Проект по способам решения уравнений

Проект «Способы решения уравнений»

В работе исследуются различные способы решения уравнений

Скачать:

Предварительный просмотр:

Подписи к слайдам:

Проект по теме «Способы решения уравнений» Выполнили учащиеся 7 класса Шевченко Светлана Анатольевна МБОУ «Леоновская СОШ» Руководитель Рябухина Галина Владимировна

Гипотеза проекта Можно ли решить линейное уравнение другими способами?

Цель проекта Ответить на вопросы: Сколько существует способов решения уравнений? В чем их суть?

Из истории Некоторые алгебраические приемы решения линейных уравнений были известны еще 4000 лет назад в Древнем Вавилоне. Древнегреческий математик Диофант Александрийский написал 13 книг, 6 из которых сохранились до наших дней, в них содержится 189 задач с решениями. В первой книге изложены задачи, приводящиеся к определенным уравнениям первой и второй степени. Известно, что в символике Диофанта был только один знак для неизвестного. В Индии уравнения решались в связи с астрономическими запросами и календарными расчетами. Общий метод решения (диофантовых) уравнений был назван в Индии методом рассеивания (в смысле размельчения)

Приемы решения (запомни) Арифметический Наглядно – геометрический Алгебраический Способ подбора Способ рассеивания

Задача Летела стая гусей, а навстречу один гусь. Он спрашивает вожака: «Сколько вас»? Вожак отвечает: «Нас столько, да еще столько, да половина столько, да четверть столько, да еще бы ты гусь было бы 100».

Арифметический способ (устный счет: проверь) 1+1+ ½ + ¼ = 11/4 это 99 99 : 11 • 4 = 36

Наглядно – геометрический (заполни пропуски) пусть стая – … части, 99г. это – …частей, 1 часть – равна …г., тогда стая … гусей

Алгебраический способ (записывается решение в тетрадь) х + х +

Способ подбора (привести рассуждения) 50 +50 +25 + … > 100 40+40+20+10+1 > 100 30 + 30 + 15 + 7,5 + 1 0, 1 + 3 t 1 > 0. Из этих равенств находим: 5 t 1 > — 8 и t 1 > — , 3 t 1 > -1 и t 1 > — Этим величина t 1 ограничивается; она больше чем — (и, значит подавно больше чем — ). Но так как t 1 – целое число, то заключаем, что для него возможны лишь следующие значения: t 1 = 0, 1, 2, 3, 4, … Соответствующие значения для х и у таковы: Х = 8 +5 t 1 = 8, 13, 18, 23, …, У = 1 + 3 t 1 = 1, 4, 7, 10, …

Итог Перечислить приемы решения Какой прием решения вам понравился? А каким вы будете пользоваться?

Выводы Для решения задач, связанных с практикой и повседневной деятельностью человека найдено 5 способов решения линейных уравнений.

Ресурсы Г.И.Глейзер. История математики в школе. Я.И Перельман. Занимательная алгебра. С.А.Теляковский. Учебник. Алгебра 7 кл. Интернет ресурсы.

Предварительный просмотр:

Подписи к слайдам:

Проект по теме «Способы решения уравнений» Выполнили учащиеся 7 класса Шевченко Светлана Анатольевна МБОУ «Леоновская СОШ» Руководитель Рябухина Галина Владимировна

Гипотеза проекта Можно ли решить линейное уравнение другими способами?

Цель проекта Ответить на вопросы: Сколько существует способов решения уравнений? В чем их суть?

Из истории Некоторые алгебраические приемы решения линейных уравнений были известны еще 4000 лет назад в Древнем Вавилоне. Древнегреческий математик Диофант Александрийский написал 13 книг, 6 из которых сохранились до наших дней, в них содержится 189 задач с решениями. В первой книге изложены задачи, приводящиеся к определенным уравнениям первой и второй степени. Известно, что в символике Диофанта был только один знак для неизвестного. В Индии уравнения решались в связи с астрономическими запросами и календарными расчетами. Общий метод решения (диофантовых) уравнений был назван в Индии методом рассеивания (в смысле размельчения)

Приемы решения (запомни) Арифметический Наглядно – геометрический Алгебраический Способ подбора Способ рассеивания

Задача Летела стая гусей, а навстречу один гусь. Он спрашивает вожака: «Сколько вас»? Вожак отвечает: «Нас столько, да еще столько, да половина столько, да четверть столько, да еще бы ты гусь было бы 100».

Арифметический способ (устный счет: проверь) 1+1+ ½ + ¼ = 11/4 это 99 99 : 11 • 4 = 36

Наглядно – геометрический (заполни пропуски) пусть стая – … части, 99г. это – …частей, 1 часть – равна …г., тогда стая … гусей

Алгебраический способ (записывается решение в тетрадь) х + х +

Способ подбора (привести рассуждения) 50 +50 +25 + … > 100 40+40+20+10+1 > 100 30 + 30 + 15 + 7,5 + 1 0, 1 + 3 t 1 > 0. Из этих равенств находим: 5 t 1 > — 8 и t 1 > — , 3 t 1 > -1 и t 1 > — Этим величина t 1 ограничивается; она больше чем — (и, значит подавно больше чем — ). Но так как t 1 – целое число, то заключаем, что для него возможны лишь следующие значения: t 1 = 0, 1, 2, 3, 4, … Соответствующие значения для х и у таковы: Х = 8 +5 t 1 = 8, 13, 18, 23, …, У = 1 + 3 t 1 = 1, 4, 7, 10, …

Итог Перечислить приемы решения Какой прием решения вам понравился? А каким вы будете пользоваться?

Выводы Для решения задач, связанных с практикой и повседневной деятельностью человека найдено 5 способов решения линейных уравнений.

Ресурсы Г.И.Глейзер. История математики в школе. Я.И Перельман. Занимательная алгебра. С.А.Теляковский. Учебник. Алгебра 7 кл. Интернет ресурсы.

Проект по математике «Способы решения уравнений различных видов»

Умение учащихся самостоятельно добывать знания и совершенствовать очень важно, потому что современному обществу, производству нужны работники и руководители, способные быстро и правильно решать постоянно возникающие конкретные задачи, вести диалог с коллегами и партнерами, самостоятельно принимать решения. Поэтому на уроках используются технологии, отвечающие современным требованиям. Одной из таких технологий является “технология проектов”. Суть и идея ее заключается в организации самостоятельной, поисковой, творческой деятельности учащихся.

В основу «технологии проектов» положена идея о направленности учебно-познавательной деятельности школьников на результат, который получается при решении той или иной практической или теоретической значимой проблемы. Внешний результат можно увидеть, осмыслить, применить в реальной практической деятельности. Внутренний результат – опыт деятельности – становится достоянием учащегося, соединяя в себе знания и умения, компетенции и ценности.

Просмотр содержимого документа
«Проект по математике «Способы решения уравнений различных видов»»

Проект по математике

«Способы решения уравнений различных видов»

Подготовили учащиеся 8 класса

Учитель математики — Некрасова Тамара Ивановна

«Уравнение представляет собой наиболее серьёзную и важную вещь в математике».

«Посредством уравнений, теорем
Он уйму всяких разрешал проблем:
И засуху предсказывал, и ливни.
Поистине его познанья дивны»

Тема проекта «Способы решения уравнений различных видов»

Тип проекта: групповой, краткосрочный, творческо-исследовательский

Участники проекта: ученики 8 класса.

Сроки реализации проекта: три недели.

Результат: защита проектов, создание презентации, а затем оказание помощи одноклассникам, испытывающим затруднения по данному учебному материалу.

Целью работы является комплектовать все виды уравнений по видам и разобрать основные способы решения данных уравнений.

Задания для групп (в каждой группе 2 человека)

Зачем нужно уметь решать уравнения?

Какими методами решаются уравнения?

1. Обсуждение и утверждение плана работы. Распределение учащихся на группы, выбор каждой группой вопросов-заданий и форм (проектных продуктов) представления результатов работы (первая неделя).

2. Изучение и анализ источников и литературы.(вторая неделя)

3. Оформление результатов работы над проектом.(вторая неделя)

4. Представление проектных продуктов.(третья неделя)

Работа над проектом

Подбор исторических сведений об уравнениях (1 учащийся)

Задание для группы 1.

Собрать информацию по теме «Линейные уравнения, методы их решения» (источники: материалы учебников алгебры 7-8, справочники, Интернет).

Подобрать 10 – 15 уравнений по данной теме (вместе с решением).

Оформить отчёт о проделанной работе: теория + практические задания («бумажный» вариант).

Подготовиться к защите проекта.

Задание для группы 2.

Собрать информации по теме «Квадратные уравнения и уравнения, приводимые к квадратным, методы их решения» (источники: материалы учебников алгебры 7-8, справочники, Интернет).

Подобрать 10 – 15 уравнений по данной теме (вместе с решением).

Оформить отчёт о проделанной работе: теория + практические задания («бумажный» вариант).

Подготовиться к защите проекта.

Задание для группы 3.

Собрать информации по теме «Дробно-рациональные уравнения, методы их решения» (источники: материалы учебников алгебры 7-8, справочники, Интернет).

Подобрать10 – 15 уравнений по данной теме (вместе с решением).

Оформить отчёт о проделанной работе: теория + практические задания («бумажный» вариант).

Подготовиться к защите проекта.

Создание презентации (коллективная работа)

В те далекие времена, когда мудрецы впервые стали задумываться о равенствах содержащих неизвестные величины, наверное, еще не было нимонет, ни кошельков. Но зато были кучи, а также горшки, корзины, которыепрекрасно подходили на роль тайников-хранилищ, вмещающих неизвестное количество предметов. «Ищется куча, которая вместе с двумя третями ее, половиной и одной седьмой составляет 37. «, — поучал во II тысячелетии до новой эры египетский писец Ахмес. В древних математических задачах Междуречья, Индии, Китая, Греции неизвестные величины выражали число

павлинов в саду, количество быков в стаде, совокупность вещей, учитываемых при разделе имущества. Хорошо обученные науке счета писцы, чиновники и посвященные в тайные знания жрецы довольно успешно справлялись с такими задачами.

Дошедшие до нас источники свидетельствуют, что древние ученые владели какими-то общими приемами решения задач с неизвестными величинами. Однако ни в одном папирусе, ни в одной глиняной табличке не дано описания этих приемов. Авторы лишь изредка снабжали свои числовые выкладки скупыми комментариями типа: «Смотри!», «Делай так!», «Ты правильно нашел». В этом смысле исключением является «Арифметика»

греческого математика Диофанта Александрийского (III в.) – собрание задач на составление уравнений с систематическим изложением их решений.

Однако первым руководством по решению задач, получившим широкую известность, стал труд багдадского ученого IX в. Мухаммеда бен Мусы аль-Хорезми. Слово «аль-джебр» из арабского названия этого трактата – «Китаб аль-джебер валь-мукабала» («Книга о восстановлении и противопоставлении») – со временем превратилось в хорошо знакомое всем слово «алгебра», а само сочинение аль-Хорезми послужило отправной точкой в становлении науки о решении уравнений.

1) Сейчас мы с вами рассмотрим решения линейных уравнений.

Вспомним, что уравнение вида ax+b=0 называется линейным уравнением или

уравнением первой степени так как при переменной «х» старшая степень

находится в первой степени.

Решение линейного уравнения очень простое:

Пример 1 Решите уравнение 3x+3=5x

Линейное уравнение решается методом переноса членов содержащих

неизвестные в левую часть от знака равенства, свободные коэффициенты в

правую часть от знака равенства:

Значение переменной, обращающее уравнение в верное равенство

называется корнем уравнения.

Выполнив проверку получим:

Значит 1,5 – корень уравнения.

Решения уравнений методом переноса слагаемых из одной части

уравнения в другую, при этом знак слагаемых меняется на противоположный

и применяют свойства уравнений – обе части уравнения можно умножить

(разделить) на одно и то же отличное от нуля число или выражение, можно

рассмотреть при решении следующих уравнений.

Пример 2 Решите уравнения:

а) 6x+1=− 4x; б) 8+7x=9x+4; в) 4(x−8)=− 5

а) Методом переноса решаем

б) Аналогично предыдущему примеру решаем методом переноса:

в) В данном уравнении необходимо раскрыть скобки, применяя

распределительное свойство умножения относительно операции сложения.

Учебный проект «Нестандартные приемы решения квадратных уравнений»

Разделы: Математика

Тема «Квадратные уравнения» является одной из самых актуальных. Квадратные уравнения – это фундамент, на котором покоится величественное здание алгебры. Они находят широкое применение в разных разделах математики.

В школьном курсе изучаются формулы корней квадратного уравнения, с помощью которых можно решать любые квадратные уравнения. Однако, имеются и другие приемы решения квадратных уравнений, которые позволяют очень быстро и рационально решать квадратные уравнения.

Проблемный вопрос: существуют ли кроме общепринятых приемов решения квадратных уравнений другие, которые позволяют быстро и рационально решать квадратные уравнения?

Гипотеза: установление связи между коэффициентами и корнями квадратного уравнения позволит найти эффективные приемы быстрого решения квадратного уравнения.

Цель: установив связь между коэффициентами и корнями квадратного уравнения, найти новые рациональные приемы решения уравнений

• Изучить литературу по истории приемов решения квадратных уравнений
• Обобщить накопленные знания о квадратных уравнениях и способах их решения.
• Установить зависимость корней квадратного уравнения от его коэффициентов и найти эффективные приемы быстрого решения квадратного уравнения, в том числе с большими коэффициентами.
• Сделать выводы.
• Разработать дидактический материал для проведения практикума по решению квадратных уравнений с использованием новых приемов в помощь ученикам, увлеченным математикой и учителям, ведущим факультативные занятия.

Объект исследования: квадратные уравнения

Предмет изучения: методы и приемы решения квадратных уравнений, в том числе с большими коэффициентами

Глава 1.
Изучение литературы

Основной материал, связанный с изучением темы «Квадратные уравнения» находится в УМК под ред.С.А.Теляковского. В учебнике разобраны все основные вопросы по теме:

1. Определение и виды квадратных уравнений

2. Основные методы решения квадратных уравнений

Однако, дополнительный материал, связанный с историей вопроса о возникновении квадратных уравнений можно найти в «Энциклопедия по математике» «Занимательная математика», М., 2007. Способы решения задач на квадратные уравнения в полном объёме раскрыты в изданиях «Сборник элективных курсов» Волгоград, 2006 г.

Изученная литература позволила приобрести новые интересные знания по истории возникновения квадратного уравнения, приобрести опыт по решению различных квадратных уравнений и перейти к следующему этапу в исследовании – перенести полученные знания в нестандартную ситуацию.

Глава 2.
Изучение истории вопроса о квадратных уравнениях

Глава 3.
Обобщение имеющихся знаний о квадратных уравнениях и способах их решения

Глава 4.
Нестандартные приемы решения квадратных уравнений

Дидактический материал по применению нестандартных приемов решения квадратных уравнений.

1. Найди наиболее рациональным способом корни уравнения:

1978х 2 – 1984х + 6=0
(1; 6/1978)

4х 2 + 11х + 7 = 0
(-1; -7/4)

319х 2 + 1988х +1669=0
(-1; -1669/319)

2. Решить квадратные уравнения с большими коэффициентами

839х 2 – 448х -391=0
(1; -391/839)

345х 2 – 137х – 208=0
(1;.-208/345)

3. Используя полученные знания, установи соответствие:

1) х 2 +5х+6=0 2) 6х 2 -5х+1=0 3) 2х 2 -5х+3=0 4) 3х 2 -5х+2=0 5) х 2 -5х+6=0 6) 6х 2 +5х+1=0 7) 2х 2 +5х+2=0 8) 3х 2 +5х+2=0

1) 1/6;1/2 2) 1; 3/2 3) 1; 2/3 4) -2; -3 5) -1/3 ; -1/2 6) -1; -3/2 7) -1; -2/3 8) 2;3

Глава 5.
Анализ работы учащихся по решению квадратных уравнений нестандартными способами

Разработаны критерии оценки проведенного практикума:

1. За каждое верно выполненное задание ставится 1 балл;
2. Наиболее возможное количество набранных баллов-17
3. Если ученик набирает менее

7 баллов, то выставляется оценка «2»
от 7 до 11 баллов «3»
от 12 до 15 баллов «4»
от 16-17 баллов «5»

Выполняли работу – 11человек

от 16-17 – 5человек (45%)
от 12-15– 6человек (55%)
Менее 12 – 0 человек

Средний балл – 4,45

Процент качества – 100%

Типичные ошибки, допущенные в работе связаны с невнимательностью учащихся.

Выводы по результатам проведения практикума

Успешно выполненная работа учащимися 8 класса, позволяет сделать следующие выводы:

• нестандартные приемы решения квадратных уравнений заслуживают внимания;
• позволяют экономить время решения, что обусловлено применением тестовой системы экзаменов.

В процессе работы над проектом, была создана система нестандартных приемов решения квадратных уравнений и разработан банк заданий, на основе которого проведена успешная апробация этих приемов.

Данный материал можно рекомендовать для внеклассных и факультативных занятий по математике. Учителя могут использовать его как методическое пособие при изучении темы «Решение квадратных уравнений», а также, для контроля за знаниями учащихся.

Материалом этого проекта могут воспользоваться и те, кто любит математику и хочет знать о математике больше.

1. Выгодский М.Я. Справочник по элементарной математике. – М. государственное издательство физико-математической литературы, 1970.
2. Галицкий М.Л., Гольдман М., Звавич Л.И. Сборник задач по алгебре для 8-9 классов: учебное пособие для учащихся школ и классов с углубленным изучением математики:4-е изд.-М.: Просвещение, 1997.
3. Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г. Алгебра. Учебник для 8 класса. М., Просвещение, 2001.
4. Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г. Дополнительные главы к школьному учебнику. 8 класс М., Просвещение, 1996.
5. Штейнгауз В.Г. Математический калейдоскоп. – М.: Бюро «Квантум», 2005.
6. Энциклопедический словарь юного математика. – М.: Педагогика, 1985.