Производная функции заданной параметрически уравнениями

Производная функции заданной параметрически онлайн

Пусть функция задана в виде параметрических уравнений (т.н. параметрическое задание функции):

где x ( t ) , y ( t ) — дифференцируемые функции и x ‘ ( t ) ≠ 0 . Тогда производная

определяется по формуле:

где — производная от параметрического уравнения y ( t ) по параметру t и — производная от параметрического уравнения x ( t ) , по параметру t .

Наш онлайн сервис найдет производную от параметрической функции с подробным решением. Пример подробного решения, выдаваемого нашим сервисом, можно посмотреть здесь .

Производная параметрически заданной фукнции: формула, примеры

Разбираем формулу параметрически заданной функции

Для нахождения производной параметрически заданной функции cуществует очень простая формула. При этом нет необходимости находить непосредственную зависимость y от x.

Наша задача — научиться находить производные функций, заданных параметрическими уравнениями

Для этого требуется находить производные «обыкновенных» функций и упрощать выражения.

Определённую параметрическими уравнениями функцию y = f(x) можно рассматривать как сложную функцию:

(y зависит от t),

(t зависит от x).

В этой паре формул нетрудно заметить, что t — промежуточный аргумент или параметр (отсюда и название — параметрически заданная функция).

Функция — обратная для функции .

Самое время узнать обещанную простую формулу для нахождения производной параметрически заданной функции.

Вот эта формула:

,

или, что то же самое

.

Здесь производная игрека по иксу — требуемая в условии задачи производная параметрически заданной функции, в числителе — производная второй из функций, которыми параметрически задана функция, в знаменателе — производная первой из функций. Формула доказана в математическом анализе на основании правил дифференцирования сложной функции и обратной функции.

Решаем задачи вместе

Пример 1. Найти производную функции, заданной параметрическими уравнениями:

Решение. Находим производную второй из функций, которыми параметрически задана данная функция:

.

Находим производную первой из функций:

.

Находим отношение этих производных:

.

Найденное отношение и есть производная данной параметрически заданной функции.

Пример 2. Найти производную функции, заданной параметрическими уравнениями:

Решение. Находим производную второй из функций, которыми параметрически задана данная функция:

.

Находим производную первой из функций:

.

Записываем отношение этих производных:

.

Подозреваем, что выражение получилось довольно сложное. Нельзя ли его упростить? Оказывается, можно, если вспомнить из школьного курса тригонометрические функции половинного аргумента. Результатом их применения и будет требуемая в задании производная параметрически заданной функции:

.

Пример 3. Найти производную функции, заданной параметрическими уравнениями:

Решение. Находим производную второй из функций, которыми параметрически задана данная функция:

.

Находим производную первой из функций:

.

Записываем отношение этих производных, производим одношаговое упрощение выражения и получаем производную данной параметрически заданной функции:

.

Пример 4. Найти производную функции, заданной параметрическими уравнениями:

Решение. Находим производную второй из функций, которыми параметрически задана данная функция:

.

Находим производную первой из функций:

.

Записываем отношение этих производных, упрощаем и получаем производную данной параметрически заданной функции:

.

Пример 5. Найти производную функции, заданной параметрическими уравнениями:

Решение. Находим производную второй из функций, которыми параметрически задана данная функция, причёсываем» степени, но не преобразуем их в корни, так как нам ещё предстоит находить отношения найденных производных:

.

Находим производную первой из функций, так же оставляем всё со степенями:

.

Находим отношение этих производных, для этого пользуемся свойством степеней: чтобы разделить выражение с некоторым аргументом в одной степени на выражение с тем же аргументом в другой степени, из первого показателя степени нужно вычесть второй показатель степени. Таким образом, получаем производную данной параметрически заданной функции:

Решить задачи самостоятельно, а затем посмотреть решения

Пример 6. Найти производную функции, заданной параметрическими уравнениями:

Пример 7. Найти производную функции, заданной параметрическими уравнениями:

Пример 8. Найти производную функции, заданной параметрическими уравнениями:

Производная параметрически заданной функции

Функцию можно задать несколькими способами. Это зависит от правила, которое используется при ее задании. Явный вид задания функции имеет вид y = f ( x ) . Бывают случаи, когда ее описание невозможно или неудобно. Если есть множество пар ( х ; у ) ,которые необходимо вычислять для параметра t по промежутку ( а ; b ) . Для решения системы x = 3 · cos t y = 3 · sin t с 0 ≤ t 2 π необходимо задавать окружность с центром координат с радиусом равным 3 .

Определение параметрической функции

Отсюда имеем, что x = φ ( t ) , y = ψ ( t ) определены на при значении t ∈ ( a ; b ) и имеют обратную функцию t = Θ ( x ) для x = φ ( t ) , тогда идет речь о задании параметрического уравнения функции вида y = ψ ( Θ ( x ) ) .

Бывают случаи, когда для исследования функции требуется заниматься поиском производной по х . Рассмотрим формулу производной параметрически заданной функции вида y x ‘ = ψ ‘ ( t ) φ ‘ ( t ) , поговорим о производной 2 и n -ого порядка.

Вывод формулы производной параметрически заданной функции

Имеем, что x = φ ( t ) , y = ψ ( t ) , определенные и дифферецируемые при значении t ∈ a ; b , где x t ‘ = φ ‘ ( t ) ≠ 0 и x = φ ( t ) , тогда существует обратная функция вида t = Θ ( x ) .

Для начала следует переходить от параметрического задания к явному. Для этого нужно получить сложную функцию вида y = ψ ( t ) = ψ ( Θ ( x ) ) , где имеется аргумент x .

Исходя из правила нахождения производной сложной функции, получаем, что y ‘ x = ψ Θ ( x ) = ψ ‘ Θ x · Θ ‘ x .

Отсюда видно, что t = Θ ( x ) и x = φ ( t ) являются обратными функциями из формулы обратной функции Θ ‘ ( x ) = 1 φ ‘ ( t ) , тогда y ‘ x = ψ ‘ Θ ( x ) · Θ ‘ ( x ) = ψ ‘ ( t ) φ ‘ ( t ) .

Перейдем к рассмотрению решения нескольких примеров с использованием таблицы производных по правилу дифференцирования.

Найти производную для функции x = t 2 + 1 y = t .

Решение

По условию имеем, что φ ( t ) = t 2 + 1 , ψ ( t ) = t , отсюда получаем, что φ ‘ ( t ) = t 2 + 1 ‘ , ψ ‘ ( t ) = t ‘ = 1 . Необходимо использовать выведенную формулу и записать ответ в виде:

y ‘ x = ψ ‘ ( t ) φ ‘ ( t ) = 1 2 t

Ответ: y x ‘ = 1 2 t x = t 2 + 1 .

При работе с производной функции ч параметром t указывается выражение аргумента x через этот же параметр t , чтобы не потерять связь между значениями производной и параметрически заданной функции с аргументом, которому и соответствуют эти значения.

Чтобы определить производную второго порядка параметрически заданной функции, нужно использовать формулу производной первого порядка на полученной функции, тогда получаем, что

y » x = ψ ‘ ( t ) φ ‘ ( t ) ‘ φ ‘ ( t ) = ψ » ( t ) · φ ‘ ( t ) — ψ ‘ ( t ) · φ » ( t ) φ ‘ ( t ) 2 φ ‘ ( t ) = ψ » ( t ) · φ ‘ ( t ) — ψ ‘ ( t ) · φ » ( t ) φ ‘ ( t ) 3 .

Найти производные 2 и 2 порядка заданной функции x = cos ( 2 t ) y = t 2 .

Решение

По условию получаем, что φ ( t ) = cos ( 2 t ) , ψ ( t ) = t 2 .

Тогда после преобразования

φ ‘ ( t ) = cos ( 2 t ) ‘ = — sin ( 2 t ) · 2 t ‘ = — 2 sin ( 2 t ) ψ ( t ) = t 2 ‘ = 2 t

Отсюда следует, что y x ‘ = ψ ‘ ( t ) φ ‘ ( t ) = 2 t — 2 sin 2 t = — t sin ( 2 t ) .

Получим, что вид производной 1 порядка x = cos ( 2 t ) y x ‘ = — t sin ( 2 t ) .

Для решения нужно применить формулу производной второго порядка. Получаем выражение вида

y x » = — t sin ( 2 t ) φ ‘ t = — t ‘ · sin ( 2 t ) — t · ( sin ( 2 t ) ) ‘ sin 2 ( 2 t ) — 2 sin ( 2 t ) = = 1 · sin ( 2 t ) — t · cos ( 2 t ) · ( 2 t ) ‘ 2 sin 3 ( 2 t ) = sin ( 2 t ) — 2 t cos ( 2 t ) 2 sin 3 ( 2 t )

Тогда задание производной 2 порядка с помощью параметрической функции

x = cos ( 2 t ) y x » = sin ( 2 t ) — 2 t cos ( 2 t ) 2 sin 3 ( 2 t )

Аналогичное решение возможно решить другим методом. Тогда

φ ‘ t = ( cos ( 2 t ) ) ‘ = — sin ( 2 t ) · 2 t ‘ = — 2 sin ( 2 t ) ⇒ φ » t = — 2 sin ( 2 t ) ‘ = — 2 · sin ( 2 t ) ‘ = — 2 cos ( 2 t ) · ( 2 t ) ‘ = — 4 cos ( 2 t ) ψ ‘ ( t ) = ( t 2 ) ‘ = 2 t ⇒ ψ » ( t ) = ( 2 t ) ‘ = 2

Отсюда получаем, что

y » x = ψ » ( t ) · φ ‘ ( t ) — ψ ‘ ( t ) · φ » ( t ) φ ‘ ( t ) 3 = 2 · — 2 sin ( 2 t ) — 2 t · ( — 4 cos ( 2 t ) ) — 2 sin 2 t 3 = = sin ( 2 t ) — 2 t · cos ( 2 t ) 2 s i n 3 ( 2 t )

Ответ: y » x = sin ( 2 t ) — 2 t · cos ( 2 t ) 2 s i n 3 ( 2 t )

Аналогичным образом производится нахождение производных высших порядков с параметрически заданными функциями.