Производительность труда бригады может быть описана уравнением

Деловая игра Занятие по теме: «Приложение производной в экономике»

Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

«Приложение производной в экономике»

Показать применение исследования функции к решению прикладных задач и в ходе ее решения обобщить и систематизировать алгоритм исследования функций и построения графиков.

В процессе подготовки и выполнения заданий продолжать формировать чувство ответственности за результаты своей работы, самокритичности в оценке результатов решения задач наряду с чувством уверенности в правильности выполнения работы.

Основные знания и умения

Знать правила исследования функций и построения графиков. Уметь исследовать функции на возрастание и убывание, экстремум, наибольшее и наименьшее значение на отрезке, строить графики.

Раздаточный материал: карточки задания для групповой работы. Вычислительные средства: микрокалькуляторы.

Урок применения знаний и умений

Форма урока: дидактическая игра

Тема игры: исследование производительности труда

Последовательность хода занятия

1. Сообщить цели и задачи урока.

2. Выдать группам индивидуальное задание, на решение которого отводится 15 минут.

3. Группы готовят ответ-защиту своих решений, а в это время руководители групп составляют общий отчет.

4. Обсуждение решений и общего отчета.

5. Подведение итогов и выставление оценок.

1. Сообщение цели и задачи урока

Мы изучили тему «Производная», познакомились со способами исследования функции, рассмотрели физический, геометрический и экономический смысл производной. Цель сегодняшнего урока заключается в том, чтобы от производственной ситуации перейти к математической модели. Необходимо проанализировать, логически осмыслить, обобщить поставленную задачу и подготовить творческий отчет.

В процессе подготовки и выполнения заданий необходимо проявить чувство ответственности за результаты своей работы, самокритичность в оценке результатов решения задач наряду с чувством уверенности в правильности выполнения работы.

2. Сообщение условия игры

Вы являетесь сотрудниками НИИ. Институт получил заказ от одного из заводов города исследовать изменение производительности труда одной, отдельно взятой бригады в течение рабочего дня. Выполнить заказ поручили вашему отделу. Каждая группа отдела решает свою задачу. Итогом работы группы является отчет и его защита. Руководители групп вместе с начальником отдела готовят отчет — проект заказа для института.

По итогам конкурса на должность начальника отдела и руководителей групп назначены___________________________________________________________

Каждая группа получает индивидуальное задание и приступает к его выполнению. Руководители групп могут обращаться за помощью к начальнику отдела. На выполнение задания дается 15 минут. По истечении времени руководители групп и начальник отдела приступают к оформлению отчета.

В это время группы готовят защиту своих решений.

Через 10 минут мы приступаем к обсуждению результатов работы. При оценивании будут учитываться:

1) Время решения задачи.

2) Качество решения задачи.

3) Четкость и ясность защиты.

4) Сознательный и творческий подход к выводу.

5) Самостоятельность в работе.

Объем продукции u ( t ), произведенный бригадой рабочих, может быть описан уравнением u (t) = — 5/6 t 3 + 15/2 t 2 + 100 t + 50 (ед.), 1 ≤ t ≤ 8, где t — рабочее время в часах.

1) Найти производительность труда, исследовать ее и построить график изменения производительности труда. Сделать вывод.

2) Найти скорость изменения производительности труда. Исследовать ее и построить график. Вычислить скорость изменения производительности труда через час после начала работы и за час до ее окончания. Сделать вывод.

3) Найти темп изменения производительности труда. Вычислить темп изменения производительности труда через час после начала работы и за час до ее окончания. Сделать вывод.

4) Найти наибольший и наименьший объем выпущенной продукции. Вычислить производительность труда через час после начала работы и за час до ее окончания. Сделать вывод.

5) Вычислить наибольшее и наименьшее значения производительности труда и время, в которое она бывает. Сделать вывод.

Когда целесообразнее всего сделать перерыв? Ответ обосновать.

На решение задачи каждой группой, дается 15 минут. Через 15 минут, или раньше, руководители групп предоставляют решения начальнику отдела и совместно подводят итог работы, делая общий вывод.

3. Подготовка защиты решений и составление общего отчета

Группы готовят защиту решений, руководители групп составляют общий отчет.

4. Обсуждение решений и общего отчета

Каждой группе дается 5 минут для выступления и 10 минут выделяется для обсуждения общего отчета.

5. Подведение итогов и выставление оценок

Подсчитать общее количество баллов по каждой группе. Сообщить результат и дать время для того, чтобы учащиеся обсудили и самостоятельно выставили оценки каждому участнику игры.

По каждому критерию максимальная оценка 5 баллов, максимальная оценка группе – 20 баллов, максимальная оценка руководителям групп – 20 баллов.

При выставлении оценок учесть, что:

1) заказчик выставляет оценку начальнику отдела, главному консультанту и назначает общий балл руководителям групп;

2) руководителям групп выставляют оценку начальник отдела и главный консультант, причем пятерку могут получить только те начальники отделов, чьи группы набрали не менее 20 баллов, а сумма оценок руководителей групп не должна превышать общего балла, который назначил руководителям групп заказчик.

3) остальные сотрудники отдела получают оценку, исходя из общего количества баллов группы, так чтобы оценка каждого не превосходила оценки руководителя.

4) заказчик имеет право проверить объективность любой выставленной оценки.

ТАБЛИЦА ПОДВЕДЕНИЯ ИТОГОВ ПО ГРУППАМ

Задачи по математике для экономистов (стр. 2 )

Из за большого объема этот материал размещен на нескольких страницах: 1 2 3

26. Три предприятия используют два вида сырья: уголь и древесину. Заданы матрица расходов сырья и матрица стоимостей перевозок тремя видами транспорта

. Определить матрицу затрат по видам транспорта. Провести анализ результатов.

27. Три предприятия используют два вида сырья: уголь и древесину. Заданы матрица расходов сырья и матрица стоимостей перевозок тремя видами транспорта

. Определить матрицу затрат по видам транспорта. Провести анализ результатов.

28. Два цеха предприятия выпускают продукцию двух видов: 1-ый цех – продукцию 1-го вида, 2-ой цех – продукцию 2-го вида. Часть выпускаемой продукции идет на внутреннее потребление, остальная часть является конечным продуктом. Требуется выявить распределение между цехами продукции, идущей на внутреннее потребление, и общие (валовые) объемы выпускаемой продукции , если заданы матрица прямых затрат

и вектор конечного (валового) продукта Y.

29. Два предприятия производят музыкальные центры, телевизоры, плееры. Количества продукции каждого вида, производимые за месяц, приведены в таблице 4.

Количество продукции в условных единицах

Данные о прибыли от реализации единицы каждого вида изделий в каждый из трех месяцев приведены в таблице 2.

Прибыль (в условных единицах)

30. Два предприятия производят музыкальные центры, телевизоры, плееры. Количества продукции каждого вида, производимые за месяц, приведены в таблице 6.

Количество продукции в условных единицах

Данные о прибыли от реализации единицы каждого вида изделий в каждый из трех месяцев приведены в таблице 7.

Прибыль (в условных единицах)

2. Введение в математический анализ

В экономике многие зависимости могут быть заданы функциями как одной переменной y = f(x), так и нескольких переменных . Наличие функциональных зависимостей позволяет использовать аппарат математического анализа для решения экономических проблем. В качестве примеров функциональных зависимостей в экономике можно привести следующие функции, имеющие экономический смысл в некоторой области значений аргумента:

¨ Функция спроса от цены товара, y = f(x), x — цена товара, y — спрос на товар.

¨ Функция цены от спроса товара, y = f(x), x — спрос на товар, y — цена товара.

¨ Суммарная выручка, равная произведению количества проданного товара на цену товара, тоже является функцией спроса.

¨ Суммарные издержки производства F от объема производства x: F=F(x) и средние (удельные) издержки производства (себестоимость) f — функции от объема производства x: f(x) = F(x)/x.

Суммарные издержки производства F иногда выражаются линейной функцией от объема выпускаемой продукции x: F(x) = ax + b, где a — сумма издержек первой группы на единицу продукции, b — издержки производства, не зависящие от объема выпуска (вторая группа). К первой группе издержек относятся расходы, зависящие от объема выпуска продукции, например, стоимость сырья, оплата рабочим и т. п. Ко второй группе относится амортизация здания, его отопление и т. п. Средние издержки, или себестоимость продукции, f(x) в этом случае имеет вид f(x) = F(x)/x = (ax+b)/x=a + b/x.

1. Издержки на изготовление партии деталей (годовой программы) определяются по формуле y = ax + b, где x — объем партии. Причем параметры a и b различны для двух вариантов технологического процесса механической обработки: для первого варианта y = 1.45x + 20, а для второго варианта при x = 100 (дет), y = 157.5 (руб), при x = 300 (дет), y = 452.5 (руб). Требуется: 1) провести оценку двух вариантов, т. е. определить, какой из них выгоднее в зависимости от объема партии; 2) построить графики; 3) найти себестоимость продукции для обоих вариантов при x = 200 (дет).

2. Издержки перевозки двумя видами транспорта выражаются функциями y = 150x + 50 и y = 25x + 250, где x — расстояние в сотнях километров; y — транспортные расходы. Начиная с какого расстояния более экономичен второй вид транспорта?

3. Известно, что средние издержки (себестоимость) определяются зависимостью y = 2xp, где x— объем производства. Определить значение p, если известно, что при x = 100, y = 20.

4. Известно, что стоимость рулона ткани y прямо пропорциональна x — количеству метров в рулоне. Зная, что цена 1 м ткани равна 130 руб, выписать функцию y = f(x) и вычислить стоимость рулона, содержащего 300 м.

5. Зная, что объем производства y связан с производительностью труда x линейной зависимостью, определить эту зависимость, если известно, что при x = 3, y = 185, при x = 5, y = 305. Определить объем производства при x = 20.

6. Прогноз численности населения на ближайшую перспективу можно производить по формулам: (1) y = y0 + bt и (2) y = y0 at , где y — численность населения; y0 — исходная численность (по переписям или оценке); b — средний абсолютный прирост, a — средний темп роста (в форме коэффициента роста); t (лет) — длина периода, на который производится прогноз. Определить численность населения в данном регионе через 3 года по формулам (1) и (2), если y0 = 3*104 , b = 3*103, a = 1.1. Сравнить результаты.

7. Пусть имеется запас некоторого сырья, составляющий B тонн, которого должно хватить на A дней. Расход материала должен быть равномерным, т. е. ежедневно расходуется одинаковое количество сырья. Составить уравнение, выражающее зависимость неизрасходованного сырья y от количества прошедших дней x. Построить график при A = 10, B = 5. Определить, каков остаток сырья через 3 дня, если A = 5, B = 15.

8. Зависимость уровня потребления y некоторого вида товаров от уровня дохода семьи x выражается формулой y = a — b/(x + c). Полагая a = 2.8, b = 168, c = 10, построить график этой зависимости; провести экономический анализ. Вычислить уровень потребления при x = 158.

9. Продолжительность выполнения работы y (мин.) при повторяемых операциях есть величина, обратно пропорциональная числу x (шт.) этих операций. Построить график этой зависимости y = f(x), если известно, что при справедлива формула y = a/(x + c), причем при x = 0 y = 150, при x = 200 y = 50. Вычислить, сколько минут выполняется работа при 50 операциях.

10. Рентабельность y связана с себестоимостью продукции x следующей зависимостью: y = a/x – 1 , где a — цена единицы продукции. Построить график этой зависимости при a = 100. Пояснить его экономический смысл. Вычислить рентабельность при x1 = 50 и x2 = 150. Дать пояснения.

11. Распределение дохода в капиталистическом обществе может быть описано законом Парето: y = ax—m , где y — число лиц, имеющих доход, не меньший x; m, a — положительные постоянные. Требуется: 1) при a = 3*109 , m = 3/2 определить число лиц, имеющих доход не меньше 1600 денежных единиц; 2) при a = 2*109 , m = 3/2 определить число лиц, чей доход не меньше 105 денежных единиц.

12. Постоянные издержки при производстве ручных часов составляют 12 тыс. руб. в месяц, а переменные — 700 руб. за единицу продукции. Продукция продается по цене 1200 руб. за единицу. Составить функцию прибыли. Определить:

б) сколько единиц продукции нужно произвести, чтобы прибыль составила 105 тыс. руб. в месяц.

13. Определить сумму, которую получит вкладчик через 3 года, вкладывая 500 руб. под сложный процент, ставка которого 3%.

14. Издержки перевозки двумя видами транспорта выражаются функциями y = 65x + 360 и y = 45x + 160, где x — расстояние в сотнях километров; y — транспортные расходы. Начиная с какого расстояния более экономичен второй вид транспорта?

15. Издержки на изготовление партии деталей (годовой программы) определяются по формуле y = ax + b, где x — объем партии, причем параметры a и b различны для двух вариантов технологического процесса механической обработки: для первого варианта

y = 2x + 15, а для второго варианта при x = 20 (дет.) y = 150 (руб.), при x = 100 (дет.) y = 710 (руб.). Требуется: 1) провести оценку двух вариантов, т. е. определить, какой из них выгоднее в зависимости от объема партии; 2) построить графики; 3) найти себестоимость продукции для обоих вариантов при x = 80 (дет.).

16. Определить сумму, которую получит вкладчик через 5 лет, вкладывая 2500 руб. под сложный процент, ставка которого 5%.

17. Издержки на изготовление партии деталей (годовой программы) определяются по формуле y = ax + b, где x — объем партии, причем параметры a и b различны для двух вариантов технологического процесса механической обработки: для первого варианта y = 5x + 40, а для второго варианта при x = 30 (дет.) y = 200 (руб.), при x = 90 (дет.) y = 800 (руб.). Требуется: 1) провести оценку двух вариантов, т. е. определить, какой из них выгоднее в зависимости от объема партии; 2) построить графики издержек; 3) найти себестоимость продукции для обоих вариантов при x = 60 (дет.).

18. Зная, что объем производства y связан с производительностью труда x линейной зависимостью, определить эту зависимость, если известно, что при x = 150 y = 352, при x = 77 y = 301. Определить объем производства при x = 210.

19. Зная, что объем производства y связан с производительностью труда x линейной зависимостью, определить эту зависимость, если известно, что при x = 100 y = 360, при x = 80 y = 240. Определить объем производства при x = 110.

20. Зависимость уровня потребления y некоторого вида товаров от уровня дохода семьи x выражается формулой y = a – b/(x + c). Полагая a = 3, b = 250, c = 20, построить график этой зависимости; провести экономический анализ. Вычислить уровень потребления при x = 100.

21. Исследовать поведение функции спроса от цены товара y =при увеличении цены (x ).

22. Издержки перевозок двумя видами транспорта выражаются функциями y = 60x + 300 и y = 15x + 150, где x — расстояние в сотнях километров; y — транспортные расходы. Начиная с какого расстояния более экономичен второй вид транспорта?

23. Пусть имеется запас некоторого сырья, составляющий B тонн, которого должно хватить на A дней. Расход материала должен быть равномерным, т. е. ежедневно расходуется одинаковое количество сырья. Составить уравнение, выражающее зависимость неизрасходованного сырья y от количества прошедших дней x. Построить график при A =20, B =5. Определить, каков остаток сырья через 5 дней, если A =10, B =15.

24. Издержки на изготовление партии деталей (годовой программы) определяются по формуле , где — объем партии, причем параметры и различны для двух вариантов технологического процесса механической обработки: для первого варианта , а для второго варианта при =100 (дет), =150 (руб.), при x=200 (дет), y=250. Требуется: 1) провести оценку двух вариантов, т. е. определить, какой из них выгоднее в зависимости от объема партии; 2) построить графики издержек; 3) найти себестоимость продукции для обоих вариантов при x=200 (дет).

25. Законы спроса и предложения на некоторый товар определяются уравнениями

б) Найти точку равновесия после введения налога, равного 3%. Найти увеличение цены и уменьшение равновесного объема продаж.

в) Какая субсидия приведет к увеличению объема продаж на 2 единицы?

30) Законы спроса и предложения на некоторый товар определяются уравнениями

а) Вводится пропорциональный налог, равный 20%. Найти новую точку равновесия и доход правительства.

б) Правительство установило минимальную цену, равную 7. Сколько денег будет израсходовано на скупку излишка?

31) Предприятие купило автомобиль стоимостью 40 тыс. руб. Ежегодная норма амортизации составляет 10% от цены покупки
. Написать уравнение, определяющее стоимость автомобиля в зависимости от времени t, построить график. Найти стоимость автомобиля: а) через 5 лет; б) через 6 лет и 3 месяца.

32) Газовая плита была куплена за 8000 руб. Амортизация начисляется линейно и составляет 15% в год от первоначальной стоимости.

а) стоимость газовой плиты через t лет;

б) стоимость газовой плиты через 6 лет после начала эксплуатации;

в) срок службы плиты.

29. Фирма купила четыре одинаковых компьютера. Первоначальная стоимость каждого компьютера составляет 1200 у. е., остаточная – 80 у. е. Срок жизни компьютера по норме – 4 года. Через 2 года компьютеры были проданы по цене 600 у. е. каждый. Построить график функции, определяющей стоимость четырех компьютеров в зависимости от времени t. Какую прибыль получило предприятие после продажи?

30. Станок был куплен за 20 тыс. руб., его остаточная стоимость – 600 руб. Определить срок службы станка, если:

а) амортизация начисляется ежегодно из расчета 10% от последней стоимости станка;

б) норма амортизации составляет 10% от первоначальной стоимости.

3. Дифференциальное исчисление

Экономический смысл производной.

Издержки производства y будем рассматривать как функцию количества выпускаемой однородной продукции x.

Пусть Dx — прирост продукции, тогда — Dy приращение издержек производства и Dy/Dx — среднее приращение издержек производства на единицу продукции.

Производная y’ = выражает предельные издержки производства и характеризует приближенно дополнительные затраты на производство единицы дополнительной продукции.

Предельные издержки зависят от уровня производства (количества выпускаемой продукции x) и определяются не постоянными производственными затратами, а лишь переменными затратами (на сырье, топливо и т. п.). Аналогичным образом могут быть определены предельная выручка, предельный продукт и другие величины. Предельные величины характеризуют не состояние (как суммарная или средняя величины), а процесс изменения экономического объекта. Таким образом, производная выступает как скорость изменения некоторого экономического объекта (процесса).

Относительная скорость изменения (темп) функции y = f(x) определяется ее логарифмической производной

Эластичность функции y = f(x) — предел отношения относительного приращения функции к относительному приращению независимой переменной x при Dx ® 0:

Эластичность функции равна произведению независимой переменной на темп функции

Эластичность функции показывает приближенно, на сколько процентов изменится функция y = f(x) при изменении независимой переменной x на 1%. Коэффициент эластичности применяется при анализе спроса и потребления. Если , то спрос считают эластичным, если , то нейтральным, если , то спрос неэластичен относительно цены (дохода).

Производственная функция — экономико-математическое выражение зависимости результатов производственной деятельности от обусловивших эти результаты показателей (факторов). Производственные функции, в которых устанавливается зависимость объема производства продукции от наличия ресурсов, называют также функциями выпуска, а функции, в которых рассматривается зависимость затрат на производство от выпуска продукции — функциями производственных затрат. В общей форме производственная функция имеет вид:

где y обозначает величину общественного продукта; — затраты ресурсов; a — коэффициент, зависящий от размерности единиц измерения затрат и выпуска; — параметры, численно равные коэффициентам эластичности выпуска относительно затрат соответствующего ресурса.

Производственная функция Кобба-Дугласа имеет вид:

где y — национальный доход; — объемы соответственно трудовых ресурсов, производственных фондов, природных ресурсов. Для производственной функции y = f( ) отношение y/ выражает среднюю производительность (отдачу, эффективность) i-го ресурса, т. е. величину общественного продукта на единицу i-го ресурса. Частная производная

характеризует предельную производительность (отдачу, эффективность) i-го ресурса и показывает приближенно изменение величины общественного продукта при изменении i-го ресурса на 1 ед. (при постоянстве других ресурсов).

Производная функции, ее нахождение.

1. Функция издержек производства y(x) от объема продукции x имеет вид y(x) = 100x-0.2x3. Определить средние и предельные издержки при объеме продукции 12 ед.

2. Себестоимость продукции y(x) связана с объемом продукции x уравнением y(x) = 6ln(1 + 3x). Определить среднюю и предельную себестоимость продукции при объеме продукции 10 ед.

3. Производительность труда бригады рабочих может быть описана уравнением y(t) = -2.5t2+ 15t + 100, где 1≤ t ≤ 8 — рабочее время в часах. Вычислить скорость и темп изменения производительности труда при t = 2 и t = 7.

4. Себестоимость штангенциркулей на Ставропольском инструментальном заводе описывается функцией y(x) = 0.01x2— 0.5x +12 при 5 ≤ x ≤ 50, где x — объем выпускаемой за месяц продукции (тыс. ед.). Определить скорость и темп изменения себестоимости при выпуске 20 тыс. ед. и 40 тыс. ед. продукции.

5. Стоимость произведенной продукции на 1 руб. основных промышленно-производственных фондов (фондоотдача) y(x) зависит от коэффициента сменности оборудования (характеризующего степень равномерности использования оборудования по сменам) x следующим образом: y(x) = +C, где C — const. Найти: 1) скорость изменения фондоотдачи при коэффициенте сменности оборудования x = 1.35; 2) функцию этого изменения, если C = 0, полагая, что некоторое время фондоотдача будет изменяться с постоянной скоростью.

Производительность труда бригады может быть описана уравнением

Применение понятия производной

Пусть функция определяет количество произведенной продукции у за время t . Найти производительность труда в момент .

За период времени от t ₀ до количество произведенной продукции изменится от значения до значения . Тогда средняя производительность труда за период времени ∆ t равна . Очевидно, что производительность труда в момент t ₀ определяется как предельное значение средней производительности за период времени от t ₀ до при , т.е.

— предельная производитель ность труда . (1)

Следовательно , производительность труда есть скорость изменения количества произведенной продукции за единицу времени. Заметим, что вторая производная от количества произведенной продукции по времени является ускорением для данной функции, или скоростью для производительности труда за единицу времени.

Пример 1 . Объем продукции, произведенной бригадой рабочих за восьмичасовую смену, описывается уравнением единиц продукции, где t — рабочее время в часах. Вычислить производительность труда и скорость ее изменения в начале и в конце рабочего дня.

Решение . Производительность труда

;

скорость ее изменения

.

В начале рабочего дня (при t ₀ =0) производительность труда бригады ;

скорость ее изменения .

В конце рабочего дня (при ) производительность труда бригады и скорость ее изменения получают следующие значения: , .

Пример 2 . Объем продукции, произведенной бригадой рабочих, может быть описан уравнением

(ед.), ,

t — рабочее время в часах. Вычислить производительность труда, скорость и темп ее изменения через час после начала работы и за час до ее окончания.

Решение . Производительность труда

;

скорость изменения производительности

;

темп изменения производительности

.

В момент времени имеем

(ед./ч), (ед./ч 2 ), (ед./ч).

В момент времени получим

(ед./ч), (ед./ч 2 ), (ед./ч).

Итак, к концу работы производительность труда существенно снижается; при этом изменение знака и с плюса на минус свидетельствует о том, что увеличение производительности труда в первые часы рабочего дня сменяется ее снижением в последние часы.

Издержки производства и прибыль

Издержки производства C однородной продукции есть функция количества выпускаемой продукции Q , т.е. . Пусть — увеличение количества продукции, а — приращение издержек. Тогда среднее приращение издержек производства на единицу продукции

.

(2)

выражает предельные издержки производства и характеризует приближенно дополнительные затраты на производство единицы дополнительной продукции.

Предельные издержки зависят от количества выпускаемой продукции и определяются переменными производственными затратами на сырье, топливо и т.п.

Аналогично находятся предельная выручка (доход)

(3)

. (4)

Кроме издержек производства товара, существуют издержки его хранения.

Пусть товар завозится на склад партиями по х штук в одной партии, а расходуется с постоянной скоростью. Тогда наполняемость склада зависит от времени t и задается функцией, график которой представлен на рис. 1.

На графике V — количество товара на складе, x /2 — средняя наполняемость склада, t ₀ — время использования партии товара.

Издержки производства товара и издержки его хранения представляют собой совокупные издержки.

Заметим, что в экономической литературе предельные величины называют также маржинальными.

При их записи к обычному обозначению величин добавляется буква М; при записи средних величин добавляется буква А (от англ. Average — средняя). Например, MR — предельный доход, AR — средний доход.

Пример 3. Издержки производства С, зависящие от объема продукции Q , выражаются уравнением (ден. ед.). Определить средние и предельные издержки, если объем производства составляет 10 ед. продукции.

Решение. Предельные издержки определяются выражением , откуда .

,

откуда .

Сравнение значений средних и предельных издержек производства при выпуске 10 ед. продукции означает, что увеличение объема на 1 ед. продукции обойдется фирме приближенно в 11 ден. ед. при средних затратах на производство 1 ед. продукции 18 ден. ед.

Потребление и сбережение

Доход y , остающийся у населения после уплаты налогов, состоит из двух слагаемых: . Первое слагаемое представляет собой часть доходов, которую население тратит. Эта часть составляет функцию потребления . Второе слагаемое составляют сбережения населения. Функция называется функцией сбережения.

Если национальный доход Y получает приращение , то функции потребления и сбережения также получают приращения, соответственно, и : .

Разделив последнее равенство на ∆ y ≠ 0 , перейдем к пределу при . Получим

, т.е. . (5)

называется предельной склонностью к потреблению, производная

— предельная склонность к сбережению.

Заметим, что полученные предельные величины позволяют определить изменения потребления и сбережения при увеличении (уменьшении) национального дохода.

Пример 4. Зависимость потребления от национального дохода задается выражением . Найти предельные склонности к потреблению и сбережению при национальном доходе 30 ед.

Решение . Предельная склонность к потреблению

,

.

Предельную склонность к сбережению найдем, пользуясь равенством

.

При данном уровне национального дохода население больше склонно проедать его. Если национальный доход увеличить на 1 ед. от уровня 30, то потребление вырастет на 0,8 и только 0,2 пойдут на инвестиции.

Производственная функция является экономико-математическим уравнением, связывающим переменные величины затрат (ресурсов) с величинами продукции (выпуска). Пусть количество продукции Q зависит только от приложенного труда L (численности персонала). Производственная функция примет вид .

Для оценки эффективности производства используется средняя производительность труда P_L , которая определяется отношением .

Руководителей больше интересуют изменения объема продукции Q при увеличении (уменьшении) численности персонала. Понятие предельной производительности труда как производной от продукции Q по величине приложенного труда L позволяет получить ответ, т.е. . (1.14)

Предельная производительность приближенно равна изменению объема выпускаемой продукции при изменении численности персонала на единицу.

Пример 5. Производственная функция задана в виде

. Определить влияние численности персонала на объем выпускаемой продукции.

Решение . Предельная производительность труда

.

Подставим в полученную формулу значения L : ; ; ; ; (значения L заданы произвольно).

; ; ; ; .

; ; ; ; .

Из полученных результатов видно, что предельная производительность труда уменьшается с ростом численности персонала. Значит, при дальнейшем увеличении персонала производство продукции будет падать, так как исполнители одного и того же дела начинают мешать друг другу.