Производная в уравнении с косинусом

Производная косинуса: (cos x)′

Производная по переменной x от косинуса x равна минус синусу x:
( cos x )′ = – sin x .

Доказательство

Чтобы вывести формулу производной косинуса, воспользуемся определением производной:
.

Преобразуем это выражение, чтобы свести его к известным математическим законам и правилам. Для этого нам нужно знать четыре свойства.
1) Тригонометрические формулы. Нам понадобится следующая формула:
(1) ;
2) Свойство непрерывности функции синус:
(2) ;
3) Значение первого замечательного предела:
(3) ;
4) Свойство предела от произведения двух функций:
Если и , то
(4) .

Применяем эти законы к нашему пределу. Сначала преобразуем алгебраическое выражение
.
Для этого применим формулу
(1) ;
В нашем случае
; . Тогда
;
;
;
.

Сделаем подстановку . При , . Используем свойство непрерывности (2):
.

Сделаем такую же подстановку и применим первый замечательный предел (3):
.

Поскольку пределы, вычисленные выше, существуют, то применяем свойство (4):

.

Тем самым мы получили формулу производной косинуса.

Примеры

Рассмотрим простые примеры нахождения производных от функций, содержащих косинус. Найдем производные от следующих функций:
y = cos 2x; y = cos 3x; y = cos nx; y = cos 2 x ; y = cos 3 x и y = cos n x .

Пример 1

Найти производные от cos 2x, cos 3x и cos nx.

Исходные функции имеют похожий вид. Поэтому мы найдем производную от функции y = cos nx . Затем, в производную от cos nx , подставим n = 2 и n = 3 . И, тем самым, получим формулы для производных от cos 2x и cos 3x .

Итак, находим производную от функции
y = cos nx .
Представим эту функцию от переменной x как сложную функцию, состоящую из двух функций:
1) Функции , зависящей от переменной : ;
2) Функции , зависящей от переменной : .
Тогда исходная функция является сложной (составной) функцией, составленной из функций и :
.

Найдем производную от функции по переменной x:
.
Найдем производную от функции по переменной :
.
Применяем формулу производной сложной функции.
.
Подставим :
(П1) .

Теперь, в формулу (П1) подставим и :
;
.

Пример 2

Найти производные от косинуса в квадрате, косинуса в кубе и косинуса в степени n:
y = cos 2 x ; y = cos 3 x ; y = cos n x .

В этом примере также функции имеют похожий вид. Поэтому мы найдем производную от самой общей функции – косинуса в степени n:
y = cos n x .
Затем подставим n = 2 и n = 3 . И, тем самым, получим формулы для производных от косинуса в квадрате и косинуса в кубе.

Итак, нам нужно найти производную от функции
.
Перепишем ее в более понятном виде:
.
Представим эту функцию как сложную функцию, состоящую из двух функций:
1) Функции , зависящей от переменной : ;
2) Функции , зависящей от переменной : .
Тогда исходная функция является сложной функцией, составленной из двух функций и :
.

Находим производную от функции по переменной x:
.
Находим производную от функции по переменной :
.
Применяем правило дифференцирования сложной функции.
.
Подставим :
(П2) .

Далее мы можем применить формулу для произведения синуса и косинуса:
.
Тогда
.

Производные высших порядков

Заметим, что производную от cos x первого порядка можно выразить через косинус следующим образом:
.

Найдем производную второго порядка, используя формулу производной сложной функции:

.
Здесь .

Заметим, что дифференцирование cos x приводит к увеличению его аргумента на . Тогда производная n-го порядка имеет вид:
(5) .

Более строго эту формулу можно доказать с помощью метода математической индукции. Доказательство для n-й производной синуса изложено на странице “Производная синуса”. Для n-й производной косинуса доказательство точно такое. Нужно только во всех формулах заменить sin на cos.

Автор: Олег Одинцов . Опубликовано: 05-03-2017

Производные тригонометрических функций

п.1. Производная синуса

Например:
\((x^2sinx)’=(x^2)’\cdot sinx+x^2\cdot (sinx)’=2xsinx+x^2cosx\)

п.2. Производная косинуса

п.3. Производная тангенса и котангенса

п.4. Примеры

Пример 1. Найдите производную:
a) \( f(x)=2sinx-5x \) \begin f'(x)=2\cdot sin’x-5\cdot x’=2cosx-5 \end

в) \( f(x)=9cosx-3tgx \) \begin f'(x)=9\cdot cos’x-3\cdot tg’x=-9sinx-\frac<3> \end

Пример 2. Найдите значение производной в данной точке:
a) \( f(x)=sinx+cosx,\ x_0=\frac\pi 4 \) \begin f'(x)=sin’x+cos’x=cosx-sinx\\ f'(\frac\pi 4)=cos\frac\pi 4-sin\frac\pi 4=\frac<\sqrt<2>><2>-\frac<\sqrt<2>><2>=0 \end

в) \( f(x)=sinxcosx,\ x_0=\frac<\pi> <12>\) \begin f'(x)=sin’xcosx+sinxcos’x=cos^2x-sin^2x=cos2x\\ f’\left(\frac<\pi><12>\right)=cos\left(2\cdot\frac<\pi><12>\right)=cos\frac\pi 6=\frac<\sqrt<3>> <2>\end

Пример 3. Решите уравнение:
a) \( y’\cdot y+y^2=0\), если \(y=3cosx\)
\(y’=3\cdot cos’x=-3sinx\)
Подставляем: \begin -3sinx\cdot 3cosx+(3cosx)^2=0\\ -9sincosx+9cos^2x=0\\ 9cosx(cosx-sinx)=0 \end Уравнение: \begin \left[ \begin cosx=0\\ cosx-sinx=0\ |:cosx \end \right. \Rightarrow \left[ \begin x=\frac\pi 2+\pi k\\ 1-tgx=0 \end \right. \Rightarrow \left[ \begin x=\frac\pi 2+\pi k\\ tgx=1 \end \right. \Rightarrow \left[ \begin x=\frac\pi 2+\pi k\\ x=\frac\pi 4+\pi k \end \right. \end Ответ: \(\left\<\frac\pi 2+\pi k;\ x=\frac\pi 4+\pi k\right\>\)

б) \( (y’)^2+y^2=1\), если \(y=1-cosx\)
\(y’=1′-cos’x=0+sinx=sinx\)
Подставляем: \begin sin^2x+(1-cosx)^2=1\\ sin^2x+1-2cosx+cos^2x=1\\ 1-2cosx=0\\ cosx=\frac12\\ x=\pm\frac\pi 3+2\pi k \end Ответ: \(\left\<\pm\frac\pi 3+2\pi k\right\>\)

Пошаговый калькулятор производных онлайн

Ввод распознает различные синонимы функций, как asin , arsin , arcsin

Знак умножения и скобки расставляются дополнительно — запись 2sinx сходна 2*sin(x)

Список математических функций и констант :

• ln(x) — натуральный логарифм

• sh(x) — гиперболический синус

• ch(x) — гиперболический косинус

• th(x) — гиперболический тангенс

• cth(x) — гиперболический котангенс

• sch(x) — гиперболический секанс

• csch(x) — гиперболический косеканс

• arsh(x) — обратный гиперболический синус

• arch(x) — обратный гиперболический косинус

• arth(x) — обратный гиперболический тангенс

• arcth(x) — обратный гиперболический котангенс

• arsch(x) — обратный гиперболический секанс

• arcsch(x) — обратный гиперболический косеканс