Программа для решения уравнений второй степени

Программа для решения уравнений второй степени

Создание программы решения уравнений второй и выше степени в системе Pascal ABC

Автор работы награжден дипломом победителя II степени

На сегодняшний день невозможно представить себе какую-либо область деятельности, обходящуюся без применения компьютерной техники. Компьютеры используются при проведении бухгалтерских расчетов, при решении инженерных задач, в процессе управления производством, при получении оценок производственных ситуаций и во многих других случаях. Уравнения второго и выше порядка встречаются довольно часто при изучении прикладных предметов. При решении уравнений нередко возникает необходимость разложить на множители многочлен, степень которого равна двум, трем или выше, а затем требуется проверить решение. Чтобы быстро справиться с проверкой решения таких уравнений, можно воспользоваться средствами вычислительной техники – составить программу на языке программирования Pascal ABC.

Таким образом, актуальность исследования объясняется тем, что проблемы проверки решения уравнения порядка второго и выше остро стоят перед обучающимися, а решиться такие проблемы могут через совершенствования математических знаний и составления прикладных программ. В свою очередь эти знания могут применяться на практике для решения уравнений, что улучшит проверку знаний обучающихся и значительно сократит время на их решение.

Объектом исследования является схема Горнера, и система программирования Pascal ABC.

Предметом исследования выступают алгоритм Горнера для решения уравнений второго порядка и выше в системе программирования Pascal ABC.

Цель исследования – реализация решения уравнений второго и выше порядка, основываясь на схеме Горнера в среде программирования Pascal ABC.

Цель и предмет исследования обусловили необходимость решения следующих задач:

Исследовать важность данной проблемы у обучающихся 9 – 11 классов и выявить эффективность взаимосвязи математического алгоритма и системы программирования Pascal ABC.

Определить эффективность создания программы решения уравнений.

Оценить перспективы от создания программы.

Основу гипотезы исследования составили предположения о том, что если изучить схему Горнера, то найти решение для автоматического определения корней уравнения второго и выше порядка будет проще.

В процессе исследования использовались методы системного, математического и информационного ана­лиза. В качестве информационной базы были использованы материалы, научные труды специалистов в об­ласти программирования, и справочные материалы, концепции, пред­ставленные в современной математике.

В ходе исследования были использованы следующие группы методов:

теоретические: теоретический анализ литературы по проблеме; систематизация полученной информации; обобщение выводов.

эмпирические: опросно – диагностические методы (интервьюирование, беседы) и др.;

статистические: анализ статистических данных.

Исследована важность проблемы и сравнены способы решения уравнений второго и выше порядка в различных источниках.

Определена эффективность создания программы решения уравнений второго и выше порядка в системе программирования Pascal ABC.

Оценены перспективы от создания программы.

Теоретическая значимость исследования состоит в разработке алгоритма решения уравнений второго и выше порядка при составлении программы на языке программирования Pascal ABC.

Практическая значимость выводов и рекомендаций, содержащихся в работе, связана с тем, что выполненное исследование направлено на решение конкретной задачи. Работа может быть использована также учителями, проверяющими решение уравнений различных порядков.

Теоретические выводы и практические рекомендации, полученные в результате исследования, могут быть использованы школьниками и учителями различных регионов при решении уравнений второго и выше порядка, а также при составлении программы решения уравнений.

Подготовительный (Подборка и изучение материала по данной теме, выделение проблем. Подборка вопросов для анкетирования)

Анкетирование (Анкетирование учащихся школы по разработанным анкетам)

Обработка анкет и анализ полученных результатов (Работа включает в себя выбор программного обеспечения для обработки анкет. Обработка данных и анализ результатов.)

Разработка алгоритма решения уравнений второго и выше порядка (На этом этапе на основе изученной литературы разрабатывается алгоритм решения уравнений второго и выше порядка.)

Составление и тестирование программы.

Презентация проекта (Представление итогового проекта для обсуждения и оценивания.)

Методы исследования. Анализ информационных источников, статистическая обработка результатов.

Глава 1. Теоретическая часть «Описание математических методов решения уравнений второго и выше порядка»

В настоящее время решение уравнений второго порядка и выше на практике в связи с масштабными затратами времени, выполнение повторных действий заставляет задуматься о составлении программы. В целях обеспечения эффективного решения проблем в области работы с цифрами, когда на любом этапе можно допустить вычислительные ошибки, необходимо создание программы, находящей корни уравнения для проверки собственного решения.

Различные уравнения решали более 25 веков назад. Множество способов решения таких уравнений были созданы в Вавилоне, Индии. Потребность в уравнениях была и будет. Нами приведены способы решения (нахождения корней) квадратных уравнений и уравнений высших степеней. Целое уравнение третьей или более высокой степени в отдельных случаях удается решить, используя точечные приемы. Один из приемов решения уравнения вида Р(х)=), где Р(х) – многочлен, степень которого больше двух, состоит в разложении многочлена на множители. Вспомним, какие способы разложения многочлена на множители мы изучали в 7 классе.

Вынесение общего множителя за скобки

С помощью формул сокращенного умножения

С помощью корней квадратного трехчлена.

В основном это способы решения для уравнений частного характера, то есть в каждой группе уравнений, объединенных какими – либо общими свойствами, приведено особое правило, которое применяется только для этой группы уравнений. Этот способ (подбора к каждому уравнению собственной формулы) гораздо легче, чем нахождение корней через дискриминант. Для деления многочленов применяется правило «деления углом», или схема Горнера.

1.1. Схема Горнера. Возможности.

В этой части нами рассмотрено решения уравнений второго и выше порядка по схеме Горнера. Большинство этих формул решения уравнений частного характера. Эти свойства очень удобны так, как гораздо легче решать уравнения по отдельной формуле для этого уравнения, а не по общему принципу. К каждому из способов мы рассмотрели несколько примеров.

Уильям Джордж Горнер (1786 – 1837), известный по схеме Горнера. Опубликована теорема была в 1815г. в Англии.

Схема Горнера позволяет:

Найти значение многочлена в точке a;

Выяснить, является ли число a – корнем многочлена;

Найти новый многочлен от деления на двучлен (понизить степень);

Используя схему Горнера, мы одновременно проверяем, является ли числоa корнем многочлена и делим этот многочлен на двучлен . Это нам потребуется для понижения степени уравнения и мы сможем воспользоваться вспомогательным алгоритмом.

Выделим существенные правила, которые нам могут пригодиться при решении уравнений второго и выше порядка. Здесь нам помогут такие факты:

Если сумма всех коэффициентов многочлена равна нулю, то число 1 является корнем многочлена.

Если сумма коэффициентов многочлена при четных степеняхравна сумме коэффициентов при нечетных степенях, то число -1 является корнем многочлена.

Для приведенного многочлена степени (из теоремы Виета следует, что) если корни многочлена целые, то они являются делителями его свободного члена, который также является целым числом.

Вывод: Исходя из этого, нам надо разложить свободный член многочлена на множители, и последовательно, от меньшего к большему, проверять, какой из множителей является корнем многочлена. Рассмотрим виды уравнений и вычислим корни.

1.2. Виды уравнений. 1.2.1. Уравнения второй степени (квадратные)

Квадратное уравнение — алгебраическое уравнение 2 — й степени. Общий вид уравнения: . Корни уравнения : Формулы верны при любых коэффициентах.

1.2.2. Уравнения третьей степени (кубические)

Кубическое уравнение — алгебраическое уравнение третьей степени. Общий вид кубического уравнения: ax 3 + bx 2 + cx + d = 0, где а ≠ 0

Используя правила Горнера решим уравнение такого вида. (Приложение 2). Понизив степень многочлена мы продолжаем решение обычного квадратного уравнения, рассмотренного ранее.

1.2.3. Уравнения четвертой степени

Уравнение четвертой степени — алгебраическое уравнение четвертой степени. Общий вид кубического уравнения: аx 4 + bx 3 + cx 2 + dх+е = 0,где а ≠ 0.

Используя схему Горнера решим уравнение этого вида.(Приложение 3). Понизив степень многочлена мы продолжаем решение кубического уравнения, используя схему Горнера, поставив перед собой цель, понизить степень до квадратного уравнения.

В теоретической части нашей работы нами рассмотрены решение квадратных уравнений и уравнений третьей, четвертой степени методом Горнера, определена схема решения уравнений второго, третьего, четвертого порядка, выведены новые, ранее нам неизвестные формулы. Мы проработали много вариантов примеров перед тем, как сделать вывод: используя схему Горнера, мы решаем уравнения третьей, четвертой и выше степеней аналогично. Мы уже представляем себе, как составить программу , которая будет решать уравнения такого вида. Каждое решение пригодится нам в дальнейшей учебе. Эта работа помогла классифицировать старые знания и познать новые.

Глава 2. Экспериментальная часть «Реализация метода Горнера на практике» 2.1. Эксперимент 1. Выявление основных методов решения уравнений второй и выше степени.

Цель: проанализировать основные методы решения уравнений на практике; проанализировать время, которое тратится на решение уравнений второй и выше степени.

Для того чтобы грамотно реализовать собственную программу, необходимо не только ознакомится с мнением, решением, ошибками других, и понять причины, по которым они произошли, но и, возможно, применять особые приемы программирования и специализированные средства разработки.

По результатам анкетирования (приложение 1) учащихся 9 – 11 классов (всего 55 оппонентов) оценки правильного нахождения корней уравнений второго и выше порядка выделено:

Умеют решать квадратные уравнения через дискриминант 50 оппонентов; кубические уравнения делением «уголочком» подбором корней 10 оппонентов; 4 степени подбором корней 3 оппонента и заменой переменной; уравнения выше 4 степени не пробовал решать никто.

Время, которое затрачивается обучающимся на решение уравнений:

Из графика видно, что временные затраты на решение даже одного уравнения существенно. А если их надо решить несколько? Время увеличится в разы.

2.2. Эксперимент 2. Создание алгоритма решения уравнений второго порядка и выше.

Цель: проанализировать эффективность метода Горнера при составлении программы; выработать схему использования вспомогательного алгоритма.

Проанализировав анкеты, мы выяснили, что при решении уравнений второго и выше пличными методами: методом подбора корней, делением уголочком многочлена на многочлен, что довольно долгий процесс решения.

Рассмотренные теоретические вопросы дают возможность создания алгоритма решения поставленной цели. Этот алгоритми будем разрабатывать.

Обращаясь к вспомогательному алгоритму решения квадратного уравнения (приложение 3) и алгоритму «понижения степени» многочлена (нахождения делителей многочлена, разложение многочлена на множители), воспользуемся схемой Горнера. 2.3. Эксперимент 3 . Создание программы, реализующей схему Горнера при решении уравнений второй и выше степени.

Цель: составить программу, позволяющую решать уравнения второй и выше степени; проанализировать работу программы.

Для составления программы мы выбрали среду программирования Pascal ABC. Данная программная среда является языком высокого уровня и в последнее время пользуется не только профессиональными программистами, но и начинающим, а также на уроках информатике и ИКТ в гимназии.

В системе программирования четко реализованы принципы структурного программирования. Сначала мы написали программы отдельно для каждого вида уравнений. Затем воспользовались вспомогательным алгоритмом нахождения квадратного уравнения (приложение 3), кубического уравнения (приложение 4), решили объединить, составили программу с использованием процедуры. Рассмотренные теоретические вопросы дают возможность создания программы на Pascal ABC для решения.

Текст программы решения уравнений второй и выше степени, приведен в приложении 5.

В данной главе рассмотрен алгоритм решения уравнений с использованием схемы Горнера. Составленная программа решения уравнений второй и выше степени может быть использована в практической деятельности для помощи учащимся и учителям решать и проверять соответственно задания , где требуется нахождения корней уравнений второй, третьей, четвертой степени , значительно сократив время на проверку.

Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия.И. М. Виноградов.1977—1985.

В.В. Фараонов «Турбо Паскаль». Издание 7-е переработанное

Интернет http://ru.wikipedia.org «Википедия» — универсальная энциклопедия

Приложение 1 Анкета для обучающихся

Умеете ли Вы решать уравнения вида ах 2 + вх+с=0 (уравнения второго порядка)?

а) да Если «ДА» каким способом _____________________

в) никогда не делал этого ( не встречал в своей жизни)

Сколько занимает времени решение одного уравнения второго порядка?

а) от 1 до 5 минут б) от 5до 10 минут

в) от 10 до 30 минут г) около часа

Умеете ли Вы решать уравнения вида ах 3 + вх 2 +сх+d=0 (уравнения третьего порядка)?

а) да Если «ДА» каким способом ______________________

в) никогда не делал этого ( не встречал в своей жизни)

Сколько занимает времени решение одного уравнения третьего порядка?

а) от 1 до 5 минут б) от 5до 10 минут

в) от 10 до 30 минут г) около часа

Умеете ли Вы решать уравнения вида ах 4 + вх 3 +сх 2 +dx+e=0 (уравнения четвертого порядка)?

а) да Если «ДА» каким способом ______________________

в) никогда не делал этого ( не встречал в своей жизни)

Сколько занимает времени решение одного уравнения четвертого порядка ?

а) от 1 до 5 минут б) от 5до 10 минут

в) от 10 до 30 минут г) около часа

Умеете ли Вы решать уравнения более высокого порядка ?

а) да Если «ДА» каким способом ______________________

в) никогда не делал этого ( не встречал в своей жизни)

Хотели бы Вы научиться решать уравнения второго порядка и выше?

а) да б) нет в) предпочитаю списать

Хотели бы Вы иметь у себя программу, решающую уравнения второго порядка и выше?

Приложение 2 Решение уравнения методом Горнера

Находим делители свободного члена ±1; ± 2; ± 3; ± 6.

Решение задач по математике онлайн

//mailru,yandex,google,vkontakte,odnoklassniki,instagram,wargaming,facebook,twitter,liveid,steam,soundcloud,lastfm, // echo( ‘

Калькулятор онлайн.
Решение показательных уравнений.

Этот математический калькулятор онлайн поможет вам решить показательное уравнение. Программа для решения показательного уравнения не просто даёт ответ задачи, она приводит подробное решение с пояснениями, т.е. отображает процесс получения результата.

Данная программа может быть полезна учащимся старших классов общеобразовательных школ при подготовке к контрольным работам и экзаменам, при проверке знаний перед ЕГЭ, родителям для контроля решения многих задач по математике и алгебре. А может быть вам слишком накладно нанимать репетитора или покупать новые учебники? Или вы просто хотите как можно быстрее сделать домашнее задание по математике или алгебре? В этом случае вы также можете воспользоваться нашими программами с подробным решением.

Таким образом вы можете проводить своё собственное обучение и/или обучение своих младших братьев или сестёр, при этом уровень образования в области решаемых задач повышается.

Обязательно ознакомьтесь с правилами ввода функций. Это сэкономит ваше время и нервы.
Правила ввода функций >> Почему решение на английском языке? >> С 9 января 2019 года вводится новый порядок получения подробного решения некоторых задач. Ознакомтесь с новыми правилами >> —> Введите показательное уравнение
Решить уравнение

Немного теории.

Показательная функция, её свойства и график

Напомним основные свойства степени. Пусть а > 0, b > 0, n, m — любые действительные числа. Тогда
1) a n a m = a n+m

4) (ab) n = a n b n

7) a n > 1, если a > 1, n > 0

8) a n m , если a > 1, n n > a m , если 0 x , где a — заданное положительное число, x — переменная. Такие функции называют показательными. Это название объясняется тем, что аргументом показательной функции является показатель степени, а основанием степени — заданное число.

Определение. Показательной функцией называется функция вида y = a x , где а — заданное число, a > 0, \( a \neq 1\)

Показательная функция обладает следующими свойствами

1) Область определения показательной функции — множество всех действительных чисел.
Это свойство следует из того, что степень a x где a > 0, определена для всех действительных чисел x.

2) Множество значений показательной функции — множество всех положительных чисел.
Чтобы убедиться в этом, нужно показать, что уравнение a x = b, где а > 0, \( a \neq 1\), не имеет корней, если \( b \leqslant 0\), и имеет корень при любом b > 0.

3) Показательная функция у = a x является возрастающей на множестве всех действительных чисел, если a > 1, и убывающей, если 0 x при a > 0 и при 0 x при a > 0 проходит через точку (0; 1) и расположен выше оси Oх.
Если х x при a > 0.
Если х > 0 и |х| увеличивается, то график быстро поднимается вверх.

График функции у = a x при 0 0 и увеличивается, то график быстро приближается к оси Ох (не пересекая её). Таким образом, ось Ох является горизонтальной асимптотой графика.
Если х

Показательные уравнения

Рассмотрим несколько примеров показательных уравнений, т.е. уравнений, в которых неизвестное содержится в показателе степени. Решение показательных уравнений часто сводится к решению уравнения a x = a b где а > 0, \( a \neq 1\), х — неизвестное. Это уравнение решается с помощью свойства степени: степени с одинаковым основанием а > 0, \( a \neq 1\) равны тогда и только тогда, когда равны их показатели.

Решить уравнение 2 3x • 3 x = 576
Так как 2 3x = (2 3 ) x = 8 x , 576 = 24 2 , то уравнение можно записать в виде 8 x • 3 x = 24 2 , или в виде 24 x = 24 2 , откуда х = 2.
Ответ х = 2

Решить уравнение 3 х + 1 — 2 • 3 x — 2 = 25
Вынося в левой части за скобки общий множитель 3 х — 2 , получаем 3 х — 2 (3 3 — 2) = 25, 3 х — 2 • 25 = 25,
откуда 3 х — 2 = 1, x — 2 = 0, x = 2
Ответ х = 2

Решить уравнение 3 х = 7 х
Так как \( 7^x \neq 0 \) , то уравнение можно записать в виде \( \frac<3^x> <7^x>= 1 \), откуда \( \left( \frac<3> <7>\right) ^x = 1 \), х = 0
Ответ х = 0

Решить уравнение 9 х — 4 • 3 х — 45 = 0
Заменой 3 х = t данное уравнение сводится к квадратному уравнению t 2 — 4t — 45 = 0. Решая это уравнение, находим его корни: t₁ = 9, t₂ = -5, откуда 3 х = 9, 3 х = -5.
Уравнение 3 х = 9 имеет корень х = 2, а уравнение 3 х = -5 не имеет корней, так как показательная функция не может принимать отрицательные значения.
Ответ х = 2

Решить уравнение 3 • 2 х + 1 + 2 • 5 x — 2 = 5 х + 2 х — 2
Запишем уравнение в виде
3 • 2 х + 1 — 2 x — 2 = 5 х — 2 • 5 х — 2 , откуда
2 х — 2 (3 • 2 3 — 1) = 5 х — 2 ( 5 2 — 2 )
2 х — 2 • 23 = 5 х — 2 • 23
\( \left( \frac<2> <5>\right) ^ = 1 \)
x — 2 = 0
Ответ х = 2

Решить уравнение 3 |х — 1| = 3 |х + 3|
Так как 3 > 0, \( 3 \neq 1\), то исходное уравнение равносильно уравнению |x-1| = |x+3|
Возводя это уравнение в квадрат, получаем его следствие (х — 1) 2 = (х + 3) 2 , откуда
х 2 — 2х + 1 = х 2 + 6х + 9, 8x = -8, х = -1
Проверка показывает, что х = -1 — корень исходного уравнения.
Ответ х = -1

Лучшие приложения для решения математики, алгебры, геометрии: ТОП-8 на 2022 год

Подборка приложений для решения задач по математике. Скачиваете бесплатно на Андроид телефон, и они решают за вас линейные уравнения, алгебру, примеры, логарифмы, геометрические задачи и др. Наведите камеру смартфона на уравнение и получите ответ.

Photomath

Мне нравится 14

Не только решает математические задачи и формулы, но и обучает, как их решать. Показывает правильную последовательность решения, поясняя действия. Приложение полезно ученикам, родителям и учителям.

• Решение по фото.
• Несколько вариантов решения.
• Инструкции с анимацией.
• Разбитие решения на последовательность шагов для понимания.

Решает базовые математические уравнения, дроби, корни, линейные и квадратные уравнения, логарифмы, функции, тождества, функции, векторы, интегралы, факториалы и многое другое.

Mathway

Наиболее многофункциональное приложение по количеству задач. К сожалению, некоторые функции платные, например, последовательность решения. Но вычисляет математические примеры оно бесплатно.

• Базовая математика
• Тригонометрия
• Алгебра
• Анализ
• Химия
• Построение графиков
• Статистика

Microsoft Math Solver

Удобная программа для андроид, чтобы решать логарифмы, алгебраические формулы, математические уравнения, примеры, задачи и много другого. Алгоритм быстро распознаёт задание и выводит пошаговое решение с дополнительными материалами по теме.

• Сфотографируйте уравнение и получите ответ.
• Можно написать на экране пример и приложение его решит.
• Распознаёт машинный и письменный текст.
• Показывает подробные шаги решения с объяснениями.
• Встроенная озвучка текста.
• Подбирает тематические контент для обучения (видео из ютуб, статьи, конспекты и др.).
• Проводит викторины среди пользователей с выставлением результатов.

Maple Калькулятор

Функциональный софт для решения простых и сложных математических заданий на андроид телефоне. Имеет приличный дизайн интерфейса и функцию распознавания примеров по фото. Ответы выдаёт с подробными шагами по решению.

• Подойдёт не только для поиска ответа, но и для пошагового изучения, как решить пример.
• Базовая математика, алгебра, дифференциальные уравнения, анализ и др.
• Может распознать машинописный и рукописный текст.
• Решает множество видов задач.
• Строит графики.
• Сообщество Maple Learn, в котором можно поделиться результатами и найти ошибки.

Camera Math

Как заявляют разработчики, приложение может распознать не только пример, но и вопрос задачи. Как я понял, эта функция работает не со всеми условиями. Например, я сканировал задачу на время, дистанцию и скорость. Оно выдало в ответ вычисление корня из цифр, упоминающихся в тексте. В остальном программа справляется отлично, даже самостоятельно обрезает края фото, выделяя нужное уравнение.

• Сфотографируйте, что нужно решить и ждите ответ.
• Если программа не может справиться с задачей, спросите решение у репетиторов (в платной версии).
• Тригонометрия, алгебра, начальная математика, исчисления, статистика, геометрия и др.
• Подробные шаги решения (в премиум подписке).
• Несколько способов решения.