Проект по теме показательные уравнения

Проект по алгебре и началам анализа на тему: Показательные уравнения Ученика 11 класса -Доманова Виктора. Учитель математики- Лаврова Рейхана Анверовна. — презентация

Презентация была опубликована 8 лет назад пользователемВячеслав Выростов

Похожие презентации

Презентация 11 класса по предмету «Математика» на тему: «Проект по алгебре и началам анализа на тему: Показательные уравнения Ученика 11 класса -Доманова Виктора. Учитель математики- Лаврова Рейхана Анверовна.». Скачать бесплатно и без регистрации. — Транскрипт:

2 Проект по алгебре и началам анализа на тему: Показательные уравнения Ученика 11 класса -Доманова Виктора. Учитель математики- Лаврова Рейхана Анверовна. МБОУ Архангельская СОШ им. А.Н.Косыгина. Красногорский район. Московская область.

3 Содержание 1.Цель 2.Теорема.Способы решения уравнений 3.Применение способов на конкретных примерах 4.Список литературы

4 ЦЕЛЬ СИСТЕМАТИЗИРОВАТЬ ЗНАНИЯ О СПОСОБАХ РЕШЕНИЯ ПОКАЗАТЕЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ.

6 Методы решения показательных уравнений Метод введения новой переменной Функционально- графический метод Метод уравнивания показателей при одинаковых основаниях.

7 Задание 1. Решить уравнение Решение: основная идея решения данной задачи заключается в использовании свойств степеней для приведения степеней в левой и правой частях уравнения к одному и тому же основанию. Запишем цепочку преобразований, откуда, из которого находим. Поскольку функция монотонна и поэтому каждое свое значение принимает ровно один раз, то последнее уравнение равносильно уравнению Ответ:

8 Задание 2. Решить уравнение Решение: используя свойства степеней, преобразуем исходное уравнение к виду Ответ: Полученное уравнение удобнее всего решать, вводя новую переменную Тогда уравнение сводится к квадратному относительно новой переменной t, решая которое, находим и Корень не удовлетворяет условию, поэтому единственное решение исходного уравнения определяется из соотношения

9 Задание 3. Решить уравнение Решение: запишем исходное уравнение в виде Ответ: Получим однородное уравнение 2 степени. Разделим левую и правую части исходного уравнения на, получим Введем новую переменную, придем к, решив которое, найдем квадратному уравнению и Второй корень не удовлетворяет условию Возвращаясь к исходной переменной, получаем уравнение, откуда находим.

10 Задание 4. Решить уравнение Решение: числа Ответ: и являются взаимно обратными (вообще, числа ииногда называют сопряженными числами). В самом деле,, поэтому Введем новую переменную Тогда исходное уравнение можно переписать в виде или Корни последнего уравнения равны откуда находим значения исходной переменной

11 Задание 5. Решить уравнение Решение: легко заметить, что является корнем данного уравнения (вспомните «египетский треугольник»). Докажем, что других корней данное уравнение не имеет. Для этого разделим левую и правую части уравнения на. Получим Ответ: 2 Функция, стоящая в левой части последнего уравнения монотонно убывает (основание степени меньше единицы), а функция, стоящая в правой его части монотонно возрастает. Поэтому уравнение не может иметь более одного решения. Таким образом, единственное решение исходного уравнения.

12 Используемая литература 1.А.Г. Мордкович. Алгебра и начала анализа. Часть 1.Учебник классы, изд.: Мнемозина, 2010год. 2.О.Ю Черкасов, А.Г.Якушев Математика для поступающих в ВУЗЫ. Учебный сектор «Московский лицей». Москва

Исследовательский проект «Решение показательных уравнений с параметрами»

Задачи с параметрами играют важную роль в формировании логического мышления и математической культуры учащегося, но их решение вызывает у них значительные затруднения. Это связано с тем, что каждое уравнение с параметрами представляет собой целый класс обычных уравнений, для каждого из которых должно быть получено решение. Такие задачи предлагаются на едином государственном экзамене. По итогам ЕГЭ разных лет можно сделать вывод, что решение задач с параметрами вызывает наибольшею трудность у учащихся. Цель моего исследования: поиск оптимальных способов решения показательных уравнений с параметрами. Исследовательская составляющая моего проекта содержит решение показательных уравнений с параметрами, анализ корней в зависимости от параметра, решение вопроса о рациональности выбранного способа решения.

Скачать:

Предварительный просмотр:

Государственное бюджетное общеобразовательное учреждение

Самарской области гимназия города Сызрани городского округа Сызрань

«Решение показательных уравнений с параметрами»

Секция «Математика»

Автор исследовательской работы:
учащаяся 11 класса,
Дуплищева Анна
Научный руководитель:
Константинова Ирина Альбертовна

Задачи с параметрами играют важную роль в формировании логического мышления и математической культуры учащегося, но их решение вызывает у них значительные затруднения. Это связано с тем, что каждое уравнение с параметрами представляет собой целый класс обычных уравнений, для каждого из которых должно быть получено решение. Такие задачи предлагаются на едином государственном экзамене. По итогам ЕГЭ разных лет можно сделать вывод, что решение задач с параметрами вызывает наибольшею трудность у учащихся. По данным Рособрнадзора около 87.9% не приступают к выполнению данного типа заданий.

Эти задачи представляют чисто математический интерес, способствуют интеллектуальному развитию учащихся, служат хорошим материалом для отработки навыков.

Цель моего исследования: поиск оптимальных способов решения показательных уравнений с параметрами. При этом я использовала следующие методы.

1. Изучение учебной литературы.
2. Использование информационных ресурсов (интернет).
3. Обобщение и систематизация материала по данной теме.
4. Анализ условий задач и полученного результата.

Исследовательская составляющая моего проекта содержит решение показательных уравнений с параметрами, анализ корней в зависимости от параметра, решение вопроса о рациональности выбранного способа решения.

2. Основная часть

Уравнение 2 9-10

Уравнение 3 10-11

Уравнение 4 12-13

3. Заключение 14

4. Библиографический список 15

Актуальность выбранной темы :

1. Необходимость подготовки к итоговой аттестации, т.к. одним из важных проверяемых элементов содержания является умение решать уравнения, составляя математическую модель.
2. Необходимость применений знаний в современной жизни, анализ заданий с изменяющимися условиями.

Проблема исследования : систематизация способов решения показательных уравнений с параметрами.

Объект исследования : показательные уравнения.

Предмет исследования : условия, при которых решения показательных уравнений с параметрами будет рациональным.

Цель исследования : поиск оптимальных способов решения показательных уравнений с параметрами.

1. Использовать знания теорий показательных уравнений для решения показательных уравнений с параметрами.
2. Рассмотреть графический и аналитический способы решения и выяснить, какой из них является наиболее рациональным.
3. Выработать рекомендации к решению уравнений с параметрами для ознакомления с ними обучающихся.

Гипотеза: является ли аналитический способ решения наиболее рациональным.

Теоретические основы решения уравнений с параметрами

Уравнение, в котором переменная содержится в показателе степени, называется показательным. Это уравнение относительно показательной функции, т.е. функции вида . При решении показательных уравнений используется свойство показательной функции.

Свойства показательной функции:

1. Область определения:
   все действительные числа

1. Множество значений:
   все положительные числа

1. При а > 1 функция возрастающая;
   при 0

Параметр — величина, значения которой служат для различения групп элементов некоторого множества между собой. Например, уравнение y = kx + b задаёт множество прямых на плоскости, k и b в данном случае — параметры прямой, то есть, если предположить, допустим, что k = 2 и b = 7, мы получим конкретную прямую y = 2x + 7: один из элементов множества.

Под термином «уравнение с параметром», фактически, скрывается целое семейство «почти одинаковых уравнений» , которые отличаются друг от друга только одним числом (одним слагаемым или одним коэффициентом) и одинаково решаются. Параметр — это число, которое меняется от уравнения к уравнению. В уравнениях с параметрами параметр, будучи фиксированным, но неизвестным числом, имеет как бы двойственную природу. Во-первых, предполагаемая известность позволяет «общаться» с параметром как с числом, а во-вторых, степень свободы общения ограничивается его неизвестностью. Так, деление на выражение, содержащее параметр, извлечение корня чётной степени из подобных выражений требуют предварительных исследований. Как правило, результаты этих исследований влияют и на решение, и на ответ.

При решении уравнений с параметрами надо сделать то, что делается при решении любого уравнения или неравенства – привести заданные уравнения к более простому виду.

Тип 1. Уравнения, которые необходимо решить для всех значений параметра или для значения параметра из заданного промежутка.

Тип 2. Уравнения, где требуется найти количество решений в зависимости от значений параметра.

Тип 3. Уравнения, где необходимо найти значения параметра, при которых задача имеет заданное количество решений.

Тип 4. Уравнения, в которых необходимо найти значения параметра, при которых множество решений удовлетворяет заданным условиям.

В данной работе рассматриваются показательные уравнения с параметрами и определённые алгоритмы, которые могут помочь в решении столь нелёгких заданий.

Проект на тему «Решение логарифмических и показательных уравнений и неравенств»

Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

«Актуальность создания школьных служб примирения/медиации в образовательных организациях»

Свидетельство и скидка на обучение каждому участнику

2.Глава I .Обзор литературы по теме проекта………………………..6-7

3. Глава II . Эмпирическая часть:…………………………………… 8-9

Раздел 1.Решение логарифмических и показательных уравнений

Раздел 2. Метод рационализации при решении показательных и логарифмических неравенств…………………………………………17-19

Раздел 3. Доклад про логарифмическую спираль…………………….20-21

Раздел 4. Задания ЕГЭ №7(базовый);№ 5,15(профильный)…………..22-23

“ Из всех заслуживающих изучения первопричин и

действующих начал природы восторг зрителя вызывает главным образом — Свет,

а из достопримечательностей Математики — разум

исследователя в несравненно большей

степени, чем всё остальное, возвышает

непреложность её доказательств.
Леонардо да Винчи

Название проекта: «Решение логарифмических и показательных уравнений и неравенств»

Краткая аннотация проекта:

Проект предусматривает исследования развития самостоятельности при изучении темы: «Решение логарифмических и показательных уравнений и неравенств» и как это влияет на качественную подготовку к итоговой аттестации .

-Недостаток знаний у учащихся о решении логарифмических и показательных уравнений и неравенств;

-низкие баллы по математике ЕГЭ-2015

Цель проекта – формирование у каждого ученика умения решать различные типы логарифмических и показательных уравнений и неравенств, эффективно подготовиться к сдаче ЕГЕ; .

Задачи исследования: познакомить и обобщить знания учащихся с разнообразием уравнений и неравенств , научить способам их решений по данной теме.

Предмет исследования: формы работ учащихся на уроках математики в процессе решения логарифмических и показательных уравнений и неравенств.

Гипотеза исследования: строить образовательный процесс на учебном диалоге ученика и учителя; привитие умения пользоваться математическими формулами; формировать мыслительные и самостоятельные практические действия; повысить их умения решать уравнения и неравенства по данной теме.

В чем заключаются методические рекомендации по развитию самостоятельности при обучении математике по данной теме?

Каковы теоретические основы развития самостоятельности при обучении математике?

Каковы нестандартные приемы решения логарифмических и показательных уравнений и неравенств?

Каким образом прослеживается свойства логарифмической функции вне математической области?

Каковы теоретические основы при обучении математике по данной теме?

Какова методика при изучении указанной темы?

Какие трудности возникают при изучении темы «Решение логарифмических и показательных уравнений и неравенств»?

Какие требования предъявляются к изучению указанной темы?

Скажи мне, и я забуду.

Покажи мне, и я запомню.

Дай мне действовать самому,

Метод проектов — далеко не открытие наших дней, он возник в начале прошлого века в США и используется не только в школьном образовании.

Что же такое проект?

— Проект – происходит от латинского project us .

Его буквальный перевод – « брошенный вперед » — уже объясняет многое.

— В современном русском языке слово «проект» имеет несколько весьма близких по смыслу значений. Так называют:

Совокупность документов, необходимых для создания какого-либо сооружения или изделия;

Предварительный текст какого-либо документа;

Какой–либо замысел или план.

В начале ХХ века американский философ и педагог Дж. Дьюки и его последователь В.Х. Килпатрик стали авторами «метода проектов».

Суть новаторской идеи заключалась в том, что дети, исходя из своих интересов, вместе с учителем выполняли собственные проекты. Так, решая какую-либо задачу, они включались в реальную деятельность и овладевали новыми знаниями.

Мой проект посвящается теме решения логарифмических и показательных

уравнений и неравенств. Эта тема включена в задания ЕГЭ №5 и №15(профильный уровень) и №7(базовый уровень).

Применение на уроках презентаций по этой теме позволяет:

учитывать индивидуальные способности;

формировать мыслительные и самостоятельные практические действия;

развивать творческие способности;

активизировать познавательную деятельность учащихся.

Глава I .Обзор литературы по теме проекта .

Корянов А.Г,Прокофьев А.А-Методы решения неравенств с одной переменной-2011 г.

Эфендиев Э.И.- Практикум по элементарной математике-2015 г.

Колмогоров А.Н.- Алгебра и начала анализа.-2013 г. (учебник 10-11кл)

Приложение газеты «Первое сентября», Математика, 2012г

В [1], [3], [4] рассматриваются все задания №5, №15 ЕГЭ-2016 года по базовому и профильному уровню, т.е. задания разделов 1;4 .

Из [2], [6], [7], [8] этих источников рассматриваются задания , наиболее ярко характеризующие тот или иной основной метод решения логарифмических и показательных уравнении и неравенств во всей его полноте в разделе1 .

Из [5], [7], [9], [10] этих источников взяты повышенного уровня подготовки №15 , которые решаются методом рационализации – методом Голубева или об одном способе , упрощающем решение логарифмических и показательных неравенств в разделе 2 .

Из [2] взят материал применение логарифма вне области математики, доклад про логарифмическую спираль в разделе 3.

Выводы: изучаемая тема из разных источников преподносится в разной последовательности и в разной форме, но вся литература соответствует требованиям ФГОС

Раздел 1 . Решение логарифмических и показательных уравнений и неравенств

Логарифмические уравнения — это уравнения, содержащие переменную под знаком логарифма.

Простейшим логарифмическим уравнением является уравнение вида

где а > 0, а ≠ 1, равносильное уравнению

Основные теоремы о логарифмах.

«Хитрости » свойств логарифмов:

при А≠1 и В≠0 имеют единственный корень х=А 1/В ;

при А=1 и В=0 имеют решением любое положительное, отличное от единицы, число;

при А=1 и В≠0 корней нет;

Логарифмы с переменным основанием

Методы решения логарифмических уравнений

1.Решение уравнений, основанных на определении логарифма

2.Решение уравнений потенцированием

3.Применение основного логарифмического тождества

6.Переход к другому основанию

Рассмотрим каждый из этих методов на примерах .

1. Решение уравнений, основанных на определении логарифма

По определению логарифма

х = –3 – корень уравнения.

2. Решение уравнений потенцированием

Учитывая область определения получаем систему:

Откуда х ₁ = 0, х ₂ = – 4. Так как х > –1, то корень х ₂ = – 4 – посторонний.

3. Применение основного логарифмического тождества

Область определения уравнения

откуда х основное логарифмическое тождество , получим:

log ₂ (9 – 2 x ) = 3 – x или 9 – 2 x = 2 3 – x или , 2 2 х – 9 · 2 х + 8 = 0, откуда 2 х = 1, х ₁ = 0; 2 х = 8, х ₂ = 3. Так как x 3 , то х ₂ = 3 – посторонний корень.

Область определения уравнения задается условиями х > 0, х ≠ 1. Прологарифмируем обе части уравнения по основанию 10, предварительно упростив его:

(10 lg x ) lg x + x lg x = 20, x lg x + x lg x = 20, x lg x = 10 или lg x lg x = lg 10, lg 2 x = 1, lg x = ±1, значит lg x = 1, x ₁ = 10; lg x = –1, x ₂ = 0,1.Оба корня удовлетворяют ограничениям x > 0, x ≠ 1.

5. Замена переменной в уравнениях

Две основные идеи решения логарифмических уравнений :

приведение уравнения к виду

с последующим потенцированием;

замена неизвестных вида

с предшествующим преобразованием уравнения к удобному для этой замены виду.

Так как – х > 0, т.е. х IxI =- x , то данное уравнение можно записать в виде

Пусть = t , t ≥0, тогда получаем t = t 2 , t ( t – 1) = 0, откуда t ₁ = 0, t ₂₌ 1.

6 .Переход к другому основанию

Запишем уравнение в виде

Далее имеет

Прологарифмировав обе части уравнения по основанию 3,получим: *= или

Методы решения показательных уравнений

2 2 x -4 = 64. (методом уравнивания показателей)

2 2 x – 6∙2 x + 8 = 0.(метод введения новой переменной)

7 2 x +1 + 7 2 x +2 + 7 2 x +3 = 57. (вынесение общего множителя.)

Схемы решения логарифмических и показательных неравенств

1. Сведение к рациональным неравенствам

2.Метод интервалов и систем

1. a f (x) > a g( x) f(x) > g( x)

a f (x) > a g( x) f(x)

Решить неравенство: 3 х – 3 х – 3 ≥ 26

2.Решить неравенство: lg 2 x 2 + 3 lg x > 1

=t, 4+3t-1>0; t=1/4, t=-2 ; x=, x=10 -2

3. Решить неравенство

Разделим обе части неравенства на :

Пусть =m, m>0, тогда

, , ; ; ;

Ответ: .

4. Решить неравенство Решение:

Так как то последнее соотношение равносильно

Метод рационализации при решении показательных и логарифмических неравенств.

1.Таблица работает при условии : f ›0, g ›0, h ›0, h ≠1

где f и g — функции от х, h — функция или число, V — один из знаков ≤,›,≥,‹

Заметим также, вторая и третья строчки таблицы — следствия первой.

2.И еще несколько полезных следствий :

где f и g — функции от x , h — функция или число, V — один из знаков ‹,≥,≤,›

Пример 2:

Рассмотрим таблицы, позволяющие рационализировать показательный неравенства .

Таблица для рационализации в показательных неравенствах:

f и g — функции от x , h — функция или число, V — один из знаков ›,≤,≥,‹.Таблица работает при условии h ›0, h ≠1.

Опять же, по сути, нужно запомнить первую и третью строчки таблицы. Вторая строка -частный случай первой, а четвертая строка — частный случай третьей .

( x 2 _{— x -2)} 2 x -6 ≥ ( x 2 — x -2) 3-4 x
X 2 — x -2›0

(( X 2 — x -2)-1)((2 x -6)-(3-4 x ))≥ 0

x ›2 ; x ‹-1
( x 2 — x -3)(6 x -9)≥0 , x _{2= ,} x _3=1,5

Так как 3‹ √13 ‹4,то x 2‹ x 3‹ x 1

С учётом ОДЗ получаем: ( ; -1) U ( ; +∞)

Доклад про логарифмическую спираль:

Вопрос: Если идти все время на северо-восток, то куда придешь?

Обычно на этот вопрос отвечают так:

обойду земной шар и вернусь в

точку начала пути.

Но этот ответ неверен.

Ведь идти на северо-восток — это

значит постоянно увеличивать

восточную долготу и северную

широту, и вернуться в более южную

точку мы не сможем.

Ответ: Рано или поздно мы попадем на северный полюс.

При этом путь, который мы пройдем, будет иметь вид логарифмической спирали.

На рисунке вы можете видеть этот путь так, как мы увидели бы его, смотря на земной шар со стороны северного полюса.

Уравнение логарифмической спирали

где r – расстояние от точки,

вокруг которой закручивается

спираль (ее называют полюсом),

до произвольной точки на спирали,

φ – угол поворота относительно полюса, ά – постоянная.

Спираль называется логарифмической, т.к. логарифм расстояния ( log _ά r ) возрастает пропорционально углу поворота φ.

Логарифмическую спираль называют еще равноугольной спиралью. Это ее название отражает тот факт, что в любой точке логарифмической спирали угол между касательной к ней и радиус-вектором сохраняет постоянное значение.

Логарифмическая спираль нередко используется в технических устройствах. Например, вращающиеся ножи нередко имеют профиль, очерченный по логарифмической спирали – под постоянным углом к разрезаемой поверхности, благодаря чему лезвие ножа стачивается равномерно.

Очень часто логарифмическая спираль встречается в природе.

Например, раковины морских животных могут расти лишь в одном направлении.

Чтобы не слишком вытягиваться, им приходится скручиваться, причем каждый следующий виток подобен предыдущему. А такой рост может совершаться лишь по логарифмической спирали. Можно сказать, что эта спираль является математическим символом соотношения форм роста. Великий немецкий поэт Иоганн Вольфган Гёте считал ее математическим символом жизни и духовного развития.

Очертания, выраженные логарифмической спиралью, имеют не только раковины.

В подсолнухе семечки располагаются по дугам, также близким к логарифмической спирали.

Один из наиболее распространенных пауков, эпейра, сплетая паутину, закручивает нити вокруг центра по логарифмической спирали.

По логарифмическим спиралям закручены и многие Галактики, в частности, Галактика, которой принадлежит Солнечная система.

Задания ЕГЭ №7(базовый);№ 5,15(профильный )

Задание15 № 507708. Решите неравенство:

Источник: МИОО: Тренировочная работа по математике 2010 год вариант 201. (Часть С)

Задание 15 № 507764. Решите неравенство:

Источник: МИОО: Тренировочная работа по математике 06.05.2010 вариант 1. (Часть С)

Задание 15 № 508210. Решите неравенство:

Задание 15 № 508366. Решите неравенство:

Задание 5 № 26651 Найдите корень уравнения .

Задание 5 № 26653. Найдите корень уравнения .

Задание 5 № 26646. Найдите корень уравнения

Задание 5 № 26657. Найдите корень уравнения .

Задания №7 базового уровня такие же как и задания№5 профильного уровня

Проведя исследовательскую работу, дети узнают много полезного и интересного о методах решения логарифмических уравнениях и неравенствах, научатся работать с источниками информации, узнают в каких случаях и как используются те или иные или другие нестандартные методы.

Я, как учитель, в процессе работы над проектом с большим интересом составляла его, соблюдая нормы структурных требований. Интерес к чему-то новому, помню еще, было со школы: когда будучи ученицей седьмого класса, я получила задание от учительницы (на следующий урок подготовить выступление) по геометрии по теме «Средняя линия трапеции», построить чертеж на доске и доказать теорему о средней линии трапеции.(1982г)

Я справилась этим заданием. « Все новое — это хорошо забытое старое » гласит народная мудрость.

Выпускник получит возможность овладеть специальными приемами решения логарифмических и показательных уравнений и неравенств, применять их для решения заданий ЕГЭ.

Проектную работу с успехом можно применить при подготовке к ЕГЭ.

Элементы проекта могут быть использованы также при подготовках к олимпиаде. В дальнейшем эта работа будет продолжаться по другой теме по заданиям ЕГЭ «Нахождение объемов тел».