Проект решение задач на уравнение

Проект по математике «Способы решения уравнений различных видов»

Умение учащихся самостоятельно добывать знания и совершенствовать очень важно, потому что современному обществу, производству нужны работники и руководители, способные быстро и правильно решать постоянно возникающие конкретные задачи, вести диалог с коллегами и партнерами, самостоятельно принимать решения. Поэтому на уроках используются технологии, отвечающие современным требованиям. Одной из таких технологий является “технология проектов”. Суть и идея ее заключается в организации самостоятельной, поисковой, творческой деятельности учащихся.

В основу «технологии проектов» положена идея о направленности учебно-познавательной деятельности школьников на результат, который получается при решении той или иной практической или теоретической значимой проблемы. Внешний результат можно увидеть, осмыслить, применить в реальной практической деятельности. Внутренний результат – опыт деятельности – становится достоянием учащегося, соединяя в себе знания и умения, компетенции и ценности.

Просмотр содержимого документа
«Проект по математике «Способы решения уравнений различных видов»»

Проект по математике

«Способы решения уравнений различных видов»

Подготовили учащиеся 8 класса

Учитель математики — Некрасова Тамара Ивановна

«Уравнение представляет собой наиболее серьёзную и важную вещь в математике».

«Посредством уравнений, теорем
Он уйму всяких разрешал проблем:
И засуху предсказывал, и ливни.
Поистине его познанья дивны»

Тема проекта «Способы решения уравнений различных видов»

Тип проекта: групповой, краткосрочный, творческо-исследовательский

Участники проекта: ученики 8 класса.

Сроки реализации проекта: три недели.

Результат: защита проектов, создание презентации, а затем оказание помощи одноклассникам, испытывающим затруднения по данному учебному материалу.

Целью работы является комплектовать все виды уравнений по видам и разобрать основные способы решения данных уравнений.

Задания для групп (в каждой группе 2 человека)

Зачем нужно уметь решать уравнения?

Какими методами решаются уравнения?

1. Обсуждение и утверждение плана работы. Распределение учащихся на группы, выбор каждой группой вопросов-заданий и форм (проектных продуктов) представления результатов работы (первая неделя).

2. Изучение и анализ источников и литературы.(вторая неделя)

3. Оформление результатов работы над проектом.(вторая неделя)

4. Представление проектных продуктов.(третья неделя)

Работа над проектом

Подбор исторических сведений об уравнениях (1 учащийся)

Задание для группы 1.

Собрать информацию по теме «Линейные уравнения, методы их решения» (источники: материалы учебников алгебры 7-8, справочники, Интернет).

Подобрать 10 – 15 уравнений по данной теме (вместе с решением).

Оформить отчёт о проделанной работе: теория + практические задания («бумажный» вариант).

Подготовиться к защите проекта.

Задание для группы 2.

Собрать информации по теме «Квадратные уравнения и уравнения, приводимые к квадратным, методы их решения» (источники: материалы учебников алгебры 7-8, справочники, Интернет).

Подобрать 10 – 15 уравнений по данной теме (вместе с решением).

Оформить отчёт о проделанной работе: теория + практические задания («бумажный» вариант).

Подготовиться к защите проекта.

Задание для группы 3.

Собрать информации по теме «Дробно-рациональные уравнения, методы их решения» (источники: материалы учебников алгебры 7-8, справочники, Интернет).

Подобрать10 – 15 уравнений по данной теме (вместе с решением).

Оформить отчёт о проделанной работе: теория + практические задания («бумажный» вариант).

Подготовиться к защите проекта.

Создание презентации (коллективная работа)

В те далекие времена, когда мудрецы впервые стали задумываться о равенствах содержащих неизвестные величины, наверное, еще не было нимонет, ни кошельков. Но зато были кучи, а также горшки, корзины, которыепрекрасно подходили на роль тайников-хранилищ, вмещающих неизвестное количество предметов. «Ищется куча, которая вместе с двумя третями ее, половиной и одной седьмой составляет 37. «, — поучал во II тысячелетии до новой эры египетский писец Ахмес. В древних математических задачах Междуречья, Индии, Китая, Греции неизвестные величины выражали число

павлинов в саду, количество быков в стаде, совокупность вещей, учитываемых при разделе имущества. Хорошо обученные науке счета писцы, чиновники и посвященные в тайные знания жрецы довольно успешно справлялись с такими задачами.

Дошедшие до нас источники свидетельствуют, что древние ученые владели какими-то общими приемами решения задач с неизвестными величинами. Однако ни в одном папирусе, ни в одной глиняной табличке не дано описания этих приемов. Авторы лишь изредка снабжали свои числовые выкладки скупыми комментариями типа: «Смотри!», «Делай так!», «Ты правильно нашел». В этом смысле исключением является «Арифметика»

греческого математика Диофанта Александрийского (III в.) – собрание задач на составление уравнений с систематическим изложением их решений.

Однако первым руководством по решению задач, получившим широкую известность, стал труд багдадского ученого IX в. Мухаммеда бен Мусы аль-Хорезми. Слово «аль-джебр» из арабского названия этого трактата – «Китаб аль-джебер валь-мукабала» («Книга о восстановлении и противопоставлении») – со временем превратилось в хорошо знакомое всем слово «алгебра», а само сочинение аль-Хорезми послужило отправной точкой в становлении науки о решении уравнений.

1) Сейчас мы с вами рассмотрим решения линейных уравнений.

Вспомним, что уравнение вида ax+b=0 называется линейным уравнением или

уравнением первой степени так как при переменной «х» старшая степень

находится в первой степени.

Решение линейного уравнения очень простое:

Пример 1 Решите уравнение 3x+3=5x

Линейное уравнение решается методом переноса членов содержащих

неизвестные в левую часть от знака равенства, свободные коэффициенты в

правую часть от знака равенства:

Значение переменной, обращающее уравнение в верное равенство

называется корнем уравнения.

Выполнив проверку получим:

Значит 1,5 – корень уравнения.

Решения уравнений методом переноса слагаемых из одной части

уравнения в другую, при этом знак слагаемых меняется на противоположный

и применяют свойства уравнений – обе части уравнения можно умножить

(разделить) на одно и то же отличное от нуля число или выражение, можно

рассмотреть при решении следующих уравнений.

Пример 2 Решите уравнения:

а) 6x+1=− 4x; б) 8+7x=9x+4; в) 4(x−8)=− 5

а) Методом переноса решаем

б) Аналогично предыдущему примеру решаем методом переноса:

в) В данном уравнении необходимо раскрыть скобки, применяя

распределительное свойство умножения относительно операции сложения.

Решеие уравнений. Проект

проект по решению уравнений в 6 классе

Скачать:

Предварительный просмотр:

Подписи к слайдам:

Муниципальное образовательное учреждение «Красносельская средняя общеобразовательная школа» проект Решение уравнений

«Предмет математики настолько серьёзен, что полезно не упустить случая сделать его немного занимательным». Б. Паскаль «Умственный труд на уроках математики – пробный камень мышления». В.А. Сухомлинский «Лучший способ изучить что-то – это открыть самому». Д. Пойа

Цели и задачи проекта Цель: р азвитие исследовательской компетентности учащихся посредством освоения ими новых знаний, выходящих за рамки школьной программы, по теме «Уравнения». Задачи: — формирование способности творчески, логически мыслить, последовательно рассуждать и представлять конечный результат; — формирование социальной и предметной компетентности; — формирование навыков самостоятельной работы с учебным материалом; — формирование умения работать в команде и навыков общения; — эффективно использовать знания в реальной жизни.

введение Основополагающий вопрос: зачем нужно изучать уравнения ? Математическое образование – это важнейший компонент общего образования и общей культуры современного человека. Всё, что окружает человека в жизни, так или иначе связано с математикой. Решение многих практических задач сводится к решению уравнений.

УРАВНЕНИЕ – ЭТО Равенство переменной с переменной или несколькими переменными. X=Y+3 Равенство, из которого находят неизвестную величину, обозначенную, как правило, буквой латинского алфавита. 4C-28=64 Два выражения, соединенные знаком равенства . 35-2d=923-5d

Виды уравнений ax + b = 0 ax 2 + bx = 0 ax 3 + bx 2 + cx + d = 0 ax 4 + bx 2 + c = 0 ax 4 + bx 3 + cx 2 + bx + a = 0 ax 4 + bx 3 + cx 2 — bx + a = 0 ab 2 x 4 + bx 3 + cx 2 + dx + ad 2 = 0 ax 4 + bx 3 + cx 2 + dx + e = 0 x n – a = 0 x 2 n + bx n + c = 0 a 0 x 2n + a 1 x 2n?1 + a 2 x 2n?2 +…+ a 2 x 2 + a 1 x + a 0 =0 a n x n + a n-1 x n-1 + … + a 1 x + a 0 = 0

РЕШИТЬ УРАВНЕНИЕ Значит найти все значения неизвестных, при которых оно превращается в верное равенство, или установить, что таких значений нет.

ПЛАН РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЯ (х-3) :4=6 Расставь действия. Какое последнее? Какое слово связано с ним? Вырази делимое х -3=6*4 х -3=24 Что будем находить? х=24+3 х=27

КОРЕНЬ УРАВНЕНИЯ – ЭТО числовое значение буквы, которое обращает уравнение в верное равенство. ( 27 -3 ) : 4=6 24 : 4 = 6 6 = 6

Примеры решения уравнений 3х = х + 4 4х – 8 = 6 – 3х 3х – х = 4 4х + 3х = 6 + 8 2х = 4 7х = 14 х = 4 : 2 х = 14 : 7 х = 2 х = 2 х + 3 = х +5 ( х + 3) * 9 = ( х + 5) *9 7х + 27 = 6х + 45 7х – 6х = 45 – 27 Х = 18

Примеры решения уравнений — 40 * (- 7х +5) = — 1600 (- 40 * (- 7х +5 )) : (- 40) = — 1600 : (- 40) — 7х + 5 = 40 — 7х = 40 – 5 — 7х = 35 х = 35 : (- 7) х = — 5

Примеры решения задач при помощи уравнений Что можно снять с каждой чаши, не нарушая равновесия ? Запишите , какое уравнение было первоначально и какое получилось? 5х = 2х + 6 5х – 2х = 2х – 2х + 6 2х = 6 х

х = 2 Ответ: 2 кг масса одного арбуза

Примеры решения задач при помощи уравнений В первом бидоне в 3 раза больше молока, чем во втором. Если из первого перелить 20 л во второй, то молока в бидонах будет поровну. Сколько литров молока в каждом бидоне?

Примеры решения задач при помощи уравнений Получим уравнение: 3х – 20 = х + 20

3х — х =20 + 20 2х = 40 Х = 20 20*3 = 60(л) – молока в 1 бидоне. Ответ: 60 л, 20 л.

Задача Диофанта На родном языке: На языке алгебры: Путник! Здесь прах погребен Диофанта. И числа поведать могут, о чудо, сколь долог был век его жизни. х Часть шестую его представляло прекрасное детство. Двенадцатая часть протекла еще жизни – покрылся пухом тогда подбородок. Седьмую в бездетном браке провел Диофант. Прошло пятилетие; он был осчастливлен рождением прекрасного первенца сына. 5 Коему рок половину лишь жизни прекрасной и светлой дал на земле по сравненью с отцом. И в печали глубокой старец земного удела конец воспринял, переживши года четыре с тех пор, как сына лишился. 4 Скажи , сколько лет жизни достигнув, смерть воспринял Диофант?» Уравнение : Х = + + + 5 + + 4 На родном языке: На языке алгебры: Путник! Здесь прах погребен Диофанта. И числа поведать могут, о чудо, сколь долог был век его жизни. х Часть шестую его представляло прекрасное детство. Двенадцатая часть протекла еще жизни – покрылся пухом тогда подбородок. Седьмую в бездетном браке провел Диофант. Прошло пятилетие; он был осчастливлен рождением прекрасного первенца сына. 5 Коему рок половину лишь жизни прекрасной и светлой дал на земле по сравненью с отцом. И в печали глубокой старец земного удела конец воспринял, переживши года четыре с тех пор, как сына лишился. 4 Скажи , сколько лет жизни достигнув, смерть воспринял Диофант?»

ВЫВОДЫ: Обе части уравнения можно делить или умножать на одно и то же число. Любой член уравнения можно перенести из одной части уравнения в другую с противоположным знаком.

Заключение: При работе над проектом мы узнали много нового и полезного из области математики. Познакомились с биографией великих математиков. Узнали о том, где применяется решение уравнений в жизни современного человека.

Великие математики Диофант ( Dióphantos ) (вероятно , 3 в.), древнегреческий математик из Александрии. Сохранилась часть его математического трактата «Арифметика» (6 книг из 13), где даётся решение задач, в большинстве приводящихся к неопределённым уравнениям. Абу Аб­дал­лах Му­хам­мад ибн Му­са аль-Хо­рез­ми /783 – 850/ – один из круп­ней­ших уче­ных Сред­не­ве­ковья . Ал­геб­ра­и­чес­кая кни­га аль-Хо­рез­ми со­сто­ит из двух час­тей – те­о­ре­ти­чес­кой ( те­о­рия ре­ше­ния ли­ней­ных и квад­рат­ных урав­не­ний, не­ко­то­рые во­про­сы гео­мет­рии) и прак­ти­чес­кой (при­ме­не­ние ал­геб­ра­и­чес­ких ме­то­дов в ре­ше­нии хо­зяйст­вен­но-бы­то­вых, тор­го­вых и юри­ди­чес­ких за­дач – де­леж на­следст­ва, со­став­ле­ние за­ве­ща­ний, раз­дел иму­щест­ва, раз­лич­ные сдел­ки, из­ме­ре­ние зе­мель, стро­и­тельст­во ка­на­лов).

Над проектом работали: Джолжанова Айслу 7 класс Танатарова Адима 7 класс Сидоренков Илья 6б класс Шаманов Данил 6б класс Руководитель проекта: Рыжова Наталья Михайловна учитель математики

Источники информации 1. Б.В. Гнеденко «Математика в современном мире». Москва «Просвещение» 1980 г. 2. Я.И. Перельман «Занимательная алгебра». Москва «Наука» 1978 г. 3. Wikipedia. 4. proshkolu.ru.

Предварительный просмотр:

Муниципальное образовательное учреждение «Красносельская средняя общеобразовательная школа Быковского муниципального района Волгоградской области

Решение задач с помощью уравнений

Тема урока: § 6. Решение задач с помощью уравнений. Приведены все необходимые и достаточные сведения для решения текстовых задач с помощью составления уравнений.

Введение

В школьной математике есть целый кладезь текстовых задач, которые решаются универсальным методом построения уравнения (модели) исходя из условия.

Сам факт того, что огромное количество самых разнообразных задач поддаются решению с помощью составления линейного уравнения, говорит нам, что метод решений является действительно универсальным.

Обычно условия задач удается перевести на математический язык. Полученное уравнение — это следствие перевода нашего условия с русского языка на язык алгебры. Зачастую фактической стороной повествования задачи является описание реальной ситуации, какого либо процесса, события.

Чтобы получить ответ — уравнение нужно решить, полученный корень уравнения будет являться решением, разумеется необходимо еще проверить, не является ли результат противоречивым относительно условия.

Алгоритм решения текстовых задач с помощью уравнений

Для решения задачи с помощью уравнения делают следующие действия:

1. Обозначают некоторое неизвестное буквой и, пользуясь условием, составляют уравнение.
2. Решают уравнение.
3. Истолковывают результат.

Примеры решений

Задача 1.
В мешке было в 3 раза меньше монет, чем в сундуке. После того как из мешка переложили 24 монеты, в сундуке их стало в 7 раз больше, чем в мешке. Сколько было монет в мешке и сколько в сундуке?

Пусть $x$ — количество монет в мешке, а значит в сундуке: $3x$ монет. После того, как из мешка переложили $24$ монеты, в сундуке стало: $3x+24$, а в мешке $x-24$. И если в сундуке их стало в $7$ раз больше чем в мешке, то имеем: $3x+24=7(x-24)$.

Ну вот мы и составили уравнение (математическую модель), осталось решить уравнение относительно $x$ и записать ответ.

Решим полученное уравнение: $3x+24=7(x-24)$. Легко увидеть, что уравнение является линейным (узнать как решаются линейные уравнения можно тут.)

Раскроем скобки в правой части уравнения: $3x+24=7x-7\cdot 24$. Перенесём все слагаемые содержащие переменную в правую часть, а всё что не содержит $x$ в левую, получим: $24+7\cdot 24=7x-3x$. После упрощения получили $192=4x$, разделим обе части уравнения на коэффициент при неизвестном, т.е на $4$, тогда получим $x=48$.

Осталось истолковать ответ.
За переменную $x$ мы обозначали количество монет в мешке, значит в сундуке в три раза больше т.е $3x$.

Монет в мешке: $48$

Монет в сундуке: $48\cdot 3=144$

Задача 2.
Купили 3600 кг муки и высыпали её в три мешка. В первый мешок муки вошло в 3 раза больше, чем во второй, а в третий мешок насыпали 800 кг муки. Сколько муки насыпали в первый и сколько во второй мешок?

Пусть в первый мешок насыпали $3x$ кг муки, тогда во второй мешок насыпали $x$ кг. Если сложим количество кг в каждом мешке, то получим $3600$ кг муки. Имеем: $3x+x+800=3600$, решим уравнение классическим методом.

Все слагаемые содержащие $x$ оставим слева, а всё остальное перенесём в правую часть равенства: $3x+x=3600-800$, упростим обе части; $4x=2800$ поделим обе части равенства на $4$ и получим ответ: $x=700$.

Ответ.
За переменную $x$ мы обозначали количество муки во втором мешке, по условию в первом в три раза больше.

Муки в первом мешке: $700\cdot 3=2100$ кг.

Муки во втором мешке: $700$ кг.

Задача 3.
В первом мешке в 4 раза больше картофеля, чем во втором. После того, как из одного мешка взяли 40 кг картофеля, а во второй насыпали ещё 5 кг, в обоих мешках картофеля стало поровну. Сколько килограммов картофеля было во втором мешке.

Пусть во втором мешке $x$ кг картофеля, тогда в первом мешке $4x$ кг. Из первого взяли $40$ кг, тогда в первом стало: $4x-40$. Во второй мешок насыпали $5$ кг и теперь в нём: $x+5$ кг картошки. Нам известно, что после этих изменений количество картофеля в мешках стало поровну, запишем это с помощью линейного уравнения:

Решим это линейное уравнение. Все слагаемые содержащие переменную перенесём влево, а свободные члены вправо и получим:

Избавимся от коэффициента при неизвестном и получим ответ:

Ответ.
За переменную $x$ мы обозначали количество кг картошки во втором мешке, по условию в первом в четыре раза больше.

Картошки в первом мешке: $15\cdot 4=60$ кг.

Картошки во втором мешке: $15$ кг.

Задача 4.
По шоссе едут две машины с одной и той же скоростью. Если первая увеличит скорость на 20 км/ч, а вторая уменьшит скорость на 20 км/ч, то первая за 2 часа пройдёт то же самое расстояние, что и вторая за 4 часа. Найдите первоначальную скорость машин.

Пусть машины едут со скоростью $v$ км/ч, тогда после ускорения первой машины её скорость стала: $v+20$ км/ч, а скорость второй машины после замедления стала: $v-20$ км/ч. Нам известно по условию, что после изменения скоростей машин, первая проходит за два часа ровно столько, сколько вторая за четыре, тогда имеем:

По известной нам формуле $S=vt$ ($S$ — расстояние, $v$ — скорость, $t$ — время)

Сократим обе части равенства на $2$, тогда получим: $v+20=2(v-20)$. Раскроем скобки в правой части уравнения и сгруппируем все переменные в правой части равенства.

Ответ.
В качестве неизвестной величины в задаче мы взяли $v$ (первоначальную скорость машин).

Первоначальная скорость машин: $v=60$ км/ч.

Задача 5.
В первую бригаду привезли раствора цемента на 50 кг меньше, чем во вторую. Каждый час работы первая бригада расходовала 150 кг раствора, а вторая – 200кг. Через 3 ч работы в первой бригаде осталось раствора в 1,5 раза больше, чем во второй. Сколько раствора привезли в каждую бригаду?

Пусть во вторую бригаду привезли $x$ кг раствора цемента, тогда в первую бригаду привезли $x-50$ кг. Через 3 часа работы у первой бригады осталось $x-50-3\cdot 150$ кг цемента, а у второй $x-3\cdot 200$ кг.

По условию известно, что через 3 часа работы в первой бригаде осталось в 1,5 раза больше цемента, чем во второй, тогда имеем:

$$x-50-3\cdot 150=1,5(x-3\cdot 200)$$

Осталось решить данное уравнение относительно $x$ и истолковать ответ.

Упростим и раскроем скобки в правой части, тогда получим:

Если вам неудобно работать с десятичными дробями, то вы всегда можете их переводить в рациональный вид: $1,5=\frac<15><10>=\frac<3><2>$.

Запишем с учётом перевода дробей и упростим:

Перенесём слагаемые содержащие переменную в правую сторону, а всё остальное в левую:

Домножим обе части на 2 и получим ответ:

Ответ.
В качестве переменной в задаче мы взяли $x$ (кол-во кг цемента который привезли во вторую бригаду), по условию в первую привезли на 50 кг меньше, а значит $x-50$

Кол-во цемента в первой бригаде: $800-50=750$ кг.

Кол-во цемента во второй бригаде: $800$ кг.

Задачи для самостоятельного решения

По контракту работникам причитается 48 франков за каждый отработанный день, а за каждый неотработанный день с них вычитается по 12 франков. Через 30 дней выяснилось, что работникам ничего не причитается. Сколько дней они отработали в течение этих 30 дней?

Пусть работники отработали $n$ дней, тогда $30-n$ дней они не отработали.

В итоге мы понимаем, что за $n$ рабочих дней они зарабатывают $48n$ франков и с них вычитается за $30-n$ не отработанных дней по $12(30-n)$ франков. Тогда ясно, что: $48n-12(30-n)=0$

Ответ: Рабочие отработали 6 дней.

Кирпич весит фунт и полкирпича. Сколько фунтов весит кирпич?

Пусть целый кирпич весит весит $k$ фунтов, тогда имеем:

1 фунт и половина кирпича = целый кирпич.

Бутылка с пробкой стоит 10 копеек, причем бутылка на 9 копеек дороже пробки. Сколько стоит бутылка без пробки?

Пусть бутылка стоит $b$ копеек, а пробка $p$ копеек, тогда:

$b+p=10$ и $b=p+9$, подставив значение $b$ в первое равенство — получим:

Т.е пробка стоит пол копейки, тогда бутылка $9,5$ копеек.

Ответ: 9,5 копеек стоит бутыка без пробки.

На свитер, шапку и шарф израсходовали 555 г шерсти, причем на шапку ушло в 5 раз меньше шерсти, чем на свитер, и на 5 г больше, чем на шарф. Сколько шерсти израсходовали на каждое изделие?

Пусть на свитер потратили $5x$ г шерсти, тогда на шапку ушло $x$ г и на шарф потребовалось $x-5$ г, имеем:

Ответ: На шапку ушло $80$ г, на свитер $5\cdot 80=400$ г, на шарф $80-5=75$ г.

Три пионерских звена собрали для школьной библиотеки 65 книг. Первое звено собрало на 10 книг меньше, чем второе, а третье — 30% того числа книг, которое собрали первое и второе звено вместе. Сколько книг собрало каждое звено?

Пусть второе звено собрало $x$ книг, тогда первое собрало $x-10$ книг, а третье $0,3(2x-10)$, имеем:

$$2x-10+0,3\cdot 2x-0,3\cdot 10=65$$

$$2x+0,3\cdot 2x=65+10+0,3\cdot 10$$

Ответ: Первое звено собрало $30-10=20$ книг, второе $30$ книг, третье $0,3(60-10)=15$ книг.