Производная функции, заданной неявно
Производная первого порядка
Пусть функция задана неявным образом с помощью уравнения
(1) .
И пусть это уравнение, при некотором значении , имеет единственное решение . Пусть функция является дифференцируемой функцией в точке , причем
.
Тогда, при этом значении , существует производная , которая определяется по формуле:
(2) .
Доказательство
Для доказательства рассмотрим функцию как сложную функцию от переменной :
.
Применим правило дифференцирования сложной функции и найдем производную по переменной от левой и правой частей уравнения
(3) :
.
Поскольку производная от постоянной равна нулю и , то
(4) ;
.
Производные высших порядков
Перепишем уравнение (4), используя другие обозначения:
(4) .
При этом и являются сложными функциями от переменной :
;
.
Зависимость определяет уравнение (1):
(1) .
Поскольку производная правой части уравнения (4) равна нулю, то
(5) .
Подставив сюда производную , получим значение производной второго порядка в неявном виде.
Дифференцируя, аналогичным образом, уравнение (5), мы получим уравнение, содержащее производную третьего порядка :
.
Подставив сюда найденные значения производных первого и второго порядков, найдем значение производной третьего порядка.
Продолжая дифференцирование, можно найти производную любого порядка.
Примеры
Пример 1
Найдите производную первого порядка от функции, заданной неявно уравнением:
(П1) .
Решение по формуле 2
Находим производную по формуле (2):
(2) .
Перенесем все переменные в левую часть, чтобы уравнение приняло вид .
.
Отсюда .
Находим производную по , считая постоянной.
;
;
;
.
Находим производную по переменной , считая переменную постоянной.
;
;
;
.
По формуле (2) находим:
.
Мы можем упростить результат если заметим, что согласно исходному уравнению (П.1), . Подставим :
.
Умножим числитель и знаменатель на :
.
Решение вторым способом
Решим этот пример вторым способом. Для этого найдем производную по переменной левой и правой частей исходного уравнения (П1).
Подставим (из уравнения (П1)):
.
Умножим на :
.
Пример 2
Найти производную второго порядка от функции , заданной неявно с помощью уравнения:
(П2.1) .
Дифференцируем исходное уравнение, по переменной , считая что является функцией от :
;
.
Применяем формулу производной сложной функции.
.
Дифференцируем исходное уравнение (П2.1):
;
.
Из исходного уравнения (П2.1) следует, что . Подставим :
.
Раскрываем скобки и группируем члены:
;
(П2.2) .
Находим производную первого порядка:
(П2.3) .
Чтобы найти производную второго порядка, дифференцируем уравнение (П2.2).
;
;
;
.
Подставим выражение производной первого порядка (П2.3):
.
Умножим на :
;
.
Отсюда находим производную второго порядка.
Пример 3
Найти производную третьего порядка при от функции , заданной неявно с помощью уравнения:
(П3.1) .
Дифференцируем исходное уравнение по переменной считая, что является функцией от .
;
;
;
;
;
;
(П3.2) ;
Дифференцируем уравнение (П3.2) по переменной .
;
;
;
;
;
(П3.3) .
Из уравнений (П3.2), (П3.3) и (П3.4) находим значения производных при .
;
;
.
Автор: Олег Одинцов . Опубликовано: 16-02-2017
Производная неявной функции онлайн
Неявная функция — это функция, например , заданная в виде уравнения:
F ( x , y ( x ) ) = 0
Как правило, вместо уравнения F ( x , y ( x ) ) = 0 пишут просто F ( x , y ) = 0 подразумевая, что есть функция от .
В качестве примера неявного задания функции, можно привести уравнение окружности:
уравнение декартового листа:
x 3 + y 3 = 3 ∙ a ∙ x ∙ y ( a = const ≠ 0 ) ,
и т.д. Все эти примеры можно записать в виде уравнения F ( x , y ) = 0 : уравнение окружности: F ( x , y ) = x 2 + y 2 − a 2 = 0 , уравнение декартового листа: F ( x , y ) = x 3 + y 3 − 3 ∙ a ∙ x ∙ y = 0 .
В связи с тем, что для исследования любой функции (в том числе и заданной неявно) необходимо вычислять производную, задача нахождения производной функции заданной неявно возникает довольно часто. Так, как же найти производную неявной функции? Исчерпывающий ответ на этот вопрос вы получите, воспользовавшись нашим онлайн калькулятором.
Для того, чтобы решить вашу задачу, для начала перепишите свою функцию в виде уравнения F ( x , y ) = 0 . Как это сделать, подробно описано выше (нужно просто перенести все слагаемые в левую часть уравнения, оставив справа ). Далее вам необходимо определиться, как у вас обозначается переменная и как обозначается функция, которая зависит от этой переменной. В приведенных выше примерах, — переменная, — функция, зависящая от .
Затем, вам необходимо ввести свое уравнение F ( x , y ) в наш онлайн калькулятор и получить решение вашей задачи.
Неявные функции
Неявные функции, определяемые одним уравнением.
Пусть функция \(F(x,y)\) определена в \(R^2\). Рассмотрим уравнение
$$
F(x,y)=0.\label
$$
Множество \(G_F\) точек плоскости, координаты которых удовлетворяют уравнению \eqref
Так, график уравнения \(x^2 + y^2 — 1 = 0\) есть окружность, график уравнения \((x-1)(x+y-1)=0\) есть пара прямых \(x = 1\) и \(x+y-1=0\) (рис. 28.1).
Рис. 28.1
Если график \(G_F\) уравнения \eqref
Но, как правило, график уравнения \eqref
Меняя местами переменные \(x\) и \(y\), можно говорить о том, что уравнение \eqref
Докажем теорему, дающую достаточные условия существования, непрерывности и дифференцируемости неявной функции, определяемой уравнением \eqref
- функция \(F(x,y)\) имеет в окрестности точки \((x_0,y_0)\) непрерывные частные производные \(F_x(x,y)\) и \(F_y(x,y)\);
- \(F(x_0,y_0)=0\);
- \(F_y(x_0,y_0)\neq 0\).
Тогда существует прямоугольник
$$
K = \<(x,y): \; x_0-a\leq x\leq x_0+a, \; y_0-b\leq y\leq y_0+b\>,\nonumber
$$
в котором уравнение \(F(x,y) = 0\) определяет \(y\) как неявную функцию \(x\). Функция \(y=f(x)\) непрерывно дифференцируема на интервале \((x_0-a,x_0+a)\) и
$$
f'(x)=-\frac
$$
\(\circ\) Разобьем доказательство на два пункта.
Доказательство существования неявной функции. Из условия \(F_y(x_0,y_0)\neq 0\) следует, что либо \(F_y(x_0,y_0) > 0\), либо \(F_y(x_0,y_0) 0.\label
$$
Если \(F_y(x_0,y_0) 0\).
Так как функция \(F_y(x,y)\) в точке \((x_0,y_0)\) непрерывна и в силу условия \eqref
$$
K_1=\<(x,y): \; |x-x_0|\leq a_1, \; |y-y_0|\leq b\>,\nonumber
$$
в котором функция \(F_y(x,y) > 0\).
Рис. 28.3
Рассмотрим функцию одной переменной
$$
\psi (y)=F(x_0,y),\quad y_0-b\leq y\leq y_0+b.\nonumber
$$
Функция \(\psi (y)\) строго возрастает на отрезке \([y_0-b,y_0+b]\), так как
$$
\psi'(y)=F_y(x_0,y) > 0.\nonumber
$$
Кроме того, в силу условия \(F(x_0,y_0)=0\)
$$
\psi (y_0) = F(x_0,y_0) = 0.\nonumber
$$
Поэтому
$$
\psi (y_0-b)= F(x_0,y_0-b) 0.\label
$$
Неравенства \eqref
$$
F(x,y_0-b) 0.\label
$$
Покажем, что в прямоугольнике
$$
K=\<(x,y): \; |x-x_0|\leq a, \; |y-y_0|\leq b\>,\nonumber
$$
уравнение \(F(x,y) = 0\) определяет \(y\) как неявную функцию \(x\).
Возьмем любую точку \(x^*\in [x_0-a,x_0+a]\) и рассмотрим непрерывную на отрезке \([y_0-b,y_0+b]\) функцию одной переменной \(\varphi (y)=F(x^*,y)\). В силу условия \eqref
$$
\varphi(y_0-b)= F(x^*,y_0-b) 0.\nonumber
$$
По теореме Коши о промежуточных значениях найдется такая точка \(y^*\in [y_0-b,y_0+b]\), что
$$
\varphi(y^*) = F(x^*,y^*)=0.\nonumber
$$
Так как \(\varphi'(y) = F_y(x^*,y) > 0\), то функция \(\varphi(y)\) строго возрастает на отрезке \([y_0-b,y_0+b]\) и не может обратиться на этом отрезке в нуль более одного раза.
Таким образом, для любого \(x\in [x_0-a,x_0+a]\) найдется единственный \(y\in [y_0-b,y_0+b]\) такой, что \(F(x,y) = 0\). Это означает, что в прямоугольнике \(K\) уравнение \(F(x,y) = 0\) определяет \(y\) как неявную функцию \(x\).
Доказательство непрерывной дифференцируемости неявной функции. Непрерывная на замкнутом прямоугольнике \(K\) функция \(F_y(x,y)\) по теореме Вейерштрасса принимает на этом прямоугольнике свое наименьшее значение \(\alpha\). Так как \(F_y(x,y) > 0\) на \(K\), то
$$
F_y(x,y)\geq a > 0,\qquad (x,y)\in K.\label
$$
Непрерывная на \(K\) функция \(F_x(x,y)\) ограничена на \(K\). Поэтому
$$
|F_x(x,y)| Замечание 1.
Если известно, что уравнение \(F(x,y)=0\) определяет в прямоугольнике \(a\leq x\leq b, \; c\leq y\leq d\) переменную \(y\) как неявную функцию \(x\), то связь между \(dy\) и \(dx\) можно установить, формально дифференцируя тождество \(F(x,y(x)) = 0\). Воспользовавшись инвариантностью формы дифференциала, получаем
$$
F_x(x,y)dx + F_y(x,y)dy = 0.\nonumber
$$
Дифференцируя последнее тождество еще раз, можем найти второй дифференциал \(d^2y\)
$$
F_
$$
Неявные функции, определяемые системой уравнений.
Рассмотрим систему \(m\) уравнений с \(n+m\) неизвестными
$$
\left\<\begin
$$
При формулировке общей теоремы о неявных функциях удобно пользоваться понятием декартова произведения множеств. Если \(A\) и \(B\) — произвольные множества, то их декартово произведение \(A\times B\) есть множество пар \((x,y)\), где \(x\in A\), \(y\in B\). Так, декартово произведение \([a,b]\times [c,d]\) есть множество пар вещественных чисел таких, что \(a\leq x\leq b,\) и \(c\leq y\leq d\), то есть прямоугольник в \(R^2\).
Клеточной окрестностью точки \(x^0 =(x_1^0,\ldots,x_n^0)\) будем называть следующее множество:
$$
K(x^0)=\
$$
где \(\varepsilon_i, \; i =\overline<1,n>\) — положительные числа, \(x = (x_1,…,x_n)\).
Легко видеть, что в том случае, когда \(K_1(x^0)\subset R^n\) и \(K_2(y^0)\subset R^m\) — клеточные окрестности, их декартово произведение \(K_1(x^0)\times K_2(y^0)\) есть клеточная окрестность точки \((x^0,y^0)=(x_1^0,…,x_n^0,y_1^0,…,y_m^0\) в пространстве \(R^
Для дальнейшего удобно преобразовать переменные, полагая \(x=(x_1,…,x_n), \; y=(y_1,…,y_m)\), где \(y_1=x_
Тогда систему уравнений \eqref
$$
F_i(x,y) = 0, \; i=\overline<1,m>.\label
$$
Функции \(F_i(x,y) = 0\) будем считать определенными в некоторой клеточной окрестности точки \((x^0,y^0)\).
Пусть \(K(x^0)\subset R^n\) и \(Q(y_0)\subset R^m\) есть клеточные окрестности. Будем говорить, что система уравнений \(F_i(x,y)=0, \; i=\overline<1,m>\), определяет в \(K(x^0)\times Q(y_0)\) переменные \(y_1,…,y_m\) как неявные функции переменных \(x_1,…,x_n\), если для любого \(x\in K(x^0)\) найдется единственный \(y\in Q(y^0)\) такой, что \(F_i(x,y) = 0, \; i=\overline<1,m>\).
Пусть выполнены следующие условия:
Тогда найдутся клеточные окрестности \(K(x^0) \subset R^n\) и \(Q(y^0) \subset R^m\) такие, что в \(K(x^0)\times Q(y^0)\) система уравнений \eqref
\(\circ\) Воспользуемся методом индукции по числу уравнений \(m\). При \(m=1\) доказательство теоремы 2 не отличается от доказательства теоремы 1 (в дальнейшем будем ссылаться на этот частный случай теоремы 2 как на теорему 1).
Предположим, что утверждение теоремы верно в том случае, когда система \eqref
Так как определитель \eqref
$$
<\begin
$$
(Здесь и в дальнейшем символ \(0\) означает, что значение соответствующей функции берется для аргументов с верхним индексом \(0\)).
Тогда в силу индукции найдутся такие клеточные окрестности
$$
\begin
Существует несколько способов доказательства теоремы о неявных функциях. Предложенный способ является, по-видимому, наиболее простым, но обладает двумя недостатками: не дает алгоритма для вычисления неявной функции и не обобщается на бесконечномерный случай.
Локальная обратимость регулярного отображения.
Пусть на множестве \(E\subset R^n\) заданы \(n\) функций
$$
f_1(x),…,f_n(x).\nonumber
$$
Они задают отображение \(f: \; E\rightarrow R^n\), которое каждой точке \(x\in E\) ставит в соответствие точку \(y=f(x)\), где
$$
y_1=f_1(x),\quad,…,\quad y_n=f_n(x).\nonumber
$$
Точка \(y=f(x)\) называется образом точки \(x\) при отображении \(f\). Точка \(x\) называется прообразом точки \(y\).
Если \(\Omega\subset E\), то множество
$$
f(\Omega)=\
$$
называется образом множества \(\Omega\) при отображении \(f\). Если \(\omega\subset f(E)\), то множество
$$
f^<-1>(\omega)=\
$$
называется прообразом множества \(\omega\).
Пусть \(G \subset R^n\) есть открытое множество. Отображение \(f: \; G\rightarrow R^n\) называется непрерывным в точке \(x^0\), если \(\forall \varepsilon > 0 \; \exists\delta > 0\) такое, что \(\forall x\) таких, что \(\rho(x,x^0) Лемма 1.
Если \(G\) есть открытое множество, а \(f: \; G\rightarrow R^n\) — непрерывное отображение, то прообраз каждого открытого множества \(\omega\in f(G)\) есть открытое множество.
\(\circ\) Пусть \(\Omega= f^<-1>(\omega)\). Возьмем любую точку \(x^0\in\Omega\). Тогда \(f(x^0)=y^0\in \omega\). Так как множество \(\omega\) открыто, то найдется окрестность \(S_<\varepsilon>(y^0)\in \omega\). В силу непрерывности отображения \(f\) в точке \(x^0\) найдется шаровая окрестность \(S_<\delta>(x^0)\), для которой выполнено условие \eqref
Следовательно,
$$
S_<\delta>(x^0)\subset f^<-1>(\omega)\subset\Omega,\nonumber
$$
и \(\Omega\) — открытое множество. \(\bullet\)
Как обычно, под окрестностью \(A(x^0)\) точки \(x^0\) будем понимать любое множество \(A\), для которого точка \(x^0\) внутренняя.
Пусть \(G \subset R^n\) — открытое множество. Отображение \(f: \; G\rightarrow R^n\) будем называть непрерывно дифференцируемым, если функции \(f_1(x),…,f_n(x)\), задающие это отображение, непрерывно дифференцируемы в \(G\). Непрерывно дифференцируемое отображение \(f: \; G\rightarrow R^n\) будем называть регулярным, если в области \(G\) якобиан отображения \(j_f(x)\neq 0\). Якобианом отображения \(j_f(x)\) называется следующий функциональный определитель:
$$
j_f(x)=\begin
$$
Пусть \(G\) — открытое множество в \(R^n\), а отображение \(f: \; G\rightarrow R^n\) регулярно. Тогда в каждой точке \(x^0\in G\) оно локально регулярно обратимо, то есть \(\forall x^0\in G\) найдутся такие окрестности \(A(x^0) \subset G\) и \(B(y^0)\subset f(G)\), где \(y^0= f(x^0)\), что отображение \(f: \; A(x^0)\rightarrow B(y^0)\) будет взаимно однозначным, причем обратное отображение \(f^<-1>: \; B(y^0)\rightarrow A(x^0)\) регулярно.
\(\circ\) Рассмотрим в \(G\times R^n\) систему уравнений
$$
F_i(x,y)\equiv y_i-f_i(x)=0,\quad i=\overline<1,n>.\label
$$
Пусть \(x^0\) — произвольная точка множества G и \(y^0=f(x^0)\). Тогда функции \(F_i(x,y)\) непрерывно дифференцируемы в \(G\times R^n\) и \(y_i^0= f_i(x^0), \; i=\overline<1,n>\). Так как отображение \(f\) регулярно, то Если \(f: \; G\rightarrow R^n\) есть регулярное отображение, то образ любого открытого множества \(\Omega\subset G\) есть открытое множество. \(\circ\) Пусть \(\omega=f(\Omega)\). Возьмем произвольную точку \(y^0\in\omega\) и пусть \(x^0\) есть какой-то ее прообраз. Тогда, вследствие теоремы 3, найдутся такие окрестности \(A(x^0) \subset \Omega\) и \(B(y^0) \subset \omega\); что отображение \(f: \; A(x^0)\rightarrow B(y^0)\) регулярно обратимо. Поэтому каждая точка \(y^0\in\omega\) принадлежит \(\omega\) вместе с некоторой окрестностью \(B(y^0)\). Множество \(\omega=f(\Omega)\) открыто. \(\bullet\) http://mathforyou.net/online/calculus/derivative/implicit/ http://univerlib.com/mathematical_analysis/functions_several_variables/implicit_functions/
$$
<\begin
$$
Для системы уравнений \eqref
$$
\begin
$$
что в \(K(x^0)\times Q(y^0)\) система уравнений \eqref
$$
\begin
$$
Пусть \(B(y^0)\) есть внутренность \(Q(y^0)\):
$$
B(y^0) = \left\