Произведение корней уравнения равно выберите верный ответ

Алгебра. 8 класс

Укажите все правильные ответы.

Дано уравнение , , и – корни уравнения.
Выберите верные утверждения.

Заполните пропуски (ответ дайте в виде целого числа или конечной десятичной дроби).

С помощью теоремы, обратной теореме Виета, проверьте, что корни уравнения найдены верно,
и распределите утверждения по соответствующим группам.

Решение задач по математике онлайн

//mailru,yandex,google,vkontakte,odnoklassniki,instagram,wargaming,facebook,twitter,liveid,steam,soundcloud,lastfm, // echo( ‘

Калькулятор онлайн.
Решение показательных уравнений.

Этот математический калькулятор онлайн поможет вам решить показательное уравнение. Программа для решения показательного уравнения не просто даёт ответ задачи, она приводит подробное решение с пояснениями, т.е. отображает процесс получения результата.

Данная программа может быть полезна учащимся старших классов общеобразовательных школ при подготовке к контрольным работам и экзаменам, при проверке знаний перед ЕГЭ, родителям для контроля решения многих задач по математике и алгебре. А может быть вам слишком накладно нанимать репетитора или покупать новые учебники? Или вы просто хотите как можно быстрее сделать домашнее задание по математике или алгебре? В этом случае вы также можете воспользоваться нашими программами с подробным решением.

Таким образом вы можете проводить своё собственное обучение и/или обучение своих младших братьев или сестёр, при этом уровень образования в области решаемых задач повышается.

Обязательно ознакомьтесь с правилами ввода функций. Это сэкономит ваше время и нервы.
Правила ввода функций >> Почему решение на английском языке? >> С 9 января 2019 года вводится новый порядок получения подробного решения некоторых задач. Ознакомтесь с новыми правилами >> —> Введите показательное уравнение
Решить уравнение

Немного теории.

Показательная функция, её свойства и график

Напомним основные свойства степени. Пусть а > 0, b > 0, n, m — любые действительные числа. Тогда
1) a n a m = a n+m

4) (ab) n = a n b n

7) a n > 1, если a > 1, n > 0

8) a n m , если a > 1, n n > a m , если 0 x , где a — заданное положительное число, x — переменная. Такие функции называют показательными. Это название объясняется тем, что аргументом показательной функции является показатель степени, а основанием степени — заданное число.

Определение. Показательной функцией называется функция вида y = a x , где а — заданное число, a > 0, \( a \neq 1\)

Показательная функция обладает следующими свойствами

1) Область определения показательной функции — множество всех действительных чисел.
Это свойство следует из того, что степень a x где a > 0, определена для всех действительных чисел x.

2) Множество значений показательной функции — множество всех положительных чисел.
Чтобы убедиться в этом, нужно показать, что уравнение a x = b, где а > 0, \( a \neq 1\), не имеет корней, если \( b \leqslant 0\), и имеет корень при любом b > 0.

3) Показательная функция у = a x является возрастающей на множестве всех действительных чисел, если a > 1, и убывающей, если 0 x при a > 0 и при 0 x при a > 0 проходит через точку (0; 1) и расположен выше оси Oх.
Если х x при a > 0.
Если х > 0 и |х| увеличивается, то график быстро поднимается вверх.

График функции у = a x при 0 0 и увеличивается, то график быстро приближается к оси Ох (не пересекая её). Таким образом, ось Ох является горизонтальной асимптотой графика.
Если х

Показательные уравнения

Рассмотрим несколько примеров показательных уравнений, т.е. уравнений, в которых неизвестное содержится в показателе степени. Решение показательных уравнений часто сводится к решению уравнения a x = a b где а > 0, \( a \neq 1\), х — неизвестное. Это уравнение решается с помощью свойства степени: степени с одинаковым основанием а > 0, \( a \neq 1\) равны тогда и только тогда, когда равны их показатели.

Решить уравнение 2 3x • 3 x = 576
Так как 2 3x = (2 3 ) x = 8 x , 576 = 24 2 , то уравнение можно записать в виде 8 x • 3 x = 24 2 , или в виде 24 x = 24 2 , откуда х = 2.
Ответ х = 2

Решить уравнение 3 х + 1 — 2 • 3 x — 2 = 25
Вынося в левой части за скобки общий множитель 3 х — 2 , получаем 3 х — 2 (3 3 — 2) = 25, 3 х — 2 • 25 = 25,
откуда 3 х — 2 = 1, x — 2 = 0, x = 2
Ответ х = 2

Решить уравнение 3 х = 7 х
Так как \( 7^x \neq 0 \) , то уравнение можно записать в виде \( \frac<3^x> <7^x>= 1 \), откуда \( \left( \frac<3> <7>\right) ^x = 1 \), х = 0
Ответ х = 0

Решить уравнение 9 х — 4 • 3 х — 45 = 0
Заменой 3 х = t данное уравнение сводится к квадратному уравнению t 2 — 4t — 45 = 0. Решая это уравнение, находим его корни: t₁ = 9, t₂ = -5, откуда 3 х = 9, 3 х = -5.
Уравнение 3 х = 9 имеет корень х = 2, а уравнение 3 х = -5 не имеет корней, так как показательная функция не может принимать отрицательные значения.
Ответ х = 2

Решить уравнение 3 • 2 х + 1 + 2 • 5 x — 2 = 5 х + 2 х — 2
Запишем уравнение в виде
3 • 2 х + 1 — 2 x — 2 = 5 х — 2 • 5 х — 2 , откуда
2 х — 2 (3 • 2 3 — 1) = 5 х — 2 ( 5 2 — 2 )
2 х — 2 • 23 = 5 х — 2 • 23
\( \left( \frac<2> <5>\right) ^ = 1 \)
x — 2 = 0
Ответ х = 2

Решить уравнение 3 |х — 1| = 3 |х + 3|
Так как 3 > 0, \( 3 \neq 1\), то исходное уравнение равносильно уравнению |x-1| = |x+3|
Возводя это уравнение в квадрат, получаем его следствие (х — 1) 2 = (х + 3) 2 , откуда
х 2 — 2х + 1 = х 2 + 6х + 9, 8x = -8, х = -1
Проверка показывает, что х = -1 — корень исходного уравнения.
Ответ х = -1

Урок по алгебре «Теорема Виета» (8 класс)

Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

Тема урока: Теорема Виета (алгебра, 8 класс)

Урок подготовлен учителем математики МБОУ «Красноармейская СОШ»

Андреевой Реной Валерьяновной

Учебная: Систематизировать знания, умения, навыки решения квадратных уравнений, закрепить теорему Виета и ей обратную, уметь применять при нахождении суммы и произведения корней приведенного квадратного уравнения, определении знаков корней уравнения, решении квадратных уравнений, при проверке правильности нахождения корней квадратных уравнений;

Развивающая Развивать логическое мышление, навыки сравнения и анализа; ; развивать коммуникативные навыки; навыки самостоятельной работы и творчества; развитие математической логики и речи, внимания и кругозора учащихся;

Воспитательная: Воспитывать диалоговую культуру, любовь к предмету.

Оборудование: компьютер, проектор, презентация, портрет Франсуа Виета, плакаты, листки взаимоопроса, таблицы, папки с уровненной самостоятельной работой (2 уровня) и домашней работой (3 уровня), карточки с практическими заданиями, плакаты с эпиграфом урока

Тип урока: комбинированный урок

1. Организационный момент.

Друзья мои! Я очень рада

Войти в приветливый ваш класс

И для меня уже награда

Вниманье ваших умных глаз

Я знаю: каждый в классе гений,

Но без труда талант не впрок

Из ваших знаний и умений

Мы вместе сочиним урок.

Девиз нашего урока:

Науку всё глубже постигнуть стремись,

Познанием вечного жаждой томись.

Лишь первых познаний блеснёт тебе свет,

Узнаешь предела для знания нет.

(показ слайдов из презентации 1 -4.)

Учитель: Какую тему мы изучаем?

Какие вопросы, связанные с этой темой мы уже рассмотрели?

Что знаем о квадратных уравнениях?

Что умеем делать?

3.Организация проверки знаний учащихся о квадратных уравнениях:

а)Взаимоопрос по карточкам. Карточки лежат на партах каждого ученика(слайд10)

б)Устная работа в парах:

6) 3х² — 5х + 19 = 0

Вопросы для работы в парах:

Уравнение какого вида называется квадратным уравнением?

Какие из данных уравнений являются полными квадратными уравнениями? (1,2,4,5)

Какие квадратные уравнения являются приведенными? (1,4,6)

Почему эти уравнения называются приведенными? (старший коэффициент а = 1)

Назовите неполные квадратные уравнения (3,6)

От чего зависит число корней квадратного уравнения? (от дискриминанта)

4.Решение квадратных уравнений

( чётные номера из карточек решают на доске три ученика)

(ответы к квадратным уравнениям имеются на слайде11).

Показ слайдов (12-14)

Мотивация изучения теоремы Виета

Учитель: Поверите ли вы мне, если я скажу, что уравнения, которые вы видите на плакате, можно решить устно, не выполняя громоздких вычислений (плакат с уравнениями на доске)

Ученики: Мы не сможем решить устно эти уравнения, так как они имеют очень большие коэффициенты.

Учитель: Вот в этом нам и поможет теорема Виета.

6.Изучение теоремы Виета

Учитель: Занимаясь квадратными уравнениями, вы, вероятно, уже заметили, что информация об их корнях скрыта в коэффициентах. Кое-что «скрытое» для нас уже открылось.

: Как еще связаны между собой корни и коэффициенты квадратного уравнения? Вам интересно?

Ученики: Да, мы хотим устно научиться решать уравнения

Учитель: Хотите научиться так быстро устно находить корни уравнений? Для этого надо исследовать связи между корнями и коэффициентами квадратного уравнения. Чтобы раскрыть эти связи, полезно понаблюдать за коэффициентами и корнями различных квадратных уравнений.

1. Сегодня мы будем исследователями. (слайды15-16)

1) Для квадратного уравнения найти сумму и произведение корней (слайд17)

б) 2х² + 14х — 6 = 0,

Задание1. У какого из заданных квадратных уравнений сумма корней равна -6, а произведение равно 5

5. х² + 5х — 6 = 0 Проверка и ответ на (слайде 19)

Задание 2. Если х ₁= -5 и х₂= -1 — корни уравнения
х² + px + q = 0, то выбери ответ: (слайд 20)

3) p = 6, q = 5 Ответ в слайде 21.

3) Тест. Найти подбором корни уравнения х² + 7х — 44 = 0. (слайд 22)

Выберите верный ответ.

Г. -4 и -11. Ответ в слайде 23

4).Решите уравнение с помощью теоремы, обратной теореме Виета (слайд 24)

4) x 2 +2005 x -2006=0 Проверка ответов на слайде 25

5) Найдите подбором корни уравнений и сделайте проверку: (слайд26)

а) х 2 — 11х + 24 = 0,

б) х 2 + 10х + 24 = 0,

в) х 2 — 5х — 14 = 0. Проверка ответов на слайде 27.

Определение. Приведённым квадратным уравнением называется уравнение вида х 2 +рх+ q =0, где а=1, р и q – заданные числа, х- неизвестное.

Мы решили уравнения и получили корни:

Надо установить связь между х₁ , х₂ и р

Прекрасно! Мы установили, что для заданных уравнений, сумма корней равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком, а произведение равно свободному члену:

Проверим гипотезу, если D >0 , D =0 , D 2 -8х -6=0 Найдём сумму корней: х₁ + х₂ = 4 + 22 +4 – 22=8 ,т. е.

D =22 Найдём произведение корней: х₁ * х₂ = (4 + 22) (4 – 22)= -6

Гипотеза верна, если D >0 , D =0 !

В). х 2 + 2х +5=0 D = -16, D q

х₁ –корень уравнения, то х 2 ₁ + рх₁ + q =0 (1)

х₂ –корень уравнения, то х 2 ₂ + рх₂ + q =0 (2)

Вычтем из первого уравнения второе. Получим:

Это выражение подставим в (1):

Итак, мы открыли, а потом доказали теорему Виета.

Используя теорему Виета, можно выразить сумму и произведение корней произвольного квадратного уравнения через его коэффициенты.

ах 2 + вх + с=0 , где а=0

Справедливо утверждение, обратное теореме Виета.

При проведении исследовательской работы мне понравилась теорема Виета – великого французского математика «Отца алгебры». С удовольствием приведу знаменитое стихотворение о теореме Виета.

По праву достойна в стихах быть воспета,

О свойствах корней теорема Виета, а х 2 + в х + с =0

Что лучше, скажи, постоянства такого?

Умножишь ты корни и дробь уж готова: х ₁ + х ₂ = — в/а

В числителе – c , в знаменателе a .

Сумма корней тоже дроби равна, х ₁ х ₂ = с/а

Хоть с минусом дробь эта – что за беда!

В числителе в , а в знаменателе а .

Где использовать теорему Виета?

1). Можно не находя корней, найти сумму и произведение корней квадратного уравнения вида х 2 + рх + q =0

Например: х 2 + 7х + 5=0 ,то сумма х ₁ + х ₂ = -7

2). Не решая уравнения х 2 -2х +1=0

Используя метод Тараса Бульбы, имеем:

Где использовать теорему, обратную теореме Виета?

1).Можно проверить правильность решения квадратного уравнения.

Например: х 2 + 3х — 40=0

Покажем, что корни найдены правильно х₁ + х₂ = -3 х ₁ х ₂ = — 40

— 8 + 5 = — 3 -8*5 = — 40

Значит, по теореме, обратной теореме Виета эти числа являются корнями уравнения

2).Можно найти подбором корни уравнения

Итак мы научились применять теорему Виета и обратную ей для уравнений вида

Связь корней квадратного уравнения с коэффициентами и свободным членом

Если сумма коэффициентов (слайд 27)

Если

Решите уравнение, используя связь корней квадратного уравнения с коэффициентами и свободным членом.

2) 11 x 2 +27 x +16=0 (слайды 28 и 29)

3. Связь между числами а, в, с квадратного уравнения

Мы начали искать квадратные уравнения, где один из корней равен единице, то решив их установили, что сумма а+в+с=0.

2х 2 — 196х +194=0

Вывод: Если сумма коэффициентов а+в+с=0 , тогда один из корней равен 1 , а другой равен с/а

Далее мы начали искать квадратные уравнения, где один из корней равен минус единице, то ,решив их, установили, что сумма а-в+с=0.

Вывод: Если в квадратном уравнении а-в+с=0 , то один из корней равен -1 , а другой равен –с/а

4. Составление квадратных уравнений удивительным способом.

Составить задания на решение приведённых квадратных уравнений можно следующим образом.

Слева на листе бумаги записываем столбец трёхзначных чисел, меньших 200, которые кратны 11. Рядом у каждого числа записываем квадратное уравнение, у которого коэффициент при х 2 равен первой цифре трёхзначного числа, коэффициент при х – второй цифре и свободный член – последней цифре числа.

Итак, составим восемь заданий:

Приведённые квадратные уравнения

Корни составленных уравнений легко запомнить. Первый корень всех уравнений -1, а второй равен свободному члены, взятому с противоположным знаком.

Таким способом можно придумывать и не приведённые квадратные уравнения. Достаточно взять вспомогательные трёхзначные числа, кратные 11,т.е. числа вида авс , где в= а+с.

Приведённые квадратные уравнения

Благодаря описанному приёму не только можно быстро составить много заданий, но и можно оперативно проверить найденные корни.

Девиз к нашей дальнейшей работе: «Большая часть великих идей современных математиков, если не все, получила свое начало в наблюдении» Дж. Сильвестр.

В поиске закономерностей исследователи часто фиксируют свои наблюдения в таблицах, которые помогают обнаружить эти закономерности.

. На столах у вас лежат таблицы. Занесем результаты в таблицу: заполним столбцы, в которых указываются коэффициенты, корни каждого квадратного уравнения(ученики работают в парах).

(Таблица на слайде заполняется с помощью учащихся). Какие уравнения записаны в таблице? Давайте найдем сумму корней каждого уравнения и их произведение и запишем в таблицу. Сравним коэффициенты уравнений и, затем корни. Какие связи между корнями и коэффициентами вы заметили?

Попробуйте сформулировать свои выводы.

сумма корней приведенного квадратного уравнения равна — p , произведение корней равно q .

Если корни имеют одинаковые знаки, то q >0, если разные, то q БИОГРАФИЯ

Искусство, которое я излагаю, ново или по крайней мере было настолько испорчено временем искажено влиянием варваров, что я счел нужным придать ему совершенно новый вид.

Виет Франсуа (1540-1603) родился во Франции, недалеко от знаменитой крепости Ла-Ро-шель. Получил юридическое образование. Как адвокат Виет пользовался у населения авторитетом и уважением. Он был широко образованным человеком. Знал астрономию и математику и все свободное время отдавал этим наукам.
Главной страстью Виета была математика. Он глубоко изучил сочинения классиков Архимеда и Диофанта.Он не только ввел свое буквенное исчисление , но сделал принципиально новое открытий, поставив перед собой цель изучать не числа, а действия над ними. Такой способ записи позволил Виету сделать важные открытия при изучении общих свойств алгебраических уравнений. Не случайно за это Виета называют «отцом» алгебры, основоположником буквенной символики.

Знаменитая теорема, устанавливающая связь коэффициентов многочлена с его корнями, была обнародована в 1591 году.

Теорема Виета стала ныне самым знаменитым утверждением школьной алгебры. Теорема Виета достойна восхищения, тем более что ее можно обобщить на многочлены любой степени.

7.Закрепление знаний и способов действий .

Выполняется дифференцированная самостоятельная работа

8. Этап обобщения теоремы (слайд)

По праву достойна в стихах быть воспета

О свойствах корней теорема Виета.

Что лучше, скажи, постоянства такого:

Умножишь ты корни — и дробь уж готова?

В числителе с, в знаменателе а

А сумма корней тоже дроби равна.

Хоть с минусом дробь, что за беда!

В числителе в , в знаменателе а.

Рефлексия. Подведение итогов урока (слайд)

Проверяем, правильно ли найдены корни уравнения

Определяем знаки корней уравнения не решая его

Устно находим корни приведенного квадратного уравнения

Составляем квадратное уравнение с заданными корнями

Постановка домашнего задания

Каждый учащийся получает листок с 3-х уровневым домашним заданием.

Приложения: презентация, карточки при работе в парах, таблица для исследовательской работы, самостоятельная работа на 2 уровня, листок с домашним заданием.