Программа решения уравнений в целых числах

Линейные диофантовы уравнения с двумя переменными

Калькулятор решает линейные диофантовы уравнения с двумя переменными.

Сначала калькулятор, теория под ним.

Линейные диофантовы уравнения с двумя переменными

Диофантово уравнение с двумя неизвестными имеет вид:

где a, b, c — заданные целые числа, x и y — неизвестные целые числа.

Для нахождения решений уравнения используется Расширенный алгоритм Евклида (исключая вырожденный случай, когда a = b = 0 и уравнение имеет либо бесконечно много решений, либо же не имеет решений вовсе).
Если числа a и b неотрицательны, тогда с помощью расширенного алгоритма Евклида мы можем найти их наибольший общий делитель g, а также такие коэффициенты и , что:
.

Утверждается, что если число c делится на g, то диофантово уравнение имеет решение; в противном случае диофантово уравнение решений не имеет. Это следует из очевидного факта, что линейная комбинация двух чисел по-прежнему должна делиться на их общий делитель.

То есть если c делится на g, тогда выполняется соотношение:

т. е. одним из решений диофантова уравнения являются числа:

Если одно из чисел a и b или они оба отрицательны, то можно взять их по модулю и применить к ним алгоритм Евклида, как было описано выше, а затем изменить знак найденных коэффициентов и в соответствии с настоящим знаком чисел a и b соответственно.

Если мы знаем одно из решений, мы можем получить выражение для всех остальных решений, которых бесконечное множество.

Итак, пусть g = НОД (a,b), выполняется условие:
.

Тогда, прибавив к число и одновременно отняв от , мы не нарушим равенства:

Этот процесс можно повторять сколько угодно, т. е. все числа вида:

,
где k принадлежит множеству целых чисел, являются множеством всех решений диофантова уравнения.

Как решить в целых числах уравнение по математике

Применение уравнений широко распространено в нашей жизни. Они используются во многих расчетах, строительстве сооружений и даже спорте. Уравнения человек использовал еще в древности и с тех пор их применение только возрастает. Целые уравнения представляют собой уравнения, у которых в левой и правой части выражения целого типа. Данного рода уравнения являются одними из самых простых, поскольку решаются одним способом.

Пример уравнения данного вида — \[2x + 16= 8x — 4\]. Приведенный пример решается довольно просто, поскольку все, что необходимо сделать для его решения — перенести числа из одной части в другую. Выполнив эти простые действия, у вас должно получиться уравнение, где в одной части находятся все переменные, а в другой — все числа. Однако выполнять перенос необходимо с учетом правила — переносить числа с \[\div\] и \[\cdot \] нельзя, если же вы переносите числа с «+/-«, то после переноса вы меняете знак на противоположный. Вернувшись к нашему примеру и придерживаясь вышеописанных правил, решение данного управления сводится к следующему:

До переноса: \[-2x + 16 = 8x — 4\]

После переноса: \[-6x = -20\]

Далее производим деление правой стороны на левую и получаем следующий результат: \[x = \sim 3.3\]

Приведенный выше пример относится к базовому уровню, однако в уравнения данного типа входят и другие уравнения, сложность которых намного выше, например, квадратные, биквадратные, линейные уравнения.

Где можно решить целое уравнение онлайн?

Решить в целых числах уравнение онлайн любого вида вы можете с помощью нашего сайта https://pocketteacher.ru. Бесплатный онлайн решатель позволит решить уравнение онлайн любой сложности за считанные секунды. Все, что вам необходимо сделать — это просто ввести свои данные в решателе. Так же вы можете посмотреть видео инструкцию и узнать, как решить уравнение на нашем сайте. А если у вас остались вопросы, то вы можете задать их в нашей групе Вконтакте http://vk.com/pocketteacher. Вступайте в нашу группу, мы всегда рады помочь вам.

Наш искусственный интеллект решает сложные математические задания за секунды.

Мы решим вам контрольные, домашние задания, олимпиадные задачи с подробными шагами. Останется только переписать в тетрадь!

Авторская программа элективного курса по математике «Решение уравнений в целых числах» для 9 класса с углубленным изучением математики.

Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение

«Средняя общеобразовательная школа №15 города Дербент РД»

Рассмотрено Согласовано Утверждено «Утверждаю»

на заседании на заседании на заседании Директор школы

МО учителей методического совета педагогического совета Летифов Л.З. математики, физики, протокол №_1_ протокол №_1_ приказ №_1_

информатики от «28»08.15 г. о т «29»08.2015 г. от «29»08.2015 г.

протокол № 1 заместитель директора

от « 28 » 08. 2015 г. по УВР:

руководитель МО: Магомедова З.А.

«Решение уравнений в целых числах»

для 9 класса с углубленным изучением математики

2015 -2016 учебный год.

Учитель математики: Магомедова Зарият Алимагомедовна

Квалификационная категория: высшая

Авторская программа элективного курса

для учащихся 9-х классов

«Методы решения уравнений в целых числах».

Автор: Магомедова Зарият Алимагомедовна, учитель математики.

Умения решать уравнения являются одним из показателей уровня математического развития, глубины изучения учебного материала. Уравнения в целых числах имеют важное значение в общем ряду всех видов алгебраических уравнений. Умение осуществлять поиск решения уравнения способствует формированию математического стиля мышления, проявляющегося в определённых умственных навыках. Важную роль при решении уравнений имеет формирование алгоритмического мышления, воспитание умений действовать по заданному алгоритму и конструировать новые.

1. Пояснительная записка.

Элективный курс, с одной стороны поддерживает изучение основного курса математики. С другой стороны, направлен на систематизацию знаний, в том числе и общих методов решения уравнений, реализацию внутри предметных связей, а также содержит материал, выходящий за рамки школьного учебника, материал, который поможет в подготовке учащихся к олимпиадам и конкурсам по математике. Курс способствует лучшему освоению базового курса математики, служит для внутри предпрофильной дифференциации и раскрытия основных закономерностей построения поиска решения математической задачи.

Основная функция учителя в данном курсе состоит в сопровождении учащегося в его познавательной деятельности, коррекции, помощи в извлечении из полученных ранее знаний тех, которые актуализируют в данном курсе.

Курс целесообразно изучать параллельно с изучением уравнений, неравенств, систем уравнений по основной программе, а также после изучения или при повторении и подготовке к единому государственному экзамену.

— знакомство с различными методами и приёмами решения уравнений в целых числах;

-формирование соответствующих умений при решении уравнений в целых числах;

-систематизация опыта, приобретенного при решении уравнений, обобщение различных подходов к поиску способов решений уравнений;

Углубление и расширение знаний по предмету;

Подготовка к математическим олимпиадам и конкурсам.

-познакомится с различными методами решения уравнений в целых числах;

-учить выбирать наиболее рациональный метод решения уравнений в целых числах;

-активизация познавательной деятельности учащихся;

-повышение информационной и коммуникативной компетентности школьников;

-решать нестандартные уравнения, используя специальные методические методы;

-производить оценку результатов вычислений, проверять правдоподобность ответа;

-работать с различными источниками информаций;

-обосновать свою точку зрения;

-демонстрировать свои личные достижения.

2. Учебно-тематический план

3. Методические рекомендации по содержанию и проведению занятий

3.1 Линейные уравнения в целых числах. (10 часов)

На первом занятии учащиеся познакомятся с задачами, приводящими к линейным уравнениям в целях числах, определением линейных уравнений в целых числах, историческими сведения по данной теме, а также на первом занятии будут обобщены и систематизированы знания отношения делимости, признаков делимости, будут ликвидированы пробелы в знаниях опорных задач, необходимых для изучения различных методов решения уравнений в целых числах.

На последующих занятиях (занятия 2-10) учащиеся познакомятся с различными способами решения линейных уравнений в целых числах. Это такие методы, как метод прямого перебора , нахождение частного решения методом подбора и запись общего решения, решение уравнения относительно одного неизвестного , универсальный способ поиска частного решения, геометрический способ, и спользование известных неравенств, использование отношения делимости, выделение целой части, метод остатков, метод «спуска», метод последовательного уменьшения коэффициентов по модулю, использование формул, использование конечных цепных дробей.

Для организации групповой, индивидуальной, домашней работы можно использовать предлагаемый дидактический материал.

3.2 Решение нелинейных уравнений в целых числах

На занятиях №12 — № 31 учащиеся познакомятся с методами решения нелинейных уравнений в целых числах. Это такие методы, как метод разложения на множители (вынесение общих множителей за скобку, применение формул сокращенного умножения, способ группировки, разложение квадратного трехчлена, использование параметра), метод решения относительно одной переменной (выделение целой части, использование неотрицательности дискриминанта, выделение квадрата двучлена), метод оценки (использование известных неравенств, приведение к сумме неотрицательных выражений),

а также будут рассмотрены метод остатков, метод «спуска», конечного «спуска», бесконечного «спуска», метод от противного, параметризация уравнения, также рассмотрен функционально-графический метод.

К предложенному дидактическому материалу можно использовать задания из других учебных пособий.

Изучение курса заканчивается представлением и защитой рефератов и презентаций учащихся (занятия 32-33).

Список опорных задач.

Сумма и произведение двух взаимно простых чисел также взаимно просты.

НОД суммы и разности двух взаимно простых чисел равен 1 или 2.

Любые два последовательных натуральных числа являются взаимно простыми.

НОД любых двух последовательных четных натуральных чисел равен 2.

Два любых последовательных нечетных натуральных числа являются взаимно простыми.

Если целые числа a и b взаимно просты, то НОД ( a + b ; a 2 − ab + b 2 ) равен 1 или 3.

Если натуральные числа m и n взаимно просты, то НОД ( m + n ; m 2 + n 2 ) равен 1 или 2

Квадрат любого натурального числа или делится на 2 (а значит и на 4), когда само число чётное, или при делении на 2 (а значит и на 4) даёт в остатке 1.

Квадрат любого натурального числа при делении на 3 даёт в остатке либо 0, либо 1.

Квадрат любого натурального числа при делении на 5 даёт в остатке 0, 1 или 4.

Квадрат любого натурального числа при делении на 7 даёт в остатке 0, 1, 2 или 4.

Если числа имеют одинаковую четность, разность их квадратов делится на 4.

Число 4 n при делении на 3 дает в остатке 1.

Число 5 2 n при делении на 3 дает в остатке 1, а 5 2 n +1 дает в остатке 2.

Куб целого числа и само число при делении на3 дают одинаковые остатки (0, 1, 2).

Куб целого числа при делении на 9 дает в остатке 0, 1, 8.

Куб целого числа при делении на 4 целого числа дает в остатке 0, 1, 3.

Число N и N 5 оканчивается на одну и ту же цифру.

решением этого уравнения. Тогда множеством всех решений в Z данного уравнения является множество пар ( x ; y ) , где x = x ₀ — · t

Решите в целых числах уравнение ax − by = cz., |a| ≤ |c|, |b| ≤ |c|.

Решение: Пусть d − наибольший общий делитель чисел |a| и |b|. Уравнение ax − by = 0 имеет целочисленное решение x = k ,

Уравнение ax − by = c разрешимо в целых числах тогда и только тогда, когда d является делителем числа |c|.

Если тройка (;)− это частное решение уравнения ax − by = c, то общее решение этого уравнения имеет вид x= m+ k ,

z = m , k ∈ Z , m ∈ Z .

Задача сводится к поиску наименьшего значения , подбору частного решения и записи общего решения.

Материалы к урокам.

Правило 1. Если с не делится на d, то уравнение ах + ву = с не имеет решений в целых числах. НОД (а,в) = d.

Правило 2. Чтобы найти решение уравнения ах + ву = с при взаимно простых а и в, нужно сначала найти решение (х _о ; у _о ) уравнения ах + ву = 1; числа сх _о , су _о составляют решение уравнения ах + ву = с.

Решить в целых числах (х,у) уравнение

Первый способ. Нахождение частного решения методом подбора и запись общего решения.

Знаем, что если НОД (а, в) =1, т.е. а и в взаимно-простые числа, то уравнение (1)

имеет решение в целых числах х и у. НОД (5, 8) = 1. Методом подбора находим частное решение: х _о = 7; у _о =2.

Итак, пара чисел (7;) — частное решение уравнения (1).

Значит, выполняется равенство: 5 x 7 – 8 x 2 = 19 (2)

Вопрос: Как имея одно решение записать все остальные решения?

Вычтем из уравнения (1) равенство (2) и получим: 5(х -7) – 8(у — 2) =0.

Отсюда х – 7 = . Из полученного равенства видно, что число (х – 7) будет целым тогда и только тогда, когда (у – 2) делится на 5, т.е. у – 2 = 5n, где n какое-нибудь целое число. Итак, у = 2 + 5n, х = 7 + 8n, где n Z.

Тем самым все целые решения исходного уравнения можно записать в таком виде:

n Z.

Второй способ . Решение уравнения относительно одного неизвестного.

Решаем это уравнение относительно того из неизвестных, при котором наименьший (по модулю) коэффициент. 5х — 8у = 19 5х = 8у + 19 х = .

Остатки при делении на 5: 0, 1, 2, 3, 4. Подставим вместо у эти числа.

Если у = 0, то х = = .

Если у =1, то х = = .

Если у = 2, то х = = = 7 Z.

Если у =3, то х = = .

Если у = 4 то х = = .

Итак, частным решением является пара (7;2).

Тогда общее решение: n Z.

Третий способ . Универсальный способ поиска частного решения.

Для решения применим алгоритм Евклида. Мы знаем, что для любых двух натуральных чисел а, в, таких, что НОД (а, в) = 1 существуют целые числа х, у такие, что ах + ву = 1.

1. Сначала решим уравнение 5m – 8n = 1 используя алгоритм Евклида.

2. Затем найдем частное решение уравнения (по правилу 2.

3. Запишем общее решение данного уравнения (1).

1. Найдем представление: 1 = 5m – 8n. Для этого используем алгоритм Евклида.

8 = 5 1 + 3.

5 = 3

3 = 2 .

Из этого равенства выразим 1. 1 = 3 — 2 = 3 – (5 — 3 ) =

= 3 — 5 = 3 = (8 — 5 — 5 8 2 -5

= 5 (-2). Итак, m = -3, n = -2.

2. Частное решение уравнения (1): Х _о = 19m; у _о =19n.

Отсюда получим: Х _о =19 ; у _о =19 .

Пара (-57; -38)- частное решение (1).

3. Общее решение уравнения (1): n Z.

Четвертый способ. Геометрический.

1 шаг. Решим уравнение 5х – 8у = 1 геометрически.

2 шаг. Запишем частное решение уравнения (1).

3 шаг. Запишем общее решение данного уравнения (1).

1 шаг. Отложим на окружности последовательно друг за другом равные дуги, составляющие

-ю часть полной окружности. За 8 шагов получим все вершины правильного вписанного в окружность 8-угольника. При этом сделаем 5 полных оборотов.

На 5 – ом шаге получили вершину, соседнюю с начальной, при этом сделали 3 полных оборота и еще прошли — ю часть окружности, так что х = у + .

Итак, х _о = 5, у _о =3 является частным решением уравнения 5х – 8у = 1.

2 шаг. Частное решение уравнения (1): х _о = 19×5 = 95; у _о =19 × 3=57

3 шаг. Общее решение уравнения (1): n Z.

1 ) Решить уравнение

2) Решить в целых числах уравнение:

а) 20х + 12у = 2013;

в) 201х – 1999у = 12.

3) Решить в целых числах уравнение:

а) x 3 + y 3 = 3333333;

б) x 3 + y 3 = 4(x 2 y + xy 2 + 1).

а) в простых числах уравнение х 2 – 7х – 144 = у 2 – 25у;

б) в целых числах уравнение x + y = x 2 – xy + y 2 .

5) Существует ли бесконечное число троек целых чисел x, y, z таких, что x 2 + y 2 + z 2 = x 3 + y 3 + z 3 .

6) Найдите такие целые числа x, y, z, u, что x 2 + y 2 + z 2 + u 2 = 2xyzu.

7) Докажите, что уравнение (х – у) 3 + (y – z) 3 + (z – x) 3 = 30

не имеет решений в целых числах.

8) Решить в целых числах уравнение 1! + 2! + . . . + х! = у 2 .

9) Решите следующую систему уравнений в натуральных числах:

a 3 – b 3 – c 3 = 3 abc ,

10) Найти все пары целых чисел х и у, удовлетворяющих уравнению х 2 + х = у 4 + у 3 + у 2 + у.

11) Решить в целых числах уравнение:

б) х 2 + у 2 = х + у + 2.

12) Решить в целых числах уравнение:

а) х 3 + 21у 2 + 5 = 0;

б) 15х 2 – 7у 2 = 9.

13) Решить в натуральных числах уравнение:

14) Доказать, что уравнение х 3 + 3у 3 + 9z 3 = 9xyz в рациональных числах имеет единственное решение x = y = z = 0.

15) Доказать, что уравнение х 2 + 5 = у 3 в целых числах не имеет решений.

1. Галкин Е. В. Нестандартные задачи по математике. Задачи с целыми числами:

Учеб. пособие для учащихся 7—11 кл. —Челябинск: Взгляд, 2005. — 271 с. — (Нестандартные задачи по математике).

2. Московские математические регаты /Сост. А.Д. Блинков, Е. С. Горская, В.М. Гуровиц. – М.: МЦНМО, 2007.

3. Корянов А.Г . Математика ЕГЭ 2010 Задания С6 г. Брянск

5. Журнал «Математика в школе»

6. Бардушкин В.Н., Кожухов И.Б., Прокофьев А.А., Фадеичева Т.П. Основы теории

делимости чисел. Решение уравнений в целых числах. Факультативный курс. – М.:МГИЭТ (ТУ), 2003.

7. Гальперин Г. А., Толпыго А. К. Московские математические олимпиады: Кн. Для

учащихся / Под ред. А. Н. Колмогорова. –М.: Просвещение, 1986.