Производная функции, заданной неявно
Производная первого порядка
Пусть функция задана неявным образом с помощью уравнения
(1) .
И пусть это уравнение, при некотором значении , имеет единственное решение . Пусть функция является дифференцируемой функцией в точке , причем
.
Тогда, при этом значении , существует производная , которая определяется по формуле:
(2) .
Доказательство
Для доказательства рассмотрим функцию как сложную функцию от переменной :
.
Применим правило дифференцирования сложной функции и найдем производную по переменной от левой и правой частей уравнения
(3) :
.
Поскольку производная от постоянной равна нулю и , то
(4) ;
.
Производные высших порядков
Перепишем уравнение (4), используя другие обозначения:
(4) .
При этом и являются сложными функциями от переменной :
;
.
Зависимость определяет уравнение (1):
(1) .
Поскольку производная правой части уравнения (4) равна нулю, то
(5) .
Подставив сюда производную , получим значение производной второго порядка в неявном виде.
Дифференцируя, аналогичным образом, уравнение (5), мы получим уравнение, содержащее производную третьего порядка :
.
Подставив сюда найденные значения производных первого и второго порядков, найдем значение производной третьего порядка.
Продолжая дифференцирование, можно найти производную любого порядка.
Примеры
Пример 1
Найдите производную первого порядка от функции, заданной неявно уравнением:
(П1) .
Решение по формуле 2
Находим производную по формуле (2):
(2) .
Перенесем все переменные в левую часть, чтобы уравнение приняло вид .
.
Отсюда .
Находим производную по , считая постоянной.
;
;
;
.
Находим производную по переменной , считая переменную постоянной.
;
;
;
.
По формуле (2) находим:
.
Мы можем упростить результат если заметим, что согласно исходному уравнению (П.1), . Подставим :
.
Умножим числитель и знаменатель на :
.
Решение вторым способом
Решим этот пример вторым способом. Для этого найдем производную по переменной левой и правой частей исходного уравнения (П1).
Подставим (из уравнения (П1)):
.
Умножим на :
.
Пример 2
Найти производную второго порядка от функции , заданной неявно с помощью уравнения:
(П2.1) .
Дифференцируем исходное уравнение, по переменной , считая что является функцией от :
;
.
Применяем формулу производной сложной функции.
.
Дифференцируем исходное уравнение (П2.1):
;
.
Из исходного уравнения (П2.1) следует, что . Подставим :
.
Раскрываем скобки и группируем члены:
;
(П2.2) .
Находим производную первого порядка:
(П2.3) .
Чтобы найти производную второго порядка, дифференцируем уравнение (П2.2).
;
;
;
.
Подставим выражение производной первого порядка (П2.3):
.
Умножим на :
;
.
Отсюда находим производную второго порядка.
Пример 3
Найти производную третьего порядка при от функции , заданной неявно с помощью уравнения:
(П3.1) .
Дифференцируем исходное уравнение по переменной считая, что является функцией от .
;
;
;
;
;
;
(П3.2) ;
Дифференцируем уравнение (П3.2) по переменной .
;
;
;
;
;
(П3.3) .
Из уравнений (П3.2), (П3.3) и (П3.4) находим значения производных при .
;
;
.
Автор: Олег Одинцов . Опубликовано: 16-02-2017
Производная фукнции, заданной неявно: руководство, примеры
Как найти производную функции, заданной неявно
Будем учиться находить производные функций, заданных неявно. Что значит неявно? Сравним с обычной функцией. Обычная функция задана уравнением вида y=f(x) , где игрек, то есть функция, задан некоторым выражением, в котором присутствует икс. Таким образом, из переменных в левой части — только игрек, в правой — только икс. Если же функция задана неявно, то в левой части различные слагаемые с игреком «смешаны» с различными слагаемыми с иксом (или переменной, обозначенной другой буквой). Примеры функций, заданных неявно:
,
,
,
,
.
При этом и икс, и игрек могут быть в различных степенях, а в одном слагаемом могут быть и игрек, и икс.
Если функция задана неявно, то как получить игрек, то есть явную функцию? Просто: выразить игрек через другую переменную, то есть получить в левой части только игрек. А если нужно найти производную функции, заданной неявно, то есть получить в левой части только игрек со штрихом? Нужно сначала найти производные обеих частей уравнения, то есть продифференцировать их. А затем выразить производную игрека через производные других переменных.
Теперь приведенный выше «скелет» решения обрастет «мясом», то есть необходимыми подробностями. Те слагаемые, в которых присутствует только икс, обратятся в обычную производную функции от икса. А слагаемые, в которых присутствуют и икс, и игрек, нужно дифференцировать, пользуясь правилом дифференцирования сложной функции, то есть учитывать, что игрек — это функция от икса. Если совсем просто, то в полученной производной слагаемого с иксом должно получиться: производная функции от игрека, умноженная на производную от игрека. Например, производная слагаемого запишется как , производная слагаемого запишется как . Далее из всего этого нужно выразить этот «игрек штрих» и будет получена искомая производная функции, заданной неявно. Разберём это на примерах.
Решаем задачи вместе
Пример 1. Найти производную функции, заданной неявно:
.
Решение. Дифференцируем обе части уравнения по иксу, считая, что игрек — функция от икса:
.
Отсюда получаем производную, которая требуется в задании:
.
Решение производной функции, заданной неявно, можно проверить на онлайн калькуляторе.
y = f(x) . Так, например, заданные неявно функции
и
не выражаются через элементарные функции, то есть эти уравнения нельзя разрешить относительно игрека. Поэтому и существует правило дифференцирования функции, заданной неявно, которое мы уже изучили и далее будем последовательно применять в других примерах.
Пример 2. Найти производную функции, заданной неявно:
.
Решение. Дифференцируем обе части уравнения по иксу:
.
Выражаем игрек штрих и — на выходе — производная функции, заданной неявно:
.
Пример 3. Найти производную функции, заданной неявно:
.
Решение. Дифференцируем обе части уравнения по иксу:
.
Выражаем и получаем производную:
.
Решение производной функции, заданной неявно, можно проверить на онлайн калькуляторе.
Пример 4. Найти производную функции, заданной неявно:
.
Решение. Дифференцируем обе части уравнения по иксу:
.
Выражаем и получаем производную:
.
Пример 5. Найти производную функции, заданной неявно:
.
Решение. Переносим слагаемые в правой части уравнение в левую часть и справа оставляем ноль. Дифференцируем обе части уравнения по иксу:
Путь к ответу и в конец сам ответ:
Решить задачи самостоятельно, а затем посмотреть решения
Пример 6. Найти производную функции, заданной неявно:
Пример 7. Найти производную функции, заданной неявно:
Пример 8. Найти производную функции, заданной неявно:
Производная функции, заданной неявно
Если независимая переменная $x$ и функция $y$ связаны уравнением вида $F(x,y)=0$, которое не разрешено относительно $y$, то функция $y$ называется неявной функцией переменной $x$.
Всякую явно заданную функцию $y=f(x)$ можно записать в неявном виде $y-f(x)=0$. Обратно сделать не всегда возможно.
Несмотря на то, что уравнение $F(x,y)=0$ не разрешимо относительно $y$, оказывается возможным найти производную от $y$ по $x$. В этом случае необходимо продифференцировать обе части заданного уравнения, рассматривая функцию $y$ как функцию от $x$, а затем из полученного уравнения найти производную $y^<\prime>$.
Задание. Найти вторую производную $y^<\prime \prime>$ неявной функции $x^2+xy^2=1$.
Решение. Продифференцируем левую и правую часть заданного равенства, при этом помним, что $y$ является функцией переменной $x$, поэтому производную от нее будем брать как производную от сложной функции. В итоге получаем:
Из полученного равенства выражаем $y^<\prime>$:
Для нахождения второй производной продифференцируем равенство $2 x+y^<2>+2 x y \cdot y^<\prime>=0$ еще раз:
Подставив вместо $y^<\prime>$ найденное выше выражение, получаем:
После упрощения получаем:
Из полученного равенства выражаем вторую производную $$y^<\prime \prime>(x)$$:
http://function-x.ru/derivative7.html
http://www.webmath.ru/poleznoe/formules_8_14.php