Программа для решения уравнений методом ньютона

Метод Ньютона

Инструкция . Введите выражение F(x) , нажмите Далее . Полученное решение сохраняется в файле Word . Также создается шаблон решения в Excel .

Решение онлайн
Видеоинструкция
Оформление Word

Правила ввода функции, заданной в явном виде

Примеры правильного написания F(x) :
1. 10•x•e 2x = 10*x*exp(2*x)
2. x•e -x +cos(3x) = x*exp(-x)+cos(3*x)
3. x 3 -x 2 +3 = x^3-x^2+3
4. Выражение 0.9*x=sin(x)+1 необходимо преобразовать к виду: sin(x)+1-0.9*x . Аналогично, x^2-7=5-3x к виду x^2+3x-12 .
Пусть дано уравнение f(x)=0 , где f(x) определено и непрерывно в некотором конечном или бесконечном интервале a ≤ x ≤ b . Всякое значение ξ, обращающее функцию f(x) в нуль, то есть такое, что f(ξ)=0 называется корнем уравнения или нулем функции f(x) . Число ξ называется корнем k -ой кратности, если при x = ξ вместе с функцией f(x) обращаются в нуль ее производные до (k-1) порядка включительно: f(ξ)=f’(ξ)= … =f k-1 (ξ) = 0 . Однократный корень называется простым.
Приближенное нахождение корней уравнения складывается из двух этапов:
1. Отделение корней, то есть установление интервалов [α_i,β_i] , в которых содержится один корень уравнения.
  1. f(a)•f(b) , т.е. значения функции на его концах имеют противоположные знаки.
  2. f’(x) сохраняет постоянный знак, т.е. функция монотонна (эти два условия достаточны, но НЕ необходимы) для единственности корня на искомом отрезке).
  3. f”(x) сохраняет постоянный знак, т.е. функция выпукла вверх, либо – вниз.
2. Уточнение приближенных корней, то есть доведение их до заданной точности.
Геометрическая интерпретация метода Ньютона (метод касательных)
Критерий завершения итерационного процесса имеет вид
Решение уравнений методом касательных (алгоритм Ньютона) на C#
Привет! Сегодня посмотрим, как приближённо решать уравнения с помощью метода касательных (алгоритма Ньютона).
И напишем программу на языке программирования C#.
Пусть дано нелинейное уравнение: f(x) = 0 (Если уравнение будет линейное, то невозможно будет провести касательную). Метод касательных поможет приближённо найти корень уравнения на отрезке [a, b], при условии, что функция непрерывна на замкнутом интервале [a, b], и корень на этом отрезке только один! А так же функция не меняет свою вогнутость или выпуклость (постоянный знак второй производной) и не имеет экстремумов (первая производная не равна нулю) на отрезке [a, b].
Графически функция может выглядеть следующим образом:

Т.е. самая стандартная функция.
Графическая интерпретация метода Ньютона:

От x₀ узнаём значение функции. В этой точке проводим касательную. Касательная пересекает ось X, и мы получаем новую точку x₁. И начинаем всё сначала. Числа x₀, x₁, x₂ и т.д. приближаются к корню уравнения.
Выведем формулу для x_n.
Приравняем к нулю (пересечение с осью X) и выразим x.
Погрешность данного метода ε > |x_n+1 — x_n|. Причём самая первая точка x₀ не берётся во внимание при определении погрешности. Т.е. если |x_n+1 — x_n| меньше, чем заданное значение ε, то можно прекращать вычисления.
За саму первую точку x₀ берут либо начало отрезка a, либо конец отрезка b. Это зависит от возрастания или убывания функции, а так же, в какую сторону выпукла функция.
Удобно пользоваться правилом:
Для примера, найдём положительный корень уравнения: x 2 = 2
Определим отрезок [1, 2], где будем искать корень.
Функция f(x) = x 2 — 2
f′′(x) = 2
f(2) = 4 — 2 = 2
Определим корень уравнения с точностью до ε=0.001 на языке программирования C#.
Т.к. x₀ — не участвует при вычислении погрешности, то мы в начале до цикла while вычисляем x_n и x_n+1 (xnp1). Т.к. тип данных double, то чтобы возвести число в степень, используем специальную функцию Math.Pow(). В условии цикла while мы используем разницу без модуля, потому что мы идём от правого конца отрезка, и xn всегда больше, чем xnp1.

Программа для метода Ньютона-Рафсона
Если задана функция f (x) с плавающим числом x и начальное предположение для корня, найдите корень функции в интервале. Здесь f (x) представляет алгебраическое или трансцендентное уравнение.
Для простоты мы предположили, что производная функции также предоставляется в качестве входных данных.
Пример:
Мы обсудили ниже методы, чтобы найти root в множестве 1 и множестве 2
Комплект 1: метод деления пополам
Набор 2: метод ложного положения
Сравнение с двумя вышеуказанными методами:
1. В предыдущих методах нам дали интервал. Здесь нам требуется начальная угадать значение root.
2. Два предыдущих метода гарантированно сходятся, Ньютон Рахсон может не сходиться в некоторых случаях.
3. Метод Ньютона-Рафсона требует производной. Некоторые функции могут быть трудны для
  невозможно дифференцировать.
4. Для многих задач метод Ньютона-Рафсона сходится быстрее, чем два вышеуказанных метода.
5. Кроме того, он может идентифицировать повторяющиеся корни, так как он не ищет изменения знака f (x) в явном виде
Формула:
Начиная с начального предположения x ₁ , метод Ньютона-Рафсона использует приведенную ниже формулу для нахождения следующего значения x, то есть x _{n + 1} из предыдущего значения x _n .

Алгоритм:
Ввод: начальный x, func (x), производнаяFunc (x)
Вывод: Root of Func ()
1. Вычислить значения func (x) и DeriveFunc (x) для заданного начального x
2. Вычислить h: h = func (x) / производныйFunc (x)
3. Хотя h больше допустимой ошибки ε
  1. h = func (x) / производнаяFunc (x)
  2. х = х — ч
Ниже приведена реализация вышеуказанного алгоритма.
// C ++ программа для реализации метода Ньютона Рафсона для
// решение уравнений
#include
#define EPSILON 0.001
using namespace std;
// Пример функции, решение которой определяется с помощью
// Метод деления пополам. Функция х ^ 3 — х ^ 2 + 2
double func( double x)
return x*x*x — x*x + 2;
// Производная от вышеуказанной функции, которая равна 3 * x ^ x — 2 * x
double derivFunc( double x)
// Функция поиска корня
void newtonRaphson( double x)
double h = func(x) / derivFunc(x);
while ( abs (h) >= EPSILON)
// x (i + 1) = x (i) — f (x) / f ‘(x)
cout «The value of the root is : «
// Программа драйвера для тестирования выше
double x0 = -20; // Предполагаемые начальные значения
// Java-программа для реализации
// Метод Ньютона Рафсона для решения
// уравнения
static final double EPSILON = 0.001 ;
// Пример функции, решение которой
// определяется методом деления пополам.
// Функция x ^ 3 — x ^ 2 + 2
static double func( double x)
return x * x * x — x * x + 2 ;
// Производная от вышеуказанной функции
// который равен 3 * x ^ x — 2 * x
static double derivFunc( double x)
return 3 * x * x — 2 * x;
// Функция поиска корня
static void newtonRaphson( double x)
double h = func(x) / derivFunc(x);
while (Math.abs(h) >= EPSILON)
h = func(x) / derivFunc(x);
// x (i + 1) = x (i) — f (x) / f ‘(x)
System.out.print( «The value of the»
+ Math.round(x * 100.0 ) / 100.0 );
public static void main (String[] args)
// Предполагаемые начальные значения
// Этот код предоставлен Anant Agarwal.
# Python3 код для реализации Ньютона
# Рафсон Метод решения уравнений
# Пример функции, решение которой
# определяется методом деления пополам.
# Функция x ^ 3 — x ^ 2 + 2
return x * x * x — x * x + 2
# Производная вышеуказанной функции
# 3 * x ^ x — 2 * x
def derivFunc( x ):
return 3 * x * x — 2 * x
# Функция поиска рута
def newtonRaphson( x ):
h = func(x) / derivFunc(x)
while abs (h) > = 0.0001 :
h = func(x) / derivFunc(x)
# x (i + 1) = x (i) — f (x) / f ‘(x)
print ( «The value of the root is : » ,
# Программа драйвера для тестирования выше
x0 = — 20 # Предполагаемые начальные значения
# Этот код предоставлен «Sharad_Bhardwaj»
// C # программа для реализации
// Метод Ньютона Рафсона для решения
// уравнения
static double EPSILON = 0.001;
// Пример функции, решение которой
// определяется методом деления пополам.
// Функция x ^ 3 — x ^ 2 + 2
static double func( double x)
return x * x * x — x * x + 2;
// Производная от вышеуказанной функции
// который равен 3 * x ^ x — 2 * x
static double derivFunc( double x)
return 3 * x * x — 2 * x;
// Функция поиска корня
static void newtonRaphson( double x)
double h = func(x) / derivFunc(x);
while (Math.Abs(h) >= EPSILON)
h = func(x) / derivFunc(x);
// x (i + 1) = x (i) — f (x) / f ‘(x)
Console.Write( «The value of the»
+ Math.Round(x * 100.0) / 100.0);
public static void Main ()
// Предполагаемые начальные значения
// Этот код предоставлен нитин митталь
// PHP программа для реализации
// метода Ньютона Рафсона для
// решение уравнений
// Пример функции, чья
// решение определено
// используя метод деления пополам.
// Функция x ^ 3 — x ^ 2 + 2
function func( $x )
// Производная от вышеупомянутого
// функция 3 * x ^ x — 2 * x
function derivFunc( $x )
// Функция для
// найти корень
function newtonRaphson( $x )
$h = func( $x ) / derivFunc( $x );
while ( abs ( $h ) >= $EPSILON )
$h = func( $x ) / derivFunc( $x );
echo «The value of the » .
$x0 = -20; // Предполагаемые начальные значения
// Этот код предоставлен ajit
?>
Выход:
Как это работает?
Идея состоит в том, чтобы нарисовать линию, касательную к f (x) в точке x ₁ . Точка, где касательная линия пересекает ось х, должна быть более точной оценкой корня, чем х ₁ . Назовите эту точку х ₂ . Вычислите f (x ₂ ) и нарисуйте линию, касательную в x ₂ .

Мы знаем, что наклон прямой от (x ₁ , f (x ₁ )) до (x ₂ , 0) равен f ‘(x ₁ )), где f’ представляет производную от f.
Альтернативное объяснение с использованием серии Тейлора:
Примечания:
1. Мы обычно использовали этот метод для улучшения результата, полученного либо методом деления пополам, либо методом ложного положения.
2. Вавилонский метод для квадратного корня получен из метода Ньютона-Рафсона.
Эта статья предоставлена Абхираджем Смитом . Пожалуйста, напишите комментарии, если вы обнаружите что-то неправильное, или вы хотите поделиться дополнительной информацией по обсуждаемой теме

источники:
http://code-enjoy.ru/metod_kasatelnih/
http://espressocode.top/program-for-newton-raphson-method/

Программа для решения уравнений методом ньютона

Метод Ньютона

Правила ввода функции, заданной в явном виде

Геометрическая интерпретация метода Ньютона (метод касательных)

Решение уравнений методом касательных (алгоритм Ньютона) на C#

Программа для метода Ньютона-Рафсона