром из ЕГЭ

Данная методическая разработка «Решение уравнений с параметрами» предназначена для учащихся 11-х классов, желающих углубить и расширить свои знания по математике. Для тех, кто готовится к поступлению в высшие учебные заведения.

Актуальность проекта обусловлена тем, что многим ученикам будет гораздо легче подготовиться к ЕГЭ, используя эту разработку.

По данным только около 10% выпускников приступают к решению таких задач, и процент верного решения всего 2–3%, поэтому приобретение навыков решения трудных, нестандартных заданий, в том числе задач с параметрами, учащимися школ по-прежнему остается актуальным.

Продукт проекта: методическая разработка для подготовки к ЕГЭ (задание с параметром).

Этапы работы над проектом:

Заключение

Во время создания данного проекта я взялся за детальное рассмотрение параметра на примерах математических задач. Ведь параметры встречаются гораздо чаще, чем мы себе представляем. Изучение многих процессов и геометрических закономерностей часто приводит к решению задач с параметрами. Включая такое большое количество столкновений, пусть и косвенных, с параметром, я пришел к выводу, что необходимо изучать данную тему более детально. Также, решение уравнений с параметром способствует развитию логического и вариативного мышление человека, что позволит ему улучшить свои знания и умения. В моей работе рассмотрены часто встречающиеся типы уравнений, и я надеюсь, что знания, которые я получил в процессе работы, а также использовал при выполнении данной проектной работы, помогут мне и другим одиннадцатиклассникам при сдаче ЕГЭ. Выполняя данную работу, я ставил цель более глубокого изучения этой темы, выявления наиболее рациональных способов решения. На мой взгляд, графо-аналитический метод является самым удобным и наглядным способом решения уравнений с параметрами, так как при таком решении можно наглядно увидеть все корни и гораздо легче заметить ошибки.

Проектно-исследовательская работа на тему «УРАВНЕНИЯ С ПАРАМЕТРОМ»

Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

XIX городская научная конференция молодых исследователей «Шаг в будущее»

УРАВНЕНИЯ С ПАРАМЕТРОМ

Ханты-Мансийский автономный округ-Югра

Клементьева Екатерина Алексеевна,

средняя общеобразовательная школа

№ 46 с углубленным изучением

отдельных предметов, 9 класс

Кузнецова Елена Борисовна,

высшей квалификационной категории

2017

Выбор темы проекта «Уравнения с параметром» обусловлен желанием научиться решать такие уравнения, так как своевременно не были усвоены способы решения линейных уравнений с параметром, а предстоит изучение еще и квадратных уравнений.

В проекте подробно описаны пять решенных линейных уравнений с параметрами аналитическим и графическим способами и четыре квадратных уравнения с параметрами, одно из которых осложнено модулем; графики построены с помощью приложения «Живая математика». Материал проекта может использоваться в качестве основы при подготовке к олимпиадам.

ОГЛАВЛЕНИЕ

2. ОСНОВНАЯ ЧАСТЬ 5

2.1. Историческая справка 5

2.2. Линейные уравнения с параметром 5

2.3. Аналитический метод решения линейных уравнений с параметром 6

2.4. Графический метод решения линейных уравнений с параметром 7

2.5. Квадратные уравнения с параметром 9

2.6. Аналитический метод решения квадратных уравнений с
параметром 10

2.7. Графический метод решения квадратных уравнений с
параметром 11

3. ЗАКЛЮЧЕНИЕ 13

4. СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ 14

ВВЕДЕНИЕ

Задачи с параметром считаются трудными, так как каждая из них является исследовательской: нужно понять, принять и вычислить две или больше неизвестных в одном уравнении, нужно привыкнуть к тому, что эти неизвестные играют разные роли, могут по-разному обозначаться. Желание научиться решать такие задачи у меня появилось еще в 7 классе, когда мы впервые рассмотрели параметр в линейных уравнениях. Данная тема приобретает для меня все большую актуальность в связи с изучением с этого учебного года квадратных уравнений, биквадратных уравнений и началом подготовки к ОГЭ.

Объект исследования: Уравнения с одной переменной.

Предмет исследования: Уравнения с параметром.

Проблема: недостаточно знаний и умений по теме «Уравнения с параметром».

не были усвоены способы решения линейных уравнений с параметром при изучении их в седьмом классе;

не изучались квадратные уравнения с параметром в восьмом классе.

Цель: изучить способы решения уравнений с параметром.

Дать определение понятию «Уравнение с параметром»;

Рассмотреть способы решения уравнений с параметром;

Подобрать различные виды заданий для решения;

Представить изученный материал в докладе и презентации.

Гипотеза исследования: Можно предположить, что если изучить различные методы решения уравнений с параметром, то можно найти универсальный метод, позволяющий решать уравнения разных видов.

Эмпирические (изучение литературы по теме исследования, самостоятельное решение уравнений);

Обобщения и систематизации математического материала;

Экспериментально-теоретические (анализ, моделирование, сравнение).

Данная тема открыла мне новые виды уравнений с параметром, позволила познакомиться с доступными способами их решения.

Практическая значимость проекта:

Материал проекта может использоваться в качестве основы при подготовке к олимпиадам.

ОСНОВНАЯ ЧАСТЬ

2.1. Историческая справка

«Все математики знали,

что под алгеброй были скрыты

но не умели их найти.»

Франсуа́ Вие́т, сеньор де ля Биготье

Задачи на уравнения с параметром встречались уже в астрономическом трактате «Ариабхаттиам», составленном в 499 г. индийским математиком и астрономом Ариабхаттой [7].

В алгебраическом трактате Ал-Хорезми дается классификация линейных и квадратных уравнений с параметром а. Автор насчитывает 6 видов уравнений, выражая их следующим образом:

1) «Квадраты равны корням», т. е. αx 2 = bx.

2) «Квадраты равны числу», т. е. αx 2 = c.

3) «Корни равны числу», т. е. αx = c.

4) «Квадраты и числа равны корням», т. е. αx 2 + c = bx.

5) «Квадраты и корни равны числу», т. е. αx 2 + bx = c.

6) «Корни и числа равны квадратам», т. е. αx 2 + bx = c.

Формулы решения квадратных уравнений по Ал-Хорезми в Европе были впервые изложены в «Книге абака», написанной в 1202 г. итальянским математиком Леонардо Фибоначчи – основа аналитического метода решения уравнений с параметром.

Понятие переменной величины было введено в науку французским философом и математиком Рене Декартом (1596-1650). Именно Декарт пришел к идеям о единстве алгебры и геометрии и о роли переменных величин, Декарт ввел фиксированный единичный отрезок и стал рассматривать отношения других отрезков к нему – основа графического метода решения уравнений с параметром.

2.2. Линейные уравнения с параметром

Рассмотрим линейные уравнения: 5х +1 = 2, 1 + 2х = 2, — 0,5х + 1 = 2. В общем виде эти уравнения можно записать так: ах + 1 = 2, где а – некоторое число, х – переменная. Приведем еще примеры уравнений, в которых коэффициенты заданы не конкретными числами, а буквами: 5х = р, ах =1, с + d х = 10, k х – 3 = 0,5. Такие буквы называют параметрами.

Определение 1: Параметром называется независимая переменная, значение которой в задаче считается заданным, фиксированным или произвольным действительным числом, или числом, принадлежащим заранее оговоренному множеству[2].

Независимость параметра заключается в его «неподчинении» свойствам, вытекающим из условия задачи. Например, из неотрицательной левой части уравнения |х| = а – 1 не следует неотрицательность значений выражения а – 1, если а – 1

Определение 2: Уравнение с параметром – это семейство уравнений, определяемых параметром.

Решить уравнение с параметром означает:

Найти все значения параметра, при которых данное уравнение имеет решение.

Найти все решения для каждого найденного значения параметра, то есть для неизвестного и параметра должны быть указаны свои области допустимых значений.

К основным методам решения линейных уравнений с параметром относятся аналитический метод и графический метод.

2.3. Аналитический метод решения линейных уравнений с параметром

Определение: Аналитический метод – это способ «прямого» решения, повторяющий стандартные процедуры нахождения ответа в задачах без параметра.

Аналитический метод решения задач с параметром самый трудный способ, требующий высокой математической грамотности.

Рассмотрим решение линейного уравнения ах = b , где а и b – некоторые действительные числа, х — переменная. В общем виде решение удобнее всего представить в виде следующей блок – схемы:

Пример 1[9, с.3]. Решить уравнение ах=1.

Решение: при а=0, то есть 0 ⋅ х=1, уравнение корней не имеет; при а≠0 уравнение имеет корень х = .

Ответ: если а=0, то корней нет; если а≠0, то х = .

Пример 2[4]. Решить уравнение +3=5-х

Решение: Данное уравнение заменим равносильным ему: +х=2;

х (+1) =2; х× =2.

При а = 0 уравнение не имеет смысла.

При а ≠ 0 и а + 1 = 0 (а = – 1) уравнение примет вид 0·х = 2, т. е. не имеет решений.

При а ≠ 0, а≠– 1 уравнение имеет единственный корень х =

Ответ: если а = 0, то уравнение не имеет смысла; если а ≠ 0 и а = – 1, то корней нет; если а ≠ 0 и а ≠ – 1, то х =.

Пример 3. При каком значении параметра а уравнение а 2 х+2=4х+а имеет бесконечно много корней?

Решение: Данное уравнение заменим равносильным ему: а 2 х — 4х = а — 2; (а 2 —
– 4) х = а – 2; (а-2) (а+2) х = (а-2). При а = 2 данное уравнение принимает вид 0·х = 0, значит х – любое число.

Ответ: а = 2.

2.4. Графический метод решения линейных уравнений с параметром

Графический метод решения задач с параметром исключительно наглядный способ решения. В любом классе задач есть задачи, которые блестяще решаются данным способом и трудоемко другими.

Часто в линейных уравнениях с параметром переходят к линейным функциям вида у = kx + b, где k и b – коэффициенты. В зависимости от задачи (с переменной х и параметром а) рассматриваются графики или в координатной плоскости Оху, или в координатной плоскости Оха.

Геометрически каждое уравнение представляет прямую на плоскости, поэтому возможны три случая расположения двух прямых, то есть три случая решения: 1) прямые пересекаются — уравнение будет иметь один корень; 2) прямые параллельны — уравнение не имеет корней; 3) прямые совпадают — уравнение имеет бесконечно много решений.

Возможно при использовании графического метода возникает вопрос о строгости решения. Поэтому, когда результат, полученный с помощью графического метода, вызывает сомнения, его необходимо подкрепить аналитически.

Рассмотрим решение двух линейных уравнений с параметром графическим методом с построением графиков в координатной плоскости Оху.

Пример 1 . Решить уравнение ах = 1.

Решение: запишем уравнение в виде системы у=1,

Каждое уравнение системы изобразим графически в системе координат Оху. Первое уравнение изображается прямой, второе – семейством прямых, проходящих через начало координат. При а = 0, т. е. второе уравнение примет вид у = 0, прямые будут параллельны, а значит, система не имеет корней. При а ≠ 0 прямые пересекаются, значит система имеет корень х = .

Ответ : если а = 0, то корней нет; если а ≠ 0, то х = .

Пример 2. Решите уравнение |х| = х – а.

Решение: снова запишем уравнение в виде системы: у= │х│,

В системе координат Оху первое уравнение определяет ломаную, второе – семейство прямых, параллельных биссектрисе I и III координатных четвертей. Видно, что при а > 0 нет решений, при а = 0 решений бесконечно много, при а

х = — .

Ответ : если а > 0, то нет корней;

если а = 0, то решений бесконечно много;

если а .

2.5. Квадратные уравнения с параметром

Общий вид квадратного уравнения с параметром: α x 2 + bx + c = 0, где параметр α ≠ 0, b и с — произвольные числа.

Если α =1, то уравнение называется приведённым квадратным уравнением.

Выражение D = b 2 – 4 α c называют дискриминантом.

1. Если D> 0 — уравнение имеет два различных корня.

3. Если D = 0 — уравнение имеет два равных корня [5, с.292].

Рассмотрим решение квадратного уравнения αx 2 + bx + c = 0, где параметр α ≠ 0, b и с — произвольные числа. В общем виде решение удобнее всего представить в виде следующей блок – схемы:

2.6. Аналитический метод решения квадратных уравнений с параметром

Пример 1[9, с.6] . Найдите все значения параметра a , при которых уравнение:

(2a – 1) x 2 + ax + (2a – 3) =0 имеет не менее одного корня.

При 2 a – 1 = 0 данное уравнение квадратным не является, поэтому случай a = разбираем отдельно.

Если a = , то уравнение принимает вид x – 3 = 0, оно имеет один корень: х = 6.

Если a ≠ 1/2, то уравнение является квадратным; чтобы оно имело не менее одного корня необходимо и достаточно, чтобы дискриминант был неотрицателен:

D = a 2 – 4(2 a – 1) (2 a – 3) = -15 a 2 + 32 a – 12≥0

16+2 √19

-15 а 2 + 32 а — 12 ≥ 0 15

Чтобы записать окончательный ответ, необходимо понять, удовлетворяет ли а=

полученному условию: сравним и ; и , > и
.

Ответ : если а ≠ , то х ⋲ (-∞; ) U < > U ( ; +∞);

если а = , то х = 6.

Пример 2. Один из корней уравнения x 2 + bx + 6 = 0 равен 2. Найдите коэффициент b и другой корень уравнения.

Решение: нам дано приведенное квадратное уравнение, по тереме Виета

2+х ₂ = — b ,

2х ₂ = 6,

х ₂ =3 ⇒ 2 + 3 = 5 = — b ⇒ b = — 5.

Ответ : х ₂ = 3, b = — 5.

Пример 3. Один из корней уравнения x 2 + kx – 2k + 5 = 0 равен 1. Найдите значение параметра k и другой корень уравнения.

Решение: нам дано приведенное квадратное уравнение, по тереме Виета

1+ x ₂ = — k ,

1 ⋅ x ₂ = -2k + 5 , 1 – 2 k + 5 = — k , — k = — 6, k = 6 ⇒ x ₂ = — 7

Ответ: x ₂ = — 7, k = 6.

2.7. Графический метод решения квадратных уравнений с параметром

Пример 1[3] . Для каждого значения параметра a определите количество решений уравнения ∣ х 2 — 7 ∣ х ∣ + 6 ∣ = а.

Заметим, что количество решений уравнения ∣ х 2 — 7 ∣ х ∣ + 6 ∣ = а равно количеству точек пересечения графиков функций у= ∣ х 2 — 7 ∣ х ∣ + 6 ∣ и y = a.

График функции у = х 2 – 7х + 6 показан на рис.1.

График функции у = х 2 – 7 ∣ х ∣ + 6 показан на рис.2.

График функции у = ∣ х 2 – 7 ∣ х ∣ + 6 ∣ показан на рис.3.

y = a – это горизонтальная прямая. По графику несложно установить количество точек пересечения в зависимости от a (например, при a = 11 – две точки пересечения; при a = 2 – восемь точек пересечения).

при a = 0 и a = – четыре решения;

при 6 – шесть решений; при a > – два решения.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Выбор темы обусловлен желанием научиться решать уравнения с параметрами не только простые, но и повышенного уровня сложности. В результате можно отметить:

решены пять линейных уравнений с параметрами аналитическим и графическим способами и четыре квадратных уравнения с параметрами, одно из которых осложнено модулем;

решения всех уравнений подробно описаны в работе;

графики построены с помощью приложения «Живая математика».

В ходе выполнения данной работы выдвинутая гипотеза подтвердилась. Существуют задачи с параметрами, при решении которых используются только аналитические методы. Но иногда можно решить задачу и аналитически, и графически. Таким образом, аналитический метод – универсальный.

Считаю, что мне удалось справиться с поставленной целью и задачами, разрешить проблему. Кроме того, я научилась пользоваться научной литературой, сопоставлять и сравнивать различные точки зрения, выделять главное. Могу отметить, что новые знания уже пригодились мне на некоторых уроках.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

ВикипедиЯ: свободная энциклопедия. [Электронный ресурс] — Режим доступа: https://ru.wikipedia.org/wiki/

Голубев В., Гольдман А. О задачах с параметром. Первоначальные сведения. // Математика – 2002 — № 23 – с.27-32;

Информационный источник сложной структуры «Виртуальная математика. Задачи с параметрами. 7 – 11 кл.». [Электронный ресурс] — Режим доступа: http://school-collection.edu.ru/catalog/rubr/ df 413 b 15-266 b -4 a 0 a — bdb 228 fc 41140 ab 2/;

Косякова Т. Решение линейных уравнений и систем линейных уравнений, содержащих параметры. // Математика – 2001 — № 36 – с. 19-22;

Макарычев Ю.Н. Алгебра 8 класс: учебник для учащихся общеобразовательных учреждений. — М.: Мнемозина, 2010, — 384 с.;

СтудопедиЯ. [Электронный ресурс] — Режим доступа: http://studopedia.ru/4_94223_analiticheskiy-metod-resheniya-zadach-s-parametrami.html;

Уравнения с параметрами в школьном курсе математики. [Электронный ресурс] — Режим доступа: http://qp1qp.narod.ru/istoriya.html;

Феоктистов И. Е. Алгебра. 8 класс. Дидактические материалы. — М.: Мнемозина, 2013. – 173 с.;

Чикунова О.И. Практикум. Задачи с параметрами: учебно – методическое пособие для учащихся 7 – 11 классов. – Шадринск: Шадринский Дом Печати, 2015. – 64 с.