Пошаговый калькулятор производных онлайн
Ввод распознает различные синонимы функций, как asin , arsin , arcsin
Знак умножения и скобки расставляются дополнительно — запись 2sinx сходна 2*sin(x)
Список математических функций и констант :
• ln(x) — натуральный логарифм
• sh(x) — гиперболический синус
• ch(x) — гиперболический косинус
• th(x) — гиперболический тангенс
• cth(x) — гиперболический котангенс
• sch(x) — гиперболический секанс
• csch(x) — гиперболический косеканс
• arsh(x) — обратный гиперболический синус
• arch(x) — обратный гиперболический косинус
• arth(x) — обратный гиперболический тангенс
• arcth(x) — обратный гиперболический котангенс
• arsch(x) — обратный гиперболический секанс
• arcsch(x) — обратный гиперболический косеканс
Частные производные для функции от нескольких переменных
21 сентября 2015
Рассмотрим функцию от двух переменных:
\[f=f\left( x,y \right)\]
Поскольку переменные $x$ и $y$ являются независимыми, для такой функции можно ввести понятие частной производной:
функции $f$ в точке $M=\left( <
_<0>>;< _<0>> \right)$ по переменной $x$ — это предел
Аналогично можно определить частную производную по переменной $y$ :
Другими словами, чтобы найти частную производную функции нескольких переменных, нужно зафиксировать все остальные переменные, кроме искомой, а затем найти обычную производную по этой искомой переменной.
Отсюда вытекает основной приём для вычисления таких производных: просто считайте, что все переменные, кроме данной, являются константой, после чего дифференцируйте функцию так, как дифференцировали бы «обычную» — с одной переменной. Например:
Очевидно, что частные производные по разным переменным дают разные ответы — это нормально. Куда важнее понимать, почему, скажем, в первом случае мы спокойно вынесли $10y$ из-под знака производной, а во втором — вовсе обнулили первое слагаемое. Всё это происходит из-за того, что все буквы, кроме переменной, по которой идёт дифференцирование, считаются константами: их можно выносить, «сжигать» и т.д.
Что такое «частная производная»?
Сегодня мы поговорим о функциях нескольких переменных и о частных производных от них. Во-первых, что такое функция нескольких переменных? До сих пор мы привыкли считать функцию как $y\left( x \right)$ или $t\left( x \right)$, или любую переменную и одну-единственную функцию от нее. Теперь же функция у нас будет одна, а переменных несколько. При изменении $y$ и $x$ значение функции будет меняться. Например, если $x$ увеличится в два раза, значение функции поменяется, при этом если $x$ поменяется, а $y$ не изменится, значение функции точно так же изменится.
Разумеется, функцию от нескольких переменных, точно так же как и от одной переменной, можно дифференцировать. Однако поскольку переменных несколько, то и дифференцировать можно по разным переменным. При этом возникают специфические правила, которых не было при дифференцировании одной переменной.
Прежде всего, когда мы считаем производную функции от какой-либо переменной, то обязаны указывать, по какой именно переменной мы считаем производную — это и называется частной производной. Например, у нас функция от двух переменных, и мы можем посчитать ее как по $x$, так и по $y$ — две частных производных у каждой из переменных.
Во-вторых, как только мы зафиксировали одну из переменных и начинаем считать частную производную именно по ней, то все остальные, входящие в эту функцию, считаются константами. Например, в $z\left( xy \right)$, если мы считаем частную производную по $x$, то везде, где мы встречаем $y$, мы считаем ее константой и обращаемся с ней именно как с константой. В частности при вычислении производной произведения мы можем выносить $y$ за скобку (у нас же константа), а при вычислении производной суммы, если у нас где-то получается производная от выражения, содержащего $y$ и не содержащего $x$, то производная этого выражения будет равна «нулю» как производная константы.
На первый взгляд может показаться, что я рассказываю о чем-то сложном, и многие ученики по началу путаются. Однако ничего сверхъестественного в частных производных нет, и сейчас мы убедимся в этом на примере конкретных задач.
Задачи с радикалами и многочленами
Задача № 1
Чтобы не терять время зря, с самого начала начнем с серьезных примеров.
Для начала напомню такую формулу:
Это стандартное табличное значение, которое мы знаем из стандартного курса.
В этом случае производная $z$ считается следующим образом:
Давайте еще раз, поскольку под корнем стоит не $x$, а некое другое выражение, в данном случае $\frac
Возвращаемся к нашему выражению и записываем:
В принципе, это все. Однако оставлять ее в таком виде неправильно: такую конструкцию неудобно использовать для дальнейших вычислений, поэтому давайте ее немного преобразуем:
Ответ найден. Теперь займемся $y$:
Задача № 2
Этот пример одновременно и проще, и сложней, чем предыдущий. Сложнее, потому что здесь больше действий, а проще, потому что здесь нет корня и, кроме того, функция симметрична относительно $x$ и $y$, т.е. если мы поменяем $x$ и $y$ местами, формула от этого не изменится. Это замечание в дальнейшем упростит нам вычисление частной производной, т.е. достаточно посчитать одну из них, а во второй просто поменять местами $x$ и $y$.
Приступаем к делу:
Однако многим ученикам такая запись непонятна, поэтому запишем вот так:
Таким образом, мы еще раз убеждаемся в универсальности алгоритма частных производных: каким бы мы образом их не считали, если все правила применяются верно, ответ будет один и тот же.
Теперь давайте разберемся еще с одной частной производной из нашей большой формулы:
Подставим полученные выражения в нашу формулу и получим:
По $x$ посчитано. А чтобы посчитать $y$ от того же самого выражения, давайте не будем выполнять всю ту же последовательность действий, а воспользуемся симметрией нашего исходного выражения — мы просто заменим в нашем исходном выражении все $y$ на $x$ и наоборот:
За счет симметрии мы посчитали это выражение гораздо быстрее.
Нюансы решения
Для частных производных работают все стандартные формулы, которые мы используем для обычных, а именно, производная частного. При этом, однако, возникают свои специфические особенности: если мы считаем частную производную $x$, то когда мы получаем ее по $x$, то рассматриваем ее как константу, и поэтому ее производная будет равна «нулю».
Как и в случае с обычными производными, частную (одну и ту же) можно посчитать несколькими различными способами. Например, ту же конструкцию, которую мы только что посчитали, можно переписать следующим образом:
Далее мы точно таким же образом считаем еще две конструкции, а именно:
Вместе с тем, с другой стороны, можно использовать формулу от производной суммы. Как мы знаем, она равна сумме производных. Например, запишем следующее:
Теперь, зная все это, давайте попробуем поработать с более серьезными выражениями, поскольку настоящие частные производные не ограничиваются одними лишь многочленами и корнями: там встречаются и тригонометрия, и логарифмы, и показательная функция. Сейчас этим и займемся.
Задачи с тригонометрическими функциями и логарифмами
Задача № 1
\[z\left( x,y \right)=\sqrt
Запишем следующие стандартные формулы:
Вооружившись этими знаниями, попробуем решить:
Отдельно выпишем одну переменную:
Возвращаемся к нашей конструкции:
Все, по $x$ мы нашли, теперь давайте займемся вычислениями по $y$:
Опять же посчитаем одно выражение:
Возвращаемся к исходному выражению и продолжаем решение:
Задача № 2
\[z\left( x,y \right)=\ln \left( x+\ln y \right)\]
Запишем необходимую нам формулу:
Теперь посчитаем по $x$:
По $x$ найдено. Считаем по $y$:
Нюансы решения
Итак, от какой бы функции мы не брали частную производную, правила остаются одними и теми же, независимо от того, работаем ли мы с тригонометрией, с корнями или с логарифмами.
Неизменными остаются классические правила работы со стандартными производными, а именно, производная суммы и разности, частного и сложной функции.
Последняя формула чаще всего и встречается при решении задач с частными производными. Мы встречаемся с ними практически везде. Ни одной задачи еще не было, чтобы там нам она не попадалась. Но какой бы мы формулой не воспользовались, нам все равно добавляется еще одно требование, а именно, особенность работы с частными производными. Как только мы фиксируем одну переменную, все остальные оказываются константами. В частности, если мы считаем частную производную выражения $\cos \frac
Все это приводит к тому, что частные производные от одного и того же выражения, но по разным переменным могут выглядеть совершенно по-разному. Например, посмотрим такие выражения:
Задачи с показательными функциями и логарифмами
Задача № 1
Для начала запишем такую формулу:
Зная этот факт, а также производную сложной функции, давайте попробуем посчитать. Я сейчас решу двумя различными способами. Первый и самый очевидный — это производная произведения:
Давайте решим отдельно следующее выражение:
Возвращаемся к нашей исходной конструкции и продолжаем решение:
Все, по $x$ посчитано.
Однако как я и обещал, сейчас постараемся посчитать эту же частную производную другим способом. Для этого заметим следующее:
В этом запишем так:
В результате мы получили точно такой же ответ, однако объем вычислений оказался меньшим. Для этого достаточно было заметить, что при произведении показатели можно складывать.
Теперь посчитаем по $y$:
Давайте решим одно выражение отдельно:
Продолжим решение нашей исходной конструкции:
Разумеется, эту же производную можно было бы посчитать вторым способом, ответ получился бы таким же.
Задача № 2
\[z\left( x,y \right)=x\ln \left( <
Давайте посчитаем одно выражение отдельно:
Продолжим решение исходной конструкции: $$
Вот такой ответ.
Осталось по аналогии найти по $y$:
Одно выражение посчитаем как всегда отдельно:
Продолжаем решение основной конструкции:
Все посчитано. Как видите, в зависимости от того, какая переменная берется для дифференцирования, ответы получаются совершенно разные.
Нюансы решения
Вот яркий пример того, как производную одной и той же функции можно посчитать двумя различными способами. Вот смотрите:
При выборе разных путей, объем вычислений может быть разный, но ответ, если все выполнено верно, получится одним и тем же. Это касается как классических, так и частных производных. При этом еще раз напоминаю: в зависимости от того, по какой переменной идет взятие производной, т.е. дифференцирование, ответ может получиться совершенно разный. Посмотрите:
В заключение для закрепления всего этого материала давайте попробуем посчитать еще два примера.
Задачи с тригонометрической функция и функцией с тремя переменными
Задача № 1
Давайте запишем такие формулы:
Давайте теперь решать наше выражение:
Отдельно посчитаем такую конструкцию:
Продолжаем решать исходное выражение:
Это окончательный ответ частной переменной по $x$. Теперь посчитаем по $y$:
Решим одно выражение отдельно:
Решаем до конца нашу конструкцию:
Задача № 2
На первый взгляд этот пример может показаться достаточно сложным, потому что здесь три переменных. На самом деле, это одна из самых простых задач в сегодняшнем видеоуроке.
Теперь разберемся с $y$:
Теперь остается найти по $z$:
Мы посчитали третью производную, на чем решение второй задачи полностью завершено.
Нюансы решения
Как видите, ничего сложного в этих двух примерах нет. Единственное, в чем мы убедились, так это в том, что производная сложной функции применяется часто и в зависимости от того, какую частную производную мы считаем, мы получаем разные ответы.
В последней задаче нам было предложено разобраться с функцией сразу от трех переменных. Ничего страшного в этом нет, однако в самом конце мы убедились, что все они друг от друга существенно отличаются.
Ключевые моменты
Окончательные выводы из сегодняшнего видеоурока следующие:
- Частные производные считаются так же, как и обычные, при этом, чтобы считать частную производную по одной переменной, все остальные переменные, входящие в данную функцию, мы принимаем за константы.
- При работе с частными производными мы используем все те же стандартные формулы, что и с обычными производными: сумму, разность, производную произведения и частного и, разумеется, производную сложной функции.
Конечно, просмотра одного этого видеоурока недостаточно, чтобы полностью разобраться в этой теме, поэтому прямо сейчас на моем сайте именно к этому видео есть комплект задач, посвященных именно сегодняшней теме — заходите, скачивайте, решайте эти задачи и сверяйтесь с ответом. И после этого никаких проблем с частными производными ни на экзаменах, ни на самостоятельных работах у вас не будет. Конечно, это далеко не последний урок по высшей математике, поэтому заходите на наш сайт, добавляйтесь ВКонтакте, подписывайтесь на YouTube, ставьте лайки и оставайтесь с нами!
Дифференциальные уравнения в частных производных с примерами решения и образцами выполнения
Дифференциальным уравнением с частными производными называется уравнение вида
(1)
связывающее независимые переменные x1, х2, … , хn искомую функцию и = и(х1, х2,…, хn) и ее частные производные (наличие хотя бы одной производной обязательно). Здесь ki,k2,… ,кn — неотрицательные целые числа, такие, что к1 + к2 + … + кп = т.
Порядком дифференциального уравнения называется наивысший порядок входящие в уравнение частных производных. Так, если х, у — независимые переменные, и = и(х, у) — искомая функция, то
— дифференциальное уравнение 1-го порядка;
— дифференциальные уравнения 2-го порядка.
Для упрощения записи пользуются также следующими обозначениями:
Пусть имеем дифференциальное уравнение с частными производными (1) порядка т. Обозначим через С m (D) множество функций, непрерывных в области D вместе со всеми производными до порядка m включительно.
Определение:
Решением дифференциального уравнения (1) в некоторой области D изменения независимых переменных x1, x2…xn,. называется всякая функция и = и(х1, х2,…, xп) ∈ С m (D) такая, что подстановка этой функции и ее производных в уравнение (1) обращает последнее в тождество по x1, x2, …., хп в области D.
Пример:
Найти решение и = и(х,у) уравнения
Равенство (2) означает, что искомая функция и не зависит опт х, но может быть любой функцией от у,
u = φ(y). (3)
Таким образом, решение (3) уравнения (2) содержит одну произвольную функцию. Это — общее решение уравнения (2).
Приме:
Найти решение u = u(z, у) уравнения
Положим 
= о. Тогда уравнение (4) примет вид 
= 0. Его общим решением будет произвольная функция v = w(у). Поскольку v= приходим к уравнению = w(у). Интегрируя по у (считая х параметром), получим
где g(x) — произвольная функция. Так как w(у) — произвольная функция, то и интеграл от нее также является произвольной функцией; обозначим его через f(у). В результате получим решение уравнения (4) в виде
u(x, y) = f(y) + g(x) (5)
произвольные дифференцируемые функции).
Решение (5) уравнения с частными производными 2-го порядка (4) содержит уже две произвольные функции. Его называют общим решением уравнения (4), так как всякое другое решение уравнения (4) может быть получено из (5) подходящим выбором функций f и g.
Мы видим, таким образом, что уравнения с частными производными имеют целые семейства решений. Однако существуют уравнения с частными производными, множества решений которых весьма узки и, в некоторых случаях, да же пусты.
Пример:
Множество действительных решений уравнения
исчерпывается функцией u(x, y) = const, а уравнение
вовсе не имеет действительных решений.
Мы не ставим пока вопрос об отыскании частных решений. Позже будет выяснено, какие дополнительные условия нужно задать, чтобы с их помощью можно было выделить частное решение, т.е. функцию, удовлетворяющую как дифференциальному уравнению, так и этим дополнительным условиям.
Линейные дифференциальные уравнения с частными производными. Свойства их решений
Уравнение с частными производными называется линейным, если оно линейно относительно искомой функции и всех ее производных, входящих в уравнение; в противном случае уравнение называется нелинейным.
Пример:
— линейное уравнение; уравнения
Линейное дифференциальное уравнение 2-го порядка для функции двух независимых переменных х, у в общем случае имеет вид
(1)
где А(х, у), В(х, у), …, с(х,у), f(x,y) — функции переменных х, у, заданные в некоторой области D плоскости хОу. Если f(x,y) ≡ 0 в D, то уравнение (1) называется однородным, в противном случае — неоднородным.
Обозначив левую часть уравнения (1) через L[u], запишем (1) в виде
L[u] = f(x, у). (2)
Соответствующее однородное уравнение запишется так:
L[u] = 0. (3)
Здесь L — линейный дифференциальный оператор, определенный на линейном пространстве C 2 (D) функций и = и(х, у).
Пользуясь свойством линейности оператора L, легко убедиться в справедливости следующих теорем, выражающих свойства решений линейных однородных дифференциальных уравнений с частными производными.
Теорема:
Если и(х, у) есть решение линейного однородного уравнения (3), то си(х, у), где с — любая постоянная, есть также решение уравнения (3).
Теорема:
Если и1(х, у) и и2(х, у) — решения линейного однородного уравнения (3), то сумма и1(х, у) + и2(x, у) есть также решение этого уравнения.
Следствие:
Если каждая из функций и1(х, у) и и2(х, у), u k(x, у) является решением уравнения (3), то линейная комбинация
где c1, c2 …, сk — произвольные постоянные, также является решением этого уравнения.
В отличие от обыкновенного линейного однородного дифференциального уравнения, имеющего конечное число линейно независимых частных решений, линейная
комбинация которых дает общее решение этого уравнения, уравнение с частными производными может иметь бесконечное множество линейно независимых частных решений.
Пример:
имеет общее решение k = φ(х), так что решениями его будут, например, функции 1,х,…, х n ,… . В соответствии с этим в линейных задачах для уравнений с частными производными нам придется иметь дело не только с линейными комбинациями конечного числа решений, но и с рядами 
, членами которых являются произведения постоянных Сп на частные решения иn(х, у) дифференциального уравнения.
Возможны случаи, когда функция и(х, у; λ) при всех значениях параметра λ из некоторого интервала (λо, λ1), конечного или бесконечного, является решением уравнения (3). В этом случае говорят, что решения уравнения зависят от непрерывно меняющегося параметра λ. Если теперь взять функцию С(λ) такую, что первые и вторые производные интеграла
по х и по у могут быть получены с помощью дифференцирования под знаком интеграла, то этот интеграл также будет решением уравнения (3). Для линейного неоднородного уравнения
L[u] = f (4)
справедливы следующие предложения.
Теорема:
Если и(х, у) есть решение линейного неоднородного уравнения (4), a v(x, у) — решение соответствующего однородного уравнения (3), то сумма и + v есть решение неоднородного уравнения (4).
Теорема:
Принцип суперпозиции. Если и1(х, у) —решение уравнения L[u] = f1, a u2(x,y) — решение уравнения L[u] = f2, то и1 + u2 — решение уравнения L[u] = f1 + f2.
Классификация линейных дифференциальных уравнений второго порядка с двумя независимыми переменными
Определение:
Линейное дифференциальное уравнение второго порядка
в некоторой области Q на плоскости хОу называется
1) гиперболическим в Ω, если
2) параболическим в Ω, если
3) эллиптическим в Ω, если
Пользуясь этим определением, легко проверить, что уравнения
— гиперболические при всех х и у, уравнение
— параболическое при всех х и у, а уравнение
— эллиптическое при всех х и у. Уравнение
— эллиптическое при у > 0, параболическое на линии у = 0 и гиперболическое в полуплоскости у 
с помощью которой уравнение (1) преобразуется к более простому, каноническому виду, своему для каждого типа уравнения.
Уравнение гиперболического типа (∆ > 0) преобразуется к вшу
(два канонических вида уравнений гиперболического типа).
Уравнение параболического типа (∆ ≡ 0) преобразуется к виду
(канонический вид уравнения параболического типа).
Уравнение эллиптического типа (∆ 
(канонический вид уравнения эллиптического типа). Здесь F и Ф — некоторые функции, зависящие от искомой функции и, ее первых производных 
и независимых переменных ξ, η. Вид функций F и Ф определяется исходным уравнением (1).
В некоторых случаях каноническая форма уравнения позволяет найти общее решение исходного уравнения.
Как правило, приведениеуравнения(1) к каноническому виду путем замены независимых переменных имеет локальный характер, т. е. осуществимо лишь в некоторой достаточно малой окрестности рассматриваемой точки Mo(xo, уo).
Когда число п независимых переменных больше двух, также различают уравнения гиперболического, параболического и эллиптического типов. Например, при п = 4 простейшая каноническая форма таких уравнений имеет вид
Здесь и = и(х, у, z, t).
Замечание:
В общем случае, когда число независимых переменных больше двух, приведение линейною уравнения с переменными коэффициентами
к каноническому виду возможно только в данной точке 
и невозможно в любой сколь угодно малой окрестности этой точки.
Мы ограничимся рассмотрением линейных дифференциальных уравнений 2-го порядка. К таким уравнениям приводит большое количество различных физических задач.
Так, колебательные процессы различной природы (колебания струн, мембран, акустические колебания газа в трубах, электромагнитные колебания и т. д.) описываются уравнениями гиперболического типа. Простейшим из таких уравнений является уравнение колебаний струны (одномерное волновое уравнение): (2)
Здесь х — пространственная координата, t — время, 
где Т — натяжение струны, р — ее линейная плотность.
Процессы теплопроводности и диффузии приводят к уравнениям параболического типа. В одномерном случае простейшее уравнение теплопроводности имеет вид
(3)
Здесь 
где р — плотность среды, с — удельная теплоемкость, k — коэффициент теплопроводности.
Наконец, установившиеся процессы, когда искомая функция не зависит от времени, определяются уравнениями эллиптического типа, типичным представителем которых является уравнение Лапласа
(4)
Непосредственной проверкой убеждаемся в том, что решением уравнения (2) является всякая функция и(х, t) вида
Можно показать, что решениями уравнения (3) являются функции вида
произвольные постоянные, А — числовой параметр). Интегрируя решение и(х, t; λ) = 
уравнения (3) по параметру λ в пределах от — ∞ до + ∞ , получим так называемое фундаментальное решение U(x, t) = 
уравнения теплопроводности.
Наконец, нетрудно убедиться, что действительнозначные функции Рn(х,у) и Qn(x, у), определяемые из соотношения
являются решениями уравнения Лапласа (4) для п = 0, 1, 2…..Этот последний результат есть частный, случай общего утверждения, что и действительная и мнимая части аналитической функции
f(z) = u(x, у) + iv(x, у)
комплексного переменного z = х + iy являются решениями уравнения Лапласа (4).
В силу линейности уравнения (4) ряды
тоже будут решениями уравнения (4), если они сходятся равномерно, как и ряды, полученные из них двукратным почленным дифференцированием по каждому из аргументов х, у.
Таким образом, для простейшей — канонической — формы уравнений гиперболического, параболического и эллиптического типов мы располагаем о решениях этих уравнений некоторой информацией.
Постановка основных задач для линейных дифференциальных уравнений второго порядка
Для полного описания того или иного физического процесса мало иметь только дифференциальное уравнение процесса, надо еще задать начальное состояние этого процесса (начальные условия) и режим на границе S той области Ω, в которой процесс происходит (граничные условия). Это обусловлено неединственностью решения дифференциальных уравнений.
Пример:
Общее решение уравнения
имеет вид и(х, у) = f(x) + g(y), где f(x) и g(y) — произвольные дифференцируемые функции. Поэтому чтобы выделить решение, описывающее данный физический процесс, необходимо задать дополнительные условия.
Различают три основных типа задач для дифференциальных уравнений с частными производными (число независимых переменных равно п):
а) задача Коши для уравнений гиперболического и параболического типов: задаются начальные условия, область Ω совпадает со всем пространством R n , граничные условия отсутствуют;
б) краевая задача для уравнений эллиптического типа: задаются граничные условия на границе S области Ω, начальные условия отсутствуют;
в) смешанная задача для уравнений гиперболического и параболического типов: задаются начальные и граничные условия, Ω ≠ R n
Решение заданий и задач по предметам:
Дополнительные лекции по высшей математике:
Образовательный сайт для студентов и школьников
Копирование материалов сайта возможно только с указанием активной ссылки «www.lfirmal.com» в качестве источника.
© Фирмаль Людмила Анатольевна — официальный сайт преподавателя математического факультета Дальневосточного государственного физико-технического института
http://www.berdov.com/works/proizvodnaya/chastnie-proizvodnie/
http://lfirmal.com/differencialnye-uravneniya-v-chastnyh-proizvodnyh/