Проект системы уравнений и способы их решения

Исследование различных методов решения систем уравнений

Решение систем уравнений важно не только в плане содержания курса математики; они используются в физике, химии, при решении технических, инженерных задач, при работе с моделями экономических, социальных, биологических и прочих явлений и процессов. По статистике, представленной на сайте Федерального института педагогических измерений решили систему уравнений (задание № 21) на 2 балла 24%, на 1 балл – 35% обучающихся. Остальные не справились с этим заданием.

Всё отмеченное указывает на то, что учащиеся испытывают трудности при решении систем уравнений. Я учусь в 9 классе и мне хотелось бы набрать хорошие баллы по математике на ОГЭ. Поэтому мы решили проанализировать методы решения задач систем уравнений, и нами была выдвинута гипотеза: если ученик будет владеть несколькими методами решения систем уравнений, то он сможет при решении системы выбрать наиболее рациональный метод.

Цель: исследовать различные методы решения систем уравнений.

Для достижения поставленной цели решались следующие задачи:

1. Изучить теоретический материал по данной теме.

2. Изучить метод Крамера для решения систем уравнений.

3. Сравнить различные методы решения систем уравнений.

4. Проверить экспериментальным путем, какой метод решения систем уравнений наиболее рациональный.

Методы исследование: опрос, анкетирование, анализ, сравнение и обобщение результатов.

Вывод: графический метод решения систем уравнений красив, но ненадёжен. Во -первых, потому, что графики уравнений мы сумеем построить далеко не всегда. Во-вторых, даже если графики уравнений удалось построить, точки пересечения могут быть не такими «хорошими». По нашему мнению, учащийся должен владеть несколькими методами решения систем уравнений, для того чтобы не только воспользоваться самым рациональным, но и для проверки точности вычисления.

Презентация по математике на тему «Способы решения систем уравнений»

Выполнил: Ученик 7 «а» класса

Выполнил:
Ученик 7 «а» класса
Селиванов Егор

Способы решения систем уравнений.

Цели проекта: Какими методами можно решить систему линейных уравнений

Какими методами можно решить систему линейных уравнений.

Задачи проекта: Узнать, что называется системой линейных уравнений

Узнать, что называется системой линейных уравнений
Рассмотреть различные способы решения систем линейных уравнений.
На основе найденных и изученных данных, создать информационный баннер.

Гипотеза : Необходимо знать способы решения систем уравнений

Необходимо знать способы решения систем уравнений

Готфрид Вильгельм Лейбниц Диофант

Готфрид Вильгельм Лейбниц

Сэки Такакадзу Габриэль Крамер

Карл Фридрих Гаусс

Определение Уравнение – это равенство, содержащее одну или несколько переменных

Уравнение – это равенство, содержащее одну или несколько переменных

Линейное уравнение с
одной переменной

Линейное уравнение с
двумя переменными

Свойства уравнений
*если в уравнении перенести слагаемое из одной части в другую, изменив его знак, то получится уравнение, равносильное данному
*если обе части уравнения умножить или разделить на одно и то же отличное от нуля число, то получится уравнение, равносильное данному

Системой уравнений называется некоторое количество уравнений, объединенных фигурной скобкой

Системой уравнений называется некоторое количество уравнений, объединенных фигурной скобкой. Фигурная скобка означает, что все уравнения должны выполняться одновременно равенство.

Решением системы уравнений называется значения переменных, обращающие каждое уравнение системы в верное равенство.
Решить систему уравнений это значит — найти все её решения или установить, что их нет.

Способы решения систем уравнений:

Способы решения систем уравнений:

Метод сложения
Метод введения новых переменных
Графический способ
Метод подстановки

Способ подстановки 1. Из любого (обычно более простого) уравнения системы выразить одно неизвестное через другое, например, x через y из первого уравнения системы; 2

1. Из любого (обычно более простого) уравнения системы выразить одно неизвестное через другое, например, x через y из первого уравнения системы;
2. Подставить полученное выражение в другое (второе) уравнение системы вместо x ;
3. Решить уравнение с одним неизвестным относительно y (найти y );
4. Подставить найденное на третьем шаге значение y в уравнение, полученное на первом шаге, вместо y и найти x ;
5. Записать ответ.

Метод сложения 1. Уравнять модули коэффициентов при одном из неизвестных (если необходимо)

1. Уравнять модули коэффициентов при одном из неизвестных (если необходимо).
2. Сложить или вычесть уравнения. Решить полученное уравнение с одной переменной, найти неизвестное.
3. Подставить найденное на втором шаге значение переменной в одно из уравнений исходной системы, найти второе неизвестное.
4. Записать ответ.

Построить в одной системе координат график каждого уравнения 2

1. Построить в одной системе координат график каждого уравнения
2. Определить координаты точки пересечения
Записать ответ: х=…; у=… , или (х; у)

Привести систему уравнений к простейшей часто удается с помощью замены переменных

Привести систему уравнений к простейшей часто
удается с помощью замены переменных.
Наиболее часто используемые виды замен:

Метод введения новых переменных

Полезно ввести новые переменные

Полезно ввести новые переменные

Вывод При работе над проектом исследованы методы решения систем уравнений

При работе над проектом исследованы методы решения систем уравнений.
Работа на выбранную тему является актуальной в связи с тем, что она систематизирует знания и позволяет учащимся лучше понять данную тему, т.к. способы решения систем линейных уравнений собраны в единое пособие.

Презентация проекта по математике на тему «Способы решения систем уравнений» (7-9)класс

Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

Описание презентации по отдельным слайдам:

Способы решения систем уравнений. Беглова Наталья Михайловна учитель математики

Содержание. 1. Введение 2. Уравнения и системы уравнений. 2.1 Основные понятия 3. Способы решения систем уравнений 3.1 Способ подстановки 3.2 Способ сложения 3.3 Графический способ 3.4 Способ сравнения 3.5 Метод введения новых переменных 3.6 Метод деления и умножения 3.7 Применение однородных уравнений в решении систем 3.8 Метод определителей 4. Решение задач с помощью систем уравнений 5. Линейные системы трех уравнений с тремя неизвестными. 6. Заключение. 7. Список литературы.

Определение Уравнение – это равенство, содержащее одну или несколько переменных Линейное уравнение с одной переменной Линейное уравнение с двумя переменными Свойства уравнений если в уравнении перенести слагаемое из одной части в другую, изменив его знак, то получится уравнение, равносильное данному если обе части уравнения умножить или разделить на одно и то же отличное от нуля число, то получится уравнение, равносильное данному Основные понятия. Уравнения.

Основные понятия. Система уравнений. Определения: Системой уравнений называется некоторое количество уравнений, объединенных фигурной скобкой. Фигурная скобка означает, что все уравнения должны выполняться одновременно. Решением системы уравнений называется значения переменных, обращающие каждое уравнение системы в верное равенство. Решить систему уравнений это значит — найти все её решения или установить, что их нет.

Способы решения систем уравнений Способ подстановки Метод деления и умножения Способ сложения Метод введения новых переменных Метод определителей Применение однородных уравнений в решении систем Способ сравнения Графический способ

Способ подстановки Алгоритм решения. Выражают одну переменную через другую в одном из уравнений системы. 2. Это выражение подставляют в другое уравнение системы, и в результате получают уравнение с одной переменной. 3. В уравнении с одной переменной находят корень. 4. Подставив найденный корень, получают значение другой переменной. 5. Записывают ответ.

Решение системы способом подстановки Ответ: (-3;5)и(2;10)

Способ сложения Алгоритм решения. Уравнять модули коэффициентов при какой-нибудь переменной Сложить почленно уравнения системы Составить новую систему: одно уравнение новое, другое — одно из старых Решить новое уравнение и найти значение одной переменной Подставить значение найденной переменной в старое уравнение и найти значение другой переменной Записать ответ: х=…; у=… .

Решение системы способом сложения ||·(-1) + ____________ Ответ: (-3;5)и(2;10)

Графический способ Алгоритм решения. Построить в одной системе координат график каждого уравнения Определить координаты точки пересечения Записать ответ: х=…; у=… , или (х; у)

Решение системы графическим способом 2 0 2 x 4 6 10 -2 y y=8+х Выразим у через х Построим график первого уравнения у=8+х Построим график второго уравнения Ответ: (-3;5)и(2;10) Парабола, ветви вниз (0;14)-вершина 12 14 8

Способ сравнения Выразить у через х (или х через у) в каждом уравнении. 2. Приравнять выражения, полученные для одноимённых переменных. 3. Решить полученное уравнение и найти значение одной переменной. 4. Подставить значение найденной переменной в одно из выражений для другой переменной и найти её значение. 5. Записать ответ: х =…; у =… . Алгоритм решения.

7х – 1 = 2х — 4 Решим полученное уравнение: 7х — 2х = 5 5х = 5 х = 1 Решение системы способом сравнения Вернемся к системе: Ответ: (1;6) Приравняем выражение для у:

Привести систему уравнений к простейшей часто удается с помощью замены переменных. Наиболее часто используемые виды замен: или Метод введения новых переменных.

Пример: Решите систему уравнений: х2 + ху +у2 =4 х + ху + у =2 Решение: (х + у)2 –ху=4 (х + у) + ху=2 Сделаем замену х + у= u; ху= v, получим: u2 –v =4 u2+u – 6 =0 u1 = 2; u2 = -3 u + v = 2 v = 2- u v1 = 0; v2 = 5 Осталось решить две простейшие системы: х + у =3 х1 = 0; х2=2 ху = 0 у1 = 2; у2 =0 х + у =3 ху =5 — решений нет Ответ: ( 0;2 ) ( 2;0 ) 1. 2.

Метод деления и умножения. Решение систем методом умножения и деления основано на следующих правилах: Если обе части уравнения f2( х;у ) = g2( х;у ) ни при каких значениях ( х;у ) одновременно в ноль не обращаются, то системы равносильны.

Разделим первое уравнение на второе Ответ: (5; 3) Выразим у через х Решение системы методом деления

Метод определителей. Алгоритм решения. Составить табличку (матрицу) коэффициентов при неизвестных и вычислить определитель . 2. Найти — определитель x, получаемый из  заменой первого столбца на столбец свободных членов. 3. Найти — определитель y, получаемый из  заменой второго столбца на столбец свободных членов. 4. Найти значение переменной х по формуле (Крамера) 5. Найти значение переменной у по формуле 6. Записать ответ: х =…; у =… .

-80 Составим матрицу из коэффициентов при неизвестных  = 7·6 — 2·17 = 42 — 34 = 8 = 1·6 — 2·(-9) = 6 + 18 = 24 = 7·(-9) — 1·17 = — 63 -17= -80 Составим определи- тель x, заменив в определи- теле  первый столбец на столбец свободных членов Составим определи- тель y, заменив в определи- теле  второй столбец на столбец свободных членов x х=  = 24 8 = 3; у= y  = 8 = -10. Найдем х и у Ответ: х=3; у= -10. Решение системы методом определителей.

7х + 2у = 1 17х + 6у = -9 Составим матрицу из коэффициентов при неизвестных Составим определитель x , заменив в определителе  первый столбец на столбец свободных членов. x = 1 2 -9 6 = 1*6 — 2*(-9) = 6 + 18 = 24 Составим определитель y , заменив в определителе  второй столбец на столбец свободных членов. y = 7 1 17 -9 = 7*(-9) — 1*17 = -63 – 17 = -80 = = Ответ: х = 3; у =10. 7 2 17 6 = 7*6 — 2*17 = 42 – 34 = 8 = Найдем х и у: Х= = = -10 3 У=

Линейные системы трех уравнений с тремя неизвестными. Решением линейной системы трех уравнений с тремя неизвестными называется всякая тройка чисел (x,y,z) удовлетворяющая каждому уравнению системы. Любая линейная система может быть решена методом последовательного исключения неизвестных ( метод Гаусса).

Гаусс Карл Фридрих (30.04.1777 — 23.02.1855) Немецкий математик, внёсший фундаментальный вклад также в астрономию и геодезию, иностранный чл.-корр. (с 31.01.1802) и иностранный почётный чл.(с 24.03.1824) Петербургской АН. Родился в семье водопроводчика. Учился в Гёттингенском университете (1795—98). В 1799 получил доцентуру в Брауншвейге, в 1807 — кафедру математики и астрономии в Гёттингенском университете, с которой была также связана должность директора Гёттингенской астрономической обсерватории. На этом посту Гаусс оставался до конца жизни. Отличительными чертами творчества Гаусса являются глубокая органаничная связь в его исследованиях между теоретической и прикладной математикой, необычайная широта проблематики. Работы Гаусса оказали большое влияние на развитие алгебры, теории чисел, дифференциальной геометрии, теории тяготения, классической теории электричества и магнетизма, геодезии, целых отраслей теоретической астрономии.

Краткое описание документа:

Весь материал исследован не только теоретически, но и практически, приведены примеры в тексте. Тема «Решение систем уравнений» предлагается на ГИА , поэтому умение решать системы уравнений очень важно. Моя презентация может использоваться учащимися, как пособие для самостоятельного изучения темы „Способы решения систем уравнений ”, а также в качестве дополнительного материала. Рассмотрены : Способ подстановки. Способ сложения. Графический способ решения. Способ сравнения. Метод введения новых переменных. Метод деления и умножения. Применение однородных уравнений в решении систем. Метод определителей.