Квадратное уравнение — это ax 2 + bx + c = 0, где a — первый коэффициент, не равный нулю, b — второй коэффициент, c — свободный член.
Существует три вида квадратных уравнений:
не имеют корней;
имеют один корень;
имеют два различных корня.
Чтобы определить, сколько корней имеет уравнение, нужно обратить внимание на дискриминант. Формула для его поиска записывается так: D = b 2 − 4ac. Его свойства:
если D 0, есть два различных корня.
В случае, когда второй коэффициент четный, можно воспользоваться формулой нахождения дискриминанта , где .
В математике теоремой принято называть утверждение, у которого ранее было сформулировано доказательство.
Формула Виета
Если в школьной геометрии чаще всего используется теорема Пифагора, то в школьной алгебре ведущую роль занимают формулы Виета. Теорема звучит так:
Рассмотрим квадратное уравнение, в котором первый коэффициент равен 1: . Такие уравнения называют приведенными квадратными уравнениями. Сумма корней равна второму коэффициенту с противоположным знаком, а произведение корней равняется свободному члену.
Если дано x 2 + bx + c = 0, где x₁ и x₂ являются корнями, то справедливы два равенства:
Знак системы, который принято обозначать фигурной скобкой, означает, что значения x₁ и x₂ удовлетворяют обоим равенствам.
Пока неизвестно, какие корни имеет данное уравнение. Но в соответствии с теоремой можно записать, что сумма этих корней равна второму коэффициенту с противоположным знаком. Он равен четырем, значит будем использовать минус четыре:
Произведение корней по теореме соответствует свободному члену. В данном случае свободным членом является число три. Значит:
Необходимо проверить равна ли сумма корней −4, а произведение 3. Для этого найдем корни уравнения x 2 + 4x + 3 = 0. Воспользуемся формулами для чётного второго коэффициента: 2 + 4x + 3 = 0″ height=»215″ src=»https://lh5.googleusercontent.com/E_X403ETh_88EANRWdQN03KRT8yxP2HO4HoCrxj__c8G0DqmNJ1KDRqtLH5Z1p7DtHm-rNMDB2tEs41D7RHpEV5mojDTMMRPuIkcW33jVNDoOe0ylzXdHATLSGzW4NakMkH2zkLE» width=»393″>
Получилось, что корнями уравнения являются числа −1 и −3. Их сумма равняется второму коэффициенту с противоположным знаком, а значит решение верное. 2 + 4x + 3 = 0″ height=»52″ src=»https://lh5.googleusercontent.com/VzGPXO9B0ZYrr9v0DpJfXwuzeZtjYnDxE_ma76PUC8o7jVWwa8kZjTJhq2Lof0TiJXAp_ny3yRwI_OyRzeucv9xUZ63yoozGPP4xd4OxvElVT7Pt-d6xL5w17e_mQNs5qZJQiwfG» width=»125″>
Произведение корней −1 и −3 по теореме Виета должно равняться свободному члену, то есть числу 3. Это условие также выполняется: 2 + 4x + 3 = 0″ height=»52″ src=»https://lh4.googleusercontent.com/Cq-LCFmY3YGNSan1VF3l3CqIeojoJYAvGAiTBWnzyoZu_xJFrF5NfQ3xCe59apJklw6uYbmQ4lAkBTeC-TJmEGicN3rgGtsezhuqdNiOWjZT39NziOB5uOmQr3cr9-5fNnepdZDo» width=»112″>
Результат проделанных вычислений в том, что мы убедились в справедливости выражения:
Обучение на курсах по математике помогает быстрее разобраться в новых темах и подтянуть оценки в школе.
Доказательство теоремы Виета
Дано квадратное уравнение x 2 + bx + c = 0. Если его дискриминант больше нуля, то оно имеет два корня, сумма которых равна второму коэффициенту с противоположным знаком, а произведение корней равно свободному члену:
Докажем, что следующие равенства верны
x₁ + x₂ = −b,
x₁ * x₂ = c.
Чтобы найти сумму корней x₁ и x₂ подставим вместо них то, что соответствует им из правой части формул корней. Напомним, что в данном квадратном уравнении x 2 + bx + c = 0 старший коэффициент равен единице. Значит после подстановки знаменатель будет равен 2.
Объединим числитель и знаменатель в правой части.
Раскроем скобки и приведем подобные члены:
Сократим дробь полученную дробь на 2, остается −b:
Мы доказали: x₁ + x₂ = −b.
Далее произведем аналогичные действия, чтобы доказать о равенстве x₁ * x₂ свободному члену c.
Подставим вместо x₁ и x₂ соответствующие части из формул корней квадратного уравнения:
Перемножаем числители и знаменатели между собой:
Очевидно, в числителе содержится произведение суммы и разности двух выражений. Поэтому воспользуемся тождеством (a + b) * (a − b) = a 2 − b 2 . Получаем:
Далее произведем трансформации в числителе:
Нам известно, что D = b2 − 4ac. Подставим это выражение вместо D.
Далее раскроем скобки и приведем подобные члены:
Сократим:
Мы доказали: x₁ * x₂ = c.
Значит сумма корней приведённого квадратного уравнения x 2 + bx + c = 0 равна второму коэффициенту с противоположным знаком (x₁ + x₂ = −b), а произведение корней равно свободному члену (x₁ * x₂= c). Теорема доказана.
Обратная теорема Виета
Когда дана сумма и произведение корней квадратного уравнения, принято начинать подбор подходящих корней. Теорема, обратная теореме Виета, при таких условиях может быть главным помощником. Она формулируется так:
Обратная теорема Виета
Если числа x₁ и x₂ таковы, что их сумма равна второму коэффициенту уравнения x 2 + bx + c = 0, взятому с противоположным знаком, а их произведение равно свободному члену, то эти числа являются корнями x 2 + bx + c = 0.
Обратные теоремы зачастую сформулированы так, что их утверждением является заключение первой теоремы. Так, при доказательстве теоремы Виета стало понятно, что сумма x₁ и x₂ равна −b, а их произведение равно c. В обратной теореме это является утверждением.
Докажем теорему, обратную теореме Виета
Корни x₁ и x₂ обозначим как m и n. Тогда утверждение будет звучать следующим образом: если сумма чисел m и n равна второму коэффициенту x 2 + bx + c = 0, взятому с противоположным знаком, а произведение равно свободному члену, то числа m и n являются корнями x 2 + bx + c = 0.
Зафиксируем, что сумма m и n равна −b, а произведение равно c.
Чтобы доказать, что числа m и n являются корнями уравнения, нужно поочередно подставить буквы m и n вместо x, затем выполнить возможные тождественные преобразования. Если в результате преобразований левая часть станет равна нулю, то это будет означать, что числа m и n являются корнями x 2 + bx + c = 0.
Выразим b из равенства m + n = −b. Это можно сделать, умножив обе части на −1:
Подставим m в уравнение вместо x, выражение −m − n подставим вместо b, а выражение mn — вместо c:
При x = m получается верное равенство. Значит число m является искомым корнем.
Аналогично докажем, что число n является корнем уравнения. Подставим вместо x букву n, а вместо c подставим m * n, поскольку c = m * n.
При x = n получается верное равенство. Значит число n является искомым корнем.
Мы доказали: числа m и n являются корнями уравнения x 2 + bx + c = 0.
Примеры
Для закрепления знаний рассмотрим примеры решения уравнений по теореме, обратной теореме Виета.
Дано: x 2 − 6x + 8 = 0.
Для начала запишем сумму и произведение корней уравнения. Сумма будет равна 6, так как второй коэффициент равен −6. А произведение корней равно 8. 2 − 6x + 8 = 0″ height=»59″ src=»https://lh6.googleusercontent.com/tFokx3SM93Hwlr7ZM9BqX1xiHKv_2dUIB9MoNa8RAwSTmQKXdCcqcFXxTZmxNGw7bOVek-RzRXqBkoCqnYMiqIYVwKhfnHeU-7mA03feEqJTlyKB7e-OsTTKgPaOlddfiaTGszcv» width=»99″>
Имея эти два равенства можно подобрать подходящие корни, которые будут удовлетворять как равенству обоим равенствам системы.
Подбор корней удобнее выполнять с помощью их произведения. Число 8 можно получить путем перемножения чисел 4 и 2 либо 1 и 8. Но значения x₁ и x₂ надо подбирать так, чтобы они удовлетворяли и второму равенству тоже.
Можно сделать вывод, что значения 1 и 8 не подходят, так как они не удовлетворяют равенству x₁ + x₂ = 6. Значения 4 и 2 подходят обоим равенствам:
Значит числа 4 и 2 являются корнями уравнения x 2 − 6x + 8 = 0. 2 − 6x + 8 = 0″ height=»57″ src=»https://lh3.googleusercontent.com/rohB7Bvd-elMhTxEUuOhKqLJjqLAvo9VlJxZvOnMeDAHARfKT-SYOWb1WXTTWEN2h0oKbLl6wH7lc0IWL_vH3Si2AJGAGXVn8TPFDT_J1Wu2WeoQ-WP1qgXjCnZ99tWUkK2BOvF2″ width=»64″>
Неприведенное квадратное уравнение
Теорема Виета выполняется только тогда, когда квадратное уравнение является приведённым, то есть его первый коэффициент равен единице:
ax 2 + bx + c = 0, где а = 1.
Если квадратное уравнение не является приведенным, но задание связано с применением теоремы, нужно обе части разделить на коэффициент, который располагается перед x 2 .
Получилось следующее приведенное уравнение:
Получается, второй коэффициент при x равен, свободный член —. Значит сумма и произведение корней будут иметь вид:
Рассмотрим пример неприведенного уравнения: 4x 2 + 5x + 1 = 0. Разделим обе его части на коэффициент перед x 2 , то есть на 4.
Получилось приведённое квадратное уравнение. Второй коэффициент которого равен, а свободный член.
Тогда в соответствии с теоремой Виета получаем:
Метод подбора помогает найти корни: −1 и
Умножение корней: методы и применение
Известно, что знак корня является квадратным корнем из некоторого числа. Однако знак корня означает не только алгебраическое действие, но и применяется в деревообрабатывающем производстве — в расчете относительных размеров.
Если вы хотите узнать, как умножить корни «с» или «без» множителей, то эта статья для вас. В ней мы рассмотрим методы умножения корней:
без множителей;
с множителями;
с разными показателями.
Метод умножения корней без множителей
Убедиться, что у корня одинаковые показатели (степени). Вспомним, что степень записывается слева над знаком корня. Если нет обозначения степени, это значит, что корень квадратный, т.е. со степенью 2, и его можно умножать на другие корни со степенью 2.
Пример 3: 3 3 × 9 3 = ?
Далее необходимо перемножить числа под корнем.
Пример 1: 18 × 2 = 36
Пример 2: 10 × 5 = 50
Пример 3: 3 3 × 9 3 = 27 3
Упростить подкоренные выражения. Когда мы умножаем корни друг на друга, мы можем упростить полученное подкоренное выражение до произведения числа (или выражения) на полный квадрат или куб:
Пример 1: 36 = 6 . 36 — квадратный корень из шести ( 6 × 6 = 36 ) .
Пример 2: 50 = ( 25 × 2 ) = ( 5 × 5 ) × 2 = 5 2 . Число 50 раскладываем на произведение 25 и 2 . Корень из 25 — 5 , поэтому выносим 5 из-под знака корня и упрощаем выражение.
Умножить множители. Множитель — число, которое стоит перед знаком корня. В случае отсутствия множителя, он, по умолчанию, считается единицей. Далее необходимо перемножить множители:
Пример 1: 3 2 × 10 = 3 ? 3 × 1 = 3
Пример 2: 4 3 × 3 6 = 12 ? 4 × 3 = 12
Умножить числа под знаком корня. Как только вы перемножили множители, смело умножайте числа, стоящие под знаком корня:
Пример 1: 3 2 × 10 = 3 ( 2 × 10 ) = 3 20
Пример 2: 4 3 × 3 6 = 12 ( 3 × 6 ) = 12 18
Упростить подкоренное выражение. Далее следует упростить значения, которые стоят под знаком корня, — требуется вынести соответствующие числа за знак корня. После этого, необходимо перемножить числа и множители, которые стоят перед знаком корня:
Найти наименьшее общее кратное (НОК) показателей. Наименьшее общее кратное — наименьшее число, делящееся на оба показателя.
Необходимо найти НОК показателей для следующего выражения:
Показатели равны 3 и 2 . Для этих двух чисел наименьшим общим кратным является число 6 (оно делится без остатка и на 3 , и на 2 ). Для умножения корней необходим показатель 6 .
Записать каждое выражение с новым показателем:
Найти числа, на которые нужно умножить показатели, чтобы получить НОК.
В выражении 5 3 необходимо умножить 3 на 2 , чтобы получить 6 . А в выражении 2 2 — наоборот, необходимо умножить на 3 , чтобы получить 6 .
Возвести число, которое стоит под знаком корня, в степень равную числу, которое было найдено в предыдущем шаге. Для первого выражения 5 нужно возвести в степень 2 , а втором — 2 в степень 3 :
2 → 5 6 = 5 2 6 3 → 2 6 = 2 3 6
Возвести в степень выражения и записать результат под знаком корня:
По возможности необходимо упростить выражение, но в данном случае оно не упрощается.
Корни квадратного уравнения
Основные формулы
Рассмотрим квадратное уравнение: (1) . Корни квадратного уравнения (1) определяются по формулам: ; . Эти формулы можно объединить так: . Когда корни квадратного уравнения известны, то многочлен второй степени можно представить в виде произведения сомножителей (разложить на множители): .
Далее считаем, что – действительные числа. Рассмотрим дискриминант квадратного уравнения: . Если дискриминант положителен, , то квадратное уравнение (1) имеет два различных действительных корня: ; . Тогда разложение квадратного трехчлена на множители имеет вид: . Если дискриминант равен нулю, , то квадратное уравнение (1) имеет два кратных (равных) действительных корня: . Разложение на множители: . Если дискриминант отрицателен, , то квадратное уравнение (1) имеет два комплексно сопряженных корня: ; . Здесь – мнимая единица, ; и – действительная и мнимая части корней: ; . Тогда
.
Графическая интерпретация
Если построить график функции , который является параболой, то точки пересечения графика с осью будут корнями уравнения . При , график пересекает ось абсцисс (ось ) в двух точках (см. рисунок ⇓). При , график касается оси абсцисс в одной точке (см. рисунок ⇓). При , график не пересекает ось абсцисс (см. рисунок ⇓).
Полезные формулы, связанные с квадратным уравнением
Вывод формулы для корней квадратного уравнения
Выполняем преобразования и применяем формулы (f.1) и (f.3):
, где ; .
Итак, мы получили формулу для многочлена второй степени в виде: . Отсюда видно, что уравнение
выполняется при и . То есть и являются корнями квадратного уравнения .
Примеры определения корней квадратного уравнения
Пример 1
Найти корни квадратного уравнения: (1.1) .
Запишем квадратное уравнение в общем виде: . Сравнивая с нашим уравнением (1.1), находим значения коэффициентов: . Находим дискриминант: . Поскольку дискриминант положителен, , то уравнение имеет два действительных корня: ; ; .
Отсюда получаем разложение квадратного трехчлена на множители:
.
График функции y = 2 x 2 + 7 x + 3 пересекает ось абсцисс в двух точках.
Построим график функции . График этой функции является параболой. Она пересевает ось абсцисс (ось ) в двух точках: и . Эти точки являются корнями исходного уравнения (1.1).
Пример 2
Найти корни квадратного уравнения: (2.1) .
Запишем квадратное уравнение в общем виде: . Сравнивая с исходным уравнением (2.1), находим значения коэффициентов: . Находим дискриминант: . Поскольку дискриминант равен нулю, , то уравнение имеет два кратных (равных) корня: ; .
Тогда разложение трехчлена на множители имеет вид: .
График функции y = x 2 – 4 x + 4 касается оси абсцисс в одной точке.
Построим график функции . График этой функции является параболой. Она касается оси абсцисс (ось ) в одной точке: . Эта точка является корнем исходного уравнения (2.1). Поскольку этот корень входит в разложение на множители два раза: , то такой корень принято называть кратным. То есть считают, что имеется два равных корня: .
Пример 3
Найти корни квадратного уравнения: (3.1) .
Запишем квадратное уравнение в общем виде: (1) . Перепишем исходное уравнение (3.1): . Сравнивая с (1), находим значения коэффициентов: . Находим дискриминант: . Дискриминант отрицателен, . Поэтому действительных корней нет.
Можно найти комплексные корни: ; ; .
График функции не пересекает ось абсцисс. Действительных корней нет.
Построим график функции . График этой функции является параболой. Она не пересекает ось абсцисс (ось ). Поэтому действительных корней нет.
Действительных корней нет. Корни комплексные: ; ; .
