Производная от обеих частей уравнения

Производная фукнции, заданной неявно: руководство, примеры

Как найти производную функции, заданной неявно

Будем учиться находить производные функций, заданных неявно. Что значит неявно? Сравним с обычной функцией. Обычная функция задана уравнением вида y=f(x) , где игрек, то есть функция, задан некоторым выражением, в котором присутствует икс. Таким образом, из переменных в левой части — только игрек, в правой — только икс. Если же функция задана неявно, то в левой части различные слагаемые с игреком «смешаны» с различными слагаемыми с иксом (или переменной, обозначенной другой буквой). Примеры функций, заданных неявно:

,

,

,

,

.

При этом и икс, и игрек могут быть в различных степенях, а в одном слагаемом могут быть и игрек, и икс.

Если функция задана неявно, то как получить игрек, то есть явную функцию? Просто: выразить игрек через другую переменную, то есть получить в левой части только игрек. А если нужно найти производную функции, заданной неявно, то есть получить в левой части только игрек со штрихом? Нужно сначала найти производные обеих частей уравнения, то есть продифференцировать их. А затем выразить производную игрека через производные других переменных.

Теперь приведенный выше «скелет» решения обрастет «мясом», то есть необходимыми подробностями. Те слагаемые, в которых присутствует только икс, обратятся в обычную производную функции от икса. А слагаемые, в которых присутствуют и икс, и игрек, нужно дифференцировать, пользуясь правилом дифференцирования сложной функции, то есть учитывать, что игрек — это функция от икса. Если совсем просто, то в полученной производной слагаемого с иксом должно получиться: производная функции от игрека, умноженная на производную от игрека. Например, производная слагаемого запишется как , производная слагаемого запишется как . Далее из всего этого нужно выразить этот «игрек штрих» и будет получена искомая производная функции, заданной неявно. Разберём это на примерах.

Решаем задачи вместе

Пример 1. Найти производную функции, заданной неявно:

.

Решение. Дифференцируем обе части уравнения по иксу, считая, что игрек — функция от икса:

.

Отсюда получаем производную, которая требуется в задании:

.

Решение производной функции, заданной неявно, можно проверить на онлайн калькуляторе.

y = f(x) . Так, например, заданные неявно функции

и

не выражаются через элементарные функции, то есть эти уравнения нельзя разрешить относительно игрека. Поэтому и существует правило дифференцирования функции, заданной неявно, которое мы уже изучили и далее будем последовательно применять в других примерах.

Пример 2. Найти производную функции, заданной неявно:

.

Решение. Дифференцируем обе части уравнения по иксу:

.

Выражаем игрек штрих и — на выходе — производная функции, заданной неявно:

.

Пример 3. Найти производную функции, заданной неявно:

.

Решение. Дифференцируем обе части уравнения по иксу:

.

Выражаем и получаем производную:

.

Решение производной функции, заданной неявно, можно проверить на онлайн калькуляторе.

Пример 4. Найти производную функции, заданной неявно:

.

Решение. Дифференцируем обе части уравнения по иксу:

.

Выражаем и получаем производную:

.

Пример 5. Найти производную функции, заданной неявно:

.

Решение. Переносим слагаемые в правой части уравнение в левую часть и справа оставляем ноль. Дифференцируем обе части уравнения по иксу:

Путь к ответу и в конец сам ответ:

Решить задачи самостоятельно, а затем посмотреть решения

Пример 6. Найти производную функции, заданной неявно:

Пример 7. Найти производную функции, заданной неявно:

Пример 8. Найти производную функции, заданной неявно:

Производные различных порядков от неявных функций

Вы будете перенаправлены на Автор24

Как найти первую и вторую производные параметрической функции

Параметрическое представление функциональной зависимости y от x для функции y = f(x) имеет вид:

Пусть функции x = x(t) и y = y(t) определены и непрерывны на интервале изменения параметра t. Продифференцируем данные функции.

Для нахождения первой производной необходимо разделить второе уравнение на первое:

Для нахождения второй производной:

Найти вторую производную параметрической функции

1. Найдем первую производную по формуле: \[y’_ =\frac >> \] \[y’_=\left(t^ <3>\right)^ <<'>> =6t x’_=\left(\ln t\right)^ <<'>> =\frac<1>\] \[y’_ =\frac<6t><\frac<1>> =6t^ <2>\]
2. Найдем вторую производную \[y»_ =\left(6t^ <2>\right)^ <<'>> =12t\]

Что такое неявно заданная функция, и как ее найти

Если функция вида y=y(x) задана уравнением F(x;y(x)) = 0, то функция является неявно заданной.

Для нахождения дифференциала неявной функции необходимо выполнить следующие действия:

1. Продифференцировать обе части уравнения по х.
2. Поскольку у — дифференцируемая функция, для ее нахождения используется правило вычисления производной сложной функции.
3. В правой части уравнения должно получится значение 0.

Это значит перенести все слева направо и привести к уравнению вида F(x;y(x)) = 0

1. Решить полученное уравнение относительно y`(x)

Пусть неявная функция у от x определяется равенством:

Дифференцируем по x все члены этого равенства:

Последнее равенство снова дифференцируем по х:

Заменим производную dy/dx ее выражением:

Поскольку $a^2y^2 + b^2x^2 = a^2b^2$, вторую производную можно представить в виде

Дифференцируя по х последнее равенство, найдем $\frac y> > $ и т. д.

Готовые работы на аналогичную тему

Найти вторую производную неявно заданной функции

1. Перенесем все части выражения в левую часть, приравняем к нулю и продифференцируем: \[\left(2x^ <3>-xy^ <2>-4\right)^ <<'>> =0\] \[\left(2x^ <3>\right)^ <<'>> -\left(xy^ <2>\right)^ <<'>> -\left(4\right)^ <<'>> =0\] \[6x^ <2>-\left(x’y^ <2>+x\left(y^ <2>\right)^ <<'>> \right)=0\] \[6x^ <2>-y^ <2>-2xyy’=0\]
2. Выразим y` \[y’=\frac <6x^<2>-y^ <2>><2xy>\]
3. Повторно дифференцируем равенство \[\left(6x^ <2>-y^ <2>-2xyy’\right)^ <<'>> =12x-2y-2\left(xy\right)^ <<'>> y’-2xyy’\] \[12x-2y-2\left(xy\right)^ <<'>> y-2xyy’=12x-2y-2x’y’-2xy’-2xyy»\] \[12x-2y-2x’y’-2xy’-2xyy»=12x-2y-2y’-2xy’-2xyy»\]
4. Выполним замену y` \[12x-2y-2\frac <6x^<2>-y^ <2>><2xy>-2x\frac <6x^<2>-y^ <2>><2xy>-2xyy»=0\]
5. Упростим \[\frac <12x^<2>y-2xy^ <2>>-\frac <6x^<2>-y^ <2>>-\frac <6x^<3>-y^ <2>>-2xyy»=0\] \[\frac <12x^<2>y-2xy^ <2>-6x^ <2>+2y^ <2>-6x^ <3>>-2xyy»=0\]

Получи деньги за свои студенческие работы

Курсовые, рефераты или другие работы

Автор этой статьи Дата последнего обновления статьи: 15 12 2021

Производная функции, заданной неявно

Если независимая переменная $x$ и функция $y$ связаны уравнением вида $F(x,y)=0$, которое не разрешено относительно $y$, то функция $y$ называется неявной функцией переменной $x$.

Всякую явно заданную функцию $y=f(x)$ можно записать в неявном виде $y-f(x)=0$. Обратно сделать не всегда возможно.

Несмотря на то, что уравнение $F(x,y)=0$ не разрешимо относительно $y$, оказывается возможным найти производную от $y$ по $x$. В этом случае необходимо продифференцировать обе части заданного уравнения, рассматривая функцию $y$ как функцию от $x$, а затем из полученного уравнения найти производную $y^<\prime>$.

Задание. Найти вторую производную $y^<\prime \prime>$ неявной функции $x^2+xy^2=1$.

Решение. Продифференцируем левую и правую часть заданного равенства, при этом помним, что $y$ является функцией переменной $x$, поэтому производную от нее будем брать как производную от сложной функции. В итоге получаем:

Из полученного равенства выражаем $y^<\prime>$:

Для нахождения второй производной продифференцируем равенство $2 x+y^<2>+2 x y \cdot y^<\prime>=0$ еще раз:

Подставив вместо $y^<\prime>$ найденное выше выражение, получаем:

После упрощения получаем:

Из полученного равенства выражаем вторую производную $$y^<\prime \prime>(x)$$: