Производная второго порядка из системы уравнений

Производные различных порядков от неявных функций — справочник студента

канд. физ.-мат. наук,.

Доцент Московского государственного университета информационных технологий, радиотехники и электроники, РФ, г. Серпухов

1. SOME PROPERTIES OF IMPLICIT FUNCTION
2. Christina Gladysheva
3. Student Moscow State University of Information Technologies, Radio Engineering and Electronics, Russia, Serpukhov
4. Vera Taperechkina
5. candidate of Physical and Mathematical Sciences, docent Moscow State University of Information Technologies, Radio Engineering and Electronics, Russia, Serpukhov
6. АННОТАЦИЯ
7. В работе рассмотрены некоторые способы нахождения производных и дифференциалов первого и второго порядков для неявных функций одного и двух переменных, в том числе неявных функций, заданных системой.
8. ABSTRACT
9. In this work we reviewed some methods of finding of first and second differentials for Implicit function with one and two Variables including Implicit functions defined by system.
10. Ключевые слова : неявная функция; частные производные; дифференциал.
11. Keywords : Implicit function, Partial derivatives, differential.

1. Теоретические предпосылки.

Будем предполагать, что выполняемы требования теоремы существования неявной функции [1] (и ее обобщения для случая нескольких переменных [1]).

Пусть функция F(x, y) непрерывна в некоторой окрестности точки (,) и имеет в этой окрестности непрерывные частные производные , . Если F(,)=0, (,)0, то существует единственное решение уравнения F(x, y)=0. Функция удовлетворяет условию и имеет непрерывную производную

Будем предполагать также выполнение условий теоремы Шварца о равенстве смешанных производных [1].

2. Формула для второй производной неявной функции одной переменной.

• =0 (2)
• Если в тождестве еще раз взять производную по x, с учетом того, что зависят и от x и, то получим новое тождество:
• + + (+)=0 или
• +2 ++=0
• Отсюда, используя (1) получаем формулу:

Обычно метод нахождения второй производной для функции, заданной неявно, сводится к повторному дифференцированию данного в задаче условия, что фактически приводит к необходимости вывода на каждом конкретном примере формулы (3). Использование готовой формулы (3) существенно упрощает решение.

Пример 1. Найти производную второго порядка функции, заданной неявно уравнением:

Найдем от все частные производные первого и второго порядка:

.

Отсюда по формуле (3) получаем после преобразования ответ:

Пример 2. Найти в точке М(0; 1), если функция задана неявно уравнением:

По формуле (1) получаем и, следовательно, . По формуле (3) получаем и, следовательно, .

3. Вывод формул для вторых частных производных функции двух переменных, заданной неявно.

Рассмотрим функцию двух независимых переменных x и y, заданную неявно уравнением F(x; y; z)=0. Фиксируя по очереди переменные у и х, получим из формулы (1) соответственно:

Найдем формулы, выражающие через частные производные от F(x; y; z). Для этого от (4) повторно берем производную. При повторном взятии производной от первой из формул (4) по переменной х следует учесть, что у фиксирована, а z, которое содержится в и , зависит от x. Таким образом, и зависят от x непосредственно, а также через z.

• С учетом (4) получим
• Таким образом, получена формула:
• (5)
• Аналогично
• (6)

Формулы (5) и (6), конечно, согласуются с (3). Найдем теперь смешанную производную второго порядка. Для этого от первой из формул (4) берем производную по у. Отметим, что у входит и как непосредственно, так и через z.

1. С учетом (4) получим:
2. Таким образом, получена формула:
3. (7)
4. Для нахождения первого и второго дифференциала подставляем (4), (5), (6), (7) в известные формулы [1].
5. (8)
6. (9)
7. Пример3. Найти первый и второй дифференциал от функции функцию, заданной неявно уравнением:
8. Найти

Решение: Обозначим F(x; y; z)=, М(1; -1; 0). Находим последовательно все частные производные первого и второго порядка в точке М(1; -1; 0).

• По формулам (4), (8) получаем:
• Далее по формулам (5), (6), (7), (9) получаем:
• ;
• .
• Пример 4 [2].
• Найти , если z=1 в точке и функция , задана неявно уравнением:

Решение. Обозначим F(x; y; z)=; М(1; 0; 1). Находим последовательно все частные производные первого и второго порядка в точке М(1; 0; 1).

4. Производные неявных функций одной переменной, заданных системой.

Пусть функции F(х; y; z) и G(х; y; z) непрерывны и имеют непрерывные частные производные в точки ( и некоторой ее окрестности. Точка ( удовлетворяет системе:

Пусть определитель отличен от 0 в точке (. Тогда в некоторой окрестности точки ( система (10) определяет две функции y=y(x) и z=z(x), такие что y(; z(. Функции y(х) и z(х) непрерывны и имеют производные [1].

• Способ нахождения этих производных состоит в том, что от уравнений системы (10) берется производная по х и далее из полученной системы находится , а именно:
• или (11)
• Система (11) линейная по , и ее определитель отличен от 0. По правилу Крамера из (12) получим:
• ; =; (12)
• Для вычисления вторых производных следует от уравнений системы (11) еще раз взять производную по х и далее, используя уже известные , найти .
• Пример5. Функции y(x), z(x) заданы неявно системой
• Найти , если у(1)=1; z(1)=1.

Решение. Возьмем производную по х от уравнений системы, учитывая, что х — независимая переменная, y=y(х), z=z(х).

1. (13)
2. Отсюда:
3. Возьмем еще раз производную по х от уравнений системы (13), тогда получим
4. Умножим первое уравнение на 2 и далее сложим уравнения, тогда
5. .
6. Из второго уравнения последней системы найдем
7. .
8. .

5. Производные неявных функций двух переменных, заданных системой.

• Пусть теперь система двух уравнений задает две функции, где — независимые переменные
• способы нахождения частных производных и дифференциалов первого и второго порядков.
• Пример 6 [3].
• Найти du, dv, , если u(х, у) и v(х, у) заданы системой
• Преобразуем условия
• (14)
• Берем от системы (14) производную по x, при этом y считаем постоянным, .
• Решая эту систему, например, по правилу Крамера, получим:
• Берем от системы (14) производную по у, при этом х считаем постоянным, .
• Решая эту систему, например, по правилу Крамера, получим:
• Так как то получим ответы для первых дифференциалов.
• (15)
• Первый дифференциал можно найти, если к системе(14) применить операцию взятия дифференциала с учетом инвариантности формы 1-ого дифференциала и свойств дифференциала ;
• ;
• ).
• (16)

Из первого уравнения . Подставим во второе уравнение.

1. Найдем отсюда du:
2. Аналогично, если из первого уравнения системы (16) выразить du и подставить во второе уравнение системы (16), получим:
3. И вновь получили ответ (15).

Второй дифференциал аналогично можно найти двумя способами. Во втором способе (метод взятия дифференциала) при повторном взятии дифференциала следует обратить внимание на то, что Рассмотрим этот способ. Берем дифференциал от (16). Первое уравнение системы (16) дает:

• Подставляем в это уравнение и решаем его относительно .
• Здесь du и dv найденные нами ранее значения (15).
• Список литературы:

1.Архипов Г.И., Садовничий В.А., Чубариков В.Н. Лекции по математическому анализу, М.:Дрофа, 2004.

2.Виноградова И.Л., Олехник С.Н., Садовничий В.А. Задачи и упражнения по математическому анализу М.В.Ш., 2002.

3.Демидович Б.П. Сборник задач и упражнений по математическому анализу, М.:Наука, 1990.

2.8. Производные и дифференциалы высших порядков

Пусть функция f(x) определена и дифференцируема на некотором промежутке X, тогда ее производная (x) также является функцией от x на этом промежутке. Если (x) имеет производную на промежутке X, то эта производная называется производной второго порядка функции y = f(x) и обозначается: y» или (x).

Производная от производной второго порядка называется производной третьего порядкаи обозначается: y»’ или (x).

Вообще, производной n-го порядка называется производная от производной (n – 1)-го порядка и обозначается: y(n) или f (n)(x). Итак, f (n)(x) = (f (n-1)(x))‘.

Производные y», y»’, … называются производными высших порядков.

Пример 2. Найти производную n-го порядка для функции y = e3x.

Рассмотрим механический смысл второй производной.

Пусть путь S, пройденный телом по прямой за время t, выражается формулой S = f(t). Известно, что при этом скорость V в момент времени t равна производной от пути по времени: V = . В момент времени t + Dt скорость получит приращение

Отношение называется средним ускорениемза время Dt. Ускорением a в данный момент времени называется предел среднего ускорения, когда Dt ® 0:

Следовательно, ускорение при прямолинейном движении равно второй производной от пути по времени: a = S»(t).

Перейдем к рассмотрению дифференциалов высших порядков.

Пусть y = f(x), xÎX. Дифференциал этой функции y = f’(x)dx является функцией от x (если x – не фиксированное число), dx – приращение аргумента x, оно не зависит от x.

• Дифференциал от дифференциала функции называется дифференциалом второго порядка и обозначается d2y или d2f(x).
• Итак, d2y = d(dy), но dy=dx, поэтому
• d2y = d(dx) = (dx)dx = (dx)2.
• Будем вместо (dx)2 писать dx2.
• Дифференциалом третьего порядка называется дифференциал от дифференциала второго порядка и обозначается d3y или d3f(x):

Заметим, что выражение производной через отношение дифференциалов часто бывает удобно, поэтому оно широко используется. Так, вместо будем писать: , вместо пишем: .

Пример 3. Найти d3y для функции y = cos2x.

1. y’ = (cos2x)‘ = –2cosxsinx = –sin2x, y» = (–sin2x)‘ = –2cos2x, y»’ = 4sin2x.
2. Следовательно, d3y = 4sin2xdx3.
3. Рассмотрим нахождение производных высших порядков для функций, заданных параметрически и неявно.
4. Пусть функция y, зависящая от x, задана параметрически уравнениями
5. , tÎT
6. (T – некоторый промежуток).

Найдем . Известно, что = = (разд.2.6), поэтому

Аналогично будут вычисляться и т.д.

• Пример 4. Функция y от x задана параметрически уравнениями:
• , 0£ t £ p.
• Найти .
• Решение. = = = = –tgt;
• = = = —= .
• Нахождение производных высших порядков от функций, заданных неявно, рассмотрим на примере.

Пример 5. Найти , для функции, заданной неявно уравнением: ey + xy = e. Вычислить y’(0), y»(0).

Решение. Найдем сначала y’, как описано в в разд. 2.5:

1. (ey + xy)‘ = (e)‘, ey×y’ + y + xy’ = 0, y’(ey + x) = –y, y’ = –.
2. Для нахождения y» будем дифференцировать равенство ey×y’ + y + xy’ = 0, получим:
3. ey×(y’)2 + ey×y» + y’ + y’ + xy» = 0, отсюда найдем y», затем подставим найденное значение y’: y»(ey + x) = –ey×(y’)2 – 2y’,
4. y» = –= = =
5. = .
6. Итак, y’ = –, y» = . Подставим x = 0 в исходное уравнение ey + xy = e, получим: ey + 0×y = e, откуда y = 1, значит,
7. y(0) = 1; y’(0) = –; y»(0) = = .

Производная функции, заданной неявно

Формула производной функции, заданной неявно. Доказательство и примеры применения этой формулы. Примеры вычисления производных первого, второго и третьего порядка.

Пусть функция задана неявным образом с помощью уравнения (1) . И пусть это уравнение, при некотором значении , имеет единственное решение . Пусть функция является дифференцируемой функцией в точке , причем . Тогда, при этом значении , существует производная , которая определяется по формуле: (2) .

Доказательство

Для доказательства рассмотрим функцию как сложную функцию от переменной : . Применим правило дифференцирования сложной функции и найдем производную по переменной от левой и правой частей уравнения (3) : . Поскольку производная от постоянной равна нулю и , то (4) ; .

Производные высших порядков

Перепишем уравнение (4), используя другие обозначения: (4) . При этом и являются сложными функциями от переменной : ; . Зависимость определяет уравнение (1): (1) .

Находим производную по переменной от левой и правой части уравнения (4). По формуле производной сложной функции имеем: ; . По формуле производной произведения: . По формуле производной суммы: .

Поскольку производная правой части уравнения (4) равна нулю, то (5) . Подставив сюда производную , получим значение производной второго порядка в неявном виде.

Дифференцируя, аналогичным образом, уравнение (5), мы получим уравнение, содержащее производную третьего порядка : . Подставив сюда найденные значения производных первого и второго порядков, найдем значение производной третьего порядка.

Продолжая дифференцирование, можно найти производную любого порядка.

Примеры

Пример 1

Найдите производную первого порядка от функции, заданной неявно уравнением: (П1) .

Решение по формуле 2

Находим производную по формуле (2): (2) .

Перенесем все переменные в левую часть, чтобы уравнение приняло вид . . Отсюда .

Находим производную по , считая постоянной. ; ; ; .

Находим производную по переменной , считая переменную постоянной. ; ; ; .

По формуле (2) находим: .

Мы можем упростить результат если заметим, что согласно исходному уравнению (П.1), . Подставим : . Умножим числитель и знаменатель на : .

Решение вторым способом

Решим этот пример вторым способом. Для этого найдем производную по переменной левой и правой частей исходного уравнения (П1).

Применяем формулу производной сложной функции: . Применяем формулу производной дроби: ; . Применяем формулу производной сложной функции: . Дифференцируем исходное уравнение (П1).

; . Умножаем на и группируем члены. ; .

Подставим (из уравнения (П1)): . Умножим на : .

Пример 2

Найти производную второго порядка от функции , заданной неявно с помощью уравнения: (П2.1) .

Дифференцируем исходное уравнение, по переменной , считая что является функцией от : ; . Применяем формулу производной сложной функции.

Дифференцируем исходное уравнение (П2.1): ; . Из исходного уравнения (П2.1) следует, что . Подставим : . Раскрываем скобки и группируем члены:

(П2.2) . Находим производную первого порядка:

Чтобы найти производную второго порядка, дифференцируем уравнение (П2.2). ; ; ; . Подставим выражение производной первого порядка (П2.3):

Умножим на : ; . Отсюда находим производную второго порядка.

Пример 3

Найти производную третьего порядка при от функции , заданной неявно с помощью уравнения: (П3.1) .

Дифференцируем исходное уравнение по переменной считая, что является функцией от . ; ; ; ; ; ; (П3.2) ;

Дифференцируем уравнение (П3.2) по переменной . ; ; ; ; ; (П3.3) .

Дифференцируем уравнение (П3.3). ; ; ; ; ; (П3.4) .

Из уравнений (П3.2), (П3.3) и (П3.4) находим значения производных при . ; ; .

Найти производную второго порядка

Данный онлайн калькулятор позволяет находить производную функции второго порядка.
Производная служит обобщенным понятием скорости изменения функции. Производная f’(x) функции f(x) в точке x – это предел отношения приращения функции к приращению аргумента, когда приращение аргумента стремится к нулю. Нахождение производной функции называется дифференцированием функции.

Так как производная функции также является функцией, то эту функцию можно дифференцировать еще раз. Если функция дифференцируема, то ее производную называют второй производной от f(x) и она обозначается f’’(x).

Вторая производная определяет скорость изменения скорости, другими словами, ускорение. Нахождение производной второго порядка может быть использовано, например, для анализа выпуклости функций.

Калькулятор поможет найти производную функции второго порядка онлайн.

Для получения полного хода решения нажимаем в ответе Step-by-step.

Примеры по дифференциальным уравнениям в частных производных

Немного теории

Дифференциальным уравнением с частными производными (ДУ с ЧП) называется уравнение относительно неизвестной функции нескольких переменных (ФНП) и ее частных производных. Наивысший порядок частных производных (существенно входящих в уравнение) называется порядком этого уравнения.

ДУ с ЧП называется линейным (ЛДУ с ЧП), если неизвестная функция и ее производные входят в это ДУ линейно (в первой степени).

В этом разделе вы найдете подробно решенные задачи по темам: классификация и приведение к каноническому виду ДУ с ЧП второго порядка с двумя переменными, определение типа уравнения, решение уравнений и систем ДУ в ЧП.

ДУ с ЧП находят широкое применение в прикладных науках: квантовая механика, электродинамика, термодинамика, теория теплои массопереноса и др. при математическом описании и моделировании различных физических процессов. Поэтому такие уравнения изучаются под общим названием уравнений математической физики (примеры решений 16 задач).

Приведение к каноническому виду

Задача 1. Привести к каноническому виду уравнение

Задача 2. Привести уравнение к каноническому виду.

Задача 3. Найти общее решение уравнения, приведя его к каноническому виду:

Решение ДУ в ЧП

Задача 4. Решить уравнение Пфаффа

$$ z^2 dx +zdy +(3zx +2y)dz=0. $$

Задача 5. Решить задачу Коши для уравнения в частных производных

$$ u_-2\Delta u =(x^2+y^2+z^2)t; \quad u(t=0)=xyz, u_t(t=0)=x-y. $$

Задача 6. Найти общее решение уравнения в частных производных

Задача 7. Найти общее решение уравнения в частных производных первого порядка.

$$ xy u_x +(x-2u)u_y = yu. $$

Задача 8. Найти решение задачи Коши для уравнения в частных производных

$$ y u_x -xy u_y=2xu, \quad u(x+y=2)=1/y. $$

Задача 9. Решить систему дифференциальных уравнений в частных производных

Разные задачи на исследование ДУ в ЧП

Задача 10. Найти поверхность, удовлетворяющую данному уравнению и проходящую через данную линию

Задача 11. Найти области гиперболичности, эллиптичности и параболичности уравнения и исследовать их зависимость от $l$, где $l$ – числовой параметр.

Задача 12. Найти функцию, гармоническую внутри круга радиуса $R$ c центром в начале координат и такую, что

Помощь с решением ДУ в ЧП

Если вам нужна помощь с решением задач и контрольных по дифференциальным уравнениям (и другим разделам математического анализа), обращайтесь в МатБюро. Стоимость подробной консультации от 100 рублей , оформление производится в Word, срок от 1 дня.

Дифференциальные уравнения в частных производных с примерами решения и образцами выполнения

Дифференциальным уравнением с частными производными называется уравнение вида
(1)

связывающее независимые переменные x1, х2, … , хn искомую функцию и = и(х1, х2,…, хn) и ее частные производные (наличие хотя бы одной производной обязательно). Здесь ki,k2,… ,кn — неотрицательные целые числа, такие, что к1 + к2 + … + кп = т.

Порядком дифференциального уравнения называется наивысший порядок входящие в уравнение частных производных. Так, если х, у — независимые переменные, и = и(х, у) — искомая функция, то

— дифференциальное уравнение 1-го порядка;

— дифференциальные уравнения 2-го порядка.

Для упрощения записи пользуются также следующими обозначениями:

Пусть имеем дифференциальное уравнение с частными производными (1) порядка т. Обозначим через С m (D) множество функций, непрерывных в области D вместе со всеми производными до порядка m включительно.

Определение:

Решением дифференциального уравнения (1) в некоторой области D изменения независимых переменных x1, x2…xn,. называется всякая функция и = и(х1, х2,…, xп) ∈ С m (D) такая, что подстановка этой функции и ее производных в уравнение (1) обращает последнее в тождество по x1, x2, …., хп в области D.

Пример:

Найти решение и = и(х,у) уравнения

Равенство (2) означает, что искомая функция и не зависит опт х, но может быть любой функцией от у,

u = φ(y). (3)

Таким образом, решение (3) уравнения (2) содержит одну произвольную функцию. Это — общее решение уравнения (2).

Приме:

Найти решение u = u(z, у) уравнения

Положим = о. Тогда уравнение (4) примет вид = 0. Его общим решением будет произвольная функция v = w(у). Поскольку v= приходим к уравнению = w(у). Интегрируя по у (считая х параметром), получим

где g(x) — произвольная функция. Так как w(у) — произвольная функция, то и интеграл от нее также является произвольной функцией; обозначим его через f(у). В результате получим решение уравнения (4) в виде

u(x, y) = f(y) + g(x) (5)

произвольные дифференцируемые функции).

Решение (5) уравнения с частными производными 2-го порядка (4) содержит уже две произвольные функции. Его называют общим решением уравнения (4), так как всякое другое решение уравнения (4) может быть получено из (5) подходящим выбором функций f и g.

Мы видим, таким образом, что уравнения с частными производными имеют целые семейства решений. Однако существуют уравнения с частными производными, множества решений которых весьма узки и, в некоторых случаях, да же пусты.

Пример:

Множество действительных решений уравнения

исчерпывается функцией u(x, y) = const, а уравнение

вовсе не имеет действительных решений.

Мы не ставим пока вопрос об отыскании частных решений. Позже будет выяснено, какие дополнительные условия нужно задать, чтобы с их помощью можно было выделить частное решение, т.е. функцию, удовлетворяющую как дифференциальному уравнению, так и этим дополнительным условиям.

Линейные дифференциальные уравнения с частными производными. Свойства их решений

Уравнение с частными производными называется линейным, если оно линейно относительно искомой функции и всех ее производных, входящих в уравнение; в противном случае уравнение называется нелинейным.

Пример:

— линейное уравнение; уравнения

Линейное дифференциальное уравнение 2-го порядка для функции двух независимых переменных х, у в общем случае имеет вид
(1)

где А(х, у), В(х, у), …, с(х,у), f(x,y) — функции переменных х, у, заданные в некоторой области D плоскости хОу. Если f(x,y) ≡ 0 в D, то уравнение (1) называется однородным, в противном случае — неоднородным.

Обозначив левую часть уравнения (1) через L[u], запишем (1) в виде

L[u] = f(x, у). (2)

Соответствующее однородное уравнение запишется так:

L[u] = 0. (3)

Здесь L — линейный дифференциальный оператор, определенный на линейном пространстве C 2 (D) функций и = и(х, у).

Пользуясь свойством линейности оператора L, легко убедиться в справедливости следующих теорем, выражающих свойства решений линейных однородных дифференциальных уравнений с частными производными.

Теорема:

Если и(х, у) есть решение линейного однородного уравнения (3), то си(х, у), где с — любая постоянная, есть также решение уравнения (3).

Теорема:

Если и₁(х, у) и и₂(х, у) — решения линейного однородного уравнения (3), то сумма и₁(х, у) + и₂(x, у) есть также решение этого уравнения.

Следствие:

Если каждая из функций и₁(х, у) и и₂(х, у), u k(x, у) является решением уравнения (3), то линейная комбинация

где c1, c2 …, сk — произвольные постоянные, также является решением этого уравнения.

В отличие от обыкновенного линейного однородного дифференциального уравнения, имеющего конечное число линейно независимых частных решений, линейная

комбинация которых дает общее решение этого уравнения, уравнение с частными производными может иметь бесконечное множество линейно независимых частных решений.

Пример:

имеет общее решение k = φ(х), так что решениями его будут, например, функции 1,х,…, х n ,… . В соответствии с этим в линейных задачах для уравнений с частными производными нам придется иметь дело не только с линейными комбинациями конечного числа решений, но и с рядами , членами которых являются произведения постоянных Сп на частные решения иn(х, у) дифференциального уравнения.

Возможны случаи, когда функция и(х, у; λ) при всех значениях параметра λ из некоторого интервала (λо, λ1), конечного или бесконечного, является решением уравнения (3). В этом случае говорят, что решения уравнения зависят от непрерывно меняющегося параметра λ. Если теперь взять функцию С(λ) такую, что первые и вторые производные интеграла

по х и по у могут быть получены с помощью дифференцирования под знаком интеграла, то этот интеграл также будет решением уравнения (3). Для линейного неоднородного уравнения

L[u] = f (4)

справедливы следующие предложения.

Теорема:

Если и(х, у) есть решение линейного неоднородного уравнения (4), a v(x, у) — решение соответствующего однородного уравнения (3), то сумма и + v есть решение неоднородного уравнения (4).

Теорема:

Принцип суперпозиции. Если и1(х, у) —решение уравнения L[u] = f1, a u2(x,y) — решение уравнения L[u] = f2, то и1 + u2 — решение уравнения L[u] = f1 + f2.

Классификация линейных дифференциальных уравнений второго порядка с двумя независимыми переменными

Определение:

Линейное дифференциальное уравнение второго порядка

в некоторой области Q на плоскости хОу называется

1) гиперболическим в Ω, если

2) параболическим в Ω, если

3) эллиптическим в Ω, если

Пользуясь этим определением, легко проверить, что уравнения

— гиперболические при всех х и у, уравнение

— параболическое при всех х и у, а уравнение

— эллиптическое при всех х и у. Уравнение

— эллиптическое при у > 0, параболическое на линии у = 0 и гиперболическое в полуплоскости у

с помощью которой уравнение (1) преобразуется к более простому, каноническому виду, своему для каждого типа уравнения.

Уравнение гиперболического типа (∆ > 0) преобразуется к вшу

(два канонических вида уравнений гиперболического типа).

Уравнение параболического типа (∆ ≡ 0) преобразуется к виду

(канонический вид уравнения параболического типа).

Уравнение эллиптического типа (∆

(канонический вид уравнения эллиптического типа). Здесь F и Ф — некоторые функции, зависящие от искомой функции и, ее первых производных и независимых переменных ξ, η. Вид функций F и Ф определяется исходным уравнением (1).

В некоторых случаях каноническая форма уравнения позволяет найти общее решение исходного уравнения.

Как правило, приведениеуравнения(1) к каноническому виду путем замены независимых переменных имеет локальный характер, т. е. осуществимо лишь в некоторой достаточно малой окрестности рассматриваемой точки Mo(xo, уo).

Когда число п независимых переменных больше двух, также различают уравнения гиперболического, параболического и эллиптического типов. Например, при п = 4 простейшая каноническая форма таких уравнений имеет вид

Здесь и = и(х, у, z, t).

Замечание:

В общем случае, когда число независимых переменных больше двух, приведение линейною уравнения с переменными коэффициентами

к каноническому виду возможно только в данной точке и невозможно в любой сколь угодно малой окрестности этой точки.

Мы ограничимся рассмотрением линейных дифференциальных уравнений 2-го порядка. К таким уравнениям приводит большое количество различных физических задач.

Так, колебательные процессы различной природы (колебания струн, мембран, акустические колебания газа в трубах, электромагнитные колебания и т. д.) описываются уравнениями гиперболического типа. Простейшим из таких уравнений является уравнение колебаний струны (одномерное волновое уравнение): (2)

Здесь х — пространственная координата, t — время, где Т — натяжение струны, р — ее линейная плотность.

Процессы теплопроводности и диффузии приводят к уравнениям параболического типа. В одномерном случае простейшее уравнение теплопроводности имеет вид
(3)

Здесь где р — плотность среды, с — удельная теплоемкость, k — коэффициент теплопроводности.

Наконец, установившиеся процессы, когда искомая функция не зависит от времени, определяются уравнениями эллиптического типа, типичным представителем которых является уравнение Лапласа
(4)

Непосредственной проверкой убеждаемся в том, что решением уравнения (2) является всякая функция и(х, t) вида

Можно показать, что решениями уравнения (3) являются функции вида

произвольные постоянные, А — числовой параметр). Интегрируя решение и(х, t; λ) = уравнения (3) по параметру λ в пределах от — ∞ до + ∞ , получим так называемое фундаментальное решение U(x, t) = уравнения теплопроводности.

Наконец, нетрудно убедиться, что действительнозначные функции Рn(х,у) и Qn(x, у), определяемые из соотношения

являются решениями уравнения Лапласа (4) для п = 0, 1, 2…..Этот последний результат есть частный, случай общего утверждения, что и действительная и мнимая части аналитической функции

f(z) = u(x, у) + iv(x, у)

комплексного переменного z = х + iy являются решениями уравнения Лапласа (4).

В силу линейности уравнения (4) ряды

тоже будут решениями уравнения (4), если они сходятся равномерно, как и ряды, полученные из них двукратным почленным дифференцированием по каждому из аргументов х, у.

Таким образом, для простейшей — канонической — формы уравнений гиперболического, параболического и эллиптического типов мы располагаем о решениях этих уравнений некоторой информацией.

Постановка основных задач для линейных дифференциальных уравнений второго порядка

Для полного описания того или иного физического процесса мало иметь только дифференциальное уравнение процесса, надо еще задать начальное состояние этого процесса (начальные условия) и режим на границе S той области Ω, в которой процесс происходит (граничные условия). Это обусловлено неединственностью решения дифференциальных уравнений.

Пример:

Общее решение уравнения

имеет вид и(х, у) = f(x) + g(y), где f(x) и g(y) — произвольные дифференцируемые функции. Поэтому чтобы выделить решение, описывающее данный физический процесс, необходимо задать дополнительные условия.

Различают три основных типа задач для дифференциальных уравнений с частными производными (число независимых переменных равно п):

а) задача Коши для уравнений гиперболического и параболического типов: задаются начальные условия, область Ω совпадает со всем пространством R n , граничные условия отсутствуют;

б) краевая задача для уравнений эллиптического типа: задаются граничные условия на границе S области Ω, начальные условия отсутствуют;

в) смешанная задача для уравнений гиперболического и параболического типов: задаются начальные и граничные условия, Ω ≠ R n

Решение заданий и задач по предметам:

Дополнительные лекции по высшей математике:

Образовательный сайт для студентов и школьников

Копирование материалов сайта возможно только с указанием активной ссылки «www.lfirmal.com» в качестве источника.

© Фирмаль Людмила Анатольевна — официальный сайт преподавателя математического факультета Дальневосточного государственного физико-технического института