Программы для решения трансцендентных уравнений

Трансцендентные уравнения? «Подбор параметра» в Excel!

Нелинейные, трансцендентные уравнения функции одной переменной – это уравнения вида f (x) = 0, в которых нельзя найти алгебраическими методами корни. Функция f (x) – это, как правило, достаточно сложная и громоздкая функция, содержащая в своем составе.

. тригонометрические, логарифмические, степенные и иные нелинейные функции с различной глубиной вложенности. Например: f (x) = sin (3,14^x) + cos (x) = 0. Уравнения такого вида решаются численными методами.

В этой статье я постараюсь доступно и кратко рассказать и показать на примерах, как и когда такие задачи возникают и как их сегодня быстро и просто можно решать в Excel.

Чуть-чуть истории и теории.

Вы задумывались когда-нибудь — откуда и зачем в головах людей, живших в XVI…XVII веках, родились понятия дифференциалов, производных, интегралов? Объяснение, в общем-то, достаточно простое и понятное – эти ученые искали аналитические пути решения прикладных практических задач. И успешно находили.

Мне сегодня видится приблизительно такая «лестница» с качественными «ступенями инструментов» математики для решения практических и научных задач, которую изобрело человечество:

1. Арифметика — сложение, вычитание, умножение, деление.

2. Алгебра – применение элементарных функций (степенной, логарифмической, тригонометрической, …) и алгебраических уравнений функции одной переменной.

3. Гауссовские системы линейных уравнений.

4. Численные методы решения трансцендентных уравнений.

5. Численные методы решения систем трансцендентных уравнений функций нескольких переменных.

6. Дифференцирование и интегрирование функций одной переменной.

7. Дифференцирование и интегрирование функций нескольких переменных.

8. Системы дифференциальных и интегральных уравнений.

9. Масса разнообразных новых и старых специальных методик и подходов мне не известных и известных, но, безусловно, существующих и работающих.

Предлагаю остановиться и разобраться с достаточно высокой четвертой ступенью «лестницы».

Для численного решения нелинейных уравнений успешно применяются: метод половинного деления, метод простых итераций, метод хорд, метод касательных Ньютона, комбинированный метод секущих-хорд на основе итерационной формулы Ньютона. Для чего ученые-математики придумали множество различных методов решения трансцендентных уравнений? Они старались упростить и ускорить процесс расчетов. Надо помнить и понимать, что у них компьютеров не было, и расчеты выполнялись вручную.

Каждый из методов имеет свои достоинства и недостатки — они подробно описаны в литературе, и углубляться в них мы не будем. Скажу только, что из вышеперечисленных методов мне на практике довелось использовать все. При решении различных (в основном геометрических и теплотехнических) задач по разным причинам было удобно использовать то один, то другой подход. Метод Ньютона хорош своей быстрой сходимостью и простотой формулы. Комбинированный метод секущих-хорд на основе итерационной формулы Ньютона не требует нахождения производных, быстро «сходится», и главное – не требует анализа функции на сходимость. Метод половинного деления медленно сходится, но не требует никакого предварительного анализа функции.

Трансцендентные уравнения. Два метода решения в Excel.

Если у вас на компьютере нет программы MS Excel, то расчеты можно выполнить в программе OOo Calc из бесплатного пакета Open Office.

Задач, которые требуют для получения ответа составления и решения трансцендентных уравнений, вокруг нас очень много. Это — задачи и физики, и теплотехники, и астрономии, и элементарной геометрии в обычной жизни… Инженерам-конструкторам и программистам в повседневной работе необходимо уметь составлять и быстро решать численными методами нелинейные уравнения. На мой взгляд — это один из критериев профессионализма. Более того, уравнения, которые решаются аналитически, сегодня иногда гораздо проще и быстрее при наличии вычислительной техники решить численными методами, поэтому нужно уметь это делать.

Вычисление угла зацепления зубчатой передачи методом Ньютона (методом касательных)

Рассмотрим пример из статьи «Расчет геометрии зубчатой передачи». Необходимо найти угол зацепления зубчатой передачи atw . Я обещал в той статье рассказать, как это делается. Выполняю обещание.

Если расстояние между центрами колеса и шестерни не задано, то угол зацепления можно вычислить путем решения трансцендентного уравнения:

inv ( atw )=tg ( atw ) — atw =2* xs *tg ( a )/( z2 + T * z1 )+ tg ( at ) — at

Подставив данные из примера, рассмотренного в вышеупомянутой статье, получим после преобразований следующее уравнение:

inv ( atw )=0,020910

f ( atw )=tg ( atw )— atw -0,020910=0

Используем метод Ньютона, потому что взять производную представленной выше функции элементарно просто, а итерационная формула очень проста и компактна:

f’( atw )=1/(cos ( atw ))^2—1

atw (i+1) = atw i — f ( atw ) i/ f’( atw ) i

Открываем файл Excel и начинаем работу.

Исходные данные будем традиционно писать в ячейки со светло-бирюзовой заливкой. Результаты расчетов будем считывать в ячейках со светло-желтой заливкой.

1. Инволюту угла зацепления inv( atw ) заносим

в ячейку D3: 0,020910

2. Значение угла зацепления в нулевом приближении atw 0 в радианах записываем

3. Итерационную формулу atw (i+1)= atw i— f( atw )i/ f’( atw )i заносим

в D5: =D4- (TAN (D4) -D4-$D$3)/(1/(COS (D4))^2-1) =0,591706

atw 1= atw 0- (tg ( atw 0) — atw 0- inv ( atw ))/(1/(cos ( atw 0))^2-1)

и копируем в ячейки D6… D14

4. Видим, что уже после шестой итерации угол зацепления atw в радианах вычислен с нулевой абсолютной и относительной ошибкой:

atw =D13- (TAN (D13) -D13-$D$3)/(1/(COS (D13))^2-1) =0,389140

Решение найдено, расчет в Excel завершен!

Решение задачи ландшафтного дизайна с помощью сервиса «Подбор параметра» в Excel

Задача:

Вдоль отмостки стены дома длиной 14 метров необходимо разбить цветник в виде сегмента круга площадью ровно 16 квадратных метров. На сколько метров цветник будет отстоять от края отмостки по центру стены? Каким радиусом необходимо выполнить границу цветника?

1. Длину отмостки стены дома — хорды сегмента круга x в метрах записываем

в ячейку D17: 14,000

2. Площадь цветника – сегмента круга S в квадратных метрах вписываем

в D18: 16,000

3. Предположительное произвольное (не нулевое) значение центрального угла сегмента a в радианах пишем

Трансцендентное уравнение a / sin( a /2 ) -2*cos ( a /2) — (8* S / x ^2) *sin( a /2)=0 вводим

в объединенную ячейку E19F19: =D19/SIN (D19/2) -2*COS (D19/2) — (8*D18/D17^2)*SIN (D19/2)

Включаем сервис «Подбор параметра» в Excel: «Сервис» – «Подбор параметра». Пишем в появившемся окне все как на рисунке слева и нажимаем кнопку OK.

В появившемся новом окне видим, что решение найдено, снова нажимаем на кнопку OK.

Считываем искомое значение центрального угла сегмента a в радианах

в D19: 0,950057

При этом видим, что значение трансцендентного уравнения равно нулю; считываем

в объединенной ячейке E19F19: =D19/SIN (D19/2) -2*COS (D19/2) — (8*D18/D17^2)*SIN (D19/2) =0

4. Радиус наружной границы цветника – радиус сегмента круга r в метрах рассчитывается

в D20: =D17/2/SIN (D19/2) =15,305

r = x /2/sin( a /2)

5. Максимальная ширина цветника – высота сегмента круга h в метрах рассчитывается

в ячейке D21: =D20*(1-COS (D19/2)) =1.695

h = r *(1- cos( a /2))

Ответы получены, вторая задача успешно решена!

Я не приводил вывода использованных формул потому, что это не по теме поста, и, думаю, с геометрией и тригонометрией вы легко разберетесь. Будут вопросы – обращайтесь.

Чтобы получать информацию о выходе новых статей вам нужно подписаться на анонсы в окне, расположенном вверху страницы. Введите адрес своей электронной почты и нажмите на кнопку «Получать анонсы статей». С этого момента к вам на почтовый ящик будет приходить небольшое уведомление о появлении на моем блоге новой статьи.

Краткие выводы

1. Итерационными численными методами удобно и быстро можно решать трансцендентные уравнения и громоздкие нелинейные алгебраические.

2. При написании расчетных модулей программ в Excel, если нежелательны лишние остановки по ходу вычислений, можно использовать вставки блоков с классическими методами решения нелинейных уравнений или макросов с вызовом инструмента «Подбор параметра».

3. Использование инструмента «Подбор параметра» в Excel является сегодня, безусловно, наиболее оптимальным и эффективным методом решения нелинейных, трансцендентных уравнений функций одной переменной, а также проведения анализа типа «Что будет? Если…».

Умение применять в работе сервис «Подбор параметра» существенно повышает ваш уровень, как специалиста вообще, так и как пользователя Excel – в частности.

Буду очень рад увидеть ваши комментарии к статье, уважаемые читатели!

Численные методы решения алгебраических и трансцендентных уравнений в среде Microsoft Excel

Цель урока: Совершенствование умений и навыков по теме «Решение алгебраических и трансцендентных уравнений», применяя возможности MS Excel по решению алгебраических и трансцендентных уравнений. Отработать практическое освоение соответствующих умений и навыков.

Задачи урока:

• Образовательные – совершенствование умений студентов при решении алгебраических и трансцендентных уравнений в среде электронных таблиц MS Excel. Выработать умение применять теоретические знания в практических расчетах;
• Развивающие – познакомить студентов с применением компьютеров в качестве помощников при решении уравнений. Развивать у студентов математическую речь: создать ситуацию для применения основных понятий в речи; абстрактное мышление: создать ситуацию предъявления материала от общего к частному и от частного к общему, стимулировать самостоятельное обобщение материала сильными студентами;творческого мышления через создание условий для самореализации творческого потенциала обучающихся;
• Воспитательные – выработать у студентов умение рационально использовать время и возможности компьютерных технологий при решении задач. Воспитывать интерес к предмету через ситуацию успеха и взаимодоверия;ответственность перед самим собой.

Тип урока: комбинированный урок.

Вид урока: практическое занятие, продолжительность – 2 часа.

Оборудование урока:

• Компьютеры с OS MS Windows;
• Программа Microsoft Excel;
• Презентация по теме, выполненная в программе PowerPoint;
• Карточки с заданиями для самостоятельной работы.

Структура урока:

1.1. Мобилизующее начало, постановка целей и задач на урок;

1.2.Фронтальный опрос с целью выявления основных этапов решения задач с использованием ЭВМ;

1.3. Постановка задачи с целью повторения алгоритма решения уравнения f(x)=0 на отрезке [а;в] различными методами;

1.4.Подведение итогов 1 этапа урока.

2.Применение знаний, формирование умений и навыков:

2.1.Беседа с целью формулировки задания для самостоятельной работы и инструктажа по ее организации;

2.2.Самостоятельная работа в группах по выполнению задания различными методами решения алгебраических и трансцендентных уравнений в среде Microsoft Excel.

2.3.Подведение итога урока.

В данном уроке особое внимание уделено визуальному представлению информации – в ходе урока с помощью проектора демонстрируются слайды, подготовленные в пакете презентационной графики Microsoft PowerPoint.

ХОД УРОКА

1. Актуализация знаний

Мобилизующее начало, постановка целей и задач на урок.

На прошлых уроках мы с вами рассмотрели алгебраические и трансцендентные уравнения, выделили методы их решения и решали данные уравнения ручным счетом. А на сегодняшнем занятии мы будем совершенствовать умения и навыки при решении алгебраических и трансцендентных уравнений в среде Microsoft Excel.

Поэтому нам необходимо вспомнить и повторить знания, которые потребуются на этом уроке. В чем заключается процесс решения задачи с использованием ЭВМ?

В общем случае процесс решения задачи с использованием ЭВМ состоит из следующих этапов:

• 1.Постановка задачи и построение математической модели (этап моделирования);
• 2.Выбор метода и разработка алгоритма (этап алгоритмизации);
• 3.Запись алгоритма на языке, понятном ЭВМ (этап программирования);
• 4.Отладка и использования программы на ЭВМ (этап реализации);
• 5.Анализ полученных результатов (этап интерпретации).

— В чем заключается постановка задачи?

— Постановка задачи: Пусть дано уравнение f(x) = 0, (a, b) — интервал, на котором f(x) имеет единственный корень. Нужно приближенно вычислить этот корень с заданной точностью.

— В чем заключается общая постановка задачи?

— Общая постановка задачи. Найти действительные корни уравнения f(x) =0, где f(x) – алгебраическая или трансцендентная функция.

— Точные методы решения уравнений подходят только к узкому классу уравнений (квадратные, биквадратные, некоторые тригонометрические, показательные, логарифмические)

— В чем заключается задача численного нахождения корней уравнения?

— Задача численного нахождения корней уравнения состоит из двух этапов:

1. Отделение (локализация) корня;

2. Приближенное вычисление корня до заданной точности(уточнение корней)

— Какая задача называется уточнения корня?

-Уточнение корня. Если искомый корень уравнения f(x)=0, отделен, т.е. определен отрезок [a,b], на котором существует только один действительный корень уравнения, то далее необходимо найти приближенное значение коня с заданной точностью.

— Какими методами можно производить уточнения корня?

— Уточнения корня можно производить различными методами:

1) Метод половинного деления (бисекции);

2) Метод итераций;

3) Метод хорд (секущих);

4) Метод касательных (Ньютона);

5) Комбинированные методы.

— Объясните алгоритм решения уравнения f(x)=0 на отрезке [а;в] различными методами.

Применение знаний, формирование умений и навыков:

Практическое задание «Решение алгебраических и трансцендентных уравнений в среде Microsoft Excel»

• Ознакомиться с теоретической частью задания;
• Провести расчет для своего варианта индивидуального задания в Microsoft Excel
• Оформить презентацию в Ms PowerPoint, включающую:
  • постановку задачи;
  • алгоритм расчета;
  • таблицу с расчетом из Ms Excel, график исходной функции;
  • результат расчета и его анализ.

Индивидуальное расчетное задание

Дано: x 3 + 8x + 10 = 0

Найти: Отделить корень заданного уравнения, пользуясь графическим методом, и по методам вычислите один корень с точностью 0,001 при помощи программы на ПК

Графический метод: Для отделения корней уравнения естественно применять графический метод. График функции у = f (х) с учетом свойств функции дает много информации для определения числа корней уравнения f (х) = 0.

До настоящего времени графический метод предлага­лось применять для нахождения грубого значения корня или интервала, содержащего корень, затем применять итерационные методы, т.е. методы последовательных приближений для уточнения значения корня. С появлением математических пакетов и электронных таблиц стало возможным вычислять таблицы значений функции с любым шагом и строить графики с высокой точностью.

Это позволяет уточнять очередной знак в приближенном значении корня при помощи следующего алгоритма:

• если функция f(x) на концах отрезка [а,b] значения разных принимает значения разных знаков то делим отрезок на 10 равных частей и находим ту часть, которая содержит корень (таким способом мы можем уменьшить длину отрезка, содержащего корень, в 10 раз);
• повторим действия предыдущего пункта для полученного отрезка.

Этот процесс можно продолжать до тех пор, пока длина отрезка не станет меньше заданной погрешности.

Задания для студентов первой группы

• Найдите приближенное значение уравнения заданного функцией x 3 + 8x + 10 = 0, с точностью е=0,001
• Представьте графически поставленную задачу в среде Microsoft Excel;

Метод половинного деления:Постановка задачи: Пусть дано уравнение f(x) = 0, (a, b) — интервал, на котором f(x) имеет единственный корень. Нужно приближенно вычислить этот корень с заданной точностью.

Примечание: Заметим, что если f(x) имеет k корней, то нужно выделить соответственно k интервалов.

Метод половинного деления или дихотомии (дихотомия — сопоставленность или противопоставленность двух частей целого). Метод основан на той идее, что корень лежит либо на середине интервала (a, b), либо справа от середины, либо — слева, что следует из существования единственного корня на интервале (a, b).

Алгоритм для программной реализации:

1. а:=левая граница b:= правая граница
2. m:= (a+b)/2 середина
3. определяем f(a) и f(m)
4. если f(a)*f(m) e повторяем, начиная с пункта 2
5. m — искомый корень.

Задания для студентов второй группы

1. Найдите приближенное значение уравнения заданного функцией x 3 + 8x + 10 = 0, с точностью е=0,001.
2. Расчет уравнения по методу половинного деления в среде Microsoft Excel.

Метод простой итерации: Смысл метода простой итерации состоит в том, что мы представляем уравнение f(x) в виде ) и по формуле будем строить итерации, которые сходятся к искомому корню с интересующей степенью точности, но тут есть проблемы: возможно f(x) очень сложно представить в таком виде, да и не факт, что любая будет строить сходящиеся итерации, поэтому алгорим сводится к тому, чтобы оптимально найти .

Подготовка:

1. Ищем числа m и M такие, что на (a, b);

2. Представляем , где ;

Алгоритм:

1. Выбираем х₀ из (a, b);

2. Вычисляем ;
3. Проверяем условие , где q=(M-m)/(M+m);

4. Если оно ложно, то переходим к пункту 7;

6. Переходим к пункту 2;

7. х₁ – искомый корень.

Задания для студентов третьей группы

1. Найдите приближенное значение уравнения заданного функцией x 3 + 8x + 10 = 0, с точностью е=0,001
2. Расчет уравнения по методу простой итерации в среде Microsoft Excel.

Метод хорд: Метод хорд заключается в замене кривой у = f(x) отрезком прямой, проходящей через точки (а, f(a)) и (b, f(b)). Абсцисса точки пересечения прямой с осью ОХ принимается за очередное приближение.

Чтобы получить расчетную формулу метода хорд, за­пишем уравнение прямой, проходящей через точки (a, f(a)) и (b, f(b)) и, приравнивая у к нулю, найдем х:

,

Алгоритм метода хорд:

2) Вычислим следующий номер итерации: k = k + 1.

Найдем очередное k-e приближение по формуле: x_k = a — f(a)(b — a)/(f(b) — f(a)). Вычислим f(xk);

3) Если f(x_k)= 0 (корень найден), то переходим к п. 5.

4) Если |x_k – x_k–1| > ε, то переходим к п. 2;

5) Выводим значение корня x_k;

Задания для студентов четвертой группы

1. Найдите приближенное значение уравнения заданного функцией x 3 + 8x + 10 = 0, с точностью е=0,001.
2. Расчет уравнения по методу хорд в среде Microsoft Excel.
3. Метод касательных: В точке пересечения касательной с осью Оx переменная у = 0. Приравнивая у к нулю, выразим х и получим формулу метода касательных:

Теорема. Пусть на отрезке [а, b]выполняются условия:

1) функция f(x)и ее производные f'(х)и f»(x) непрерывны;

2) производные f'(x) и f»(x)отличны от нуля и сохраняют определенные постоянные знаки;

3) f(a)× f(b) 0, то итерационная последовательность сходится монотонно

Задания для студентов пятой группы

1. Найдите приближенное значение уравнения заданного функцией x 3 + 8x + 10 = 0, с точностью е=0,001.
2. Расчет уравнения по методу касательных в среде Microsoft Excel.

Студенты выполняют задания в группах и показывают полученное решение у доски (один представитель от группы), делают выводы о проделанной работе.

В данном уроке мы познакомились с решением алгебраических и трансцендентных уравнений в среде Microsoft Excel.

Уточнения корня производилось различными методами:

1) методом бисекции;

2) методом итераций;

3) методом секущих;

4) методом Ньютона;

1. Самый простейший из методов уточнения корня является метод половинного деления и используется во многих стандартных программных средствах.

2. Метод хорд в отличие от метода дихотомии, обращающего внимание лишь на знаки значений функции, но не на сами значения. Он требует , чтобы один конец отрезка, на котором ищется корень был не подвижен. Берется один из концов отрезка. Метод является двухточечным, его сходимость монотонная и односторонняя. Метод хорд использует пропорциональное деление интервала.

3. В методе касательных в отличие от методов дихотомии и хорд задается не начальный интервал местонахождения корня, а его начальное приближение .

4. У метода хорд и у метода Ньютона имеется общий недостаток: на каждом шаге проверяется точность значения.

Разработка и реализация программ на языке “Паскаль” для решения трансцендентных уравнений с применением цикличных и условных операторов

Страницы работы

Содержание работы

Лабораторная работа №3

Тема: Разработка и реализация программ на языке “Паскаль” для решения трансцендентных уравнений с применением цикличных и условных операторов.

Цель: Составить программу для решения трансцендентного уравнения методом деления отрезка пополам.

Синтаксис If:Ifусловие Then операции 1 Elseоперации 2.

Repeat – команда Повтор.

Синтаксис Repeat—Until:Repeatтело цикла Until условие.

1 ый Синтаксис For: Forначальное число переменной To тело цикла.

2 ой Синтаксис For: Forначальное число переменной Downto тело цикла.

Написать прогу, которая решает трансцендентное уравнение ,

методом деления отрезка пополам.

Const E=1E-05<solution to an approximation of E, usually from 1E-05 to 1E-03>;

Write(‘ Beginning section of a isolation interval = ‘);readln(X1);

Write(‘ Ending section of a isolation interval = ‘);readln(X2);

If F1*F>0 then Write(‘Error isolation interval‘)else Begin

Until abs(F) -5 X=1,93375 +- 3.81*10 — 6 .

Я обнаружил ещё один интервал изоляции в близи 0 и, следовательно, X=0.

В данной проге в разделе описания постоянных можно изменять точность решения и интервал изоляции. Чтобы проверить, является ли отрезок интервалом изоляции, я использовал условный оператор и при совпадении знака f(NX) и f(KX) программа выдаёт сообщение, “Errorisolationinterval” и прекращает свою работу без подвисания на цикле, т. к. условие выхода из него ни когда не было бы достигнуто. В ином случаи будет выполнятся цикл с постусловием достижения нужной точности ответа, то есть модуль f(XC) должен быть меньше E. В теле цикла отрезок делится по полам и определяется, в какой половине содержится интервал изоляции, путём определения знака f(X1) и f(XC) с применением условного оператора. Для удобства просмотра результатов в конце программы стоит пустой ввод и пока не будет нажата клавиша ”Enter” результаты ни куда не исчезнут.