Калькулятор Обыкновенных Дифференциальных Уравнений (ОДУ) и Систем (СОДУ)
Порядок производной указывается штрихами — y»’ или числом после одного штриха — y’5
Ввод распознает различные синонимы функций, как asin , arsin , arcsin
Знак умножения и скобки расставляются дополнительно — запись 2sinx сходна 2*sin(x)
Список математических функций и констант :
• ln(x) — натуральный логарифм
• sh(x) — гиперболический синус
• ch(x) — гиперболический косинус
• th(x) — гиперболический тангенс
• cth(x) — гиперболический котангенс
• sch(x) — гиперболический секанс
• csch(x) — гиперболический косеканс
• arsh(x) — обратный гиперболический синус
• arch(x) — обратный гиперболический косинус
• arth(x) — обратный гиперболический тангенс
• arcth(x) — обратный гиперболический котангенс
• arsch(x) — обратный гиперболический секанс
• arcsch(x) — обратный гиперболический косеканс
Дифференциальные уравнения по-шагам
Результат
Примеры дифференциальных уравнений
- Простейшие дифференциальные ур-ния 1-порядка
- Дифференциальные ур-ния с разделяющимися переменными
- Линейные неоднородные дифференциальные ур-ния 1-го порядка
- Линейные однородные дифференциальные ур-ния 2-го порядка
- Уравнения в полных дифференциалах
- Решение дифференциального уравнения заменой
- Смена y(x) на x в уравнении
- Другие
Указанные выше примеры содержат также:
- квадратные корни sqrt(x),
кубические корни cbrt(x) - тригонометрические функции:
синус sin(x), косинус cos(x), тангенс tan(x), котангенс ctan(x) - показательные функции и экспоненты exp(x)
- обратные тригонометрические функции:
арксинус asin(x), арккосинус acos(x), арктангенс atan(x), арккотангенс actan(x) - натуральные логарифмы ln(x),
десятичные логарифмы log(x) - гиперболические функции:
гиперболический синус sh(x), гиперболический косинус ch(x), гиперболический тангенс и котангенс tanh(x), ctanh(x) - обратные гиперболические функции:
asinh(x), acosh(x), atanh(x), actanh(x) - число Пи pi
- комплексное число i
Правила ввода
Можно делать следующие операции
2*x — умножение 3/x — деление x^3 — возведение в степень x + 7 — сложение x — 6 — вычитание Действительные числа вводить в виде 7.5, не 7,5
Чтобы увидеть подробное решение,
помогите рассказать об этом сайте:
Уравнение Клеро
Вы будете перенаправлены на Автор24
Дифференциальные уравнения первого порядка, не разрешенные относительно производной.
В общем виде дифференциальные уравнения первого порядка, не разрешенные относительно производной, записываются как $F\left(x,y,y’\right)=0$.
Основной метод решения таких дифференциальных уравнений состоит в том, чтобы выполнить некоторые преобразования, приводящие к уравнениям, разрешенным относительно производной. В дальнейшем могут применяться любые из известных методов, соответствующие тому, что в результате получилось: или уравнение с разделяющимися переменными, или однородное уравнение, или линейное уравнение и т.п.
Решить дифференциальное уравнение $y’^ <3>-y’^ <2>\cdot x+2\cdot y’=2\cdot x$.
Данное дифференциальное уравнение не разрешено относительно производной, поэтому известные методы для его решения применить не удается.
Поэтому выполняем следующие преобразования:
- все слагаемые переносим в одну сторону $y’^ <3>-y’^ <2>\cdot x+2\cdot y’-2\cdot x=0$;
- выражение слева разлагаем на множители $\left(y’^ <2>+2\right)\cdot \left(y’-x\right)=0$;
- так как $y’^ <2>+2\ne 0$, то исходное уравнение эквивалентно $y’-x=0$.
Получено дифференциальное уравнение, допускающее непосредственное интегрирование: $\frac
Отсюда: $y=\int x\cdot dx $; $y=\frac
Решить дифференциальное уравнение
\[y’^ <2>-y’\cdot y+\cos x\cdot \left(y’-y\right)=0.\]
Данное дифференциальное уравнение не разрешено относительно производной, поэтому выполняем преобразования:
\[y’\cdot \left(y’-y\right)+\cos x\cdot \left(y’-y\right)=0;\] \[\left(y’-y\right)\cdot \left(y’+\cos x\right)=0.\]
Таким образом, данное дифференциальное уравнение эквивалентно двум другим: $y’-y=0$ и $y’+\cos x=0$.
Первое дифференциальное уравнение $y’-y=0$ решается посредством разделения переменных:
Второе дифференциальное уравнение $y’+\cos x=0$ допускает непосредственное интегрирование: $\frac
Метод введения параметра
В ряде случаев дифференциальное уравнение вида $F\left(x,y,y’\right)=0$ не удается разрешить относительно производной. Но вполне возможно, что оно разрешимо или относительно $y$, или относительно $x$. Тогда мы получаем дифференциальное уравнение общего вида $y=u\left(x,y’\right)$ или $x=v\left(y,y’\right)$. Некоторые из дифференциальных уравнений подобного вида можно решить методом введения параметра.
Рассмотрим пример дифференциального уравнения вида $x=f\left(y’\right)$.
Решается введением параметра $\frac
В результате имеем решение данного дифференциального уравнения в параметрической форме, задаваемое следующими выражениями:
Готовые работы на аналогичную тему
Решить дифференциальное уравнение $8\cdot y’^ <3>=27\cdot x$.
Здесь мы имеем дифференциальное уравнение вида $x=f\left(y’\right)$, не разрешенное относительно производной.
Вводим параметр $\frac
Здесь $f\left(p\right)=\frac<8> <27>\cdot p^ <3>$, откуда $\frac
Таким образом, решение данного дифференциального уравнения в параметрической форме задается следующими выражениями:
Отсюда получаем: $\left\<\begin
Параметр $p$ из этой системы уравнений можно исключить:
из $x=\frac<8> <27>\cdot p^ <3>$ получаем $p^ <3>=\frac<27> <8>\cdot x$ или $p=\frac<3> <2>\cdot x^<\frac<1> <3>> $;
подставляем в $y=\frac<2> <9>\cdot p^ <4>+C$ и получаем $y=\frac<2> <9>\cdot \left(\frac<3> <2>\cdot x^<\frac<1> <3>> \right)^ <4>+C$ или $y=\frac<9> <8>\cdot x^<\frac<4> <3>> +C$.
Таким образом, получено общее решение $y=\frac<9> <8>\cdot x^<\frac<4> <3>> +C$ данного дифференциального уравнения $8\cdot y’^ <3>=27\cdot x$ в явной форме.
Решение уравнения Клеро
Уравнение Клеро имеет вид $y=x\cdot y’+\psi \left(y’\right)$ и относится к более сложным видам дифференциальных уранений, не разрешенных относительно производной.
Введим параметр $\frac
После дифференцирования и простых преобразований получаем уравнение $\frac
Из этого уравнения следует $p=C$. Отсюда получаем общее решение дифференциального уравнения Клеро $y=x\cdot C+\psi \left(C\right)$. Иначе говоря, общее решение можно получить из данного уравнения $y=x\cdot y’+\psi \left(y’\right)$ формальной заменой $y’$ на $C$.
Уравнение $x+\psi ‘\left(p\right)=0$.
Это уравнение дает особое решение в параметрической форме:
Оно представляет собой огибающую семейства кривых общего решения.
Решить дифференциальное уравнение $y=x\cdot y’+y’$.
Имеем уравнение Клеро, в котором $\psi \left(y’\right)=y’$.
Вводим параметр $\frac
Формально заменив в данном дифференциальном уравнении $y’$ на $C$, получим его общее решение $y=x\cdot C+C$ или $y=C\cdot \left(x+1\right)$.
Находим особое решение.
Так как $\psi \left(p\right)=p$ и $\frac
Получи деньги за свои студенческие работы
Курсовые, рефераты или другие работы
Автор этой статьи Дата последнего обновления статьи: 19 01 2022
http://mrexam.ru/differentialequation
http://spravochnick.ru/matematika/differencialnye_uravneniya/uravnenie_klero/