Производная функции это уравнение рисунок функция число

Определение, физический и геометрический смысл производной

п.1. Приращение аргумента и приращение функции

	\begin y=2x-1\\ x_0=1,\ x=1,1 \end Найдем приращение аргумента и функции. \begin \triangle x= x-x_0=1,1-1=0,1\gt 0\\ \\ f(x)=f(1,1)=2\cdot 1,1-1=1,2\\ f(x_0 )=f(1)=2\cdot 1-1=1\\ \triangle y=f(x)-f(x_0 )=1,2-1=0,2\gt 0 \end
	\begin y=-x+2\\ x_0=1,\ x=1,1 \end Найдем приращение аргумента и функции. \begin \triangle x= x-x_0=1,1-1=0,1\gt 0\\ \\ f(x)=f(1,1)=-1,1+2=0,9\\ f(x_0 )=f(1)=-1+2=1\\ \triangle y=f(x)-f(x_0)=0,9-1=-0,1\lt 0 \end

п.2. Определение производной

Например:
Найдем производную функции \(f(x)=x^2-4\) в точке \(x_0=3\)
Значение функции в точке: \(f(x_0 )=3^2-4=5\)
Пусть \(\triangle x\) — некоторое приращение аргумента. Тогда: \begin f(x)=f(x_0+\triangle x)=(x_0+\triangle x)^2-4=(3+\triangle x)^2-4=9+6\triangle x+\triangle x^2-4=\\ =5+6\triangle x+\triangle x^2 \end Приращение функции: $$ \triangle y=f(x)-f(x_0)=5+6\triangle x+\triangle x^2-5=6\triangle x+\triangle x^2=\triangle x(6+\triangle x) $$ Производная: $$ f'(x_0)=\lim_<\triangle x\rightarrow 0>\frac<\triangle x><\triangle y>=\lim_<\triangle x\rightarrow 0>\frac<\triangle x(6+\triangle x)><\triangle x>=\lim_<\triangle x\rightarrow 0>(6+\triangle x)=6+0=6 $$ Ответ: 6

п.3. Физический смысл производной

Рассмотрим прямолинейное движение.
Пусть расстояние по прямой между городами \(\triangle x=\) 300 км поезд преодолевает за \(\triangle t=\)4 часа. Мы легко можем найти его среднюю скорость: $$ v_=\frac<\triangle x><\triangle t>,\ \ v_=\frac<300><4>=75\ (\text<км/ч>) $$ Но поезд не едет все время с одной и той же скоростью: где-то ускоряется, где-то замедляется, где-то и вовсе останавливается.
Если мы захотим определить скорость как можно точнее, нам понадобится уменьшать интервалы времени и измерять соответствующий путь. Уменьшив время до «мгновений», мы получим «мгновенную скорость» для каждой точки траектории в каждый момент времени.

Сравнивая определения мгновенной скорости и производной функции, мы можем сформулировать физический смысл производной:

Или, ближе к физике/химии/биологии:

п.4. Геометрический смысл производной

Пусть на плоскости задана кривая \(y=f(x)\).
Выберем на кривой две точки \(A(x_0,y_0)\) и \(B(x,y)\). Прямая AB будет секущей для кривой \(y=f(x)\). Угол наклона прямой AB определяется угловым коэффициентом: $$ k_=tg\angle A=\frac=\frac<\triangle y> <\triangle x>$$ Начнем движение точки B вдоль кривой по направлению к точке A. Приращение аргумента при этом будет уменьшаться: \(\triangle x=AC\rightarrow 0\). В тот момент, когда B совпадет с A, секущая AB превратится в касательную AD. Угловой коэффициент касательной: $$ k_=\lim_<\triangle x\rightarrow 0>\frac<\triangle y><\triangle x>=y'(x_0) $$
Мы можем сформулировать геометрический смысл производной:

п.5. Алгоритм поиска значения производной в заданной точке

На входе: уравнение функции \(y=f(x)\), точка \(x_0\)
Шаг 1. Найти значение функции в заданной точке \(y_0=f(x_0)\).
Шаг 2. Задать приращение аргумента \(\triangle x=x-x_0\), найти приращение функции \(\triangle y=f(x)-f(x_0)=f(x_0+\triangle x)-f(x_0)\).
Шаг 3. Найти предел \(\lim_<\triangle x\rightarrow 0>\frac<\triangle y><\triangle x>=f'(x_0)\)
На выходе: значение производной в точке \(x_0\)

Например:
Найдем значение производной в точке \(x_0=1\) для функции \(y=x^2-3\).
Значение функции в заданной точке: \(f(x_0)=1^2-3=-2\)
Пусть \(∆x\) — некоторое приращение аргумента. Тогда приращение функции: \begin \triangle y=f(x_0+\triangle x)-f(x_0)=((1+\triangle x)^2-3)-(-2)=\\ =1+2\triangle x+(\triangle x)^2-1=2\triangle x+(\triangle x)^2=\triangle x(2+\triangle x) \end Ищем предел: \begin \lim_<\triangle x\rightarrow 0>\frac<\triangle y><\triangle x>=\lim_<\triangle x\rightarrow 0>\frac<\triangle x(2+\triangle x)><\triangle x>=\lim_<\triangle x\rightarrow 0>(2+\triangle x)=2+0=2 \end Искомая производная в заданной точке: \(f'(1)=2\)
Ответ: 2

п.6. Алгоритм поиска уравнения производной

На входе: уравнение функции \(y=f(x)\)
Шаг 1. Задать приращение аргумента \(\triangle x\), найти выражение для приращения функции \(\triangle y=f(x+\triangle x)-f(x)\).
Шаг 2. Найти предел выражения \(\lim_<\triangle x\rightarrow 0>\frac<\triangle y><\triangle x>=f'(x)\)
На выходе: уравнение производной \(y\ ‘=f'(x)\) в любой точке \(x\).

Например:
Найдем общее уравнение производной для функции \(y=x^2-3\).
Пусть \(∆x\) — некоторое приращение аргумента. Тогда приращение функции: \begin \triangle y=f(x+\triangle x)-f(x)=((x+\triangle x)^2-3)-(x^2-3)=\\ =(x+\triangle x)^2-x^2=(x+\triangle x-x)(x+\triangle x+x)=\triangle x(2x+\triangle x) \end Ищем предел: \begin \lim_<\triangle x\rightarrow 0>\frac<\triangle y><\triangle x>=\lim_<\triangle x\rightarrow 0>\frac<\triangle x(2x+\triangle x)><\triangle x>=\lim_<\triangle x\rightarrow 0>(2x+\triangle x)=2x+0=2x \end Ответ: уравнение производной \(y\ ‘=2x\)

п.7. Примеры

Пример 1. Пользуясь алгоритмом поиска значения производной в заданной точке, найдите:
a) \( f'(1),\ \text<если>\ f(x)=2x \)
По условию \(x_0=1\)
Значение функции в заданной точке: \(f(x_0 )=2\cdot 1=2\)
Пусть \(\triangle x\) — некоторое приращение аргумента. Тогда приращение функции: \begin \triangle y=f(x_0+\triangle x)-f(x_0)=2(1+\triangle x)-2=2+2\triangle x-2=2\triangle x \end Ищем предел: \begin \lim_<\triangle x\rightarrow 0>\frac<\triangle y><\triangle x>=\lim_<\triangle x\rightarrow 0>\frac<2\triangle x><\triangle x>=2 \end Искомая производная в заданной точке: \(f'(1)=2\)
б) \( f'(3),\ \text<если>\ f(x)=3x^2 \)
По условию \(x_0=3\)
Значение функции в заданной точке: \(f(x_0 )=3\cdot 3^2=27\)
Пусть \(\triangle x\) — некоторое приращение аргумента. Тогда приращение функции: \begin \triangle y=f(x_0+\triangle x)-f(x_0)=3(3+\triangle x)^2-27=3(9+6\triangle x+(\triangle x)^2)-27=\\ =27+18\triangle x+3(\triangle x)^2-27=3\triangle x(6+\triangle x) \end Ищем предел: \begin \lim_<\triangle x\rightarrow 0>\frac<\triangle y><\triangle x>=\lim_<\triangle x\rightarrow 0>\frac<3\triangle x(6+\triangle x)><\triangle x>=3\lim_<\triangle x\rightarrow 0>(6+\triangle x)=3(6+0)=18 \end Искомая производная в заданной точке: \(f'(3)=18\)

в) \( f'(-1),\ \text<если>\ f(x)=4x-1 \)
По условию \(x_0=-1\)
Значение функции в заданной точке: \(f(x_0)=4\cdot (-1)-1=-5\)
Пусть \(\triangle x\) — некоторое приращение аргумента. Тогда приращение функции: \begin \triangle y=f(x_0+\triangle x)-f(x_0)=(4(-1+\triangle x)-1)-(-5)=-5+4\triangle x+5=4\triangle x \end Ищем предел: \begin \lim_<\triangle x\rightarrow 0>\frac<\triangle y><\triangle x>=\lim_<\triangle x\rightarrow 0>\frac<4\triangle x><\triangle x>=4 \end Искомая производная в заданной точке: \(f'(-1)=4\)

г) \( f'(2),\ \text<если>\ f(x)=x^3 \)
По условию \(x_0=2\)
Значение функции в заданной точке: \(f(x_0)=2^3=8\)
Пусть \(\triangle x\) — некоторое приращение аргумента. Тогда приращение функции: \begin \triangle y=f(x_0+\triangle x)-f(x_0)=(2+\triangle x)^3-8=\\ =2^3+3\cdot 2^2\cdot \triangle x+3\cdot 2\cdot (\triangle x)^2+(\triangle x)^3-8=\\ =12\triangle x+6(\triangle x)^2+(\triangle x)^3=\triangle x\cdot (12+6\triangle x+(\triangle x)^2 ) \end Ищем предел: \begin \lim_<\triangle x\rightarrow 0>\frac<\triangle y><\triangle x>=\lim_<\triangle x\rightarrow 0>\frac<\triangle x\cdot(12+6\triangle x+(\triangle x)^2)><\triangle x>=\lim_<\triangle x\rightarrow 0>(12+6\triangle x+(\triangle x)^2)=12+0+0=12 \end Искомая производная в заданной точке: \(f'(2)=12\)

Ответ: а) 2; б) 18; в) 4; г) 12

Пример 2. Пользуясь алгоритмом поиска уравнения производной, найдите общее уравнение производной для функции \(y=f(x)\):
a) \( f(x)=C\), где C – постоянная величина
Пусть \(\triangle x\) — некоторое приращение аргумента. Тогда приращение функции: \begin \triangle y=f(x+\triangle x)-f(x)=C-C=0 \end Отношение \(\frac<\triangle y><\triangle x>=\frac<0><\triangle x>=0\)
Предел \(\lim_<\triangle x\rightarrow 0>\frac<\triangle y><\triangle x>=\lim_<\triangle x\rightarrow 0>0=0\)
Производная \(y\ ‘=C’=0\)

б) \( f(x)=x\)
Пусть \(\triangle x\) — некоторое приращение аргумента. Тогда приращение функции: \begin \triangle y=f(x+\triangle x)-f(x)=x+\triangle x-x=\triangle x \end Ищем предел: \(\lim_<\triangle x\rightarrow 0>\frac<\triangle y><\triangle x>=\lim_<\triangle x\rightarrow 0>\frac<\triangle x><\triangle x>=\lim_<\triangle x\rightarrow 0>1=1\)
Производная \(x\ ‘=1\)

в) \( f(x)=x^2\)
Пусть \(\triangle x\) — некоторое приращение аргумента. Тогда приращение функции: \begin \triangle y=f(x+\triangle x)-f(x)=(x+\triangle x)^2-x^2=(x+\triangle x-x)(x+\triangle x+x)=\triangle x(2x+\triangle x) \end Ищем предел: \begin \lim_<\triangle x\rightarrow 0>\frac<\triangle y><\triangle x>=\lim_<\triangle x\rightarrow 0>\frac<\triangle x(2x+\triangle x)><\triangle x>=\lim_<\triangle x\rightarrow 0>(2x+\triangle x)=2x+0=2x \end Производная \((x^2)\ ‘=2x\)

г) \( f(x)=x^3\)
Пусть \(\triangle x\) — некоторое приращение аргумента. Тогда приращение функции: \begin \triangle y=f(x+\triangle x)-f(x)=(x+\triangle x)^3-x^3=\\ =(x+\triangle x-x)((x+\triangle x)^2+x(x+\triangle x)+x^2)=\triangle x((x+\triangle x)^2+x(x+\triangle x)+x^2) \end Ищем предел: \begin \lim_<\triangle x\rightarrow 0>\frac<\triangle y><\triangle x>=\lim_<\triangle x\rightarrow 0>\frac<\triangle x((x+\triangle x)^2+x(x+\triangle x)+x^2)><\triangle x>=\\ =\lim_<\triangle x\rightarrow 0>((x+\triangle x)^2+x(x+\triangle x)+x^2)=(x+0)^2+x(x+0)+x^2=3x^2 \end Производная \((x^3)\ ‘=3x^2\)

e) \( f(x)=kx+b\)
Пусть \(\triangle x\) — некоторое приращение аргумента. Тогда приращение функции: \begin \triangle y=f(x+\triangle x)-f(x)=k(x+\triangle x)+b-kx-b=k\triangle x \end Ищем предел: \begin \lim_<\triangle x\rightarrow 0>\frac<\triangle y><\triangle x>=\lim_<\triangle x\rightarrow 0>\frac<\triangle x>=\lim_<\triangle x\rightarrow 0>k=k \end Производная \((kx+b)\ ‘=k\)

Производная функции. Геометрический смысл производной

Производная функции — одна из сложных тем в школьной программе. Не каждый выпускник ответит на вопрос, что такое производная.

В этой статье просто и понятно рассказано о том, что такое производная и для чего она нужна. Мы не будем сейчас стремиться к математической строгости изложения. Самое главное — понять смысл.

Производная — это скорость изменения функции.

На рисунке — графики трех функций. Как вы думаете, какая из них быстрее растет?

Ответ очевиден — третья. У нее самая большая скорость изменения, то есть самая большая производная.

Вот другой пример.

Костя, Гриша и Матвей одновременно устроились на работу. Посмотрим, как менялся их доход в течение года:

На графике сразу все видно, не правда ли? Доход Кости за полгода вырос больше чем в два раза. И у Гриши доход тоже вырос, но совсем чуть-чуть. А доход Матвея уменьшился до нуля. Стартовые условия одинаковые, а скорость изменения функции, то есть производная, — разная. Что касается Матвея — у его дохода производная вообще отрицательна.

Интуитивно мы без труда оцениваем скорость изменения функции. Но как же это делаем?

На самом деле мы смотрим, насколько круто идет вверх (или вниз) график функции. Другими словами — насколько быстро меняется у с изменением х. Очевидно, что одна и та же функция в разных точках может иметь разное значение производной — то есть может меняться быстрее или медленнее.

Производная функции обозначается .

Покажем, как найти с помощью графика.

Нарисован график некоторой функции . Возьмем на нем точку A с абсциссой . Проведём в этой точке касательную к графику функции. Мы хотим оценить, насколько круто вверх идет график функции. Удобная величина для этого — тангенс угла наклона касательной.

Производная функции в точке равна тангенсу угла наклона касательной, проведённой к графику функции в этой точке.

Обратите внимание — в качестве угла наклона касательной мы берем угол между касательной и положительным направлением оси .

Иногда учащиеся спрашивают, что такое касательная к графику функции. Это прямая, имеющая на данном участке единственную общую точку с графиком, причем так, как показано на нашем рисунке. Похоже на касательную к окружности.

Найдем . Мы помним, что тангенс острого угла в прямоугольном треугольнике равен отношению противолежащего катета к прилежащему. Из треугольника

Мы нашли производную с помощью графика, даже не зная формулу функции. Такие задачи часто встречаются в ЕГЭ по математике.

Есть и другое важное соотношение. Вспомним, что прямая задается уравнением

Величина в этом уравнении называется угловым коэффициентом прямой. Она равна тангенсу угла наклона прямой к оси .

Мы получаем, что

Запомним эту формулу. Она выражает геометрический смысл производной.

Производная функции в точке равна угловому коэффициенту касательной, проведенной к графику функции в этой точке.

Другими словами, производная равна тангенсу угла наклона касательной.

Мы уже сказали, что у одной и той же функции в разных точках может быть разная производная. Посмотрим, как же связана производная с поведением функции.

Нарисуем график некоторой функции . Пусть на одних участках эта функция возрастает, на других — убывает, причем с разной скоростью. И пусть у этой функции будут точки максимума и минимума.

В точке функция возрастает. Касательная к графику, проведенная в точке , образует острый угол с положительным направлением оси . Значит, в точке производная положительна.

В точке наша функция убывает. Касательная в этой точке образует тупой угол с положительным направлением оси . Поскольку тангенс тупого угла отрицателен, в точке производная отрицательна.

Вот что получается:

Если функция возрастает, ее производная положительна.

Если убывает, ее производная отрицательна.

А что же будет в точках максимума и минимума? Мы видим, что в точках (точка максимума) и (точка минимума) касательная горизонтальна. Следовательно, тангенс угла наклона касательной в этих точках равен нулю, и производная тоже равна нулю.

Точка — точка максимума. В этой точке возрастание функции сменяется убыванием. Следовательно, знак производной меняется в точке с «плюса» на «минус».

В точке — точке минимума — производная тоже равна нулю, но ее знак меняется с «минуса» на «плюс».

Вывод: с помощью производной можно узнать о поведении функции всё, что нас интересует.

Если производная положительна, то функция возрастает.

Если производная отрицательная, то функция убывает.

В точке максимума производная равна нулю и меняет знак с «плюса» на «минус».

В точке минимума производная тоже равна нулю и меняет знак с «минуса» на «плюс».

Запишем эти выводы в виде таблицы:

Ты нашел то, что искал? Поделись с друзьями!

Сделаем два небольших уточнения. Одно из них понадобится вам при решении задач ЕГЭ. Другое — на первом курсе, при более серьезном изучении функций и производных.

Возможен случай, когда производная функции в какой-либо точке равна нулю, но ни максимума, ни минимума у функции в этой точке нет. Это так называемая точка перегиба:

В точке касательная к графику горизонтальна, и производная равна нулю. Однако до точки функция возрастала — и после точки продолжает возрастать. Знак производной не меняется — она как была положительной, так и осталась.

Бывает и так, что в точке максимума или минимума производная не существует. На графике это соответствует резкому излому, когда касательную в данной точке провести невозможно.

А как найти производную, если функция задана не графиком, а формулой? В этом случае применяется таблица производных.

Производная

Теория к заданию 7 из ЕГЭ по математике (профильной)

Производной функции $y = f(x)$ в данной точке $х_0$ называют предел отношения приращения функции к соответствующему приращению его аргумента при условии, что последнее стремится к нулю:

Дифференцированием называют операцию нахождения производной.

Таблица производных некоторых элементарных функций

Основные правила дифференцирования

1. Производная суммы (разности) равна сумме (разности) производных

Найти производную функции $f(x)=3x^5-cosx+<1>/$

Производная суммы (разности) равна сумме (разности) производных.

2. Производная произведения

Найти производную $f(x)=4x·cosx$

3. Производная частного

4. Производная сложной функции равна произведению производной внешней функции на производную внутренней функции

Физический смысл производной

Если материальная точка движется прямолинейно и ее координата изменяется в зависимости от времени по закону $x(t)$, то мгновенная скорость данной точки равна производной функции.

Точка движется по координатной прямой согласно закону $x(t)= 1,5t^2-3t + 7$, где $x(t)$ — координата в момент времени $t$. В какой момент времени скорость точки будет равна $12$?

1. Скорость – это производная от $x(t)$, поэтому найдем производную заданной функции

$v(t) = x'(t) = 1,5·2t -3 = 3t -3$

2. Чтобы найти, в какой момент времени $t$ скорость была равна $12$, составим и решим уравнение:

Геометрический смысл производной

Напомним, что уравнение прямой, не параллельной осям координат, можно записать в виде $y = kx + b$, где $k$ – угловой коэффициент прямой. Коэффициент $k$ равен тангенсу угла наклона между прямой и положительным направлением оси $Ох$.

Производная функции $f(x)$ в точке $х_0$ равна угловому коэффициенту $k$ касательной к графику в данной точке:

Следовательно, можем составить общее равенство:

На рисунке касательная к функции $f(x)$ возрастает, следовательно, коэффициент $k > 0$. Так как $k > 0$, то $f'(x_0) = tgα > 0$. Угол $α$ между касательной и положительным направлением $Ох$ острый.

На рисунке касательная к функции $f(x)$ убывает, следовательно, коэффициент $k 0$

Для того, чтобы найти $f'(x_0)$, найдем тангенс угла наклона между касательной и положительным направлением оси $Ох$. Для этого достроим касательную до треугольника $АВС$.

Найдем тангенс угла $ВАС$. (Тангенсом острого угла в прямоугольном треугольнике называется отношение противолежащего катета к прилежащему катету.)

$f'(x_0) = tg ВАС = 0,25$

Производная так же применяется для нахождения промежутков возрастания и убывания функции:

Если $f'(x) > 0$ на промежутке, то функция $f(x)$ возрастает на этом промежутке.