Проект способы решения квадратных уравнений 10 класс

Проект по теме»10 способов решения квадратных уравнений»

Актуальность этой темы заключается в том, что на уроках алгебры, геометрии, физики мы очень часто встречаемся с решением квадратных уравнений. Поэтому каждый ученик должен уметь верно и рационально решать квадратные уравнения, это также может мне пригодится при решении более сложных задач, в том числе и при сдаче экзаменов.

Цели работы: изучить различные способы решения квадратных уравнений.

Исходя из данной цели, мною были поставлены следующие задачи:

— изучить историю развития квадратных уравнений;

— рассмотреть стандартные и нестандартные способы решения квадратных уравнений;

— выявить наиболее удобные способы решения квадратных уравнений;

— научиться решать квадратные уравнения различными способами.

Скачать:

Вложение	Размер
sposoby_resheniya_kvadratnyh_uravneniy.docx	513.31 КБ

Предварительный просмотр:

МБОУ Новотроицкая СОШ

решения квадратных уравнений

Выпонил: ученица 9 класса

Чемоданогва Ирина Сергеевна

Работа допущена к защите «_____» _______________ 201____г.

Подпись руководителя проекта ____________________(__________________)

I. История развития квадратных уравнений

1.1. Из история квадратных уравнений

1.1.1. Квадратные уравнения в Древнем Вавилоне

1.1.2.Квадратные уравнения в Индии.

1.1.3. Квадратные уравнения у ал — Хорезми.

1.1.4. Квадратные уравнения в Европе XIII — XVII вв.

Квадратные уравнения и их виды

II. Способы решения квадратных уравнений

2.1.Разложение левой части уравнения на множители

2.2.Метод выделения полного квадрата

Решение квадратных уравнений по формулам

Решение уравнений с использованием теоремы Виета

5.Решение уравнений способом переброски».

Свойства коэффициентов квадратного уравнения

7.Графическое решение квадратного уравнения

8.Решение квадратных уравнений с помощью циркуля и линейки

9.Решение квадратных уравнений с помощью номограммы

10. Геометрический способ решения квадратных уравнений

Список информационных источников

Теория уравнений в школьном курсе алгебры занимает ведущее место. На их изучение отводится времени больше, чем на любую другую тему школьного курса математики. Это связано с тем, что большинство жизненных задач сводится к решению различных видов уравнений.

В учебнике алгебры для 8 класса мы знакомимся с несколькими видами квадратных уравнений, и отрабатывали их решение по формулам. У меня возник вопрос «Существуют ли другие методы решения квадратных уравнений? Насколько сложны данные методы и можно ли ими пользоваться на практике?» Поэтому в этом учебном году я выбрала тему исследования связанную с квадратными уравнениями, в ходе работы она получил название «10 способов решения квадратных уравнений».

Актуальность этой темы заключается в том, что на уроках алгебры, геометрии, физики мы очень часто встречаемся с решением квадратных уравнений. Поэтому каждый ученик должен уметь верно и рационально решать квадратные уравнения, это также может мне пригодится при решении более сложных задач, в том числе и при сдаче экзаменов.

Цели работы: изучить различные способы решения квадратных уравнений.

Исходя из данной цели, мною были поставлены следующие задачи:

— изучить историю развития квадратных уравнений;

— рассмотреть стандартные и нестандартные способы решения квадратных уравнений;

— выявить наиболее удобные способы решения квадратных уравнений;

— научиться решать квадратные уравнения различными способами.

Объект исследования : квадратные уравнения.

Предмет исследования : с пособырешения квадратных уравнений.

Теоретические: изучение литературы по теме исследования;

Анализ: информации полученной при изучении литературы;

результатов полученных при решении квадратных уравнений различными способами.

Сравнение способов на рациональность их использования при решении квадратных уравнений.

1. История развития квадратных уравнений.

1.1.1.Квадратные уравнения в Древнем Вавилоне

Необходимость решать уравнения не только первой, но и второй степени еще в древности была вызвана потребностью решать задачи, связанные с нахождением площадей земельных участков, с земляными работами военного характера, а также с развитием астрономии и самой математики. Квадратные уравнения умели решать около 2000 лет до н. э. вавилоняне.

Применяя современную алгебраическую запись, можно сказать, что в их клинописных текстах встречаются, кроме неполных, и такие, например, полные квадратные уравнения:

X 2 + X = ¾; X 2 — X = 14,5

Правило решения этих уравнений, изложенное в вавилонских текстах, совпадает по существу с современным, однако неизвестно, каким образом дошли вавилоняне до этого правила. Почти все найденные до сих пор клинописные тексты приводят только задачи с решениями, изложенными в виде рецептов, без указаний относительно того, каким образом они были найдены.

Несмотря на высокий уровень развития алгебры в Вавилоне, в клинописных текстах отсутствуют понятие отрицательного числа и общие методы решения квадратных уравнений.

1.1.2.Квадратные уравнения в Индии.

Задачи на квадратные уравнения встречаются в астрономическом тракте «Ариабхаттиам», составленном в 499 г. индийским математиком и астрономом Ариабхаттой. Другой индийский ученный, Брахмагупта (VII в.), изложил общее правило решения квадратных уравнений, приведенных к единой канонической форме: ах 2 + bх = с, а > 0. (1)

В уравнении (1) коэфиценты, кроме а , могут быть и отрицательными. Правило Брахмагупты по существу совпадает с нашим. В Древней Индии были распространены публичные соревнования в решении трудных задач. В одной из старинных индийских книг говорится по поводу таких соревнований следующее: «Как солнце блеском своим затмевает звезды, так ученый человек затмит славу другого в народных собраниях, предлагая и решая алгебраические задачи». Задачи часто облекались в стихотворную форму.

Вот одна из задач знаменитого индийского математика XII в. Бхаскары.

«Обезьянок резвых стая А двенадцать по лианам…

Власть поевши, развлекалась. Стали прыгать, повисая…

Их в квадрате часть восьмая Сколько ж было обезьянок,

На поляне забавлялась. Ты скажи мне, в этой стае?»

Решение Бхаскары свидетельствует о том, что он знал о двузначности корней квадратных уравнений (рис).

Соответствующее задаче уравнение:

Бхаскара пишет под видом: х 2 — 64х = -768

и, чтобы дополнить левую часть этого

уравнения до квадрата, прибавляет к обеим частям 32 2 , получая затем: х 2 — 64х + 32 2 = -768 + 1024,

х 1 = 16, х 2 = 48.

1.1.3.Квадратные уравнения у ал — Хорезми.

В алгебраическом трактате ал — Хорезми дается классификация линейных и квадратных уравнений. Автор насчитывает 6 видов уравнений, выражая их следующим образом:

1) «Квадраты равны корнями», т.е. ах 2 + с = bх.

2) «Квадраты равны числу», т.е. ах 2 = с.

3) «Корни равны числу», т.е. ах = с.

4) «Квадраты и числа равны корням», т.е. ах 2 + с = bх.

5) «Квадраты и корни равны числу», т.е. ах 2 + bx = с.

6) «Корни и числа равны квадратам», т.е. bx + с = ах 2 .

Для ал — Хорезми, избегавшего употребления отрицательных чисел, члены каждого их этих уравнений слагаемые, а не вычитаемые. При этом заведомо не берутся во внимание уравнения, у которых нет положительных решений. Автор излагает способы решения указанных уравнений, пользуясь приемами ал — джабр и ал — мукабала. Его решения, конечно, не совпадает полностью с современным решением. Уже не говоря о том, что оно чисто риторическое, следует отметить, например, что при решении неполного квадратного уравнения первого вида ал — Хорезми, как и все математики до XVII в., не учитывает нулевого решения, вероятно, потому, что в конкретных практических задачах оно не имеет значения. При решении полных квадратных уравнений ал — Хорезми на частных числовых примерах излагает правила решения, а затем и геометрические доказательства.

Задача . «Квадрат и число 21 равны 10 корням. Найти корень»

(подразумевается корень уравнения х 2 + 21 = 10х).

Решение автора гласит примерно так: раздели пополам число корней, получишь 5, умножишь 5 само на себя, от произведения отними 21, останется 4. Извлеки корень из 4, получишь 2. Отними 2 от5, получишь 3, это и будет искомый корень. Или же прибавь 2 к 5, что даст 7, это тоже есть корень.

Трактат ал — Хорезми является первой, дошедшей до нас книгой, в которой систематически изложена классификация квадратных уравнений и даны формулы их решения.

1.1.4. Квадратные уравнения в Европе XIII — XVII вв.

Формулы решения квадратных уравнений по образцу ал — Хорезми в Европе были впервые изложены в «Книге абака», написанной в 1202 г. итальянским математиком Леонардо Фибоначчи. Этот объемистый труд, в котором отражено влияние математики, как стран ислама, так и Древней Греции, отличается и полнотой, и ясностью изложения. Автор разработал самостоятельно некоторые новые алгебраические примеры решения задач и первый в Европе подошел к введению отрицательных чисел. Его книга способствовала распространению алгебраических знаний не только в Италии, но и в Германии, Франции и других странах Европы. Многие задачи из « Книги абака» переходили почти во все европейские учебники XVI — XVII вв. и частично XVIII.

Общее правило решения квадратных уравнений, приведенных к единому каноническому виду: х 2 + bx = с,

при всевозможных комбинациях знаков коэффициентов b , с было сформулировано в Европе лишь в 1544 г. М. Штифелем.

Вывод формулы решения квадратного уравнения в общем виде имеется у Виета, однако Виет признавал только положительные корни. Итальянские математики Тарталья, Кардано, Бомбелли среди первых в XVI в. Учитывают, помимо положительных, и отрицательные корни. Лишь в XVII в. Благодаря труда Жирара, Декарта, Ньютона и других ученых способ решения квадратных уравнений принимает современный вид.

1.2.Квадратные уравнения и их виды.

Уравнение вида ax 2 + bx + c = 0, где a , b , c — действительные числа, причем a ≠ 0, называют квадратным уравнением.

Если a = 1 , то квадратное уравнение называют приведенным; если a ≠ 1, то неприведенным.
Числа a , b , c носят следующие названия: a — первый коэффициент, b — второй коэффициент, c — свободный член.

Если в квадратном уравнении ax2 + bx + c = 0 второй коэффициент b или свободный член c равен нулю, то квадратное уравнение называется неполным.

Неполные квадратные уравнения бывают трёх видов:

Исследовательская работа на тему»10 способов решения квадратных уравнений»

Теория уравнений занимает ведущее место в алгебре и математике в целом. Значимость ее заключается не только в теоретическом значении для познания естественных законов, но и служит практическим целям. Большинство жизненных задач сводится к решению различных видов уравнений, и чаще это уравнения квадратного вида.

Просмотр содержимого документа
«Исследовательская работа на тему»10 способов решения квадратных уравнений»»

Муниципальное учреждение «Отдел образования администрации муниципального района Мишкинский район

Муниципальное Бюджетное Общеобразовательное

Учреждение Лицей № 1 им. Флорида Булякова с. Мишкино

Тема: 10 способов решения квадратных уравнений

Выполнила: ученица 9 В класса

МБОУ Лицей № 1 им. Флорида Булякова с. Мишкино

Руководитель: учитель математики

МБОУ Лицей № 1 им. Флорида Булякова с. Мишкино

Алексеева Гузель Фанавиевна

Мишкино 2017 год

Исторические сведения о квадратных уравнениях……………………..стр.4

Определение квадратного уравнения………………………………. стр.7

Способы решения квадратных уравнений…………………………. стр.8

Разложение на множители левой части……………………………. стр.10

Метод выделения полного квадрата…………………………………стр.10

Решение квадратных уравнений по формуле…………………. стр.11

Решение уравнений с использованием теоремы Виета………. стр.11

Решение уравнений способом «переброски»…………………. стр.12

Свойства коэффициентов квадратного уравнения………………….стр.13

Графическое решение квадратного уравнения……………………. стр.13

Решение квадратных уравнений с помощью циркуля и линейки….стр.14

Уменьшение степени уравнения (использование теоремы Безу)….стр.15

Геометрический способ решения квадратных уравнений…………стр.15

Тренировочные задания для отработки различных способов решения квадратных уравнений…………………………………………………. стр.16

В школьной программе рассматривается только 3 способа их решения. Готовясь к предстоящим экзаменам, я заинтересовался другими способами их этих уравнений. Поэтому я выбрала тему «10 способов решения квадратных уравнений».

Актуальность темы: на уроках алгебры, геометрии, физики мы очень часто встречаемся с решением квадратных уравнений. Поэтому каждый ученик должен уметь верно, и рационально решать квадратные уравнения, что также пригодится и при решении более сложных задач, в том числе и при сдаче экзаменов. Плюс выбранная тема мне очень интересна.

Цель работы: выявить способы решения уравнений второй степени и рассмотреть применение данных способов решения квадратных уравнений на конкретных примерах.

1) Проследить историю развития теории и практики решения квадратных уравнений;

2) Описать технологии различных существующих способов решения квадратных уравнений;

3) Выявить наиболее удобные способы решения квадратных уравнений;

4) Подобрать тренировочные задания для отработки изученных приемов;

5) Провести кружок для одноклассников.

Гипотеза: любое квадратное уравнение можно решить всеми существующими способами.

Объект исследования: квадратные уравнения.

Предмет исследования: способы решения квадратных уравнений.

теоретические: изучение литературы по теме исследования, изучение тематических Интернет-ресурсов;

анализ полученной информации;

сравнение способов решения квадратных уравнений на удобство и рациональность.

Время исследования: с 12 октября 2016 года по 20 декабря 2016 года.

Исторические сведения о квадратных уравнениях.

Уравнения второй степени умели решать еще в древнем Вавилоне. Математики Древней Греции решали квадратные уравнения геометрически; например, Евклид — при помощи деления отрезка в среднем и крайнем отношениях. Задачи, приводящие к квадратным уравнениям, рассматриваются во многих древних математических рукописях и трактах.

Вывод формулы решения квадратного уравнения в общем, виде имеется у Виета. Итальянские математики Тарталья, Кардано, Бомбелли среди первых в XVI в. учитывают, помимо положительных, и отрицательные корни. Лишь в XVII в. благодаря трудам Жирара, Декарта, Ньютона и других ученых способ решения квадратных уравнений принимает современный вид.

Квадратные уравнения в древнем Вавилоне

В математических текстах, выполненных клинописью на глиняных пластинках, есть квадратные и биквадратные уравнения, системы уравнений с двумя неизвестными и даже простейшие кубические уравнения. При этом вавилоняне также не использовали букв, а приводили решение «типовых» задач, из которых решение аналогичных задач получались заменой числовых данных.

Необходимость решать квадратные уравнения возникла ещё в древности, была вызвана потребностью решать задачи, связанные с нахождением площадей земельных участков и с земляными работами военного характера, а также с развитием астрономии и самой математики. Квадратные уравнения умели решать около 2000 лет до н.э. вавилоняне. Применяя современную алгебраическую запись, можно сказать, что в их клинописных текстах встречаются кроме неполных квадратных уравнений и полные уравнения. Правило решения этих уравнений, изложенное в вавилонских текстах, совпадает по существу с современным, однако неизвестно, каким образом дошли вавилоняне до этого правила. Почти все найденные до сих пор клинописные тексты приводят только задачи с решениями, изложенными в виде рецептов, без указаний относительно того, каким образом они были найдены. Несмотря на высокий уровень развития алгебры в Вавилоне, в клинописных текстах отсутствует понятие отрицательного числа и общее методы решения квадратных уравнений.

Квадратные уравнения у ал-Хорезми

В алгебраическом трактате ал-Хорезми дается классификация линейных и квадратных уравнений. Автор насчитывает 6 видов уравнений. Основная идея для ал-Хорезми, избегавшего употребления отрицательных чисел, члены каждого из этих уравнений слагаемые, а не вычитаемые. При этом заведомо не берутся во внимание уравнения, у которых нет положительных решений. Автор излагает способы решения указанных уравнений, пользуясь приемами ал-Джабр и ал-Мукабала. Его решения, конечно, не совпадает полностью с современным решением. Уже не говоря о том, что оно чисто риторическое, следует отметить, например, что при решении неполного квадратного уравнения первого вида ал-Хорезми, как и все математики до XVII века., не учитывает нулевого решения, вероятно, потому, что в конкретных практических задачах оно не имеет значения. При решении полных квадратных уравнений ал-Хорезми на частных числовых примерах излагает правила решения, а затем их геометрические доказательства.

XIII-XVII ввКвадратные уравнения в Европе . Формулы решения квадратных уравнений по образцу ал-Хорезми в Европе были впервые изложены в «Книге абака», написанной в 1202г. итальянским математиком Леонардо Фибоначчи. Автор разработал самостоятельно некоторые новые алгебраические примеры решения задач и первый в Европе подошел к введению отрицательных чисел. Его книга способствовала распространению алгебраических знаний не только в Италии, но и в Германии, Франции и других странах Европы. Многие задачи из «Книги абака» переходили почти во все европейские учебники XVI-XVII вв. и частично XVIII в.

Квадратные уравнения в ИНДИИ

Задачи на квадратные уравнения встречаются уже в астрономическом трактате «АРИАБХАТТИАМ», составленном в 499г. индийским математиком и астрономом АРИБХАТТОЙ. Другой индийский ученый, БРАХМАГУПТА VII век, изложил общее правило решения квадратных уравнений приведенных к единой канонической форме. В уравнении коэффициенты, кроме положительных, могут быть и отрицательными. Правило БРАХМАГУПТЫ по существу совпадает с современным решением. В древней ИНДИИ были распространены публичные соревнования в решении трудных задач. В одной из старинных индийских книг говорится по поводу таких соревнований следующие: «Как солнце блеском своим затмевает звезды, так ученый человек затмит славу другого в народных собраниях, предлагая и решая алгебраические задачи». Задачи часто облекались в стихотворную форму.

Одна из задач знаменитого индийского математика XIIв. Бхаскары:

Обезьянок резвых стая

Всласть поевши, развлекалась.

Их в квадрате часть восьмая

На поляне забавлялась.

А двенадцать по лианам…

Стали прыгать повисая…

Сколько было обезьянок

Ты скажи мне, в этой стае?

Решение Бхаскары свидетельствует о том, что он знал о двузначности корней квадратных уравнений.

Часть страницы из алгебры Бхаскары (вычисление корней).

2.Определение квадратного уравнения

Квадратным уравнением называют уравнение вида ах²+bх+с=0, где коэффициенты а, b, с — любые действительные числа, причем, а≠0. Коэффициенты а, b, с, различают по названиям: а – первый или старший коэффициент; b – второй или коэффициент при х; с – свободный член, свободен от переменной х.

Квадратное уравнение также называют уравнением второй степени, так как его левая часть есть многочлен второй степени.

Квадратное уравнение называют приведенным, если старший коэффициент равен 1; квадратное уравнение называют неприведенным, если старший коэффициент отличен от 1.

х²+рх+q=0 – стандартный вид приведенного квадратного уравнения

Кроме приведенных и неприведенных квадратных уравнений различают также полные и неполные уравнения.

Полное квадратное уравнение – это квадратное уравнение, в котором присутствуют все три слагаемых; иными словами, это уравнение, у которого коэффициенты b и с отличны от нуля.

Неполное квадратное уравнение – это уравнение, в котором присутствуют не все три слагаемых; иными словами, это уравнение, у которого хотя бы один из коэффициентов b и с равен нулю.

Корнем квадратного уравнения ах²+вх+с=0 называют всякое значение переменной х, при котором квадратный трехчлен ах²+bх+с обращается в нуль.

Можно сказать и так: корень квадратного уравнения – это такое значение х, подстановка которого в уравнение обращает уравнение в верное числовое равенство (0=0).

Решить квадратное уравнение – найти все его корни или установить, что их нет.

3.Способы решения квадратных уравнений

Сначала математики научились решать неполные квадратные уравнения, поскольку для этого не пришлось, как говорится, ничего изобретать.

1 Исследовательская работа по математике «Решение квадратных уравнений различными способами» Ученица 10 класса Усманова Лиана Руководитель: Матвеева С.Н. — презентация

Презентация была опубликована 8 лет назад пользователемОлег Ерохин

Презентация 10 класса по предмету «Математика» на тему: «1 Исследовательская работа по математике «Решение квадратных уравнений различными способами» Ученица 10 класса Усманова Лиана Руководитель: Матвеева С.Н.». Скачать бесплатно и без регистрации. — Транскрипт:

1 1 Исследовательская работа по математике «Решение квадратных уравнений различными способами» Ученица 10 класса Усманова Лиана Руководитель: Матвеева С.Н. МБОУ «Кадетская школа» Г.Чистополь Татарстан

2 2 Содержание 1. Определение квадратного уравнения, его виды 2. Из истории квадратных уравнений 3. Различные способы решения квадратных уравнений: 1) Разложение левой части уравнения на множители 2)Решение квадратных уравнений по формуле 3)Решение уравнений с использованием теоремы Виета 4)Решение уравнений способом переброски 5)Свойства коэффициентов квадратного уравнения 6) Графическое решение квадратного уравнения 7) Решение квадратных уравнений с помощью циркуля и линейки 8) Решение квадратных уравнений с помощью номограммы

3 3 1. Определение квадратного уравнения, его виды Квадратным уравнением называется уравнение вида ax + bx + c = 0, где х- переменная, а,b и с-некоторые числа, причем, а 0.

4 4 Неполные квадратные уравнения 1) ах + с = 0, где с 0;в=0 2) ах + bх = 0, где b 0;с=0 3) ах = 0, где в=0,с=0

5 5 Из истории квадратных уравнений Квадратные уравнения в Древнем Вавилоне Квадратные уравнения умели решать около 2000 лет до нашей эры вавилоняне. Применяя современную алгебраическую запись, можно сказать, что в их клинописных текстах встречаются, кроме неполных, и такие, например, полные квадратные уравнения:

6 6 Квадратные уравнения в Индии Задачи на квадратные уравнения встречаются уже в астрономическом трактате «Ариабхаттиам», составленном в 499 г. индийским математиком и астрономом Ариабхаттой. Другой индийский ученый, Брахмагупта(VII в.), изложил общее правило решения квадратных уравнений, приведенных к единой канонической форме: ах 2 +вх=с, а 0. В этом уравнении коэффициенты, кроме а,могут быть и отрицатель-ными. Правило Брахмагупты по существу совпадает с нашим.

7 7 Квадратные уравнения в Европе XIII-XVII вв. Формулы решения квадратных уравнений по образцу ал-Хорезми в Европе были впервые изложены в «Книге абака», написанной в 1202 г. итальянским математиком Леонардо Фибоначчи.Книга способствовала распространению алгебраических знаний в Италии, в Германии, Франции и др. странах Европы.

8 8 Квадратные уравнения в Европе XIII- XVII вв. В глубокой древности была найдена формула для решения квадратного уравнения с помощью радикалов (корней). Вывод формулы имеется у Виета,но он признавал только положительные корни. Итальянские математики Тарталья, Кордано, Бомбелли в XVI в.учитывают и отрицательные корни. В XVII в. благодаря трудам Жирара, Декарта, Ньютона способ решения квадратных уравнений принимает современный вид.

9 9 Различные способы решения квадратных уравнений 1. Разложение левой части уравнения на множители Решим уравнение х + 10х – 24 = 0. Разложим левую часть уравнения на множители: Х + 10х – 24 = х + 12х – 2х – 24 = х (х + 12) – 2 (х +12) = (х + 12)(х – 2). Следовательно, уравнение можно переписать так: (х + 12)(х – 2) = 0.

10 10 Разложение левой части уравнения на множители Так как произведение равно нулю, то по крайне мере один из его множителей равен нулю. Поэтому левая часть уравнения обращается в нуль при х = 2, а также при х = это означает, что числа 2 и – 12 являются корнями уравнения х + 10х – 24 = 0.

11 11 Решение квадратных уравнений по формуле Х1,2 =

12 12 4х + 7х + 3 = 0. а = 4, b = 7, с = 3, D = b – 4ас = 72 – 4· 4 ·3 = 49 – 48 = 1 Х=, х 2 = –1 х1 =

13 13 4х – 4х + 1 = 0, а =4, b = — 4, с = 1. D = b – 4ас= 16 – 441 = 0, D = 0, один корень; Х=

14 14 2х +3х + 4 = 0 а =2, b= 3, с = 4 D = b – 4ас=9 – 424 =9 – 32 = — 13 D

15 15 Решение уравнений с использованием теоремы Виета (прямой и обратной) Как известно, приведенное квадратное уравнение имеет вид х2 + px + q = 0. Его корни удовлетворяют теореме Виета, которая при а = 1 имеет вид Отсюда можно сделать следующие выводы (по коэффициентам p и q можно предсказать знаки корней).

16 16 Теорема Виета для квадратного уравнения ах +вх +с = 0 имеет вид

17 17 Примеры Решить уравнение х – 9х + 14 =0 Попробуем найти два числа х и х, такие, что х +х = 9,х х = 14 Такими числами являются 2 и 7. По теореме, обратной теореме Виета, они и служат корнями заданного квадратного уравнения.

18 18 Решение уравнений способом «переброски» Умножая обе его части на а, получаем уравнение а х + а bх + ас = 0. Пусть ах = у, откуда х = ; тогда приходим к уравнению у + by + ас = 0, равносильного данному. Его корни у и у найдем с помощью теоремы Виета.

19 19 Примеры Решим уравнение 2х – 11х + 15 = 0. «Перебросим» коэффициент 2 к свободному члену, в результате получим уравнение у – 11y +30 = 0. Согласно теореме Виета

20 20 Свойства коэффициентов квадратного уравнения. Если а + b + с = 0 (т.е. сумма коэффициентов уравнения равна нулю), то х1 = 1, х2 =. Если а — b + с = 0, или b = а + с, то х1 = – 1, х2 = –

21 21 Решим уравнение 345х – 137х – 208 = 0. Так как а + b + с = 0 (345 – 137 – 208 = 0), то х 1 = 1, х 2 = Решим уравнение 132х + 247х = 0 Т. к. а-b+с = 0 (132 – =0), то х1= — 1, х2= —

22 22 Если второй коэффициент b = 2k – четное число, то формулу корней можно записать в виде Х =

23 23 Графическое решение квадратного уравнения Решим графически уравнение х – 3х – 4 = 0. Решение. Запишем уравнение в виде х = 3х + 4. Построим параболу у = х и прямую у = 3х + 4. Прямую у = 3х + 4 можно построить по двум точкам М (0;4) и N (3;13). Прямая и парабола пересекаются в двух точках А и B с абсциссами х1 = – 1 и х2 = 4.

25 25 Решение квадратных уравнений с помощью циркуля и линейки. Допустим, что искомая окружность пересекает ось абсцисс в точках B (х1 ;0) и D (х2 ;0), где х1 и х2 – корни уравнения ах + bх + с = 0 и проходит через точки А (0;1) и С(0; ) на оси ординат. Тогда по теореме о секущих имеем ОВОD = ОА ОС откуда ОС =.

26 26 у C(0, ) А(0; 1) В(х1, 0) D(х2, 0) S(

27 27 Решим графически уравнение х – 2х – 3 = 0. Определим координаты точки центра окружности по формулам Х=- У= = Проведем окружность радиуса S A, где А (0;1).

28 28 Ответ: х1 = – 1, х2 = 3 у А -1 3 х S(1,-1)

29 29 Решение квадратных уравнений с помощью номограммы. Это старый и незаслуженно забытый способ решения квадратных уравнений, помещенный на с.83 (см. Брадис В.М. Четырехзначные математические таблицы. – М., Просвещение, 1990). Таблица XXII. Номограмма для решения уравнения z + pz + q = 0. Эта номограмма позволяет, не решая квадратного уравнения, по его коэффициентам определить корни уравнения.

30 30 Примеры 1.Для уравнения z2 – 9z + 8 = 0. Номограмма дает корни z1 = 8, 0 и z2 = 1, 2.Решим с помощью номограммы уравнение 2 z – 9 z + 2 = 0. Разделим коэффициенты Этого уравнения на 2, получим уравнение z – 4, = 0. Номограмма дает корни z1 = 4 и z2 = 0,5.

31 31 3. Для уравнения z2 + 5 z – 6 = 0 номограмма дает положительный корень z1 = 1,0, а отрицательный корень находим, вычитая положительный корень из – р, т.е. z2 = – р – 1 = = – 5 – 1 = – 6,0 (рис.13.) 4. Для уравнения z2 – 2z – 8 = 0 номограмма дает положительный корень z1 = 4,0, отрицательный равен z2 = – р – z1 = 2 – 4 = – 2,0.

32 32 Литература 1.Математика. Алгебра. Функции. Анализ данных. 8 класс: Учебник для общеобразовательных учреждений / Г. В. Дорофеев и др. – М.: Дрофа, Гусев В. А., Мордкович А. Г. Математика: Справочные материалы: Книга для учащихся. – М.: Просвещение, Глейзер Г. И. История математики в школе. – М.: просвещение, Брадис В. М. Четырехзначные математические таблицы для среденй школы. – м., просвещение, Окунев А. К. Квадратичные функции, уравнения и неравенства. Пособие для учителя. – М.: Просвещение, Пресман А.А. Решение квадратного уравнения с помощью циркуля и линейки. М., Квант, 4/72. С Дидактические материалы по алгебре. 8.М., Математика (приложение к газете «Первое сентября»), 21/96, 10/97, 24/97, 40/2000.

33 33 Выводы Квадратные уравнения играют огромную роль в развитии математики.. Эти знания могут пригодиться нам на протяжении всей жизни. Так как эти методы решения квадратных уравнений просты в применении, то они, безусловно, должно заинтересовать увлекающихся математикой учеников. Моя работа дает возможность по-другому посмотреть на те задачи, которые ставит перед нами математика.

источники:

http://multiurok.ru/files/issliedovatiel-skaia-rabota-na-tiemu-10-sposobov-r.html

http://www.myshared.ru/slide/474807/