Производные от функций заданных параметрическим уравнением

Производная функции заданной параметрически онлайн

Пусть функция задана в виде параметрических уравнений (т.н. параметрическое задание функции):

где x ( t ) , y ( t ) — дифференцируемые функции и x ‘ ( t ) ≠ 0 . Тогда производная

определяется по формуле:

где — производная от параметрического уравнения y ( t ) по параметру t и — производная от параметрического уравнения x ( t ) , по параметру t .

Наш онлайн сервис найдет производную от параметрической функции с подробным решением. Пример подробного решения, выдаваемого нашим сервисом, можно посмотреть здесь .

Производная параметрически заданной функции

Функцию можно задать несколькими способами. Это зависит от правила, которое используется при ее задании. Явный вид задания функции имеет вид y = f ( x ) . Бывают случаи, когда ее описание невозможно или неудобно. Если есть множество пар ( х ; у ) ,которые необходимо вычислять для параметра t по промежутку ( а ; b ) . Для решения системы x = 3 · cos t y = 3 · sin t с 0 ≤ t 2 π необходимо задавать окружность с центром координат с радиусом равным 3 .

Определение параметрической функции

Отсюда имеем, что x = φ ( t ) , y = ψ ( t ) определены на при значении t ∈ ( a ; b ) и имеют обратную функцию t = Θ ( x ) для x = φ ( t ) , тогда идет речь о задании параметрического уравнения функции вида y = ψ ( Θ ( x ) ) .

Бывают случаи, когда для исследования функции требуется заниматься поиском производной по х . Рассмотрим формулу производной параметрически заданной функции вида y x ‘ = ψ ‘ ( t ) φ ‘ ( t ) , поговорим о производной 2 и n -ого порядка.

Вывод формулы производной параметрически заданной функции

Имеем, что x = φ ( t ) , y = ψ ( t ) , определенные и дифферецируемые при значении t ∈ a ; b , где x t ‘ = φ ‘ ( t ) ≠ 0 и x = φ ( t ) , тогда существует обратная функция вида t = Θ ( x ) .

Для начала следует переходить от параметрического задания к явному. Для этого нужно получить сложную функцию вида y = ψ ( t ) = ψ ( Θ ( x ) ) , где имеется аргумент x .

Исходя из правила нахождения производной сложной функции, получаем, что y ‘ x = ψ Θ ( x ) = ψ ‘ Θ x · Θ ‘ x .

Отсюда видно, что t = Θ ( x ) и x = φ ( t ) являются обратными функциями из формулы обратной функции Θ ‘ ( x ) = 1 φ ‘ ( t ) , тогда y ‘ x = ψ ‘ Θ ( x ) · Θ ‘ ( x ) = ψ ‘ ( t ) φ ‘ ( t ) .

Перейдем к рассмотрению решения нескольких примеров с использованием таблицы производных по правилу дифференцирования.

Найти производную для функции x = t 2 + 1 y = t .

Решение

По условию имеем, что φ ( t ) = t 2 + 1 , ψ ( t ) = t , отсюда получаем, что φ ‘ ( t ) = t 2 + 1 ‘ , ψ ‘ ( t ) = t ‘ = 1 . Необходимо использовать выведенную формулу и записать ответ в виде:

y ‘ x = ψ ‘ ( t ) φ ‘ ( t ) = 1 2 t

Ответ: y x ‘ = 1 2 t x = t 2 + 1 .

При работе с производной функции ч параметром t указывается выражение аргумента x через этот же параметр t , чтобы не потерять связь между значениями производной и параметрически заданной функции с аргументом, которому и соответствуют эти значения.

Чтобы определить производную второго порядка параметрически заданной функции, нужно использовать формулу производной первого порядка на полученной функции, тогда получаем, что

y » x = ψ ‘ ( t ) φ ‘ ( t ) ‘ φ ‘ ( t ) = ψ » ( t ) · φ ‘ ( t ) — ψ ‘ ( t ) · φ » ( t ) φ ‘ ( t ) 2 φ ‘ ( t ) = ψ » ( t ) · φ ‘ ( t ) — ψ ‘ ( t ) · φ » ( t ) φ ‘ ( t ) 3 .

Найти производные 2 и 2 порядка заданной функции x = cos ( 2 t ) y = t 2 .

Решение

По условию получаем, что φ ( t ) = cos ( 2 t ) , ψ ( t ) = t 2 .

Тогда после преобразования

φ ‘ ( t ) = cos ( 2 t ) ‘ = — sin ( 2 t ) · 2 t ‘ = — 2 sin ( 2 t ) ψ ( t ) = t 2 ‘ = 2 t

Отсюда следует, что y x ‘ = ψ ‘ ( t ) φ ‘ ( t ) = 2 t — 2 sin 2 t = — t sin ( 2 t ) .

Получим, что вид производной 1 порядка x = cos ( 2 t ) y x ‘ = — t sin ( 2 t ) .

Для решения нужно применить формулу производной второго порядка. Получаем выражение вида

y x » = — t sin ( 2 t ) φ ‘ t = — t ‘ · sin ( 2 t ) — t · ( sin ( 2 t ) ) ‘ sin 2 ( 2 t ) — 2 sin ( 2 t ) = = 1 · sin ( 2 t ) — t · cos ( 2 t ) · ( 2 t ) ‘ 2 sin 3 ( 2 t ) = sin ( 2 t ) — 2 t cos ( 2 t ) 2 sin 3 ( 2 t )

Тогда задание производной 2 порядка с помощью параметрической функции

x = cos ( 2 t ) y x » = sin ( 2 t ) — 2 t cos ( 2 t ) 2 sin 3 ( 2 t )

Аналогичное решение возможно решить другим методом. Тогда

φ ‘ t = ( cos ( 2 t ) ) ‘ = — sin ( 2 t ) · 2 t ‘ = — 2 sin ( 2 t ) ⇒ φ » t = — 2 sin ( 2 t ) ‘ = — 2 · sin ( 2 t ) ‘ = — 2 cos ( 2 t ) · ( 2 t ) ‘ = — 4 cos ( 2 t ) ψ ‘ ( t ) = ( t 2 ) ‘ = 2 t ⇒ ψ » ( t ) = ( 2 t ) ‘ = 2

Отсюда получаем, что

y » x = ψ » ( t ) · φ ‘ ( t ) — ψ ‘ ( t ) · φ » ( t ) φ ‘ ( t ) 3 = 2 · — 2 sin ( 2 t ) — 2 t · ( — 4 cos ( 2 t ) ) — 2 sin 2 t 3 = = sin ( 2 t ) — 2 t · cos ( 2 t ) 2 s i n 3 ( 2 t )

Ответ: y » x = sin ( 2 t ) — 2 t · cos ( 2 t ) 2 s i n 3 ( 2 t )

Аналогичным образом производится нахождение производных высших порядков с параметрически заданными функциями.

Производная функции, заданной параметрическим способом

Формула производной

Пусть функция задана параметрическим способом:
(1)
где некоторая переменная, называемая параметром. И пусть функции и имеют производные при некотором значении переменной . Причем и функция имеет обратную функцию в некоторой окрестности точки . Тогда функция (1) имеет в точке производную , которая, в параметрическом виде, определяется по формулам:
(2)

Здесь и – производные функций и по переменной (параметру) . Их часто записывают в следующем виде:
;
.

Тогда систему (2) можно записать так:

Доказательство

По условию, функция имеет обратную функцию. Обозначим ее как
.
Тогда исходную функцию можно представить как сложную функцию:
.
Найдем ее производную, применяя правила дифференцирования сложной и обратной функций:
.

Доказательство вторым способом

Найдем производную вторым способом, исходя из определения производной функции в точке :
.
Введем обозначение:
.
Тогда и предыдущая формула принимает вид:
.

Воспользуемся тем, что функция имеет обратную функцию , в окрестности точки .
Введем обозначения:
; ;
; .
Разделим числитель и знаменатель дроби на :
.
При , . Тогда
.

Производные высших порядков

Чтобы найти производные высших порядков, надо выполнять дифференцирование несколько раз. Допустим, нам надо найти производную второго порядка от функции, заданной параметрическим способом, следующего вида:
(1)

По формуле (2) находим первую производную, которая также определяется параметрическим способом:
(2)

Обозначим первую производную, посредством переменной :
.
Тогда, чтобы найти вторую производную от функции по переменной , нужно найти первую производную от функции по переменной . Зависимость переменной от переменной также задана параметрическим способом:
(3)
Сравнивая (3) с формулами (1) и (2), находим:

Теперь выразим результат через функции и . Для этого подставим и применим формулу производной дроби:
.
Тогда
.

Отсюда получаем вторую производную функции по переменной :

Она также задана в параметрическом виде. Заметим, что первую строку также можно записать следующим образом:
.

Продолжая процесс, можно получить производные функции от переменной третьего и более высоких порядков.

Заметим, что можно не вводить обозначение для производной . Можно записать так:
;
.

Пример 1

Найдите производную от функции, заданной параметрическим способом:

Пример 2

Найдите производную от функции, выраженной через параметр :

Раскроим скобки, применяя формулы для степенных функций и корней:
.

Находим производную . Для этого введем переменную и применим формулу производной сложной функции.

.

Находим искомую производную:
.

Пример 3

Найдите производные второго и третьего порядков от функции, заданной параметрическим способом в примере 1:

В примере 1 мы нашли производную первого порядка:

Введем обозначение . Тогда функция является производной по . Она задана параметрическим способом:

Чтобы найти вторую производную по , нам надо найти первую производную по .

Дифференцируем по .
.
Производную по мы нашли в примере 1:
.
Производная второго порядка по равна производной первого порядка по :
.

Итак, мы нашли производную второго порядка по в параметрическом виде:

Теперь находим производную третьего порядка. Введем обозначение . Тогда нам нужно найти производную первого порядка от функции , которая задана параметрическим способом:

Производная третьего порядка по равна производной первого порядка по :
.

Замечание

Можно не вводить переменные и , которые являются производными и , соответственно. Тогда можно записать так:
;
;
;
;
;
;
;
;
.

В параметрическом представлении, производная второго порядка имеет следующий вид:

Производная третьего порядка:

Автор: Олег Одинцов . Опубликовано: 22-01-2017