Решение задач по математике онлайн
//mailru,yandex,google,vkontakte,odnoklassniki,instagram,wargaming,facebook,twitter,liveid,steam,soundcloud,lastfm, // echo( ‘
Калькулятор онлайн.
Решение системы двух линейных уравнений с двумя переменными.
Метод подстановки и сложения.
С помощью данной математической программы вы можете решить систему двух линейных уравнений с двумя переменными методом подстановки и методом сложения.
Программа не только даёт ответ задачи, но и приводит подробное решение с пояснениями шагов решения двумя способами: методом подстановки и методом сложения.
Данная программа может быть полезна учащимся старших классов общеобразовательных школ при подготовке к контрольным работам и экзаменам, при проверке знаний перед ЕГЭ, родителям для контроля решения многих задач по математике и алгебре. А может быть вам слишком накладно нанимать репетитора или покупать новые учебники? Или вы просто хотите как можно быстрее сделать домашнее задание по математике или алгебре? В этом случае вы также можете воспользоваться нашими программами с подробным решением.
Таким образом вы можете проводить своё собственное обучение и/или обучение своих младших братьев или сестёр, при этом уровень образования в области решаемых задач повышается.
В качестве переменной может выступать любая латинсая буква.
Например: \( x, y, z, a, b, c, o, p, q \) и т.д.
При вводе уравнений можно использовать скобки. При этом уравнения сначала упрощаются. Уравнения после упрощений должны быть линейными, т.е. вида ax+by+c=0 с точностью порядка следования элементов.
Например: 6x+1 = 5(x+y)+2
В уравнениях можно использовать не только целые, но также и дробные числа в виде десятичных и обыкновенных дробей.
Правила ввода десятичных дробей.
Целая и дробная часть в десятичных дробях может разделяться как точкой так и запятой.
Например: 2.1n + 3,5m = 55
Правила ввода обыкновенных дробей.
В качестве числителя, знаменателя и целой части дроби может выступать только целое число.
Знаменатель не может быть отрицательным.
При вводе числовой дроби числитель отделяется от знаменателя знаком деления: /
Целая часть отделяется от дроби знаком амперсанд: &
Примеры.
-1&2/3y + 5/3x = 55
2.1p + 55 = -2/7(3,5p — 2&1/8q)
Решить систему уравнений
Немного теории.
Решение систем линейных уравнений. Способ подстановки
Последовательность действий при решении системы линейных уравнений способом подстановки:
1) выражают из какого-нибудь уравнения системы одну переменную через другую;
2) подставляют в другое уравнение системы вместо этой переменной полученное выражение;
3) решают получившееся уравнение с одной переменной;
4) находят соответствующее значение второй переменной.
Пример. Решим систему уравнений:
$$ \left\< \begin
Выразим из первого уравнения y через x: y = 7-3x. Подставив во второе уравнение вместо y выражение 7-Зx, получим систему:
$$ \left\< \begin
Нетрудно показать, что первая и вторая системы имеют одни и те же решения. Во второй системе второе уравнение содержит только одну переменную. Решим это уравнение:
$$ -5x+2(7-3x)=3 \Rightarrow -5x+14-6x=3 \Rightarrow -11x=-11 \Rightarrow x=1 $$
Подставив в равенство y=7-3x вместо x число 1, найдем соответствующее значение y:
$$ y=7-3 \cdot 1 \Rightarrow y=4 $$
Пара (1;4) — решение системы
Системы уравнений с двумя переменными, имеющие одни и те же решения, называются равносильными. Системы, не имеющие решений, также считают равносильными.
Решение систем линейных уравнений способом сложения
Рассмотрим еще один способ решения систем линейных уравнений — способ сложения. При решении систем этим способом, как и при решении способом подстановки, мы переходим от данной системы к другой, равносильной ей системе, в которой одно из уравнений содержит только одну переменную.
Последовательность действий при решении системы линейных уравнений способом сложения:
1) умножают почленно уравнения системы, подбирая множители так, чтобы коэффициенты при одной из переменных стали противоположными числами;
2) складывают почленно левые и правые части уравнений системы;
3) решают получившееся уравнение с одной переменной;
4) находят соответствующее значение второй переменной.
Пример. Решим систему уравнений:
$$ \left\< \begin
В уравнениях этой системы коэффициенты при y являются противоположными числами. Сложив почленно левые и правые части уравнений, получим уравнение с одной переменной 3x=33. Заменим одно из уравнений системы, например первое, уравнением 3x=33. Получим систему
$$ \left\< \begin
Из уравнения 3x=33 находим, что x=11. Подставив это значение x в уравнение \( x-3y=38 \) получим уравнение с переменной y: \( 11-3y=38 \). Решим это уравнение:
\( -3y=27 \Rightarrow y=-9 \)
Таким образом мы нашли решение системмы уравнений способом сложения: \( x=11; y=-9 \) или \( (11; -9) \)
Воспользовавшись тем, что в уравнениях системы коэффициенты при y являются противоположными числами, мы свели ее решение к решению равносильной системы (сумировав обе части каждого из уравнений исходной симтемы), в которой одно из уравнений содержит только одну переменную.
Решение систем линейных уравнений
Эта страничка поможет решить Системы Линейных Алгебраических Уравнений (СЛАУ) методом Гаусса, матричным методом или методом Крамера, исследовать их на совместность (теорема Кронекера-Капелли), определить количество решений, найти общее, частное и базисные решения.
Введите коэффициенты при неизвестных в поля. Если Ваше уравнение имеет меньшее количество неизвестных, то оставьте пустыми поля при переменных, не входящих в ваше уравнение. Можно использовать дроби ( 13/31 ).
ВВЕДЕНИЕ
Данный проект о сравнении эффективности решения систем линейных уравнений различными методами и об их аналогах в программах на ЯП ABC Pascal и С++.
Проблема: Но каким способом пользоваться, если нет явных свойств системы уравнений? Есть способы, которые мы не изучаем в школе, такие как методы Гаусса и Крамера. Актуальность – на экзаменах в заданиях встречаются системы уравнений, и знать дополнительный метод их решения не помешает никому; применение опыта решения СЛУ различными способами способствует развитию логической культуры.
Цель. Разработка наиболее рациональной программы для решения СЛУ различной размерности.
изучить основные методы решения СЛУ
изучить метод Крамера и метод Гаусса для решения СЛАУ различной размерности
сравнить рациональность применения методов
сделать программы на Pascal
создать программу на С++
Методы исследования:Сравнение, анализ, обобщение, эксперимент.
Продукт: рациональная программа для решения СЛУ с дополнительным функционалом.
1. Системы линейных уравнений
Определение.Система (1), где х, у – неизвестные, a 1, a 2, b 1, b 2, с1, с2 – коэффициенты системы (данные числа), называется системой двух линейных уравнений с двумя неизвестными.
Существует три способа решения систем линейных уравнений: графический, подстановки и сложения.
2. Основные методы решения систем линейных уравнений 2-го порядка
При решении таких систем возможны следующие случаи:
система имеет единственное решение – прямые пересекаются,
система не имеет решений – прямые параллельны,
система имеет бесчисленное множество решений – прямые совпадают.
2.1. Графический метод
АЛГОРИТМ: Способ заключается в построении графика каждого уравнения, входящего в данную систему, в одной координатной плоскости и нахождении точки пересечения этих графиков. Координаты этой точки (x; y) и будут являться решением данной системы уравнений.
Если прямые, являющиеся графиками уравнений системы, пересекаются, то система уравнений имеет единственное решение.
Если прямые, являющиеся графиками уравнений системы, параллельны, то система уравнений не имеет решений.
Если прямые, являющиеся графиками уравнений системы, совпадают, то система уравнений имеет бесконечное множество решений.
2.2. Метод подстановки
Заключается в том, что используя одно из уравнений, выражаем y, а затем подставляем полученное выражение во второе уравнение, вместо y. Решаем уравнение с одной переменной, находим x, а затем и y.
Выразить y в первом уравнении.
Подставить выражение, которое получилось в первом (то есть, чему равно y ), во второе уравнение вместо y.
Найти x, используя полученное уравнение.
Найти y, используя уравнение, которое получили при первом действии.
Выполнить проверку решения.
2.3. Способ сложения
Алгоритм решения системы линейных уравнений с двумя неизвестными способом сложения:
1. Если требуется, путем равносильных преобразований уравнять коэффициенты при одной из неизвестных переменных в обоих уравнениях.
2. Складывая или вычитая полученные уравнения получить линейное уравнение с одним неизвестным
3. Решить полученное уравнение с одним неизвестным и найти одну из переменных.
4. Подставить полученное выражение в любое из двух уравнений системы и решить это уравнение, получив, таким образом, вторую переменную.
5. Сделать проверку решения.
3. Метод Крамера для решения СЛУ
1) Решим систему:
Умножим первое уравнение этой системы на b 2≠0, а второе уравнение на (- b 1)≠0, тогда данная система приобретает вид:
Сложим уравнения полученной системы (при этом у нас получится неизвестное у):
если выражение ≠0, то можно выразить неизвестное х:
подставим полученное значение х в одно из уравнений системы и найдем значение у:
Условимся выражение обозначать . Тогда выражение
Числа a 1, a 2, b 1, b 2 – элементы определителя, a 1, b 2 – главная диагональ, a 2, b 1 – вспомогательная диагональ. Чтобы вычислить определитель второго порядка достаточно найти разность произведений элементов главной и вспомогательной диагоналей.Обозначения:
Определитель ∆ x получается из ∆ заменой элементов первого столбца свободными членами системы; аналогично получается ∆ y .
Т аблица. Условия, определяющие число решений системы линейных уравнений
В приложении №1 – примеры решения СЛУ 2-го порядка методом Крамера.
4. Метод Гаусса для решения СЛУ
Метод Гаусса – наиболее мощный и универсальный инструмент для нахождения решения любой системы линейных уравнений. Правило Крамера и матричный метод непригодны в тех случаях, когда система имеет бесконечно много решений или несовместна. А метод последовательного исключения неизвестных в любом случае приведет нас к ответу.
5. Сравнение методов решений
Для оценки рациональности использования того или иного метода в программирование при решении систем уравнений 2-го порядка взял следующие критерии:
— скорость выполнения задания;
Для объективности брал в равной мере как примеры «удобные» для решения тем или иным способом так и «неудобные» и сравнивали их решение с решением в программах на ЯП Pascal . Каждый критерий оценен по 10-бальной шкале.
Подробное решение и сравнение, а также выводы по каждому сравнению можно увидеть в приложении №3.
5.1. Метод Крамера и графический метод
Метод Крамера во всех примерах оказался гораздо точнее. Графический метод – специфический и служит больше для визуального представления решения систем линейных уравнений в виде пересечения двух графиков.
5.2. Метод Крамера и метод подстановки
Мне показались два метода равнозначно удобными. Но анализ полученных данных не совпал с субъективным мнением. И хоть по скорости выполнения способ подстановки обогнал метод Крамера, но более точный результаты у последнего. Точность в способе подстановки пострадала из-за запутанности решений некоторых систем линейных уравнений.
5.3. Метод Крамера и способ сложения
Эти два метода показались практически равнозначны. Более сложные системы с дробными коэффициентами при неизвестных удобнее решать все же методом Крамера, но если коэффициенты натуральные числа, то гораздо быстрее система решается способом сложения.
Получаем, что решение СЛУ 2 порядка способом сложения или способом подстановки дают точное решение, что не всегда удается достичь при решении графически. Но, решая СЛУ более 2 порядка этими способами тяжело, удобнее воспользоваться методом Крамера или методом Гаусса.
5.4. Метод Крамера и метод Гаусса
Метод Гаусса быстрее м-да Крамера. По точности — одинаковы. Считать для СЛУ размерности большей, чем 2 на 2 – неудобно вручную.
А что если написать программы для решения систем линейных уравнений методом Крамера/методом Гаусса? Именно это я и сделал целью нашего проекта.
Средой разработки была выбрана ABC Pascal .
6. Разработка программ
6.1. Разработка программ на Pascal
Выяснил на собственном опыте, что считать СЛУ больших размерностей неудобно вручную. Тогда для решения систем линейных уравнений размерности большей, чем 2 на 2, было решено разработать программы на ЯП Pascal ABC и сравнить их друг с другом.
6.1.1. Разработка программы. Способ сложения
В этой программе использовал 3 массива в типе real , оператор If , циклы for . Полностью с программой можно познакомиться в Приложении2. п.1
Пример работы программы для СЛУ:
— Далее вводим свободные члены
— Программа выводит на экран корни системы
6.1.2. Разработка программы. Способ подстановки
В этой программе использовал 3 массива в типе real , оператор If , циклы for . Полностью с программой можно познакомиться в Приложении2. п.2
Пример работы программы для СЛУ:
6 .1.3. Разработка программы. Метод Крамера
В этой программе использовал оператор If . Полностью с программой можно познакомиться в Приложении2. п.3
Пример работы программы для СЛУ:
6.1.4. Разработка программы. Метод Крамера для n -размерности
В этой программе использовал 3 массива в типе real , оператор If , циклы for . Полностью с программой можно познакомиться в Приложении2. п.4
Далее вводим коэффициенты
Потом вводим свободные члены
6.1.5. Разработка программы. Метод Гаусса для n -размерности
В этой программе использовал 3 массива в типе real , оператор If , циклы for . Полностью с программой можно познакомиться в Приложении2. п.5
Далее вводим расширенную матрицу
Программа выдает решение
6.1.6. Сравнение. Метод Крамера и Гаусса на листочке и в Pascal
Применение методов Крамера или Гаусса во всех примерах на ЯП Pascal оказались гораздо точнее, но уступали в СЛУ размерностью 2 x 2 скоростью.
В результате выполненной работы получил, что программа неудобна для использования для решения СЛУ маленькой размерности, но при этом выигрывает для систем линейных уравнений, начиная с 3 порядка.
6.1.7. Сравнение программ на Pascal .
Я создал программы на метод подстановки, на метод сложения, на метод Крамера и на метод Гаусса (для СЛУ 2 порядка) и на метод Крамера и на метод Гаусса (для систем линейных уравнений от 2 до 10 размерности). Из них более рациональными в использовании кажутся две последние, т.к. можно использовать для СЛУ любого порядка (до 10-го). Поэтому их я и решил сравнить.
С помощью компиляции в PascalABC . NET сравнили решение СЛУ в программе «Крамер на n -размерность» с решением программе «Гаусс на n -размерность». Сравнивали по скорости выполнения данных:
Как видно из графика, нашей программе по методу Гаусса требуется немного больше времени. Но мне нравится использовать обе программы. И для обычного пользователя данная «потеря» времени незначительна и даже незаметна. Поэтому предлагаю проверять свои решения СЛУ с помощью этих программ!
Я выяснил на собственном опыте (см. приложение), что считать СЛУ больших размерностей неудобно вручную. Тогда для решения систем линейных уравнений размерности большей, чем 2 на 2, решил разработать программу на ЯП С++.
6.2. Разработка программы на С++.
Но ЯП Pascal является учебным и не предназначен для создания мощных проектов. Поэтому перешел на С++.
6.2.1. Реализация метода Крамера на С++.
Я решил выбрать метод Крамера для написания программы на С++, так как он показался легко записываемым в качестве формул. Написал программу на размерность до 4 и проверили ее, сравнив с решением на листочке и в предыдущей программе на Pascal .
Далее дополнил программу дополнительными функциями для того, чтобы она была более интересной. Добавленные функции: калькулятор, нахождение тригонометрических функций (косинус, синус, тангенс, котангенс), решение квадратных уравнений, нахождение большего или меньшего числа из множества, нахождения четных и нечетных чисел из множества, побайтовый сдвиг вправо и побайтовый сдвиг влево, нахождение значения log по основанию 2 и по основанию 10, таблица умножения и таблица квадратов, функция – запоминание числа, перевод из десятичной системы счисления в другую (начиная с двоичной и заканчивая 9-ой), нахождение корня числа и возведение в степень.
Дальше встал вопрос об оформлении приложения. Для этого использовались функции изменения размера текста, цвета фона и также стирание фрагментов текста в консоли. Для создания рамок была использована капелька хитрости.
6.2.2. Метод Крамера на листочке и в С++
Применение метода Крамера во всех примерах на ЯП С++ оказались гораздо точнее, но уступали в СЛУ размерностью 2 x 2 скоростью. В результате выполненной работы я пришел к аналогичному выводу (что и в результате с программой на Pascal ) — программа неудобна для использования для решения СЛУ маленькой размерности, но при этом выигрывает для систем линейных уравнений, начиная с 3 порядка.
6.2.3. Мнение пользователей.
Программу дал опробовать нашим ровесникам и учителям нашей школы. В тестировании программы приняло участие 30 учащихся 8 – 10 классов и 7 учителей. От каждого услышал, что нужно добавить и, что нужно улучшить. Я всегда прислушиваюсь к советам пользователей и поэтому у меня часто появляются новые версии.
6.2.4. Экономическая и экологическая оценка.
Экономический аспект включает: амортизацию компьютерной техники, электричество, оплату интернет-трафика. Бумагу, картридж, интернет, ПО – все предоставила школа (бесплатно).
Потребовались значительные временные затраты – с августа 2018г. по текущее время: сначала изучали СЛУ, повторяли методы, изучаемые в школе, изучили м-ды Крамера и Гаусса, отработали навыки решения СЛУ, написали программы на ЯП Паскаль, проанализировали, протестировали, изучили С++, написали программу, протестировали на группе людей, проанализировали, доработали, опять тестировали, дорабатывали (по текущее время), для вставки дополнительных функции в МегаКалькулятор, познакомились с основными тригонометрическими, логарифмическими функциями, повторили степенную и квадратичную, повторили системы счисления и перевод в из одной СС в другую и т.д. Получилось, что в неделю тратится в среднем по 12ч на работу над проектом.
Использование моей программы (см. Приложение 2, п.6) пользователем уменьшит время проведенное за компьютером, нагрузку на глаза и опорно-двигательный аппарат; сформирует навыки самоконтроля.
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
В результате выполнения работы:
— Изучена литература по методам решения систем линейных уравнений.
— Подобраны и решены системы линейных уравнений 2 и более порядка основными методами, изучаемыми в школе.
— Подобраны и решены СЛУ 2 и более порядка методом Крамера и Гаусса.
— Было проведено сравнение типовых методов решения СЛУ 2-го порядка с методом Крамера, Гаусса и произведена оценка рациональности использования.
— Были созданы программы на ЯП Pascal .
— Была разработана программа на ЯП С++ (Мега калькулятор).
Метод Крамера и/или метод Гаусса позволяет существенно сократить время нахождения решений систем линейных уравнений, избежать «лишних» записей в сложных случаях. А в случае сравнения с графическим методом – дает точное решение (что не является его преимуществом перед остальными двумя методами, т.к. они дают тоже точное решение).
Мне кажется, метод Крамера и метод Гаусса доступен для изучения учащимся 8 классов при решении систем линейных уравнений 2 порядка и может быть предложен ученикам как дополнительный метод. А разработка программ для решения СЛУ – для кружковых и факультативных занятий по информатике.
МегаКалькулятор создан для использования в качестве самоконтроля и может пригодиться при использовании многих тем в алгебре и информатики.
Список литературы. Интернет-ресурсы.
Список литературы
1. Алгебра: дидактические материалы для 7 кл. / Л.И.Званич, Л.В. Кузнецова, С.Б. Суворова, — 12-е изд., дораб. – М.: Просвещение, 2007. – 160 с.
2. Математика: Справ.материалы: Кн.для учащихся. – М.: Просвещение, 1988. – 416с.
3. Сборник задач по алгебре. Часть II . Для 8 – 10 классов средней школы. / П.А.Ларичев, — уч.-изд. –М.: Государственное учебно-педагогическое издательство Министерства Просвещения РСФСР, 1952
4. Сборник заданий для проведения письменного экзамена по математике в восьмых классах общеобразовательных школ РСФСР. –2-е изд., дораб. — М.: Просвещение, 1985. – 64 с.
Список используемых Интернет-ресурсов
https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9C%D0%B5%D1%82%D0%BE%D0%B4_%D0%9A%D1%80%D0%B0%D0%BC%D0%B5%D1%80%D0%B0 – метод Крамера
http://www.mathematics-repetition.com/6-klass-mathematics/6-9-1-reshenie-sistem-lineynh-uravneniy-grafitcheskim-sposobom.html — графический метод
http://school-assistant.ru/?predmet=algebra&theme=reshenie_sistem_2_lin_uravnenij_2_perem_podstanovki – метод подстановки
http://www.nado5.ru/e-book/sposob-slozheniya — способ сложения
https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9C%D0%B5%D1%82%D0%BE%D0%B4_%D0%93%D0%B0%D1%83%D1%81%D1%81%D0%B0 – метод Гаусса
https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%93%D0%B0%D1%83%D1%81%D1%81,_%D0%9A%D0%B0%D1%80%D0%BB_%D0%A4%D1%80%D0%B8%D0%B4%D1%80%D0%B8%D1%85 – Карл Фридрих Гаусс
ПРИЛОЖЕНИЯ
Приложение №1. Примеры решения систем линейных уравнений 2-го порядка методом Крамера
Система имеет единственное решение
Коэффициенты пропорциональны, а свободные члены не подчинены той же пропорции. Система не имеет решений.
Одно из уравнений есть следствие другого (например, второе получается из первого умножением на 2). Система сводится к одному уравнению и имеет бесчисленное множество решений, содержащихся в формуле
Приложение №2. Программы
Подбор систем линейных уравнений и их прорешивание всеми изучаемыми способами и методами занял наибольшее количество времени. Основные СЛУ, используемые нами, приведены в тетради. Здесь приведу код Мега калькулятора и первые программы в Паскале
Var Q: array [ 1..100000 ] of real ;
W: array [ 1..100000 ] of real ;
D: array [ 1..100000 ] of real ;
http://matrixcalc.org/slu.html
http://school-science.ru/8/4/41439