Метод Ньютона
Инструкция . Введите выражение F(x) , нажмите Далее . Полученное решение сохраняется в файле Word . Также создается шаблон решения в Excel .
- Решение онлайн
- Видеоинструкция
- Оформление Word
Правила ввода функции, заданной в явном виде
- Примеры правильного написания F(x) :
- 10•x•e 2x = 10*x*exp(2*x)
- x•e -x +cos(3x) = x*exp(-x)+cos(3*x)
- x 3 -x 2 +3 = x^3-x^2+3
- Выражение 0.9*x=sin(x)+1 необходимо преобразовать к виду: sin(x)+1-0.9*x . Аналогично, x^2-7=5-3x к виду x^2+3x-12 .
Пусть дано уравнение f(x)=0 , где f(x) определено и непрерывно в некотором конечном или бесконечном интервале a ≤ x ≤ b . Всякое значение ξ, обращающее функцию f(x) в нуль, то есть такое, что f(ξ)=0 называется корнем уравнения или нулем функции f(x) . Число ξ называется корнем k -ой кратности, если при x = ξ вместе с функцией f(x) обращаются в нуль ее производные до (k-1) порядка включительно: f(ξ)=f’(ξ)= … =f k-1 (ξ) = 0 . Однократный корень называется простым.
Приближенное нахождение корней уравнения складывается из двух этапов:- Отделение корней, то есть установление интервалов [αi,βi] , в которых содержится один корень уравнения.
- f(a)•f(b) , т.е. значения функции на его концах имеют противоположные знаки.
- f’(x) сохраняет постоянный знак, т.е. функция монотонна (эти два условия достаточны, но НЕ необходимы) для единственности корня на искомом отрезке).
- f”(x) сохраняет постоянный знак, т.е. функция выпукла вверх, либо – вниз.
- Уточнение приближенных корней, то есть доведение их до заданной точности.
Геометрическая интерпретация метода Ньютона (метод касательных)
Критерий завершения итерационного процесса имеет вид
Решение уравнений методом касательных (алгоритм Ньютона) на C#
Привет! Сегодня посмотрим, как приближённо решать уравнения с помощью метода касательных (алгоритма Ньютона).
И напишем программу на языке программирования C#.
Пусть дано нелинейное уравнение: f(x) = 0 (Если уравнение будет линейное, то невозможно будет провести касательную). Метод касательных поможет приближённо найти корень уравнения на отрезке [a, b], при условии, что функция непрерывна на замкнутом интервале [a, b], и корень на этом отрезке только один! А так же функция не меняет свою вогнутость или выпуклость (постоянный знак второй производной) и не имеет экстремумов (первая производная не равна нулю) на отрезке [a, b].
Графически функция может выглядеть следующим образом:
Т.е. самая стандартная функция.
Графическая интерпретация метода Ньютона:
От x0 узнаём значение функции. В этой точке проводим касательную. Касательная пересекает ось X, и мы получаем новую точку x1. И начинаем всё сначала. Числа x0, x1, x2 и т.д. приближаются к корню уравнения.
Выведем формулу для xn.
Приравняем к нулю (пересечение с осью X) и выразим x.
Погрешность данного метода ε > |xn+1 — xn|. Причём самая первая точка x0 не берётся во внимание при определении погрешности. Т.е. если |xn+1 — xn| меньше, чем заданное значение ε, то можно прекращать вычисления.
За саму первую точку x0 берут либо начало отрезка a, либо конец отрезка b. Это зависит от возрастания или убывания функции, а так же, в какую сторону выпукла функция.
Удобно пользоваться правилом:
Для примера, найдём положительный корень уравнения: x 2 = 2
Определим отрезок [1, 2], где будем искать корень.
Функция f(x) = x 2 — 2
f′′(x) = 2
f(2) = 4 — 2 = 2Определим корень уравнения с точностью до ε=0.001 на языке программирования C#.
Т.к. x0 — не участвует при вычислении погрешности, то мы в начале до цикла while вычисляем xn и xn+1 (xnp1). Т.к. тип данных double, то чтобы возвести число в степень, используем специальную функцию Math.Pow(). В условии цикла while мы используем разницу без модуля, потому что мы идём от правого конца отрезка, и xn всегда больше, чем xnp1.
Программирование и комп-ры : Метод касательных (метод Ньютона)
Используемая литература 1
Метод Ньютона (касательных). 2
Блок-схема алгоритма 3
Листинг программы 4
Результаты работы программы 6
Метод итераций. 8
Блок-схема алгоритма 8
Листинг программы 9
Результаты работы программы 11
1. http://www.kyshtym.net.ru/rww/ Учимся программировать на С++
2. http://www.sprin.ru/soft.php Решение линейных уравнений методом Ньютона
Метод Ньютона (касательных).
В рамках метода Ньютона предполагается, что функция дифференцируема.
Согласно этому методу строится линейная аппроксимация функции в начальной
точке, а точка, в которой аппроксимирующая линейная функция обращается в
нуль, принимается в качестве следующего приближения.
Итерационый процесс схождения к корню реализуется формулой:
xn+1=xn-f(xn)/f ‘(xn). Вычисления продолжаются пока соблюдается условие
В зависимости от выбора начальной точки и вида функции алгоритм по
методу Ньютона может как сходиться к корню уравнения, так и расходиться.
Ниже приведена блок-схема алгоритма и листинг программы, реализующей
данный алгоритм на языке С++. Также привожу текст, которая выдает данная
программа при решении исходного уравнения.
//метод Ньютона для решения кубических уравнений
источники:http://code-enjoy.ru/metod_kasatelnih/
http://www.e-ng.ru/programmirovanie_i_komp-ry/metod_kasatelnyx_metod_nyutona.html