Производная от уравнения скорости это

Физический смысл производной в задании 6

Иногда в задаче 6 из ЕГЭ по математике вместо всеми любимых графиков функции или производной дается просто уравнение расстояния от точки до начала координат. Что делать в этом случае? Как по расстоянию найти скорость или ускорение.

На самом деле все просто. Скорость — это производная от расстояния, а ускорение — это производная скорости (или, что то же самое, вторая производная от расстояния). В этом коротком видео вы убедитесь, что такие задачи решаются ничуть не сложнее «классических» заданий 6.

Сегодня мы разберем две задачи на физический смысл производных из ЕГЭ по математике. Эти задания встречаются в части Bи существенно отличаются от тех, что большинство учеников привыкло видеть на пробниках и экзаменах. Все дело в том, что они требуют понимать физический смысл производной функции. В данных задачах речь пойдет о функциях, выражающих расстояния.

Если $S=x\left( t \right)$, то $v$ мы можем посчитать следующим образом:

Точно так же мы можем посчитать и ускорение:

Эти три формулы – все, что вам потребуется для решения таких примеров на физический смысл производной. Просто запомните, что $v$ — это производная от расстояния, а ускорение — это производная от скорости.

Давайте посмотрим, как это работает при решении реальных задач.

Пример № 1

Материальная точка движется по закону:

где $x$ — расстояние от точки отсчета в метрах, $t$ — время в секундах, прошедшее с начала движения. Найдите скорость точки (в м/с) в момент времени $t=2c$.

Это означает, что у нас есть функция, задающая расстояние, а нужно посчитать скорость в момент времени $t=2c$. Другими словами, нам нужно найти $v$, т.е.

Вот и все, что нам нужно было выяснить из условия: во-первых, как выглядит функция, а во-вторых, что от нас требуется найти.

Давайте решать. В первую очередь, посчитаем производную:

Нам требуется найти производную в точке 2. Давайте подставим:

Вот и все, мы нашли окончательный ответ. Итого, скорость нашей материальной точки в момент времени $t=2c$ составит 9 м/с.

Пример № 2

Материальная точка движется по закону:

где $x$ — расстояние от точки отсчета в метрах, $t$ — время в секундах, измеренное с начала движения. В какой момент времени ее скорость была равна 3 м/с?

Взгляните, в прошлый раз от нас требовалось найти $v$ в момент времени 2 с, а в этот раз от нас требуется найти тот самый момент, когда эта скорость будет равна 3 м/с. Можно сказать, что нам известно конечное значение, а по этому конечному значению нам требуется найти исходное.

В первую очередь, вновь ищем производную:

От нас просят найти, в какой момент времени скорость будет равна 3 м/с. Составляем и решаем уравнение, чтобы найти физический смысл производной:

Полученное число означает, что в момент времени 4 с $v$ материальной точки, движущейся по выше описанному закону, как раз и будет равна 3 м/с.

Ключевые моменты

В заключении давайте еще раз пробежимся по самому главному моменту сегодняшней задачи, а именно, по правилу преобразования расстояние в скорость и ускорение. Итак, если нам в задаче прямо описан закон, прямо указывающий расстояние от материальной точки до точки отсчета, то через эту формулу мы можем найти любую мгновенную скорость (это просто производная). И более того, мы можем найти еще и ускорение. Ускорение, в свою очередь, равно производной от скорости, т.е. второй производной от расстояния. Такие задачи встречаются довольно редко, поэтому сегодня мы их не разбирали. Но если вы увидите в условии слово «ускорение», пусть оно вас не пугает, достаточно просто найти еще одну производную.

Надеюсь, этот урок поможет вам подготовиться к ЕГЭ по математике.

Применение производной в физике и технике

п.1. Скорость и ускорение

Рассматривая физический смысл производной (см. §42 данного справочника), мы выяснили, что:

Например:
Рассмотрим прямолинейное равноускоренное движение.
Уравнение этого движения имеет вид: $$ x(t)=x_0+v_0t+\frac <2>$$ где \(x(t)\) — ккордината тела в произвольный момент времени \(t,\ x_0\) — начальная координата, \(v_0\) — начальная скорость, \(a=const\) — ускорение, действующее на тело.
Чтобы найти скорость тела из этого уравнения, нужно найти производную от координаты по времени: $$ v(t)=x'(t)=\left(x_0+v_0t+\frac<2>\right)’=0+v_0\cdot 1+\frac a2\cdot 2t=v_0+at $$ Чтобы найти ускорение, нужно найти производную от скорости: $$ a(t)=v'(t)=x»(t)=(v_0+at)’=0+a\cdot 1=a=const $$

п.2. Физические величины как производные от других величин

Если рассматривать уравнение процесса \(s=f(t)\), его производной будет величина $$ f'(t)=\lim_<\triangle t\rightarrow 0>\frac<\triangle s> <\triangle t>$$ Такие величины часто встречаются в различных разделах физики и техники.

Угол поворота \(\varphi(t)\)

Угловая скорость \(\omega(t)=\omega'(t)\)
Угловое ускорение \(\beta(t)=\omega'(t)=\varphi»(t)\)

Масса горючего ракеты \(m(t)\)

Скорость расходования горючего \(u(t)=m'(t)\)

Температура тела \(T(t)\)

Скорость нагрева \(v_T(t)=T'(t)\)

Магнитный поток \(Ф(t)\)

ЭДС индукции \(\varepsilon(t)=-Ф'(t)\)

Число атомов радиоактивного вещества \(N(t)\)

Скорость радиоактивного распада \(I(t)=-N'(t)\)

Конечно же, в физике далеко не обязательно берут производную только по времени.
Например, для теплоты Q(T) теплоемкость равна C(T)=Q'(T), где T — температура.
А для процесса теплопереноса температура u(x,t) в точке с координатой x в момент времени t определяется уравнением теплопроводности: $$ \frac<\partial u(x,t)><\partial t>-a^2\frac<\partial^2 u(x,t)><\partial x^2>=f(x,t) $$ и производные берутся по времени \(\left(\frac<\partial u><\partial t>\right)\) и по координате \(\left(\frac<\partial u><\partial x>\right)\), причем по координате берется производная второго порядка \(\left(\frac<\partial^2 u><\partial x^2>\right)\).
Поэтому в физике для производных чаще используются обозначения Лейбница, в которых хорошо видна как функция, так и аргумент.
Например, для производных функции от одной переменной: \(\frac<\partial \varphi><\partial t>,\ \frac<\partial p><\partial V>, \frac<\partial Q><\partial T>. \)
Для производных функций от многих переменных: \(\frac<\partial u><\partial t>,\ \frac<\partial u><\partial x>, \frac<\partial u><\partial y>,\ \frac<\partial u><\partial z>. \)

п.3. Примеры

Пример 1. Тело массой 6 кг движется прямолинейно по закону \(x(t)=t^2+t+1\) (м). Найдите: 1) кинетическую энергию тела через 3 с после начала движения; 2) силу, действующую на тело в это время.
1) Кинетическая энергия равна \(E=\frac<2>\)
Скорость тела: \(v(t)=x'(t)=(t^2+t+1)’=2t+1\)
Через 3 с: \(v(3)=2\cdot 3+1=7\) (м/с)
Подставляем: \(E=\frac<6\cdot 7^2><2>=147\) (Дж)

2) Сила по второму закону Ньютона: \(F=ma\)
Ускорение тела: \(a(t)=v'(t)=(2t+1)’=2\) (м/с^2)
Ускорение постоянно.
На тело действует постоянная сила: \(F=6\cdot 2=12\) (Н)

Ответ: 147 Дж; 12 Н

Пример 2. Маховик вращается по закону \(\varphi (t)=4t-0,5t^2\) (рад)
Найдите момент времени, в который маховик остановится.

Угловая скорость: \(\omega(t)=\varphi ‘(t)=(4t-0,5t^2 )’=4-0,5\cdot 2t=4-t\)
В момент остановки угловая скорость равна 0. Решаем уравнение: $$ 4-t=0\Rightarrow t=4\ (c) $$ Ответ: 4 c

Пример 3. Ракету запустили вертикально вверх с начальной скоростью 40 м/с. В какой момент времени и на какой высоте ракета достигнет наивысшей точки (g≈10м/с 2 )?

Выберем начало отсчета на земле \((y_0=0)\), направим ось y вверх.
Начальная скорость направлена вверх, её проекция на ось положительна.
Ускорение свободного падения направлено вниз, его проекция отрицательна.
Уравнение движения: $$ y(t)=y_0+v_<0y>t+\frac<2>=0+40t-\frac<10t^2><2>=40t-5t^2 $$ В верхней точке траектории ракета останавливается, её скорость равна 0.
Найдем скорость: $$ v(t)=y'(t)=40-5\cdot 2t=40-10t $$ Найдем момент остановки в верхней точке: $$ 40-10t_0=0\Rightarrow t_0=\frac<40><10>=4\ (c) $$ Найдем высоту подъема в верхней точке: $$ H_=y(t_0)=40\cdot 4-5\cdot 4^2=80\ (м) $$ Ответ: 4 с, 80 м

Пример 4. Через поперечное сечение проводника проходит заряд \(q(t)=\ln⁡(t+1)\) (Кл). В какой момент времени сила тока в проводнике равна 0,1 А?

Сила тока: $$ I(t)=q'(t)=(\ln(t+1))’=\frac<1>$$ По условию: $$ \frac<1>=0,1\Rightarrow t_0+1=\frac<1><0,1>=10\Rightarrow t_0=9\ (c) $$ Ответ: 9 c

Пример 5. Колесо вращается так, что угол его поворота пропорционален квадрату времени. Первый оборот оно сделало за 8 с. Найдите угловую скорость через 48 с после начала вращения.

По условию угол поворота \(\varphi (t)=At^2\)
Один оборот \(2\pi\) радиан был сделан за 8 с. Получаем уравнение: \(A\cdot 8^2=2\pi\)
Находим коэффициент \(A=\frac<2\pi><8^2>=\frac<\pi><32>\)
Уравнение движения \(\varphi(t)=\frac<\pi><32>t^2\) (рад)
Угловая скорость \(\omega(t)=\varphi ‘(t)=\left(\frac<\pi><32>t^2\right)’=\frac<\pi><32>\cdot 2t=\frac<\pi><16>t\) (рад/с)
Через 48 секунд \(\omega(48)=\frac<\pi><16>\cdot 48=3\pi\) рад/с — полтора оборота в секунду.
Ответ: \(3\pi\) рад/с

Пример 6. Для нагревания 1 кг жидкости от 0°С до t°C необходимо \(Q(t)=1,7t+at^2+bt^3\) Дж теплоты.
Известно, что теплоемкость жидкости при температуре 100°С равна 1,71 Дж/К, а для нагревания 1 кг этой жидкости 0°С до 50°C требуется 85,025 Дж теплоты. Найдите коэффициенты a и b.

Теплоемкость: \(C(t)=Q'(t)=1,7\cdot 1+a\cdot 2t+b\cdot 3t^2=1,7+2at+3bt^2\)
По условию: \begin C(100)=1,7+2a\cdot 100+3b\cdot 100^2-1,71\\ 200a+30000b=0,01 \end Кроме того: \begin Q(50)=1,7\cdot 50+a\cdot 50^2+b\cdot 50^3=85,025\\ 2500a+125000b=0,025 \end Получаем линейную систему: \begin \begin 200a+30000b=0,01\ |:2\\ 2500a+125000b=0,025\ |:25 \end \Rightarrow \begin 100a+15000b=0,005\\ 100a+5000b=0,001 \end \\ 15000b-5000b=0,005-0,001\\ 10000b=0,004\\ b=4\cdot 10^<-3>\cdot 10^<-4>=4\cdot 10^<-7>\ \left(\frac<Дж>\right)\\ a=\frac<0,001-5000b><100>=\frac<10^<-3>-5\cdot 10^3\cdot 4\cdot 10^<-7>><100>=\frac<10^<-3>-2\cdot 10^<-3>><100>=-\frac<10^<-3>><100>\\ a=-10^<-5>\ \left(\frac<Дж>\right) \end Ответ: \(a=-10^<-5>\frac<Дж>;\ b=4\cdot 10^<-7>\frac<Дж>\)

Пример 7*. Лестница длиной 5 м стояла вертикально. Потом её нижний конец стали перемещать по полу с постоянной скоростью \(v=2\) м/с. С какой по абсолютной величине скоростью в зависимости от времени опускается верхний конец лестницы? Постройте график полученной функции.

Лестница со стенами образует прямоугольный треугольник, для которого справедлива теорема Пифагора: $$ x^2(t)+y^2(t)=5^2 $$ Нижний конец движется с постоянной скоростью, его уравнение движения по полу: $$ x(t)=vt=2t $$ Отсюда получаем уравнение движения верхнего конца по стенке: \begin y^2(t)=25-x^2(t)=25-(2t)^2=25-4t^2\\ y(t)=\sqrt <25-4t^2>\end

Время \(t\geq 0\) имеет ограничение сверху \(25-4t^2\geq 0\Rightarrow t^2\leq \frac<25><4>\Rightarrow 0\leq t\leq 2,5\ (с)\)
Скорость скольжения верхнего конца по стенке: \begin u_y(t)=y'(t)=\left(\sqrt<25-4t^2>\right)’=\frac<1><2\sqrt<25-4t^2>>\cdot (25-4t^2)’=\frac<-8t><2\sqrt<25-4t^2>>\\ u_y(t)=-\frac<4t><\sqrt<25-4t^2>> \end Знак «-» указывает на направление скорости вниз и связан с уменьшением координаты \(y(t)\) со временем. Абсолютная величина найденной скорости: \begin u(t)=|u_y(t)|=\frac<4t><\sqrt<25-4t^2>> \end 1) ОДЗ: \(0\leq t\leq 2,5\)
2) Четность – нет, т.к. функция определена только на положительных t.
Периодичность – нет.
3) Асимптоты:
1. Вертикальная
Рассмотрим односторонние пределы \begin \lim_\left(\frac<4t><\sqrt<25-4t^2>>\right)=\frac05=0\\ \lim_\left(\frac<4t><\sqrt<25-4t^2>>\right)=\frac<10><0>=+\infty \end При подходе к правой границе \(t=2,5\) слева функция стремится к \(+\infty\).
В точке \(t=2,5\) – вертикальная асимптота.
2. Горизонтальных асимптот нет, т.к. ОДЗ ограничено интервалом.
3. Наклонных асимптот нет.

6) Пересечение с осями
В начале координат: \(t=0,\ u=0\)

7) График

Пример 8. Под действием нагрузки деталь с поперечным сечением в виде прямоугольника площадью 17 см 2 начинает деформироваться. Одна из сторон прямоугольника растет с постоянной скоростью 1 см/ч, а вторая – уменьшается со скоростью 0,5 см/ч. Найдите скорость изменения площади поперечного сечения через 45 мин после начала деформации, если известно, что в этот момент его площадь равна 20 см 2 .

Длина первой стороны в зависимости от времени: \(a(t)=a_0+1\cdot t\) (см),
время – в часах.
Длина второй стороны: \(b(t)=b_0-0,5\cdot t\).
Площадь в начальный момент: \(S_0=a_0 b_0=17\ (см^2)\)
Площадь в произвольный момент t: \begin S(t)=a(t)\cdot b(t)=(a_0+t)(b_0-0,5t)=a_0 b_0+(-0,5a_0+b_0)t-0,5t^2=\\ =17+(-0,5a_0+b_0)t-0,5t^2 \end По условию при \(t=45\ мин=\frac34\ ч\): \begin S\left(\frac34\right)=17+(-0,5a_0+b_0)\cdot\frac34-0,5\cdot\left(\frac34\right)^2=20\\ (-0,5a_0+b_0)\cdot\frac34=20-17+\frac<9><32>=3+\frac<9><32>\\ (-0,5a_0+b_0)=\frac43\left(3+\frac<9><32>\right)=4+\frac38=4\frac38 \end Получаем: \begin S(t)=17+4\frac38t-0,5t^2 \end Скорость изменения площади: \begin S'(t)=0+4\frac38\cdot 1-0,5\cdot 2t=4\frac38-t \end Через 45 мин: \begin S’\left(\frac34\right)=4\frac38-\frac34=3+\frac<11><8>-\frac34=3+\frac<11-6><8>=3\frac58=3,625\ (см^2/ч) \end Ответ: 3,625 см 2 /ч

В чем заключается физический смысл производной

Вы будете перенаправлены на Автор24

Допустим, известна траектория движения некоторого тела, причём эта траектория является функцией времени. Тогда среднюю скорость движения тела можно узнать по формуле $v_ <ср>= \frac$.

Физический (или иначе его называют механическим) смысл производной состоит в том, что производная представляет собой мгновенную скорость движения некоторого тела по траектории $s(t)$ в момент времени $t$. То есть, в данном случае производная определяется от пути по времени.

Если же найти производную от скорости, то можно будет также найти такую величину, как ускорение, которое является мгновенным изменением скорости в некоторый момент времени.

Разберём примеры решений с использованием физического смысла производной.

Движение шарика можно описать по закону $S(t) = 3t^5 — 2t^4 + t^3 + 7$. Какова скорость этого шарика?

Решение:

Для решения задачи найдём производную от уравнения, описывающего путь:

$v(t)=S’(t) = (t^5 — 2t^4 — t^3 + 7 )’= 5 t^4 — 8t^3 — 3t^2$.

Ответ: скорость движения шарика описывается уравнением $v(t) = 5 t^4 — 8t^3 — 3t^2$.

Опишите, как выглядит закон изменения скорости из предыдущего примера.

Решение:

Мгновенное изменение скорости — это ускорение, оно является второй производной от уравнения пути. Соответственно, для того чтобы определить, чему оно равно, найдём производную от уже известного уравнения скорости:

$a(t)= v’(t) = (5 t^4 — 8t^3 — 3t^2)’ = 20 t^3 + 24 t^2 — 6t$.

Ускорение для шарика будет подчиняться закону $a(t) = 60 t^3 — 24 t^2 — 6t$.

Найдите, чему будет равно значение скорости для шарика в момент времени $t= 5 $ c.

Решение:

Для того чтобы узнать, чему будет равна скорость при $t=5$ с, подставим это число в полученную производную:

$v(5) = 15 t^4 — 8t^3 — 3t^2=5 \cdot 5^4 — 8 \cdot 5^3 – 3 \cdot 5^2 = 3125 – 1000 – 75= 2050$ м/с.

Тело переместилось на 242 метра в некоторый момент времени, заданный в секундах, а его путь описывается уравнением $S(t) = 3t^2 – 1$. Узнайте, какова скорость данного тела на момент заданного пройденного расстояния.

Решение:

Для начала нужно найти время, за которое тело переместилось на заданное расстояние. Подставим для этого число $242$ в уравнение:

Теперь в общем виде узнаем, как изменяется скорость, для этого найдём производную от пути по времени:

$v(t)=S’(t) = (3t^2 – 1)’ = 6 t$.

Подставим найденное время в уравнение для скорости:

$v(9) = 6 \cdot 9 = 54$ м/с.

Получи деньги за свои студенческие работы

Курсовые, рефераты или другие работы

Автор этой статьи Дата последнего обновления статьи: 05 05 2021